家乡的变化作文400-生日短信

常用三角恒等变换技巧
解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化， 将隐性问题明朗化。三
角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“ 和、差、倍、
半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差 异、
函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，
才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点。下面从九个方面解读三角恒等变换的常用
技巧。
一、“角变换”技巧
角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未 知角”分解成“已
知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。
sin2x 2sin
2
x


3
3

7
< br>
例1 已知
cos

x


，，求的值。
x45
1tanx
44

【分析】考虑到“已知角”是
x< br>
4
，而“未知角”是
x
和
2x
，注意到
x 

x







，
4

4
可直接运用相关公式求出
sinx
和
c osx
。
【简解】因为
37


x

，所以

x2

，
444
又因为
cos

x




3


4
3


x2

，
sin
x




0
，所以
4
< br>54

5
24












72

，
sinxsin


x



si n

x

coscos

x

si n
4

4

4

44

41 0



2
2sinxcosx2sin
2
x 28

. 从而
cosx
，
tanx7
. 原式 =
10
1tanx75
【反思】（1）若先计算出
cosx
2
，则在计算
sinx
时，要注意符号的选取；（2）
10
本题的另一 种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开，结合“平方关系”通过解二元二
次方程组求出
sinx
和
cosx
. 但很繁琐，易出现计算错误；（3）本题也可由
< br>


2x2

x


，运用 诱导公式和倍角公式求出
sin2x
。

4

2
例2 已知
tan(


)

tan(



)
，其中< br>
1
，求证：
sin2

1

sin2

1
【分析】所给条件中出现的“已知角”是



与



，涉及的“未知角”是
2
< br>与
2

，
将三个角比较分析发现
2

(< br>


)(



)
，
2

(



)(


< br>)
，把“未知”角转

化为两个“已知”角的代数和，然后用相关公式求解 。
【简证】
sin2

sin















sin2

sin














s in(



)cos(



)co s(



)sin(



)

sin(



)cos(



)cos(



)sin(



)
tan(



)tan(


< br>)

tan(



)tan(



)

1


tan(



)tan(



)

tan(



)tan(



)

1

【反思】（1）以上除了用到了关键的角变换技巧以外，还用到了“弦化切”技 巧.；（2）
本题也可由已知直接求出
tan

与
tan

的关系，但与目标相差甚远，一是函数名称不同，
二是角不同，所以较为困难；（3）善于发现 所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，是
有效进行角变换的前提。常用的角变换关系还有： 








，








，2



2




< br>

，
2



2







，


(
)
，
754530
424
等.
二、“名变换”技巧
名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，需要进行名变换的 问题常常有明
显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是“切弦互化”，但实际上，诱 导
公式、倍角公式，平方关系也能进行名变换。
例1 已知向量
a(1tan x,1)
，
b(1sin2xcos2x,0)
，求
f(x)ab
的定义
域和值域；
【分析】易知
f(x)(1tanx)(1sin 2xcos2x)
，这是一个“切弦共存”且“单、倍
角共在”的式子，因此既要通过“切化 弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数
式更简明。
【简解】
f(x)(1tanx)(1sin2xcos2x)





1


sinx

2

12sinxcosx2cosx1

cosx



2

cosxsinx

cosxsinx



2cos2x

由
cosx0
得，
xk
< br>

2
,kZ
，
2cos2x2



所以，
f(x)2cos2x
.的定义域是

xxk




,kZ

，值域是

2,2

.
2

【反思】本题也可以利用万 能置换公式先进行“弦化切”，变形后再进行“切化弦”求解.

例2 已知

,

都是锐角，且
tan


sin
< br>cos

sin

，求的值。
sin

cos

sin

cos

【分析】已知条件 中，等式的右边是分式，符合和差解的正切公式特征，可考虑“弦化
切”，另一方面，若是“切化弦”， 则很快出现待求式，与目标很近.
sin


1
tan

tan


4
tan

【简解1】显然cos

0
时，
tan


cos






，
sin

4

11tan

tan
cos

4
因为

,

都是锐角，所以




4
，
所以，
sin


sin

cos

sin

2
.


2

2sin




4

【简解2】由
sin

sin

cos

sin

cos


得，，

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

设
sin

cos

A
，则
sin

cos

sin

cos

sin
2

cos
2

A
2

sin

cos




sin

cos


，
22
所以，
2A
2
1
，
A
2sin

2

，即.
2sin

cos

2
【反思】简解1说明当分子分母都是同角的正弦、余弦的齐次式时，很容易“弦化切”；
简解 2很巧妙，其基本思想是整体换元后利用平方关系消元.
三、“常数变换”技巧
在三角恒等 变形过程中，有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善
式子结构，运用相关公式求解 ，如
1sinxcosx
，
1tan45
，
3tan22

3
等.
1sin
6
xcos
6
x3

；例1 （1）求证: （2）化简：
sin2x3cos2x
.
44
1sin xcosx
2
【分析】第（1）小题运用
1sin
2
xcos
2
x
和
1sin
2
xcos
2
x把分子、分母
都变成齐次式后进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化 为熟
悉的
yAsin


x


的形 式，有利于系统研究函数的图象与性质.

3

2
(sin
2
xcos
2
x)
3
sin
6
xc os
6
x
【简解】（1）左边=
(sin
2
xcos< br>2
x)
2
sin
4
xcos
4
x
3sin
2
xcos
2
x(sin
2
xcos
2
x)3

.
2sin
2
xcos
2
x2

（2）原式=
sin2xtan

3
cos2 x

sin
sin2x


3
cos2x
3
sin2xcos

3
cos2xsin

3
2sin

2x




3

coscos

3
【反思】“1”的变换应用是很多的，如万能置换公 式的推导，实际上是利用了
1sin
2
xcos
2
x
把 整式化成分式后进行的，又如例4中，也是利用了
1tan45

，把分
式 变成了整式.
四、 “边角互化”技巧
解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂 的边角关系或统一成边，运用代数
运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解.
例 在
ABC
中，且2a sinA = (2b+c) sinB + (2c+b)
a、b、c
分别为角
A、B、C
的对边，
sinC，
2asinA (2bc)sinB(2cb)sinC

（1）求角
A
的大小；
（2）若
sinBsinC1
，证明
ABC
是等腰三角形.
【分析】本题的条件集三角形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个
角的正弦 的齐次式，所以可用正弦定理把“角”化为边或把边化为“角”来求解。
【简解】（1）（角化边）由正弦定理
2
abc
得，

sinAsinBsinC
222

2a(2bc)b(2cb)c
，整理得，
abcbc
， < br>b
2
c
2
a
2
1
2


，因为
0A

，所以
A
所以
cosA
.
2bc2
3
（2）法一：（边化角）由已知和正弦定理得，

2sinA(2sinBsinC)sinB(2sinCsinB)sinC

22
2

即
2sinA2(sinBsinC) 2sinBsinC
，从而
sinBsinC
又
sin BsinC1
，所以
sinBsinC
所以
BC
，
ABC
是等腰三角形.
法二：由（1）知
BC
1
，
4
1
.
2

3
，
C

3
B
，代入
sinBsinC1
得，
sinB
所以
B
31




cosBsinB1
，所以
sin

B

1
，
B，
22
32

3


6
，
C

6
，
ABC
是等腰三角形.
【反思】第（1）小 题“化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定
理的结构，第（2）小题的法一之所 以“化边为角”，是因为不易把条件
sinBsinC1
化为

边的 关系，而把条件
2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC
转化为边的关系 却很容易；法
二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程.
五、“升降幂变换”技巧
当所给条件出现根式时，常用升幂公式去根号，当所给条件出现正、 余弦的平方时，常
xx

2
x
用“降幂”技巧，常见的公式有：< br>1sinx

sincos

，
1cosx2co s
，
2
22

1cosx2sin
2
x，可以看出，从左至右是“幂升角变半”，而从右至左则是“幂降角变倍”.
2
2
例1 化简：
1sin61sin6

【分析】含有根号，需“升幂”去根号.
【简解】原式=
sin
2
3cos
2
32sin3cos3
=
sin3cos3sin3cos3

sin
2
3cos
2
32sin3cos3

因为


3


3

，所以
sin3cos32sin

3

0
，
sin3 cos30
，
4

4

所以，原式
(si n2cos3)(sin3cos3)2cos3
.
2
例2
求函数
f(x)2sin


π

ππ
x

3cos2x
，
x

，

的最大值与最小值．

4

42

【分析】函数式中第 一项是正弦的平方，若“降幂”后“角变倍”，与第二项的角一致..
【简解】
∵f(x)

1cos




π

< br>2x


3cos2x1sin2x3cos2x


2


π

12sin

2x 

．
3

又
∵x

，

，
∴
≤
2x
≤
，即
2
≤
1 2sin

2x

≤
3
，
423
< br>633


ππ

ππ2π

π

∴f(x)
max
3，f(x)
min
2
． 【反思】以上两例表明，“升降幂技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地
整合各种技 巧与方法才能顺利地解题。如例7中用到了常数“变换技巧”，例8中用到了“辅
助角”变换技巧.
六、 “公式变用”技巧
几乎所有公式都能变形用或逆向用，如
sin
< br>
sin2

sin2

，
cos


，
2cos

2sin

tan

 tan

tan





1ta n

tan


等，实际上，“常数变换”技巧与“升降幂”技巧等

也是一种公式变用或逆用技巧.
例1 求值：（1）
cos20cos40cos60cos80
；
（2）
tan70tan103tan70tan10
。
【分 析】第（1）小题中，除
60
是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；
第（2）小题中两角差为
60
，而
3
是两角差的正切值，所以与两角差的正 切公式有关。
【简解】（1）原式＝
sin40sin80sin160sin1601
。
cos60
2sin202sin402sin8016sin2016
（2）原式＝
tan(7010)(1tan70tan10)3tan70tan 10
＝
3
。
n1
【反思】第（1）小题的一般性结论是： < br>cos

cos2

cos2
sin2
n



n
nN
*
.
2sin


例2 求证：
tanxtan2xtan2xt an3xtan

(n1)x

tannx
tannx< br>n
。
tanx
【分析】左边通项是两角正切的积，且两角差为定值，而在正 切的和、差角公式中出现
了两角正切的积，可尝试.
【简证】因为
tanxtan

kx

k1

x


ta nkxtan(k1)x
，
k2,3,4,,n

1tankxtan(k1)x
tankxtan(k1)x
1
，
tanx
tan2xtanxtan3xtan2xtan4xtan3xtannx tan(n1)x
左边=
n

tanxtanxtanxtanx
tannx
=
n

tanx
所以
tan(k1)xtankx
【反思】这 里通过“角变换”和公式变形得出裂项公式，然后累加消项，这也是数列求
和的一种常见技巧.
七、“辅助角变换”技巧
通常把
asinxbcosx
，其作
a
2
b
2
sin(x

)
叫做辅助角公式（也 叫化一公式）
用是把同角的正弦、余弦的代数和化为
yAsin


x


的形式，来研究其图象与性质. 尤
其是当
3
a


1
，
3
，

时，要熟记其变 换式，如
sinxcosx2(sin

x

，
4< br>
3
b



3sinxcosx2(sin

x

等.
6

例 求函数
y
1sinx
的值域.
3cosx
【分析】初看此题 ，似无从下手，若把分式变成整式，就出现了
asinxbcosx
，然
后利用三角 函数的有界性建立关于y的不等式.

【简解】由
y
1sinx< br>得
3yycosx1sinx
，所以
sinxycosx3y1< br>，
3cosx
从而
1y
2
sin(x
)3y1
，
其中辅助角

由
sin

 
y
1y
2
，
cos


1
1 y
2
决定.
所以，由
sin

x



3y1
1y
2
1
解得
0y
3
.
4
【反思】（1）解答本题的方法很多，比较多用的方法是类比斜率计算公式 ，把问题转化
为直线斜率问题，也有用万能置换后，转化为分式函数求解的.（2）辅助角公式的形成， 也
可以看成是“常数变换”的结果. 事实上，
asinxbcosx
=
a

sinx


b

cosx

，可设
a

b
tan

，再进行“切化弦”变换，就得 到了“化一公式”..
a
八、 “换元变换”技巧
有些函数，式子里同时出现sinxcosx
（或
sinxcosx
）与
sinxcosx，这时，可
t
2
11t
2
设
tsinxcos x
（或
tsinxcosx
），则
sinxcosx
（或sinxcosx
），
22
把三角函数转化为熟悉的函数来求解.
例1 求函数
y
sinxcosx





的值域．
x


0,



1sinxcosx


2


2
【分析】同时出现
sinxcosx
与
sinxcosx
时，可用

sinxcosx

12sinxcosx
.
【简解】 设
sinxcosxt
，因为
0x

2
，
t


2(sin

x

，所以
t (1,2]
，
4

t
2
1
又由

sinxcosx

12sinxcosx
得，
sinxco sx
，
2
2
t
2
1
sinxcosxt1
所以，
y
，

2

1sinxcosx1t2
由
t(1,2]
得，
0y
21
.
2
【反 思】（1）本题若不换元，则需要用到“添、凑、配”技巧，而怎样进行“添、凑、
配”，则是因题而异 ，无明显特征.；（2）引进“新元”后，一定要说明“新元”的取值
范围；（3）平方关系的变式
sinxcosx

12sinxcosx
应用广泛，如在解答 命题
2

“已知
sin

，
cos

是方程
xkxk10
的两根，求
k
的值．”时，关键步骤是
在运用韦达定理后，利用变式消元后求解。
例2 求证：
2
xyyzzxxyyzzx

。
1 xy1yz1zx1xy1yz1zx
【分析】所证等式中每个分式与两角差的正切相似， 而所证等式与三角形中的结论

tanAtanBtanCtanAtanBtanC
相似，从而尝试换元，利用三角知识证代数问题。
【简解】设
tan

x,tan

y,tan

z
，因为















，
所以
tan


< br>








< br>tan





，
tan
< br>



tan





tan





，
1tan





tan





变形整理得
tan




tan





tan

< br>


tan





tan





tan






所以，
tan

tan
tan

tan

tan

tan


1tan

tan

1tan
< br>tan

1tan

tan

tan
< br>tan

tan

tan

tan
< br>tan



1tan

tan
< br>1tan

tan

1tan

tan


即，
xyyzzxxyyzzx

1xy1yz1zx1xy1yz1zx
【反思】本题解法也体现了类比思维的作用， 若用常规方法处理，则运算十分繁琐.
九、 “万能置换”技巧
“万能置换”技巧，实际从 属于“名变换”技巧，其特征是用半角的正切值表示原角的
正弦、余弦与正切.
例 讨论函数
y
2x
的最大值与最小值.
2
1x
【分析】本题可通过求导或利用基本不等式求解. 但类比函数式的结构与万能置换公式
x
2
相同，于是问题得到转化.
sin x
x
1tan
2
2
2tan
t
t2x
2
sint
， 【简解】设
xtan



 t


，则
y

t
2
1x
2
1tan
2
2


当且仅当
t
也就 是
xtan1
时，
y
max
1
，
242tan
当且仅当
t

2
也就是
xtan






1
时，
y
m in
1
.

4


【反思】（1）当问 题条件中出现单角的正切与倍角三角函数问题时，可考虑使用万能置
换公式；（2）运用万能置换技巧既 可以把代数问题转化成三角函数问题，也可以把三角问题
转化为代数问题，如例11中，可设
t tan
x
1sinx
，则
y
2
3cosx
tan
2
xx
2tan1
22
，即
x
2t an
2
4
2
t
2
2t1
y
，然后 可用判别式法求解.
2
2t4
最后还要指出，这里介绍的所谓技巧只是解决问题时 关键步骤的一种特定的做法，每一
个问题的解决常常伴随着几种技巧的综合运用，所以，只有准确理解三 角公式的内在关系及
其基本功能，善于发现问题中角、名、结构的差异，准确地选择转换策略，化异为同 ，才能
准确有效地运用三角恒等变换的常用技巧解决问题.