幼儿园教室墙壁布置-英文短信

.
简单的三角恒等变换

[学习目标] 1.能用二倍角公式导出 半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的基
本思想方法，以及进行简单的应用.2.了解两角 和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差
化积公式的基本方法．理解方程思想、换元思想在整个变换 过程中所起的作用.3.了解三角恒
等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利 用三角恒等变换对三角
函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．

知识点一 半角公式及其推导
α
(1)
S

：sin ＝±
2
2
1－cos α
；
2
1＋cos α
；
2
1－cos α
(无理形式)
1＋cos α
α
(2)
C

：cos ＝±
2
2
α
(3)
T

：tan ＝±
2
2
sin α1－cos α
＝＝(有理形式)．
1＋cos αsin α
ααα
思考1 试用cos α表示sin 、cos 、tan .
222
2
α
2
α
2
α
答案 ∵cos α＝cos－sin＝1－2sin，
222
1－cos α
2
α
2
α
∴2sin＝1－cos α，∴sin＝，
222
α
∴sin ＝±
2
1－cos α
；
2
1＋cos α
2
α
2
α
∵cos α＝2cos－1，∴cos＝，
222
α
∴cos ＝±
2
sin
2
1＋cos α
；
2
α
1－cos α
22
1－cos α
2
α
∵tan＝＝＝，
21＋cos α1＋cos α
2
α
cos
2
2
.

.
α
∴tan ＝±
2
1－cos α
.
1＋cos α
sin α1－cos α
α
思考2 证明tan ＝＝.
21＋cos αsin α
αα
2sin cos
22
sin α
α
证明 ∵＝＝tan ，
1＋cos α2
2
α
2cos
2
sin α
αα
1－cos α
∴tan ＝，同理可证tan ＝.
21＋cos α2sin α
sin α1－cos α
α
∴tan ＝＝.
21＋cos αsin α

知识点二 辅助角公式
a
sin
x
＋
b
cos
x
＝
a
＋
b
·sin(
x
＋φ)
使
a
sin
x
＋
b
cos
x
＝
a
＋
b
sin(
x
＋φ)成立时，cos φ＝
22
22
a
a
2
＋
b
2
，sin φ＝< br>b
a
2
＋
b
2
，其中φ称为
辅助角，它的终 边所在象限由点(
a
，
b
)决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重 要
的应用．
π
思考1 将下列各式化成
A
sin(ω
x< br>＋φ)的形式，其中
A
>0，ω>0，|φ|<.
2
π
(1)sin
x
＋cos
x
＝2sin

x
＋
4

；




π
(2)sin
x
－cos
x
＝2sin

x
－
4

；
π
(3)3sin
x
＋cos
x
＝2sin

x
＋
6

；








π
(4)3si n
x
－cos
x
＝2sin

x
－
6

；
π
(5)sin
x
＋3cos
x
＝2sin

x
＋
3

；
π
(6)sin
x
－3cos
x
＝2sin

x
－
3

.
思考2 请写出把
a
sin
x
＋
b
cos
x
化成
A
sin(ω
x
＋φ)形式的过程．
答案
a
sin
x
＋
b
cos
x


a
sin
x
＋
b
cos
x

＝
a
＋
b

2


2
a
2
＋
b
2

a
＋
b

22
＝
a
＋
b
(sin
x
cos φ＋cos
x
sin φ)
22
.

.
＝
a
＋
b
sin(
x
＋φ)
(其中sin φ＝
22
b
a
2
＋
b
2
，cos φ＝
a
a
2
＋
b
2
)．

题型一 半角公式的应用
1
ααα
例1 已知cos α＝，α为第四象限角，求sin 、cos 、tan .
322
1－
1
解 sin
α
＝±
1－cos α
3
22
＝±
2
＝±
3
3
，
1＋
1
cos
α
＝±
1＋cos α
3
22
＝±
2
＝±
6
3
，
1－
1
tan
α
＝±
1－cos α
3
21＋cos α
＝±
1＋
1
＝±
2
2
.
3
∵α为第四象限角，∴
α
2
为第二、四象限角．
当
α
2
为第二象限角时，
sin
α
36
2
＝
3
，cos
α
2
＝－
3
，tanα
2
＝－
2
2
；
当
α
2
为第四象限角时，
sin
α
362
2
＝－
3
，cos
α
2
＝
3
，tan< br>α
2
＝－
2
.

跟踪训练1 已知sin θ＝
45π
θθ
5
，且
2
<θ<3π，求cos
2
和tan
2
.
解 ∵sin θ＝
4
5
，
5π
2
<θ<3π，
∴cos θ＝－1－sin
2
θ＝－
3
5
.
由cos θ＝2cos
2
θ
2
θ
1＋cos θ1
2
－1得cos
2
＝
2
＝
5
.
.
2

.
5π
θ
3
∵<<
π.
422
θ
∴cos ＝－
2
1＋cos θ5
＝－.
25
θθθ
sin 2cos sin
222
sin θ
θ
tan ＝＝＝＝2.
θ
21＋cos θ
2
θ
cos 2cos
22



题型二 三角恒等式的证明
例2 (1)求证：1＋2cos
θ－cos 2θ＝2.
2sin
x
cos
x
1＋cos
x
(2)求证：＝.
(sin
x
＋cos
x
－1)(sin
x
－cos
x
＋1)sin
x
证明 (1)左边＝1＋2cos
θ－cos 2θ
1＋cos 2θ
＝1＋2×－cos 2θ
2
＝2＝右边．
所以原等式成立．
(2)原式＝

(2sin cos －2sin)(2sin cos ＋2sin)
222222
2sin
x
cos
x
2
2
2
xxxxx
2
x
2sin
x
cos
x
＝
2
x
2
x
2< br>x
4sin(cos－sin)
222
cos 2cos
22
sin
x
＝＝＝
xxx
2
x
2sinsin 2sin cos
2222
1＋cos
x
＝＝右边．
sin
x
所以原等式成立．

sin 4
x
cos 2
x
cos
xx
跟踪训练2 证明：
··
＝tan .
1＋cos 4
x
1＋cos 2
x
1＋cos
x
2
x
2
x
.

.
2sin 2
x
cos 2
x
cos 2
x
cos
x
证明 左边＝
··

2
2cos2
x
1＋cos 2
x
1＋cos
x
sin 2
x
cos
x
2sin
x
cos
x
cos
x
＝
·
＝
·

2
1＋cos 2
x
1＋cos
x
2cos
x
1＋cos
x
2sin cos
22
sin
x
＝＝
1＋cos
x
2
x
2cos
2
＝tan ＝右边．
2
所以原等式成立．



题型三 与三角函数性质有关的综合问题
ππ
例3 已知函数
f
(
x
)＝cos(＋
x
)cos(－
x
)，
g
(
x< br>)＝
33
11
sin 2
x
－.
24
(1)求函数
f
(
x
)的最小正周期；
(2 )求函数
h
(
x
)＝
f
(
x
)－
g
(
x
)的最大值，并求使
h
(
x
)取得最大值的
x
的集合．
1313
解 (1)
f
(
x
)＝(cos
x
－sin
x
)(cos
x
＋sin
x
)
2222
1
2
3
2
1＋cos 2
x
3(1－cos 2
x
)
＝cos
x
－sin
x
＝－
4488
11
＝cos 2
x
－，
24
2π∴
f
(
x
)的最小正周期
T
＝＝π.
211
(2)
h
(
x
)＝
f
(
x
)－
g
(
x
)＝cos 2
x
－sin 2
x

22
＝
2
π
cos(2
x
＋)，
24< br>xx
x
2
π
当2
x
＋＝2
k
π(< br>k
∈Z)时，
h
(
x
)有最大值.
42
π
此时
x
的取值集合为{
x
|
x
＝
k
π－，
k
∈Z}．
8
.

.

跟踪训练3 如图所示，要把半径为
R
的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使 △
OAB
的周长最大？
解 设∠
AOB
＝α，△
OAB
的周长为
l
，
则
AB
＝
R
sin α，
OB
＝
R
cos α，
∴
l
＝
OA
＋
AB
＋
OB

＝
R
＋
R
sin α＋
R
cos α
＝
R
(sin α＋cos α)＋
R

π
＝2
R
sin(α＋)＋
R
.
4
πππ
3π
∵0<α<，∴<α＋<.
2444
∴l
的最大值为2
R
＋
R
＝(2＋1)
R
，
πππ
此时，α＋＝，即α＝，
424
π
即当α＝时，△
OAB
的周长最大．
4


构建三角函数模型，解决实际问题

例4 如图，
ABCD
是一块边长为100 m的正方形地皮，其中
AST
是半径
为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开 发商想在平地上建一个矩
形停车场，使矩形的一个顶点
P
在
ST
上， 相邻两边
CQ
、
CR
正好落在正
方形的边
BC
、< br>CD
上，求矩形停车场
PQCR
面积的最大值和最小值．
分析 解答 本题可设∠
PAB
＝θ并用θ表示
PR
、
PQ
.根据
S
矩形
PQCR
＝
PQ
·
PR
列出关于θ的函数
式，求最大值、最小值．
解 如图连接
AP
，设∠
PAB
＝θ(0°≤θ≤90°)，延长
RP
交
AB
于
M
，
则
AM
＝90cos θ，
MP
＝90sin θ.
所以
PQ
＝
MB
＝100－90cos θ，
PR
＝
MR
－
MP
＝100－90sin θ.
所以
S
矩形
PQCR
＝
PQ
·
PR

＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)
＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
.

.
令
t
＝sin θ＋cos θ(1≤
t
≤2)，
则sin θcos θ＝
t
2
－1
2
.
所以
S
矩形
PQCR
＝10 000－9 000
t
＋8 100·
8 10010
2
＝(
t
－)＋950.
29
t
2
－1
2

10
2
故当< br>t
＝时，
S
矩形
PQCR
有最小值950 m；当
t
＝2时，
S
矩形
PQCR
有最大值(14 050－9 0002)
9
m.


2

1
α
1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为( )
32
A.
6663
B．－ C．± D．±
3333
2．下列各式与tan α相等的是( )
A.
1－cos 2α

1＋cos 2α


sin α
B.
1＋cos α

1－cos 2α
D.
sin 2α
sin α
C.
1－cos 2α
π
x

3．函数
f
(
x
)＝2sin sin

－

的最大值等于( )
2

32

x
13
A. B. C．1 D．2
22
3π1＋sin α
4．已知π<α<，化简＋
2
1＋cos α－1－cos α
.
1＋cos α＋1－cos α




1－sin α
.

.







5．求函数
f
(
x
)＝3sin(
x
＋ 20°)＋5sin(
x
＋80°)的最大值．














一、选择题
1．已知180°<α<360°，则cos
α
2
的值等于( )
A．－
1－cos α1－cos α
2
B.
2

C．－
1＋cos α

1＋cos α
2
D.
2

2．使函数
f
(
x
)＝sin(2
x
＋θ)＋3cos(2
x
＋θ)为奇函数的θ的一个值是(
A.
ππ
2π
6
B.
3
C.
π
2
D.
3

.
)

.
3．已知cos α＝
4
5
，α∈(
3
2
π，2π)，则sin
α
2
等于( )
A．－
10
10
B.
10
10
C.
33
10
3 D．－
5

4．函数
f
(
x
)＝sin
4
x
＋cos
2
x
的最小正周期是( )
A.
π
4
B.
π
2
C．π D．2π
5．设
a
＝
1
cos 6°－
3
sin 6°
1－cos 50°
22
，
b
＝2sin 13°cos 13°，
c
＝
2
，则有(
A．
c
<
b
<
a
B．
a
<
b
<
c

C．
a
<
c
<
b
D．
b
<
c
<
a

1＋tan
α
6．若cos α＝－
4
5
，α是第三象限的 角，则
2
1－tan
α
等于( )
2
A．－
1
2
B.
1
2
C．2 D．－2

二、填空题
7．函数
f
(
x
)＝sin(2
x< br>－
π
2
4
)－22sin
x
的最小正周期是____ __．
8．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.
9．已知等腰三角形顶角的余弦值为
4
5
，则底角的正切值为________．
10．sin
2
20°＋sin 80°·sin 40°的值为________．



三、解答题
11．已知函数
f
(
x
)＝4cos
x
sin< br>
π

x
＋
6


－1.
(1)求
f
(
x
)的最小正周期；
(2)求
f< br>(
x
)在区间

ππ

－
6
，4


上的最大值和最小值．


.
)

.






43< br>π
π
12．已知sin

α＋
3

＋sin α＝－，－<α<0，求cos α的值．
52










1
ππ
2
13．已知函数
f
(
x
)＝(1＋)sin
x
－2sin< br>
x
＋
4

sin

x
－
4

.
tan
x

(1)若tan α＝2，求
f
(α)；
ππ
(2)若
x
∈
12
，
2

，求
f
(
x
)的取值范围 ．









当堂检测答案
1．答案 A
.

.
απαα
解析 由题意知∈(0，)，∴cos >0，cos ＝
2222
2．答案 D
1－cos 2α2sin
α
sin α
解析 ＝＝＝tan α.
sin 2α2sin αcos αcos α
3．答案 A
2
1＋cos α6
＝.
23
x
x

ππ
x

解析 ∵
f
(
x
)＝2sin

sin cos －cos sin


232

2

3
＝
331－cos
x
2
x
sin
x
－sin＝sin
x
－
2222
311
π

1

x
＋
＝sin
x
＋cos
x
－＝sin－.
222

6

2
1
∴
f
(
x)
max
＝.
2
αα
2
(sin ＋cos )
22
4．解 原式＝
αα
2|cos |－2|sin |
22
αα
2
(sin －cos )
22
＋，
αα
2|cos |＋2|sin |
22
3π
πα
3π
∵π<α<，∴<<，
2224
αα
∴cos <0，sin >0.
22
αα
2
αα
2
(sin ＋cos )(sin －cos )
2222
∴原式＝＋
αααα
－2(sin ＋cos )2(sin －cos )
2222
αααα
sin ＋cos sin －cos
2222
α
＝－＋＝－2cos .
2
22
5．解 3sin(
x
＋20°)＋5sin(
x
＋80°)
＝3sin(
x
＋20°)＋5sin(
x
＋20°)cos 60°＋5cos(
x
＋20°)sin 60°
1153
＝sin(
x
＋20°)＋cos(
x
＋20°)
22
＝

11

2
＋

53
2
sin(
x
＋20°＋φ)

2

2



.

.
＋φ
)
＝7sin
(
x
＋20°
1153
其中cos φ＝，sin φ＝.
1414
所以
f
(
x
)
max
＝7.

课时精练答案
一、选择题
1．答案 C
2．答案 D
解析
f
(
x
)＝sin(2
x
＋θ)＋3cos (2
x
＋θ)
π
＝2sin

2
x
＋< br>3
＋θ

.

2
当θ＝
π时，
f
(
x
)＝2sin(2
x
＋π)＝－2sin 2
x
.
3
3．答案 B
α
3
解析 由题意知∈(
π，π)，
24
αα
∴sin >0，sin ＝
22
4．答案 B
解析 ∵
f
(
x
)＝sin
x
＋1－sin
x

＝sin
x
－sin
x
＋1＝－sin
x
(1－s in
x
)＋1
1
222
＝1－sin
x
cos< br>x
＝1－sin2
x

4
11－cos 4
x
17
＝1－×＝cos 4
x
＋，
4288
2π
π
∴
T
＝＝.
42
5．答案 C
解析
a
＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
4222
42
1－cos α10
＝.
210
b
＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，
c
＝sin 25°，
y
＝sin
x
在[0，]上是递增的．
π
2
.

.
∴
a
<
c
<
b
.
6．答案 A
43
解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－，∴sin α＝－.
55
α
sin
2
1＋
α
ααα
cos
1＋tancos ＋sin
2
222
∴＝＝
αααα
1－tansincos－si n
2222
1－
α
cos
2
αααα
cos＋si ncos＋sin
2222
＝
·

αααα
cos－sin cos＋sin
2222
3
1－
5
1＋sin α1
＝＝＝－.
cos α42
－
5
二、填空题
7．答案 π
解析 ∵
f
(
x
)＝
22
sin 2
x
－cos 2
x
－2(1－cos 2
x
)
22
22
π
＝sin 2
x
＋cos 2
x
－2＝sin(2
x
＋)－2，
224
2π
∴
T
＝＝π.
2
8．答案
47

80
22
解析 ∵(8sin α＋5cos β)＋(8cos α＋5sin β)
＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)
＝89＋80sin(α＋β)＝6＋10＝136.
∴80sin(α＋β)＝47，
47
∴sin(α＋β)＝.
80
9．答案 3
41
解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝，底角大小为(180°－α)．
52
.
22

. < br>－α)

1
(180°

1－cos(180°
－α )

＝∴tan


sin(180°－α)

2

4
1＋
5
1＋cos α
＝＝＝3.
sin α3
5
10．答案
3

4
2
解析 原式＝sin20°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)
＝sin20°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°cos 20°－cos 60°sin 20°)
＝sin20°＋sin60°cos20°－cos60°sin20°
3
2
1
22
＝sin20°＋cos20°－sin20°
44
3
2
3
2
3
＝sin20°＋cos20°＝.
444
三、解答题
π
11．解 (1)因为
f
(
x
)＝4cos
x
sin

x
＋
6

－1
22222
2

ππ
＝4cos
x

sin
x
cos
6
＋cos
x
sin
6

－1

＝4cos
x

1

3

sin
x
＋cos
x

－1
2

2

2
＝3sin 2
x
＋2cos
x
－1＝3sin 2
x
＋cos 2
x

π
＝2sin

2
x
＋
6

，

所以
f
(
x
)的最小正周期为π.
ππππ
2π
(2)因为－≤
x
≤，所以－≤2
x
＋≤.
64663
πππ
于是，当2
x
＋＝，即
x
＝时，
626
f
(
x
)取得最大值2；
πππ
当2
x
＋＝－，即
x
＝－时，
666
f
(
x
)取得最小值－1.
π
12．解 ∵sin

α＋
3

＋sin α

ππ
＝sin αcos ＋cos αsin ＋sin α
33
.

.
334
＝sin α＋cos α＝－3.
225
∴
314
sin α＋cos α＝－，
22 5
4
π
∴sin

α＋
6

＝－.
5

ππππ
∵－<α<0，∴－<α＋<，
2366
π
3
∴cos

α＋
6

＝.
5
π

π


α＋
－

∴cos α＝cos

6
6



ππ
ππ
＝cos

α＋
6

cos ＋sin

α＋
6

sin
6

6
33

4

133－4
＝×＋

－< br>
×＝.
52

5

210
13．解 (1)
f
(
x
)＝sin
x
＋sin
x
cos
x
＋cos 2
x

1－cos 2
x
1
＝＋sin 2
x
＋cos 2
x

22
11
＝(sin 2
x
＋cos 2
x
)＋，
22
2sin αcos α
由tan α＝2得sin 2α＝
22

sin
α＋cosα
2tan α4
＝
2
＝，
tan
α＋1
5
cos
α－sinα
cos 2α＝
22

sin
α＋cosα
1－tan
α
3
＝
2
＝－，
tan
α＋1
5
1

43

13
所以
f
(α)＝×

－
< br>＋＝.
2

55

25
11
(2)由(1 )得
f
(
x
)＝(sin 2
x
＋cos 2
x
)＋
22
2

π

1
2< br>x
＋
＝sin
4

＋
2
，
2
ππ
π

5π5π

由
x
∈

12
，
2

得2
x
＋∈

，

，
4

124


2
22
2
.

.
π

2

所以sin

2
x
＋
4

∈

－，1

，


2

从而
f
(
x
)＝2

π
1

1＋2

sin
2
x
＋
4

＋∈

0，

.
2
2


2

.