角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种
类为正切.
解：方法一：从右边入手，切化弦，得
x

x

xxx< br>)sincoscossincossin

x
22

4242

22
,由左右两tan(+)=

x

x

xxx
42
cos()coscossinsincossin< br>42222222
xx
边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos+sin,得
22
xx
(cossin)
2
1sinx
22


xxxx
cosx
(cossin)(cossin)
222 2
sin(
x
2

方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的 变形，降倍升幂，
得
xxxx
(cossin)
2
cossi n
1sinx
2222


xxxxxx
cosx(cossin)(cossin)cossin
222222
由两边三角函数的种 类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos,
得
1tan
x

x
tantan
2

42
=tan(

+x
).
x

x
42
1tan1tantan242
x
2
点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所
要注意的步骤与方法.
变式训练
已知α,β∈(0,)且满足:3sin
2
α+2sin< br>2
β=1,3sin2α-2sin2β
=0,求α+2β的值.

2
解法一:3sin
2
α+2sin
2
β=1

3 sin
2
α=1-2sin
2
β,即3sin
2
α=cos 2β,

①
3sin2α-2sin2β=0

3sinαcosα=sin2β,
②
①
2
+②
2
:9sin
4
α+9si n
2
αcos
2
α=1,即9sin
2
α(sin
2
α+cos
2
α)=1,
∴sin
2
α=.∵α∈(0,),∴sinα=.
∴sin(α+2β) =sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin
2
α+cos
α· 3sinαcosα=3sinα(sin
2
α+cos
2
α)=3×=1.
∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,

2
3

).∴α+2β=.
2
2
1
3
1
9

2
1
3
解法二:3sin
2
α+2sin
2
β= 1

cos2β=1-2sin
2
β=3sin
2
α,
3sin2α-2sin2β=0

sin2β=sin2α=3sinαcosα,
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β
=cosα·3sin
2
α-sinα·3sinαcosα=0.
3


).∴α+2β=.
2
2
3
解法 三:由已知3sin
2
α=cos2β,sin2α=sin2β,
2

两式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(-2β).
2

∵α∈(0,),∴tanα>0.∴tan(-2β)>0.
22



又∵β∈(0,),∴

<-2β<.
2
222


结合tan(-2β)>0,得0<-2β<. < br>222


∴由tanα=tan(-2β),得α=-2β,即α+2β= .
222
3
2
∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,

2
sin(a

)sin(



)tan< br>2

例2 求证:
1
sin
2

co s
2

tan
2

活动：证明三角恒等式,一般要 遵循“由繁到简”的原则,另外“化
弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.

证明:证法一:左边=
(sincos

cos

sin

)(sin

cos

cos

sin

)

22
sin

cos
sin
2
acos
2

cos
2
asin
2

cos
2
asin
2

ta n
2

=
11
=右边.∴原式成
22222sincos

sincos

tana
立.
cos
2
sin
2

sin
2
cos
2

cos
2
asin
2

证法二:右边=1-
2 2


22
sincos

sinacos
=
=
(sinacos

cosasin

)(si nacos

cosasin

)

22
sin cos

sin(a

)sin(a

)
=左 边.∴原式成立.
sin
2
cos
2

点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函
数公式的能力以及逻辑推理能力.
变式训练
1.求证:
1sin4

cos4

1sin4

cos4

.

2
2sin

1tan

分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于
1 sin4

cos4

2tan

,此式右边就是ta n2θ.

1sin4

cos4

1tan2

1sin4

cos4

证明:原等式等价于
tan2

.
1sin4

cos4

而上式左边
sin4

(1cos4

)2sin2

cos2

2sin
2
2

2sin2

(cos2
< br>sin2

)


==tan2
sin4

(1cos4

)2sin2

cos2

2cos
2
2

2cos2

(sin2
cos2

)

右边.∴上式成立,即原等式得证.
2.已 知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=
1m
tanα.
1m
分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放
矢, 看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将

α+β作为一整体来 处理.
证明:由sinβ=msin(2α+β)

sin[(α+β)-α]=m sin[(α+β)+
α]

sin(α+β)cosα-cos(α+β)sin α=m0[sin(α+β)cosα+cos(α
+β)sinα]

(1-m)· sin(α+β)cosα=(1+m)·cos(α+β)sinα

tan(α+β)=
1m
tanα.
1m
知能训练
5a
,α在第二象限,则tan的值为( )
132
1
A.5 B.-5 C.
5
1
D.


5

2.设5π<θ<6π,cos=α,则sin等于( )
2 4
1.若sinα=
A.
D.

1a1a1a
B. C.


222
1a

2
3.已知sinθ=

,3π<θ<
解答:
1.A 2.D 3.-3
课堂小结
3
5
7


,则 tan_________________.
22
1.先让学生自己回顾本节学习的数学知 识:和、差、倍角的正弦、余
弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.
2.教师画龙点睛总结:本节学习 了公式的使用,换元法,方程思想,等

价转化,三角恒等变形的基本手段.
作业
课本习题3.2 B组2.
设计感想
1.本节主要学习了怎样推 导半角公式、积化和差、和差化积公式以及
如何利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应 注意对
三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.
还要思考一题多解 、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、
方程思想，“1”的代换，逆用公式等.
2.在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，
突出对求值的考查.特别是对平方 关系及和角公式的考查应引起重
视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方.考试大
纲对本部分的具体要求是：用向 量的数量积推导出两角差的余弦公
式，体会向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与< br>差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解
它们的内在联系，能运用上述 公式进行简单的恒等变换.
第2课时
导入新课
思路1.(问题导入)三 角化简、求值与证明中，往往会出现较多
相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等 关系，
运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：

α= (α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=(+α)-(-α)，+α
=-(-α)等，你能总 结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开.
思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y =asinx+bcosx的
函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联
系密切，它是研究 其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有
关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运 算、化简、求
值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角
公式，掌握运 算，化简的方法和技能.
推进新课
新知探究
提出问题
①三角函数y=sinx，y=cosx的周期,最大值和最小值是多少？
②函数y=asinx+bcosx的变形与应用是怎样的？
③三角变换在几何问题中有什么应用？
活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函 数的图象与性质进
行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、
对称性、 单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k
∈Z且k≠0），最小正周期都是2π. 三角函数的定义与变化时，会对
其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx的周期是2kπ（k ∈Z
且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x的周期是kπ（k∈Z
且k≠0） ，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最

2

4

4

4

4

小值是-1，所以这两个函 数的值域都是[-1，1].
函数y=asinx+bcosx=
a
2
b
2
（
∵(
(
a
ab
22
a
a b
22
sinx
a
b
ab
22
cosx）,
b
ab
22
)
2
(
b
ab
22
)
2
1从而可令
ab
22
cos
,sin
φ,
则有asinx+bcosx=
a
2
b2
（sinxcosφ+cosxsinφ）
=
a
2
b
2
sin（x+φ）.
因此，我们有 如下结论：asinx+bcosx=
a
2
b
2
sin（x+φ） ，其中tan
φ=.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者
角度问题.
我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几
何有着密切的内在联系 .几何中的角度、长度、面积等几何问题，常
需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中 的有关问
题，是一种重要的数学方法.
讨论结果：①y=sinx，y=cosx的周期是2 kπ（k∈Z且k≠0），最小
正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1.
②—③(略)见活动.
应用示例
思路1
例1 如图1,已知OPQ是半 径为1,圆心角为的扇形,C是扇形弧上的
动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角 α取何值时,矩形
ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.
活动：要求当角α取 何值时，矩形ABCD的面积S最大，先找出

3
b
a

S与α之间的函数关系，再求函数的最值.
找S与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：
S=AB·BC=(cosα

33
sinα)sinα=sinαcosα -

sin
2
α.
33
求这种y=asin
2< br>x+bsinxcosx+ccos
2
x函数的最值，应先降幂，再利用
公式化 成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.
教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD的面积S最大,
可分两步进行:

图1
(1)找出S与α之间的函数关系;
(2)由得出的函数关系,求S的最大值.
解:在Rt△OBC中,BC=cosα,BC=sinα,
在Rt△OAD中,
所以OA=
DA
=tan60°=
3
,
OA
333
DA=BC=sinα.
333
3
sinα.
3
所以AB=OB-OA=cosα

设矩形ABCD的面积为S,则 S=AB·BC=(cosα

=sin2α+
1
2
33
sinα)sinα=sinαcosα

sin
2
α
3333
1
33
1
cos2α-=(sin2α+cos2α)-
666
2
3
2

=
1
3
sin(2α +)-

3

6
3
.
6
由于0<α<, 所以当2α+=,即α=时,S
最大
=

6

6

2

6
1
3
-
33
=.
66
因此,当α=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为
3
.
6
点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过
程中蕴涵了化归思想 .此题可引申即可以去掉“记∠COP=α”,结论改
成“求矩形ABCD的最大面积”，这时，对自变 量可多一种选择，如设
AD=x,S=x(
1x
2

3
x
),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但
3
能促进学生对函数模型多样性的理解 ，并能使学生感受到以角为自变
量的优点.
变式训练
(2007年高考辽宁卷,19) 已知函数f(x)=sin(ωx+)+sin(ω

x

2
x-)-2cos
2
,x∈R(其中ω>0).
6
6

(1)求函数f(x)的值域;
(2)若函数y=f(x)的图 象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为,
求函数y=f(x)的单调增区间.
解:(1 )f(x)=
=2(
33
11
sinωx+cosωx+sinωx- cosωx-(cosωx+1)
22
22

2
3
1

sinωx- cosωx)-1=2sin(ωx-)-1.
2
26
由-1≤sin(ωx-)≤1,得-3≤2sin(ωx-)-1≤1,

6

6

可知函数f(x)的值域为［-3,1］.
(2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的周期为π,又由
ω>0,得2


=π,即得ω=2.

6

2

6

2
于是有f(x)=2sin(2x-)-1,再由2kπ-≤2x -≤2kπ+(k∈Z),
解得
kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以y=f(x)的单调增区间为［kπ-,kπ+］(k∈Z).
点评:本题主要考查三角 函数公式,三角函数图象和性质等基础
知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.
例1 求函数y=sin
4
x+23sinxcosx- cos
4
x的最小正周期和最小值;并写
出该函数在[0,π]上的单调递增区间.
活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以
及三角函数的单调性和 周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化
成最简形式,然后再解决与此相关的问题.
解:y=sin
4
x+2
3
sinxcosx-cos
4< br>x=(sin
2
x+cos
2
x)(sin
2
x-c os
2
x)+
3
sin
2x
=
3
sin2x-cos2x=2sin(2x-).
故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区
间是[0, ],[

3
5

,π].
6

6

3

6

3

6
点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性
等基础知识.
变式训练

已知函数f(x)=cos
4
x-2sinxcosx- sin
4
x,
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈[0,],求f(x)的最大、最小值.
解：
f(x)=cos
4
x-2sinxcosx-sin
4
x=(cos
2
x+sin
2
x)(cos
2
x-sin
2
x)-sin2x=co
s2x-sin2x=
2
cos(2x+ ),
2

=π.
2

5

(2)因为x∈[0,]，所以2x+∈[，]. < br>4
244

2

4
所以，f(x)的最小正周期T=
当2x+=时，cos(2x+)取得最大值

4

4
< br>4

4

4
2
,
2
当2x+=π时，cos(2x+)取得最小值-1.
所以，在[0,]上的最大值为1，最小值为-
2
.
思路2
例1 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,
其图象关于点M(< br>ω的值.
活动：提醒学生在解此题时,对f(x)是偶函数这一条件的运用不
在问题上,而在对“f(x)的图象关于M(
3

,0)对称”这一条件的使用
4
3


,0)对称,且在区间[0,]上是单调函数,求φ和
4
2

2
上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在R上的函数y=f(x )对定
义域内任意x满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与
总结，多做些这种类型的 变式训练.
解：由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),

即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以- cosφsinωx=cosφsinωx对
任意x都成立.
又ω>0,所以,得cosφ=0.
依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=.
3

3

-x)=-f(+x).
44
3

3

3

取x=0,得f()=-f(),所以f()=0.
444
3

3


3

3< br>
∵f()=sin(+)=cos,∴cos=0.
4444
2
3


又ω>0,得=+kπ,k=0,1,2,….
4
2
2
∴ω=(2k+1),k=0,1,2,….
3
2 2

当k=0时,ω=,f(x)=sin(x+)在[0,]上是减函数;
33 22

当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+)在[0,]上是减函数;
22
10

当k≥2时,ω≥,f(x)=sin(ωx+)在[0,]上不是单 调函数.
322
2
所以,综合得ω=或ω=2.
3

2
由f(x)的图象关于点M对称,得f(
点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性
质，对函数进行变换然后进而解决此题.
变式训练
已知如图2的Rt△ABC中,∠A=90°,a为斜边,∠B、∠C的内角平
分线BD、CE的长分别为m、n,且a
2
=2mn.问:是否能在区间(π,2π］
中找到角θ,恰使等式cosθ-sinθ=4(cos
BCBC
-cos)成立 ?若
22
能,找出这样的角θ;若不能,请说明理由.
解:在Rt△BAD中,
∴mcos=asinC.
B
2
ABAB
B
=cos,在Rt△BAC中,=sinC,
ma
2

图2
同理,ncos=asinB.
∴mncoscos=a
2
sinBsinC.
而a
2
=2mn,
C
2
BC
1
sinsin=.
22
8
B
2
C
2
C
2
∴coscos=2sinBsinC=8si n·coscossin.∴
B
2
B
2
B
2
C2
C
2
BCBC
-cos)=-1,
22
BCBC
若存在θ使等式cosθ-sinθ=4(cos- cos)成立,则
22

2
cos(θ+)=-1,
4
积 化和差,得4(cos
∴cos(θ+)=
∴

4
2
.而π <θ≤2π,
2
5


9

<θ+≤.∴这样的θ不存在.
42
4
点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证
出现矛盾,即可否定假设;若推 出合理结果,即假设成立.这个探索结
论的过程可概括为假设——推证——定论.
例2 已知tan(α-β)=，tanβ=

，且α,β∈(0,π)，求2α-
β的值.
解：∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=，
∴tan2(α-β)=
2tan(



)
4
=.
1tan
2
(



)
3
1
2
1
7
1
2

从而tan(2α-β)=tan［2(α-β)+β］41
25

tan2(



)tan

37
=
21
1
. =
41
25
1tan2(



)tan

1
37
21
又∵tanα=tan［(α-β)+β］=

4
tan(



)tan

1
=<1.
1t an(



)tan

3
且0<α<π，∴0< α<.∴0<2α<.
又tanβ=

<0，且β∈(0,π)，
∴<β<π，-π<-β<

.
2
1
7

2

2

∴-π<2α-β<0.∴2α-β=

3
.
4
点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在
于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三
角函数值，缩小角的范围， 从而求出准确角.另外，求角一般都通过
三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规 律，
若α∈(0,π)，则求cosα;若α∈(

,)，则求sinα等.
变式训练
若α,β为锐角，且3sin
2
α+2sin
2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求
证：α+2β=.
证明：已知两个等式可化为3sin
2
α=cos2β，
①

2


2
2
3sinαcosα=sin2β，
②
①÷②，得
sina
cos2

=，即cosαcos 2β-sinαsin2β=0，
cosa
sin2


∴cos(α+2β)=0.
∵0<α<，0<β<，∴0<α+2β<
∴α+2β=.
知能训练
课本本节练习4.
1

22

k

k

1
[
,
](k∈Z),最大值为;
82822

2

2
3

.
2

2
解答:4.(1)y=sin4x.最小正周期为,递增区间为
(2)y =cosx+2.最小正周期为2π,递增区间为[π+2kπ,2π+2kπ](k
∈Z),最大值为 3;

32
5

k

k

[
,
](k∈Z),最大值为2.
242242
(3)y=2sin(4x+).最小正周期为,递增区间为
课堂小结
本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx的
函数转化 为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干
性质,达到解决问题的目的,充分 体现出生活的数学和“活”的数学.
作业
课本复习参考题A组10、11、12.
设计感想
1.本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形,把形如
y=a sinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺
利考查函数的若干 性质,达到解决问题的目的.在教学中教师要强调：
分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容 .如果给出的三

角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和
性质.因此，三角恒等变换是求 解三角函数问题的一个基本步骤.但需
注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因 ，
函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数
与原三角函数不等价.因 此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，
还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质 .
2.在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的
余弦公式，并由此导 出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公
式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练. 其次要搞清
楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图.第三就是在三角恒
等变换中，要结 合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对
三角知识有整体的把握.
3.今后高考对 三角变换的考查估计仍以考查求值为主.和、差、倍、
半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点 考查的地方，应该
引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号.另外，在
三角形中 的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是
高考的热点.对三角函数综合应用的考查，估 计仍然以三角与数列、
不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题
型主 要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大.
应注意新情景立意下的三角综合应用也 是考试的热点.