简单的三角恒等变换
元旦是哪一天-我们的节日手抄报
§3.2 简单的三角恒等变换
学习目标
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中
的三角恒等变换的基本思想方法.
2.了解三角
恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒
等变换对三角函数式
化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
知识点一 半角公式
α
sin ＝±
2
α
cos
＝±
2
α
tan ＝±
2
思考
半角公式对任意角都适用吗？
答案 不是，要使得式子有意义的角才适用．
知识点二
辅助角公式
辅助角公式：
b
其中tan θ＝
asin
x＋bcos x＝a
2
＋b
2
sin(x＋θ).
a<
br>
1－cos α
，
2
1＋cos α
，
2
1－cos α1－cos α
sin α
＝＝ .
sin
α
1＋cos α1＋cos α
1－cos
α
α
sin α
1．若α≠kπ，k∈Z，则tan
＝＝恒成立．( √
)
2
1＋cos α
sin α
2．辅助角公式asin x＋bcos
x＝
与点(a，b)同象限．( √ )
π
x＋
.( × )
3．sin x＋3cos x＝2sin
6
π
13
x＋
. 提示 sin x＋3cos x＝2
sin
x＋cos x
＝2sin
3
2
2
a
2
＋b
2
sin(x＋φ)，其中φ所在
的象限由a，b的符号决定，φ
题型一 应用半角公式求值
4
5πθθ
例1 已知sin θ＝，<θ<3π，求cos 和tan .
5222
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点
利用半角公式化简求值
4
5π
解 ∵sin
θ＝
，且
<θ<3π，∴cos
θ＝－
52
5πθ3πθ
∵<<
，∴cos
＝－
4222
θ
sin θ
tan
＝＝2.
2
1＋cos θ
反思感悟 利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知
三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公
式求解．
(2)明
范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半
角的范围．
1－cos α
α
sin
α
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan
＝＝，其优点是计算时可
2
1＋cos α
sin α
α
避
免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin
2
＝
2
1－cos α
α
1＋cos α
2
，cos＝计算．
222
(4)下结论：结合(2)求值．
跟踪训练1 已知cos
α＝
3
α
，α为第四象限角，则tan 的值为________．
32
3
1－sin
2
θ＝－
.
5
1＋cos θ
5
＝－
.
25
考点
利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
答案
2－6
2
α
解析 方法一
用tan ＝±
2
1－cos
α
来处理
1＋cos
α
αα
因为α为第四象限角，所以是第二或第四象限角．所以tan
<0.
22
1－cos α
＝－
1＋cos
α
3
3
3
1＋
3
1－
α
所以tan
＝－
2
＝－
1
＝－
2
1
2－3＝－
2
2
8－43
2－6
6－2
＝
.
2
1－cos
α
方法二
用tan
α
＝来处理
2sin
α
因为α为第四象限角，所以sin α<0.
所以sin
α＝－1－cos
2
α＝－
16
1－
＝－
.
33
3
1－
2－6
3
α
1－cos
α
所以tan ＝＝＝
.
2sin
α2
6
－
3
用tan
α
＝
sin
α
来处理
方法三
2
1＋cos
α
因为α为第四象限角，所以sin α<0.
所以sin
α＝－1－cos
2
α＝－
－
16
1－
＝－
.
33
6
－6
2－6
3
α
sin
α
所以tan ＝＝＝＝
.
2
1＋cos
α
2
3
3＋3
1＋
3
题型二 三角函数式的化简
2cos
2
α－1
例2 化简：.
ππ
2
2tan
4
－α
sin
4
＋α
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点
利用半角公式化简求值
2cos
2
α－1
解
ππ
2
2tan
4
－α
sin
4
＋α
＝
cos 2α
π
2cos
4
＋α
2
π
·si
n
4
＋α
π
sin
<
br>4
＋α
＝
cos 2αcos 2α
＝＝1.
π
cos 2α
sin
2
＋2α
反思感悟 三角函数式化简的要求、思路和方法
(1)化简的要求：①能求出
值的应求出值．②尽量使三角函数种数最少．③尽量使项数最少．④
尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使
被开方数不含三角函数．
(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角
分式，基本思路是
分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用
切化
弦、变量代换、角度归一等方法．
αα
sin ＋cos
1－sin α－cos
α
2
2
跟踪训练2 化简：(－π<α<0)．
2－2cos α
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点
利用半角公式化简求值
解
原式＝
2sin
2
α
－2sin
α
cos
α
sin
α
＋cos
α
222
22
α
2×2sin
2
2
αααα
α
sin
－cos
sin
＋cos
2sin
2
22
2
2
＝
α
2
sin
2
αα<
br>αα
sin
2
－cos
2
－sin
cos αsin
22
2
2
＝＝
.
αα
sin
sin
2
2
πα
因为－π<α<0，所以－
<<0，
22
α
－sin
cos α
2
α
所以sin
<0，所以原式＝
＝cos α.
2
α
－sin
2
题型三 三角函数式的证明
1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin
4θ＋cos 4θ
例3 求证：＝.
2tan
θ
1－tan
2
θ
考点 三角恒等式的证明
题点
三角恒等式的证明
1＋sin 4θ－cos 4θ
2tan θ
证明
要证原式，可以证明
＝
.
1＋sin 4θ＋cos
4θ1－tan
2
θ
sin 4θ＋1－cos
4θ
∵左边＝
sin 4θ＋1＋cos 4θ
＝
2sin 2θcos 2θ＋2cos
2
2θ
＝tan 2θ，
2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ
2sin 2θcos 2θ＋sin
2θ
2sin 2θcos 2θ＋2sin
2
2θ
＝
2tan
θ
右边＝＝tan 2θ，
1－tan
2
θ
∴左边＝右边，
∴原式得证．
反思感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、
左右归一或
变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，<
br>也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的
代换
法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
1＋cos
x
2sin xcos x
跟踪训练3 求证：＝.
sin x
sin
x＋cos x－1sin x－cos x＋1
考点 三角恒等式的证明
题点
三角恒等式的证明
证明 左边＝
2sin xcos x
2sin
x
cos
x
－2sin
2
x
2sin
x
cos
x
＋2sin
2
x
222
222
＝
2si
n xcos x
x
x
2
x
22
4sin
cos
2
－sin
2
2
xx
cos 2cos
2
22
sin x
＝＝＝
xxxx
2sin
2
sin 2sin cos
2222
＝
1＋cos x
＝右边．所以原等式成立．
sin
x
题型四 辅助角公式的应用
ππ
2x－
＋2sin
2
x－
(x∈R)． 例4 已知函数f(x)＝3sin
<
br>6
12
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
考点
简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
ππ
2x
－
＋2sin
2
x－
解 (1)∵f(x
)＝3sin
6
12
x－
π
＋1－cos
2
x－
π
＝3sin
2
12
12
＝2
x－
π
－
1
cos
2
x－
π
sin
2
12
2
12
＋1
2
3
π
π
x－
－
＋1 ＝2sin
2
<
br>
12
6
π
2x－
＋1，
＝2sin
3
2π
∴f(x)的最小正周期为T＝
＝
π.
2
π
2x－
＝1，
(2)当f(x)取得最大值
时，sin
3
ππ5π
有2x－＝2kπ＋
(k∈Z
)，即x＝kπ＋(k∈Z)，
3212
5π
x＝kπ＋
，k∈Z
.
∴所求x的集合为
x
12
反思感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函
数，这是解决问题的前提．
(2)解此类题时要充分运用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式、二
倍角公式、辅助角转换公
式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，以便于讨论函数性质．
π
π
－x
，g(x)＝
1
sin
2x－
1
.
＋x
·跟踪训练4 已知函数f(x)＝cos
cos
3
3
24
(1)求函数f(x
)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合．
考点 简单的三角恒等变换的综合应用
题点 辅助角公式与三角函数的综合应用
13
1
cos x＋
3
sin x
解 (1)f(x)＝
cos x－sin x
·
22
2
2
13
＝
cos
2
x
－sin
2
x
44
1＋cos 2x31－cos
2x
＝－
88
11
＝
cos
2x－
，
24
2π
∴f(x)的最小正周期为T＝
＝π.
2
11
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
22
＝
π
2
cos
2x＋
4
，
2
ππ
2
当2x＋＝2kπ(k∈Z)，即x＝
kπ－
(k∈Z)时，h(x)有最大值.
482
π
x＝kπ－
，k∈Z
.
此时x的集合为
x
8
利用半角公式化简求值
7
典例
已知等腰三角形的顶角的余弦值为，则它的底角的余弦值为( )
25
3314
A. B. C. D.
4525
考点
简单的三角恒等变换的综合应用
题点 三角恒等变换与三角形的综合应用
答案 B
7
解析 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝.
25
πα
παα
－
＝sin ＝又β＝－，所以cos
β＝cos
22
222
7
1－
25
3
＝，故选B.
25
[素养评析] 从实际问题提炼出等腰三角形底角、顶
角间的关系，利用半角公式进行恒等变
换化简，进而求值，这正是数学核心素养数学抽象
的具体体现.
1
α
1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos
的值为( )
32
A.
6663
B．－ C．± D．±
3333
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
答案 A
π
ααα
0，
，∴cos
>0，cos
＝
解析
由题意知∈
2
2
22
1＋cos
α
6
＝
.
23
37
θ
2．已知sin
θ＝－，3π<θ<
π，则tan
的值为( )
522
11
A．3 B．－3 C. D．－
33
考点
利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
答案 B
7π
3
解析 ∵3π<θ<
，sin θ＝－，
25
4
θ
sin θ
∴cos θ＝－
，tan
＝＝－3.
52
1＋cos θ
α
3．已知2sin α＝1＋cos
α，则tan 等于( )
2
1
A.
2
C．2
1
B.或不存在
2
D．2或不存在
考点
利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
答案 B
ααα
解析 2sin α＝1＋cos α，即4sin cos
＝2cos
2
，
222
αα
当cos ＝0时，tan
不存在，
22
αα
1
当cos
≠0时，tan
＝
.
222
2sin
2αcos
2
α
4．化简·的结果为( )
1＋cos
2α
cos 2α
A．tan α B．tan 2α C．1 D．2
考点
利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用半角公式化简求值
答案 B
2sin 2αcos
2
α
解析 原式＝·
＝tan 2α.
2cos
2
α
cos
2α
5．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(
)
πππ2π
A. B. C. D.
6323
考点
利用简单的三角恒等变换化简求值
题点 利用辅助角公式化简求值
答案 D
解析
f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)
π
2x＋
＋θ
. ＝2sin
3
2
当θ＝
π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x是奇函数．
3
CA3
6．已知在△ABC中，sin A·cos
2
＋sin
C·cos
2
＝sin B，求证：sin A＋sin C＝2sin B.
222
考点 三角恒等式的证明
题点 三角恒等式的证明
CA3
证明 由sin A·cos
2
＋sin
C·cos
2
＝
sin B，
222
1＋cos C1＋cos
A
3
得sin A·＋sin C·＝
sin B，
222
即sin A＋sin C＋sin A·cos C＋sin C·cos
A＝3sin B，
∴sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B，
∴sin A＋sin C＋sin(π－B)＝3sin B，
即sin A＋sin
C＋sin B＝3sin B，
∴sin A＋sin C＝2sin B.
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助
前面几个有
限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式asin
x＋bcos x＝
b
②tan φ＝
或sin φ＝
a
b
a
2
＋b
2
sin(x＋φ)，其中φ满足
： ①φ与点(a，b)同象限；
a
2
＋b
2
，cos
φ＝
.
a
2
＋b
2
a
3．研究形如f(x)＝asin
x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函
数或余弦函数的形式．因此
辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高
考常考的考点之一．对一些特殊的系数a
，b应熟练掌握，
π
x±
； 例如sin x±cos
x＝2sin
4
π
x±
等．
sin x±3cos x＝2sin
3