四川托普信息技术职业学院-师德师风总结个人总结

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三角恒等变换专题复习
教学目标：
1、能利用单位圆中 的三角函数线推导出
2
、理解同角三角函数的基本关系式：
3
、可熟练运用三 角函数见的基本关系式解决各种问题。

教学重难点：
可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题

【基础知识】
一、同角的三大关系：
①倒数关系tan

?cot

= 1②商数关系
③平方关系
sin

cos

1

温馨提示：
（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画 直角三角形速解。[来源:
学+科+网]
（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“

”号。
二、诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限
22

2


,



的正弦、余弦、正切的诱导公式；
；

sin

cos

=tan

；=cot


cos

sin

k



,kz
的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是
2
k

90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把
看作是锐角，判断角


在
2
用诱导公式化简，一般先把角化成
第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“--”，就加在前面）。
用诱导 公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间
(0,360)
的角，再变到区间< br>(0,180)
的
角，再变到区间
(0,90)
的角计算。
三、和角与差角公式：
00
00
00
sin(



)sin

cos

cos

s in

;
cos(



)cos

cos

msin

sin

;
变用< br>tan

±
tan

=
tan
(

±

)(1

tan

tan

)
四、二倍角公式：
sin2

=
2sin

cos

. < br>cos2

cos
2

sin
2
2cos
2

112sin
2

.
五、注意这些公式的来弄去脉
这些公式都可以由公式
cos(



)cos

cos

msin

si n

推导出来。
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六、注意公式的顺用、逆用、变用。
如：逆用
sin

cos
cos

sin

sin(



)
sin

cos


1
sin2< br>

2
变用
cos


2
1co s2

1cos2

1cos4


sin< br>2

cos
2
2


222
七、 合一变形（辅助角公式）
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的
yAsin(

x

)B
形式。
sin

cos


2

2
sin




，其中
tan


八、万能 公式
九、用
sin

，
cos

表示
t an
十、积化和差与和差化积
积化和差
sin

cos

[sin(



)sin(



)]
；

．


2

cos

sin

[sin(



)si n(



)]
；
cos

cos
[cos(



)cos(


)]
；
sin

sin

[cos(< br>


)cos(



)]
.
和差化积
sin

sin

2sin
十一、方 法总结
1、三角恒等变换方法
观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）
（1）“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，
如α=(α+β)－β= (α－β)+β,2α=(α+β)+(α－β),2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·,=(α－) －(－β)等.
（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦
tan




2
cos



2

sin

cos

），
,cot
< br>
cos

sin

（3）“变式’指的是利用升幂公式和降 幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。
2、恒等式的证明方法灵活多样
①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法, 即由繁
到简.
②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子. ③比较法,即设法证明:左边－右边=0或
④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充 分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为
止,则可以判断原等式成立.
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【例题精讲】
例1已知

为第四象限角 ，化简：
cos

解：（1）因为

为第四象限角
1sin

1cos

sin


1sin

1cos

(1sin

)
2< br>(1cos

)
2
所以原式=
cos


sin

22
1sin

1cos

例2已知
270

360
，化简


1 111
cos2


2222
解：
270

360
，
cos

0,cos

2
0

所以原式=
例3tan20°+4sin20°
1cos

111cos2

11
cos
2
cos< br>
cos
2


222
22222
s in20
0
2sin40
0
解：tan20°+4sin20°=
0
cos20
33
cos40
0
sin40
0
sin(6040)2sin40
3cos20
0
22
3
=
0
00
cos20
cos20cos20
000
例4（0 5天津）已知
sin(



4
)
727

,cos2


，求
sin

及
ta n(

)
．
1025
3
解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
72

2
7
sin(

)(sin

cos

)
，即
sin

cos



1042
5
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
故
cos

sin


①
1

5
②由①和②式得
sin


3< br>4
，
cos



5
5
3

tan

3
3
4

433
48253


因此，
tan


，由两 角和的正切公式
tan(

)
311
4
13tan< br>
33433
1
4
3
解法二：由题设条件，应用二倍角 余弦公式得
7
cos2

12sin
2

，
25
解得
sin


2

72
9
3
7
，即
sin


由
sin(< br>
)
可得
sin

cos



410
5
255
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77
3
cos

0
，且
cos

s in

0
，故

在第二象限于是
sin

，
5
55
74
从而
cos

s in


以下同解法一
55
由于
sin
< br>
小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内 在联系（均含

）
进行转换得到．
2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形． r
r
例5已知
A,B,C
为锐角
ABC
的三个内角， 两向量
p(22sinA,cosAsinA)
，
q(sinAcosA,
1sinA)
，
若
p
与
q
是共线向量.
（1）求
A
的大小；
（2）求函数
y2sin
2
Bcos(
rr
C3B
)
取最大值时，
B
的大小.
2
urr
22
解：（1）
Q
pq 2(1sinA)(1+sinA)sinA-cosA

1
2cos
2
Acos2A0 12cos
2
A0
cos2A
Q0<2A<

，
2
（2）
QA=60
0
B+C=120
0
y=2sinB+cos(602B)1cos2B+
20
13
cos2B sin2B

22
=
31

sin2Bcos2B+1=sin(2B)1
，
当 2B



时，即B=

．
226
623
小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意
例6设关于
x
的方程
sinx
＋
3
cosx
＋a
＝0在(0,2
π
)内有相异二解
α
、
β
.
(1)求
α
的取值范围;(2)求
tan
(
α
＋< br>β
)的值.
解:(1)∵
sinx
＋
3
cosx< br>＝2(
3
1

a
sinx
＋
cosx)＝2
sin
(
x
＋),∴方程化为
sin
(
x
＋)＝－.
2
22
33
3

)≠
sin
＝. 2
33
∵方程
sinx
＋
3
cosx
＋
a
＝0在(0,2
π
)内有相异二解,∴
sin
(
x＋
又
sin
(
x
＋
33

aa
)≠±1(∵当等于和±1时仅有一解),∴|－|<1.且－≠.即|
a
|<2且
a
≠－
3
.
22
22
3
∴
a
的 取值范围是(－2,－
3
)∪(－
3
,2).
(2)∵
α
、
β
是方程的相异解,∴
sinα
＋
3
cosα< br>＋
a
＝0①.
sinβ
＋
3
cosβ
＋a
＝0②.
①－②得(
sinα
－
sinβ
)＋3
(
cosα
－
cosβ
)＝0.∴2
sin



2
cos



2
－2< br>3
sin



2

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sin



2
＝0, 又
sin



2
≠0,∴
tan


2
＝
3
.∴
tan
(
α
＋
β
)＝
3
2tan



2



2
＝
3
.
2tan
2
小 结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2
π
)这一条件. 例7已知函数
f

x


m2sinx
< br>

在区间

0,

上单调递减，试求实数
m
的取值范围．
cosx

2



解 ：已知条件实际上给出了一个在区间

0,



上恒成立 的不等式．
2

任取
x
1
,x
2

0,


m2sinx
1
m2sinx
2




xxfxfx
，且，则不等式恒成立 ，即恒成立．化

1212
cosx
2
cosx
1
2

简得
m

cosx
2
cosx
1< br>
2sin

x
1
x
2

< br>由
0x
1
x
2


2
可知：< br>cosx
2
cosx
1
0
，所以
m
2 sin

x
1
x
2


cosx
2
cosx
1
上式恒成立的条件为：
m



2sin

x
1
x
2






在区间

0，

上的最小值
.


2


cosx
2
cosx
1

x
1
x
2
xx
2
xx
2
cos
1
2cos
1
2sin

x1
x
2

222


由于
xx
2
xx
2
xx
2
cosx
2
cos x
1
2sin
1
sin
1
sin
1
222
4sin
且当
0x
1
x
2


2
时，
0
x
1
x
2

xx
, 
，所以
0tan
1
,tan
2
1
,
22422
从而

1tan


x
1
x

xx

x

x

tan
2



tan
1
tan
2



1tan
1

1tan
2

0
,
22

22

2

2
xx

2

1tan
1
tan
2

22

有
2
,故
m
的取值范围为
(,2]
.
x
1
x
2
tantan
22
【基础精练】
1．已知α是锐角，且sin＝，则sin的值等于( )
A. B．－C. D．－
2．若－2π＜α＜－，则的值是( )
A．sin B．cosC．－sin D．－cos
3.·等于( )
A.－sinαB.－cosααα
4.已知角α在第一象限且cosα＝，则等于( )
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A. B.C.D.－
5.定义运算b),
c d
)))＝ad－bc.若cosα＝，sinβ),
cosα cosβ
)))＝，0<β<α<，则β等于( )
A.B.C.D.
6.已知 tanα和tan(－α)是方程ax
2
＋bx＋c＝0的两个根，则a、b、c的关系是( )
A.b＝a＋cB.2b＝a＋cC.c＝b＋aD.c＝ab
7.设a＝(sin56 °－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝，d＝(cos80 °－2cos
2
50°＋1)，则a，b，c，d的大
小关系为( )
A.a＞b＞d＞cB.b＞a＞d＞cC.d＞a＞b＞cD.c＞a＞d＞b
8．函数y＝sin2x＋sin
2
x，x∈R的值域是( )
A.
C. D.
9.若锐角α、β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝ .
10.设α是第二象限的角，tanα＝－，且sin11.已知sin(
B.

5


x)=， 0413
4
7
cos2x
cos(x)
4
的值。
12.若

,

(0,

)
，
cos


1
,tan

< br>，求α+2β。
3
50
【拓展提高】
1、设函数f(x)＝sin(－)－2cos
2
＋1
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线 x＝1对称，求当x∈[0，]时y＝g(x)的最大值
2.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，求sinα.
sin

sin（2



）
－2cos（α+β）=.
sin

sin

【基础精练参考答案】
4．C【解析】原式＝
3、求证：
＝＝＝2×(cosα＋sinα)＝2×(＋)＝.
5.D【解析】依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴cos(α－β)＝.又∵cosα＝，∴sinα＝.
sinβ＝si n[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β)＝×－×＝，∴β＝. < br>
b

tan

tan(

)
4a,

6.C【解析】

∴tan＝tan[(－α)＋α ]＝＝1，

tan

tan(



)
c
,

4a

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∴－＝1－，∴－b＝a－c，∴c＝a＋b.
7.B【 解析】a＝sin(56°－45°)＝sin11°，b＝－sin40°cos52°＋cos40°sin 52°＝sin(52°－40°)＝sin12°，c＝＝cos81°
＝sin9°，d＝(2co s
2
40°－2sin
2
40°)＝cos80°＝sin10°
∴b＞a＞d＞c.
8.C【解析】y＝sin2x＋sin
2
x＝sin 2x－cos2x＋＝sin＋，故选择C.
9.【解析】由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，可得＝，即tan(α＋β)＝.
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
10.－解析：∵α是第二象限的角，∴可能在第一或 第三象限，又sin＝－，∴cosα＝－， ∴cos＝－＝－.
12.【解析】∵

,

(0,

)
，
cos


7
50
∴
ta n


1313
(,0),tan

(,0 ),

7333
∴

,

(
2tan< br>
3
tan

tan2

5

5


tan(

2

)1
,[ 来,
,

)
，α+2β
(,3

)
,又 tan2β=
2
4
1tan

tan2

1t an

2
6
源:]∴α+2β=
11


4
【拓展提高参考答案】
1、【解析】(1)f(x)＝sincos－cossin－cosx＝sinx－cosx
＝sin(x－)，故f(x)的最小正周期为T＝＝8
(2)法一：在y＝g(x)的图象 上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点(2－x，g(x)).
由题设条件，点(2－ x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝sin[(2－x)－]
＝sin[－x－]＝cos(x＋)，
当0≤x≤时，≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间 [0，]上的最大值为g(x)
max
＝cos＝.
法二：因区间[0，]关于x＝ 1的对称区间为[，2]，且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故y＝g(x)
在[ 0，]上的最大值为y＝f(x)在[，2]上的最大值，由(1)知f(x)＝sin(x－)，
当 ≤x≤2时，－≤x－≤，因此y＝g(x)在[0，]上的最大值为g(x)
max
＝sin ＝.
2、【解析】(1)∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，∴a－b＝ (cosα－cosβ，sinα－sinβ).
∵|a－b|＝，∴＝，即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.
(2)∵0 <α<，－<β<0，∴0<α－β<π，∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝∵sinβ＝－，∴c osβ＝，
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β) sinβ＝·＋·(－)＝
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