三角恒等变换3.2
农村低保申请书-优美写景散文
§3.2 简单的三角恒等变换
课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用
两角和与差的公式进行简单的三角恒等变
换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会
三角变换的规律．
1．半角公式
αα
(1)S：sin
＝____________________；
22
αα
(2)C：cos
＝____________________________；
22
αα
(3)T：tan ＝______________(无理形式)＝___
_____________＝______________(有理形
22
式)．
2．辅助角公式
使asin x＋bcos
x＝a
2
＋b
2
sin(x＋φ)成立时，cos
φ＝__________________，sin
φ＝______，
其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．
一、选择题
α
1．已知180°<α<360°，则cos 的值等于( )
2
1－cos α1－cos α
A．－ B.
22
1＋cos α1＋cos α
C．－ D.
22<
br>ππ
x＋
＋sin
x－
的最大值是(
) 2．函数y＝sin
3
3
1
A．2 B．1 C. D.3
2
π
0，
的最小值为( ) 3．函数f(x)＝sin
x－cos x，x∈
2
A．－2 B．－3
C．－2 D．－1
4．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )
πππ2π
A. B. C. D.
6323
5．函数f(x)＝sin x－3cos
x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
5π5ππ
－π，－
B.
－，－
A.
6
6
6
ππ
－，0
D.
－，0
C.
3
6
α
1＋tan
2
4
6．若cos
α＝－，α是第三象限的角，则等于( )
5
α
1－tan
2
11
A．－ B.
C．2 D．－2
22
题 号 1 2 3 4 5
答 案
6
二、填空题
π
7．函数f(x)＝sin(
2x－)－22sin
2
x的最小正周期是______．
4
2
8．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是________．
3
4
9．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为________．
5
10.
2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数
学家赵爽的弦图为基础设计
的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所
示)．如果小正
方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos
2θ的值等
于____．
三、解答题
ππ
2x－
＋2
sin
2
x－
(x∈R)． 11．已知函数f(x)＝3s
in
6
12
(1)求函数f(x)的最小正周期
；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
82
12．已知向量m＝(cos θ，sin θ)和n＝(2－sin θ，cos θ)
，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求
5
θπ
cos
2
＋
8
的值．
能力提升
13．当y＝2cos x－3sin x取得最大值时，tan x的值是( )
33
A. B．－ C.13 D．4
22
14．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背
公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借
助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过
程中记忆公式和运用公式．
2．辅助角公式asin x＋bcos
x＝a
2
＋b
2
sin(x＋φ)，其中φ满足：
①φ与点(a，b)同象限；
bba
②tan φ＝
(或sin
φ＝
，cos φ＝
)．
a
2222
a
＋b
a<
br>＋b
3．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为
一个整体角的正弦
函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，
也是
π
x±
；高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．
例如sin x±cos x＝2sin
4
π
x±
等．
sin x±3cos
x＝2sin
3
§3.2 简单的三角恒等变换
知识梳理
1－cos α1＋cos α
(2)± (3)±
22
ab
2.
22
点(a，b)
a＋ba
2
＋b
2
作业设计
1．C
π
2．B [y＝2sin xcos
＝sin x．]
3
ππ
x－
，x∈
0，
.
3．D [f(x)＝2sin
4
2
π
ππ
∵－
≤x－≤
，
444
π
－
＝－1.] ∴f(x)
min
＝2
sin
4
1．(1)±
1－cos α1－cos
α
sin α
sin α
1＋cos α1＋cos
α
π
2x＋
＋θ
.
4．D [f(x)＝sin(2x
＋θ)＋3cos(2x＋θ)＝2sin
3
2
当θ＝
π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x.]
3
ππ
5
x－
，f(x)的单调递增区间为
2kπ－
，2kπ＋
π
(k∈Z)，
5．D [f(x)＝2sin
66
3
π
5
－，
π
.]
令k＝0得增区间为
66
4
6．A
[∵α是第三象限角，cos α＝－
，
5
3
∴sin α＝－
.
5
α
sin
2
1＋
α
ααααααα
3<
br>cos
1＋tancos
＋sin
cos
＋sin
cos＋sin
1－
2
2222222
1＋sin
α
5
1
∴＝＝＝
·
＝＝＝－
.]
αααααααα
cos α42
1－tansincos
－sin
cos
－sin
cos
＋sin－
222222225
1－
α
cos
2
7．π
2222
解析 f(x)＝sin
2x－cos 2x－2(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－2
2222
π2π
＝sin(2x＋
)－2，∴T＝
＝π.
42
45
8.
9
解析 设α为该等腰三角形的一底角，
2
则cos α＝，顶角为180°－2α.
3
∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2
9．3
2
2
245
1－
＝
.
3
·
39
4
解析
设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝
，
5
1
底角大小为
(180°－α)．
2
4
1＋
1＋cos α
5
1
α
1
180°－α90°－
∴tan
2
＝ta
n
＝＝＝＝3.
2
α
sin α3
tan
25
7
10.
25
π
0，
. 解析
由题意，5cos θ－5sin
θ＝1，θ∈
4
1
∴cos θ－sin
θ＝
.
5
由(cos θ＋sin θ)
2
＋(cos
θ－sin θ)
2
＝2.
7
∴cos θ＋sin θ＝
.
5
7
∴cos 2θ＝cos
2
θ－sin
2
θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.
25
ππ
x－<
br>
＋1－cos2
x－
11．解 (1)∵f(x)＝
3sin2
12
12
ππ
31
＝2
sin2
x－
－
cos2
x－
＋1
12
2
12
2
π
π
x－
－
＋1 ＝2sin
2
12
6
π
2π
2x－
＋1，∴T＝＝π.
＝2sin
3
2
π
2x－
＝1，
(2)当f(x)取得最大值时，sin
3
ππ
有2
x－＝2kπ＋，
32
5π
即x＝kπ＋
(k∈Z)，
12
5π
∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
12
12．解 m＋n＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，
|m＋n|＝
＝
＝2
cos θ－sin
θ＋2
2
＋cos θ＋sin θ
2
π
θ＋
4＋4cos
4
4＋22cos θ－sin
θ＝
π
θ＋
.
1＋cos
4<
br>
π
827
θ＋
＝
.
，得cos
4
255
πθπ
θ＋
＝2co
s
2
＋
－1， 又cos
4
28
θπ
16
所以cos
2
2
＋
8
＝
25
.
由已知|m＋n|＝
∵π<θ<2π，
5πθπ9π
∴
<
＋
<.
8288
θπ
∴cos
2
＋
8
<0.
θπ
4
＋
＝－
.
∴cos
28
5
23
cos
x－sin x
＝13(sin φcos x－cos φsin x)
13<
br>
13
π
＝13sin(φ－x)，当sin(φ－x)＝1，φ－
x＝2kπ＋时，y取到最大值．
2
π
∴φ＝2kπ＋＋x，(k∈Z)
2
13．B [y＝2cos x－3sin x＝13
∴sin
φ＝cos x，cos φ＝－sin x，
23
∴cos x＝sin φ＝，sin
x＝－cos φ＝－
.
1313
3
∴tan x＝－
.]
2
14．解
3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos
60°＋5cos(x＋20°)sin 60°
11
2
53
2
1153
＋φ
＝
sin(x＋20°)＋c
os(x＋20°)＝
＋φ)＝7sin
x＋20°
2
＋
2
sin(x＋20°
22
1153其中cos φ＝，sin φ＝
.所以f(x)
max
＝7.
1414
()