教师节古诗-宿舍管理总结

5.5.2 简单的三角恒等变换
学 习 目 标

1.能用二倍角 公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式
导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等 变换的基本思
想方法，以及进行简单的应用．(重点)
2.了解三角恒等变换的特点、变换技 巧，掌握三角恒等变换的基本
思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角
恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)
核 心 素 养
1.通过公式的推导，培
养逻辑推理素养.
2.借助三角恒等变换的
简单应用，提升数学运
算素养.


半角公式
(1)sin＝±
2
(2)cos＝±
2
(3)tan＝±
2
α
α
α
1－cos
α
，
2
1＋cos
α
，
2
1－cos
α
，
1＋cos
α
sin sin·2cos
222
α
sin
α
(4)tan＝＝＝，
2
ααα
1＋cos
α
coscos·2cos
222< br>sinsin·2sin
222
1－cos
αα
tan＝＝＝.
2
ααα
sin
α
coscos·2sin
222

1．已知180°＜
α
＜360°，则cos的值等于( )
2
A．－
C．－
1－cos
α

2
1＋cos
α

2
B.
D.
1－cos
α

2
1＋cos
α

2
ααα
ααα
α
C [∵180°＜
α
＜360°，∴90°＜＜180°，
2
α
- 1 -

又cos
2
α
1＋cos
α
＋cos
α
2
＝
2
，∴cos
α
＝－
1
2
.]
2．已知cos
α
＝
3
5
，
α
∈


3π

2
，2π



，则sin
α
2
等于( )
A.
5
5
B．－
5
5
C.
4
5
D.
25
5

A [由题知
α

3π
αα
1－cos
α
5
2
∈


4
，π



，∴si n
2
>0，sin
2
＝
2
＝
5
.]
3．已知2π＜
θ
＜4π，且sin
θ
＝－
3
θ
5
，cos
θ
＜0，则tan
2
的值等于________．
－3 [由sin
θ
＝－
3
5
，cos
θ
＜0得cos
θ
＝－
4
5
，
θθθ
∴tan
θ
sin
2
2sin
2
cos
2
2
＝
co s
θ
＝＝
sin
θ
2
θ
1＋cos
θ

2
2cos
2
－
3
＝
5
＝－3.] 1＋


4

－
5


< br>
化简求值问题

【例1】 (1)设5π＜
θ
＜6π，c os
θθ
2
＝
a
，则sin
4
等于( )
A.
1＋
a
2
B.
1－
a
2

C．－
1＋
a
2
D．－
1－
a
2

(2)已知π<
α
<
3π
2
，化简：
1＋sin
α
1－sin
α
1＋cos
α
－1－cos
α
＋
1＋cos
α
＋1－cos
α
.
1－cos
θ
[思路点拨] (1)先确定
θ
4
的范围，再 由sin
2
θ
2
4
＝
2
得算式求值．
(2)1＋cos
θ
＝2cos
2
α
2
，1－cos
α
＝ 2sin
2
α
，去根号，确定
α
22
的范围，化简．
- 2 -

(1)D [∵5π＜
θ
＜6π，∴
又cos＝
a
，
2
1－ cos
2
θ

5π
θ

5π3π

，3π

，
2
∈


2

，< br>4
∈

4

2


.
θ
θ
2
＝－
1－
a
.]
2
∴sin＝－
4
(2)[解] 原式＝
θ

s in
α
＋cos
α

2

sin
α
－cos
α

2

22

22
< br>
＋.
αααα

2

cos

－2

sin

2

cos

＋2

sin

2

2

2
2

3ππ
α
3π
αα
∵π＜α
＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，
222422

sin< br>α
＋cos
α

2

22

< br>∴原式＝＋
αα

－2

sin＋cos

22

ααα

sin
α
－cos
α

2

22



αα

2

sin－cos

22

sin＋cossin－co s
2222
α
＝－＋＝－2cos.
2
22

1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过 拆、凑等手段消除角之间
的差异，合理选择联系它们的公式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3 )变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开
方等．
2．利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
α
α
sin
α
1－cos
α
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角
21＋cos
α
sin
α
公式的正、余弦值时，常利用sin
(4)下结论：结合(2)求值．
提醒：已知cos
α
的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．
2
- 3 -
2
α
1－cos
α
2
＝
2
，cos
2
α
1＋cos
α
2
＝
2
计算．
α

3
θ
1．已知cos
θ
＝－，且180°<
θ
<270°，求tan .
52
[解] 法一：∵180°<
θ
<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，∴tan <0，
222
θθθ
1－


3
∴tan
θ
1－cos
θ

－
5



2
＝－
1＋cos
θ
＝－＝－2.
1＋

3

－
5



法二：∵180° <
θ
<270°，即
θ
是第三象限角，
∴sin
θ＝－1－cos
2
θ
＝－1－
9
25
＝－
4< br>5
，
1

3

∴tan
θ
1－cos
θ
－


－
5


2
＝
sin
θ
＝＝－2.
－
4
5
三角恒等式的证明

【例2】 求证：
c os
2
α
1
1
α
＝
4
sin 2
α
.
tan
α
－tan
2
2
[思路点拨] 法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；
法二：cos
2
α
不变，直接用二倍角正切公式变形．
[证明] 法一：用正弦、余弦公式．
左边＝
cos
2
α
cos
αα

2
sin
2
sin
α
－
α
2
cos
22
αα
2
cos
α
sincos
＝
cosα
＝
22

cos
2
α
2
－sin< br>2
α
2
cos
2
α
2
α
2
－sin
2
sin
αα
2
cos
2
cos
2
α
sin
αα
＝
2
cos
2
cos
α
＝sin
α
2
cos
α
2
cos
α

- 4 -

11
＝sin
α
cos
α
＝sin 2
α
＝右边，
24
∴原式成立．
法二：用正切公式．
cos
α
tan 2tan
2
1
2
2
111
2
左边＝＝cos
α
·＝cos
α
·tan
α
＝cos
α
sin
α
＝sin 2
α
2224
2
α
2
α
1－tan1－tan
22
＝右边，
∴原式成立．

三角恒等式证明的常用方法
1执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
3拼凑法：针对题设和结论之间的 差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简
言之，即化异求同；
4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”；
5分析法：从被证明 的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显
的事实为止，就可以断定原等式成立.

2．求证：
2sin
x
cos
x
1＋cos
x
＝.
sin
x
＋cos
x
－1sin
x
－cos
x
＋1sin
x
[证明] 左边＝
2sin
x
cos
x
2< br>αα

2sincos－2sin2sincos＋2sin

22 2

222


22
2
xxx

xxx


＝
2sin
x
cos
x< br>2
4sin

cos－sin

22

2< br>
＝
sin
x
2sin
cos
＝
2
x

2
xx


x

2
1＋cos
x
＝右边．
xx
sin
x2sincos
22
＝
2cos
2
x
2
＝x
2
sin
2
x
所以原等式成立．
- 5 -

恒等变换与三角函数图象性质的综合

π

【例3】 已知函数
f
(
x
)＝3cos< br>
2
x
－

－2sin
x
cos
x
.
3

(1)求
f
(
x
)的最小正周期．
1

ππ

(2)求证：当
x
∈

－，

时，
f
(
x
)≥－.
2

44

2π
[思路点拨] 化为
f

x
＝
A
sin
ωx
＋
φ
＋
b
→由
T
＝求周期→
|
ω
|
ππ
< br>－，

上的分析
f

x
在

< br>44

→求最小值证明不等式
单调性
π

331< br>
[解](1)
f
(
x
)＝3cos

2< br>x
－

－2sin
x
cos
x
＝cos 2
x
＋sin 2
x
－sin 2
x
＝sin 2
x
3

222

＋
π

32π

cos 2
x
＝sin

2
x
＋

，所以
T
＝＝π.
3

22

πππ
(2)证明：令
t
＝2
x
＋，因为－≤
x
≤，
344
ππ5π
所以－≤2
x
＋≤，
636
< br>ππ

π5π

因为
y
＝sin
t在

－，

上单调递增，在

，

上 单调递减，
6

62

2
1

π< br>
所以
f
(
x
)≥sin

－
< br>＝－，得证．
2

6


三角恒等变换与三角函数 图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍
角公式将函数关系式化成
y
＝
a
sin
ωx
＋
b
cos
ωx
＋
k
的形式，借助辅助角公式化为
y
＝
A
sin
ω x
＋
φ
＋
k
或
y
＝
A
cos 
ωx
＋
φ
＋
k
的形式，将
ωx
＋< br>φ
看作一个整体研究函数的性质.

π

π
< br>2

3．已知函数
f
(
x
)＝3sin
< br>2
x
－

＋2sin

x
－
(
x
∈R)．
6

12

(1)求函数
f
(
x
)的最小正周期；
(2)求使函数
f
(
x
)取得最大值的
x
的集合．
π

π

2

[解] (1)∵
f(
x
)＝3sin

2
x
－

＋2s in

x
－


6

12

- 6 -


π

π

＝3sin

2

x
－

＋1－cos

2

x
－



12

12


< br>3

π

＝2

sin

2
x
－


12


2


1

π


－cos
2

x
－


＋1
2

12



π

π

＝ 2sin

2

x
－

－

＋1


12

6

π

2π

＝2sin

2
x
－

＋1，∴
T< br>＝＝π.
3

2

(2)当
f
(
x
)取得最大值时，
π

sin

2
x
－

＝1，
3

ππ5π
有2
x
－＝2
k
π＋，即
x
＝
k
π＋(
k
∈Z)，
3212
< br>

5π
∴所求
x
的集合为

x

x
＝
k
π＋，
k
∈Z
12

< br>




.



三角函数在实际问题中的应用

[探究问题]
1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？
提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影
响．
2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？
提示：化成
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)＋
b
的形式．

【例4】 如图所示，要把半径为
R
的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△
OAB
的周长最大？
[思路点拨] 设∠
AOB
＝
α
→建立周长
l

α
→求
l
的最大 值
[解] 设∠
AOB
＝
α
，△
OAB
的周长为
l
，则
AB
＝
R
sin
α
，
OB
＝
R
cos
α
，
∴
l
＝
OA
＋
AB
＋
OB

＝
R
＋
R
sin
α
＋
R
cos
α

＝
R
(sin
α
＋cos
α
)＋
R

π

＝2
R
sin

α
＋

＋
R
.
4

- 7 -

πππ3π
∵0<
α
<，∴<
α
＋<， < br>2444
πππ
∴
l
的最大值为2
R
＋
R< br>＝(2＋1)
R
，此时，
α
＋＝，即
α
＝，
424
π
即当
α
＝时，△
OAB
的周长最大．
4

1．在例4条件下，求长方形面积的最大值．

π

[解] 如图所示，设∠
AOB
＝
α< br>
α
∈

0，

，则
AB
＝R
sin
α
，
OA
2

＝
R
cos
α
.
设矩形
ABCD
的面积为
S
，则
S
＝2
OA
·
AB
，
∴
S
＝2
R
cos
α
·
R
sin
α
＝
R
·2sin
α
cos
α
＝
R
sin 2
α
. 22

π

∵
α
∈

0，

，∴2
α
∈(0，π)．
2

π
因此，当2
α
＝，
2
π
2
即
α
＝时，
S
max
＝
R
.
4
这时点
A
，
D
到点
O
的距离为
22
R
，
2
矩形
ABCD
的面积最大值为
R
.
π
2．若例4中的木料改为圆心角为的扇形，并将此木料截成矩形，(如
3
图所示)，试求此矩形 面积的最大值．
[解] 如图，作∠
POQ
的平分线分别交
EF
，
GH
于点
M
，
N
，连接
OE
，

π

设∠
MOE
＝
α
，
α
∈< br>
0，

，在
6

Rt△
MOE
中，
ME
＝
R
sin
α
，
OM
＝
R
cos
α
，
NH
π
在Rt△
ONH
中，＝tan，
ON
6< br>得
ON
＝3
NH
＝3
R
sin
α
，
则
MN
＝
OM
－
ON
＝< br>R
(cos
α
－3sin
α
)，
设矩形
EFGH
的面积为
S
，
则
S
＝2
ME
·
MN
＝2
R
sin
α
(cos
α
－3sin
α
)
π

222
＝
R
(sin 2
α
＋3cos 2
α
－3)＝2
R
sin
2
α
＋

－3
R
，
3

- 8 -
2

ππ2π

π

由
α
∈

0，

，则＜2
α
＋＜，
6

333

ππ
所以当2
α
＋＝， < br>32
π
2
即
α
＝时，
S
max
＝( 2－3)
R
.
12

应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
1方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转
化为 三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
2注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借 助平面几何性质，寻找数量关系.②注意
实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响.
提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误.

1．学习三角 恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会
借助前面几个有限的公式来推 导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．研究形如
f
(
x
)＝
a
sin
x
＋
b
cos
x
的函数性质，都要运用辅助角公式化为一 个整体角
的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，< br>也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数
a
、
b
应熟练掌握．例如 sin
x
±cos
x
＝2

π

π

sin

x
±

；sin
x
±3cos
x
＝2sin

x
±

等.
4

3


1．思考辨析
(1)cos ＝
2
α
1＋cos
α
.( )
2
α
1
(2)存在
α
∈R，使得cos ＝cos
α
.( )
22
α
1
(3)对于任意
α
∈R，sin ＝sin
α
都不成立．( )
22
(4)若
α
是第一象限角，则tan ＝
2
α
1－cos
α
.( )
1＋cos
α
π
α
π
[提示] (1)×.只有当－＋2
k
π ≤≤＋2
k
π(
k
∈Z)，即－π＋4
k
π≤
α< br>≤π＋
222
4
k
π(
k
∈Z)时，cos ＝
2

α
1＋cos
α
.
2
- 9 -

(2)√.当cos
α
＝－3＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．
(3)×.当
α
＝2
k
π(
k
∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．
(4)√.若
α
是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan ＝
22
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．若
f
(
x
)＝cos
x
－sin
x
在[0，
a
]是减函数，则
a
的最大值是( )
A.
ππ3π
B. C. D．π
424
αα
1－cos
α
成立．
1＋cos
α
ππππ
C [
f
(
x
)＝cos
x
－sin
x
＝2cos
x
＋.当
x
∈ [0，
a
]时，
x
＋∈，
a
＋，所以结合
4444
π3π3π
题意可知，
a
＋≤π，即
a
≤，故所求
a
的最大值是.故选C.]
444
3．函数
f
(
x
)＝sin
x
的最小正周期为________．
1－cos 2
x
2
π [因为
f
(
x
)＝sin
x
＝，
2
所以
f
(
x
)的最小正周期
T
＝
2π
＝π.]
2

4．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为
基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方
形(如图所示)．如果小正方 形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角
为
θ
，求cos 2
θ
.
2

π

[解] 由题意，5cos
θ
－5sin
θ
＝1，
θ
∈

0，

，
4

1
所以cos
θ
－sin
θ
＝.
5
由(cos
θ
＋sin
θ
)＋(cos
θ
－sin
θ
)＝2，
7
所以cos
θ
＋sin
θ
＝，
5
所以cos 2
θ
＝cos
θ
－sin
θ

＝(cos
θ
＋sin
θ
)(cos
θ
－sin
θ
)
＝



7
.
25
22
22
- 10 -

- 11 -