幽默短信-政治思想工作总结

北师大版高中数学必修2第一章《立体几何初步》全部教案
法门高中 姚连省
1.1简单几何体
第一课时 1.1.1简单旋转体
一、教学目标：1．知识 与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。（2）能根据几何结
构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。（4）会表示
有关于几何体以及柱、锥、台的分 类。2．过程与方法：（1）让学生通过直观感受空间物体，从实
物中概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结 构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观：（1）使学生感 受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，
同时提高学生的观察能力。（2）培养学生 的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点
重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
难点：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的概括。
三、教学方法
（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。（2）教法：探析讨论法。
四、教学过程：
(一)、新课导入：1. 讨论：经典的建筑给人以美的享受，其中奥秘为何？世间万物，为何千姿百
态？2. 提问：小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间范围上研究过哪些？3. 导入：进
入高中，在 必修②的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形，即学习立体几何，注意学
习方法：直观感知 、操作确认、思维辩证、度量计算.
(二)、研探新知：
（Ⅰ）、空间几何体的类型
问题提出：
1.在平面几何中，我们认识了三角形，正方形，矩形，菱形，梯形，圆，扇形等 平面图形.那么对
空间中各种各样的几何体，我们如何认识它们的结构特征？
2.对空间中不同形状、大小的几何体我们如何理解它们的联系和区别？
探究：空间几何体的类型
思考1：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的 一部分.如果我们只考虑这些物
体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些抽象出来的空间图形就 叫做空间几何体.你能列
举那些空间几何体的实例？

1

思考2：观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？

思考3：如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成那几种类型？
思考4：图（2）（ 5）（7）（9）（13）（14）（15）（16）有何共同特点？这些几何体可以统一叫什么
名称？ 多面体
思考5：图（1）（3）（4）（6）（8）（10）（11）（12）有何共同特点？这些几 何体可以统一叫什么
名称？旋转体
思考6：一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边 形，相邻两个多边形的公共边，以及
这些公共边的公共顶点分别叫什么名称？
定
点 面 棱

由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 .
思考7：一般地，怎样定义旋转体？
轴
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何
体叫做旋转体 。
（Ⅱ）、探究简单旋转体的结构特征
1. 探究圆柱、圆锥的结构特征：
① 讨论：圆柱、圆锥如何形成？
② 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；

2

以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
→ 列举生活中的棱柱实例 →结合图形认识：底面、轴、侧面、母线、高. → 表示方法
③ 观察书P2若干图形，找出相应几何体； 举例：生活中的柱体、锥体.
2、探究圆台的结构特征：
① 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.
→列举生活中的实例结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.
②讨论： 圆台的表示？圆台可如何旋转而得？
③ 讨论：圆台分别具有一些什么几何性质？圆台：两底面是两个 半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；
任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.
3．探究球体的结构特征：
① 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体.
→列举生活中的实例结合图形认识：球心、半径、直径.→ 球的表示.
② 讨论：球有一些什么几何性质？ ③ 讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？（旋转体）
（三）、课堂小结：几何图形；相关概念；相关性质；生活实例；
（四）、巩固练习：1. 练习：教材P7 1、2题.
2. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为12cm,求圆锥的底面半径.
3.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.
4.判断下列说法是否正确: （1）、圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面。正确。（2）、圆台的上下 底面圆
周上任两点的连线即圆台的母线。错误。（3）、球和圆柱的截面一定是圆面。错误。（4）、以 直角三角
形的一边为轴，其余两边旋转所得曲面围成的几何体是圆锥。错误。
（五）、作业：课本:习题1-1 A组3、4 . B组1
思考题：如图（1）、（2）中绕虚线旋转一周后形成的几何体是由哪些简单旋转体构成的？
B
A
C
F
B
A
C
D
E
D
F
E
G

五、教后反思：


3

第二课时 1.1.2简单多面体
一 、教学目标：1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。（2）能根据几何结
构特征 对空间物体进行分类。（3）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。（4）
会表示有 关于几何体以及柱、锥、台的分类。2．过程与方法：（1）让学生通过直观感受空间物体，
从实物中概 括出棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概
括所学的知识。3 ．情感态度与价值观：（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学
生学习的积极性，同时 提高学生的观察能力。（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点
重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征。
难点：棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征的概括。
三、教学方法
（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。（2）教法：探析讨论法。
四、教学过程：
(一)、新课导入：复习：1、简单几何体都有哪些类型？2、概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特< br>征。
（二）探究简单多面体的结构特征
1. 探究棱柱、棱锥的结构特征：
① 提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象？
② 讨论：给一个长方体 模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？
把这些几何体用水平力推斜后， 仍然有哪些公共特征？
知识探究（1）：棱柱的结构特征
思考1：我们把下面的多面体取 名为棱柱，你能说一说棱柱的结构有那些特征吗？据此你能给棱
柱下一个定义吗？

思考2：为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的

4

侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱 的顶点.你能指出上面
棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？
侧棱 侧面
底面

顶点
思考3：下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符号表示？
C
C
1


B
B
1



A
A
1





D



③ 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且 每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的几何体叫棱柱.
→ 列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）.
结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线.
思考4：棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？
答案：两底面是全等的多边形,各侧面都是平行四边形
思考5：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？
A
D
1

A
C
B
1

C
B

5

思考6：一个棱柱至少有几个侧面？一 个N棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多
少个顶点？
④ 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.
表示：棱柱
ABCDE-A’B’C’D’E’

知识探究（2）： 棱锥的结构特征
思考1：我们把下面的多面体取名为棱锥，你能说一说棱锥的结构有那些特征吗？据此你能给棱
锥下一个定义吗？

①定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由 这些面所围成的几何体
叫棱锥.
思考2：参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？
结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高. → 讨论：棱锥如何分类及表示？
顶点
侧面
侧棱



思考4：一个棱锥至少有几个面？一个 N棱锥有分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多
少个顶点？
【至少有4个面；1个底面，N个侧面，N条侧棱，1个顶点. 】
思考5：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？【相似多边形】
②讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？

6
底面

棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形 ；侧棱平行且相等；平
行于底面的截面是与底面全等的多边形
棱锥：侧面、对角面都是三角形 ；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离
与高的比的平方.
2、探究棱台的结构特征：
① 讨论：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？
② 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；
→列举生活中的实例
结合图形认识：上下底面、侧面、侧棱（母线）、顶点、高.
讨论：棱台的分类及表示？
③ 讨论：棱台具有一些什么几何性质？
棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应 边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱
的延长线相交于一点.
④ 讨论：棱、圆与柱、锥、台的组合得到6个几何体. 棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆
柱、圆锥有什么关系？ （以台体的上底面变化为线索）
⑤讨论：棱台与棱柱、棱锥有什么共性？（多面体）
4. 练习：圆锥底面半径为１cm，高 为
2
cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.
（补充平行线分线段成比例定理）
5. 小结：学习了柱、锥、台、球的定义、表示；性质；分类.
（三）、巩固练习：课本P8 A组 1～4题.
（四）、小结：本课学习了柱、锥、台、球的定义、表示；性质；分类. 要求大家理解和 掌握（1）
能根据几何结构特征对空间物体进行分类。（2）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台、简单组合 体的
结构特征。（3）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
（五）、作业：1. 已知长方体的长、宽、高之比为4∶3∶12，对角线长为26cm, 则长、宽、高
分别为多少？
2. 棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥的高
3. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为a的正四面体的高.
4.正四棱锥的底面积为46
cm
2
,侧面等腰三角形面积为6
cm
2
,求正四棱锥侧棱.
五、教后反思：






7

第三课时1.2.1 空间几何体的三视图
一、教学目标：1．知识与技能 ：（1）掌握画三视图的基本技能；（2）丰富学生的空间想象力。2．过
程与方法：主要通过学生自己 的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。3．情感态度与价值观：
（1）提高学生空间想象力；（2 ）体会三视图的作用。
二、教学重点、难点
重点：画出简单组合体的三视图。难点：识别三视图所表示的空间几何体
三、学法与教法
1．学法：观察、动手实践、讨论、类比；2．教法：观察讨论类比法。
四、教学基本流程
（一）创设情景，揭开课题
“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效 果可能不同，要比较真实反映
出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视 图。在初中，我们已
经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图）。
（二）给出三视图的定义：1、从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图称为几何体的正视
图（主视图）。2、从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图称为几何体的侧视图（左视图）。
3、 从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图称为几何体的俯视图。
（三）通过多媒体课件展示长方体的三视图，并给出三视图之间的投影规律。
虽然在画三视图 时取消了投影轴和投影间的连线，但三视图间的投影规律和相对位置关系仍
应保持。三视图的位置关系为 ：俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方。按照这种位置
配置视图时，国家标准规定一律不标注 视图的名称。对应上图还可以看出：主视图反映了物体上
下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长 度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，
即反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体上下、前 后的位置关系，即反映了物体的高度和
宽度。由此可得出三视图之间的投影规律为：主、俯视图——长对 正；主、左视图——高平齐；
俯、左视图——宽相等。
（四）基本几何体的三视图
1、球的三视图



8

2、圆柱的三视图

3、圆锥的三视图
作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特
征后，再动手作图。
（五）简单组合体的三视图：桌面上摆放几个简单组合体，请学生画出它们的三视图










画组合体的三视图的步骤：应认清组合体的结构，把组合体分解成几个简单的基本几何体，再按
简单几何体画三视图。
（六）归纳整理：请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图：三视图之间的 投影规律：正视
图与俯视图------长对正；正视图与侧视图------高平齐；俯视图与侧视图 ------宽相等。画几
何体的三视图时，能看得见的轮廓线或棱用实线表示，不能看得见的轮廓线或 棱用虚线表示。
（七）课后作业：课本P22 习题1.2 A组 1、2
五、教后反思：


9

俯

第四课时1.2.2简单组合体的三视图
一、教学目标：能利用正 投影绘制简单组合体的三视图，并根据所给的三视图说出该几何体由哪
些简单几何体构成。
二、教学重点：简单组合体三视图的画法。教学难点：识别三视图所表示的空间几何
体.
三、学法与教法：1．学法：观察、动手实践、讨论、类比；2．教法：观察讨论类比法。
四、教学过程：
（一）、复习回顾：1．中心投影与平行投影的概念：中心投影：光由一点向外散射形成的投影。
平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。
2．三视图的概念：主视图：光线从几何体的 前面向后面正投影得到的投影图；左视图：光线从几
何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯视图：光 线从几何体的上面向下面正投影得到的投影
图。几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图 。
在三视图中要注意：（1）要遵守“长对正”，“高平齐”，“宽相等”的规律；（2）要注意三视 图的
主视图反映上下、左右关系，俯视图反映前后、左右关系，左视图反映前后、上下关系，方位不能错。
（二）、探究新课
1．简单组合体的三视图：
例1：画出下列几何体的三视图。
分析：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚。



例2：如图：设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）。
（与学生一起观察物体，给于必要的阐述）

10

主视图
左视图
俯视图
正前方

现在，我们已经学会了画物体的三视图，反过来，由三视图，你能说出是什么物体吗？
2、三视图与几何体之间的相互转化。
（1）．投影出示图片（课本P15，图1.2-6）
请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？

圆台

（2）．请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？


四棱柱

（3）．三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？
教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。
（4）．思考：若只给出一组正，侧视图， 那么它还可能是什么几何体？


正四棱台



11

三棱台


例3：根据下列三视图，说出立体图形的形状。
(1)
(2)
(3)

解：（1）圆台；（2）正四棱锥；（3）螺帽。
例4：下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状。
主视图
左视图
俯视图

（三）、巩固练习： 课本第15页练习 第1—4题。

（四）、归纳小结：今天我们学习了三视图的画法以及由三视图说实物。重点要通过三视图识别
所表示的几何体。
（五）、作业布置： 课本第20-21页 习题1．2的第1、2题。
五、教后反思：









12

第五课时1.2.3 空间几何体的直观图
一、教学目标
1．知识与技能：（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。（2 ）采用对比的方法了
解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。
2．过程与方法：学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。
3．情感 态度与价值观：（1）提高空间想象力与直观感受。（2）体会对比在学习中的作用。（3）感
受几何作 图在生产活动中的应用。
二、教学重点、难点
重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。
三、学法与教法
1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。
2．教法：讨论探究法
四、教学过程：
(一)、新课导入：
1. 提问：何为三视图？（主视图：自前而后；左视图：自左而右；俯视图：自上而下）
2. 讨论：如何在平面上画出空间图形？
3. 引入：定义直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.
把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关
系的图形
（二）、探究新课
1. 水平放置的平面图形的斜二测画法：
（1）讨论：水平放置的平面图形的直观感觉？以六边形为例讨论.
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。
（师生共练，注意取点、变与不变 → 小结：画法步骤）
画法：① 如图1.2-10(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线 为x轴，对称轴MN所在直线
为y轴，两轴相交于点O。在图1.2-10(2)中，画相应的x’轴与 y’轴，两轴相交于点O’，使
''
=45。
X
'
OY
0
② 在图1.2-10(2)中，以O’为中点，在x ’轴上取A’D’=AD，在y’轴上取M’N’=
1
MN。
2
以点N’为中 点，画B’C’平行于x’轴，并且等于BC；再以M’为中点，画E’F’平行于x’
轴，并且等于E F。
③连接A’B’，C’D’,D’E’,F’A’,并檫去辅助线x’轴和y’轴，便获得正六边 形

13

ABCDEF水平放置的直观图A’B’C’D’E’F’（图1.2-10(3)）。
（2）给出斜二测画法的基本步骤：
①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；
''
②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX,OY,使
X
'
OY
=45（或
’’’’0
135），它们确定的平面表示水平平面； < br>③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不
变；在 已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；
④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。
(3) 练习： 用斜二测画法画水平放置的正五边形.
(4) 讨论：水平放置的圆如何画？（正等测画法；椭圆模板）
2. 空间图形的斜二测画法：
(1) 讨论：如何用斜二测画法画空间图形？
例2 用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图.
（师生共练，建系→取点→连线，注意变与不变； 小结：画法步骤）
画法：①画轴。如图1.2- 12，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45,∠xOz=90.
②画底面。以点 O为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=
00
‘‘
0
3
cm.分别
2
过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作 x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四
边形ABCD就是长方体的底面ABCD. < br>③画侧棱。过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别取2cm长的线段
AA’,BB’,CC’,DD’.
④成图。顺次连接A’,B’,C’,D’，并加以整理（去掉辅 助线，将被遮挡的部分改为虚线），就
得到长方体的直观图。
（2）思考：如何根据三视图，用斜二测画法画它的直观图？
例3 如图1．2-13，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。
分析：有几何体的三视图知 道，这个几何体是一个简单组合体。它的下部是一个圆柱，上部是一
个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上 底面重合。我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥。
画法：①画轴。如图1.2-14(1)，画x轴、z轴，使∠xOz=90。
②画圆柱的下 底面。在x轴上取A,B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA=OB。选择
椭圆模板中适 当的椭圆过A,B两点，使它为圆柱的下底面。
③在Oz上截取点O’，使OO’等于正视图中OO’ 的长度，过点O’作平行于轴Ox的轴O’x’，
类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面。
④画圆锥的顶点。在Oz上截取点P，使PO’等于正视图中相应的高度。
0

14

⑤成图。连接PA’,PB’,AA’,BB’，整理得到三视图表示的 几何体的直观图（图1.2-14(2)）
强调：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小的关系。
（3）讨论：三视图与直观图有何联系与区别？
空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视
图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用（ 零件图纸、建筑图纸）. 直观图是对空间几
何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.
（三）、巩固练习：1．探究P19 奖杯的三视图到直观图。
2． 练习：P19 1～5题。
3. 画出一个正四棱台的直观图.尺寸：上、下底面边长2cm、4cm; 高3cm。
（四）、归纳小结：让学生回顾斜二测画法的关键与步骤：①建立直角坐标系，在已知水平放置
的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平
''
面上）画出对应的OX,OY,使
X
'
OY
=45（或135）， 它们确定的平面表示水平平面；③画对
’’’’00
应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在 直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知
图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴 ，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，
图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线） 。空间几何体的三视图与直观图有密
切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可 以得到一个精确的空间几何体，
得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）. 直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构
想象实物的形象.
（五）、作业布置：课本P21 第4、5题。
五、教后反思：













15
‘
‘

第六课时§1.3.1空间图形的基本关系与公理
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面 的表示法及水平放置的直
观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法：（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本< br>节所学知识。
3、情感与价值：使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、教学重点、难点
重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、 结论、作用、图形语言及
符号语言。 难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法与教法
1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等 ，从而较好地完成本
节课的教学目标。2、教法：思考交流讨论法
四、教学过程
（一）实物引入、揭示课题
师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等， 都给我们以平面的印象，你们
能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教 师对学生的活动给予
评价。
师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、平面含义
师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物 体中抽象出来的，
但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示
师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）
之后教师加以肯定，解说、类比，将知 识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个
平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的 2倍长（如图）




0
D
α
A B
C
16

平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平 面β等，也可以用表示平面的平行四边形
的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或 不画（打出投
影片）







课本P41 图 2.1-4 说明
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：A∈α
点B在平面α外，记作：B

α
2.1-4
3、平面的基本性质
教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
师：把一把直尺边缘上 的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事
实引导学生归纳出以下公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
·B

（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）
符号表示为
A∈L
B∈L => L α
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……
引导学生归纳出公理2

17
β
β
α α
·B

·A

α
A
α
·


L

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3
α
·

C
·

·

A B
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
β
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
（三）、例题探析：教材P43 例1
通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。
（四）、课堂练习：课本P44 练习1、2、3、4
（五）、课时小结：（师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？
（六）、作业布置：（1）复习本节课内容；（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系？
五、教后反思：















18
α
·

L
P

第七课时§1.3.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能：（1）了解空间中两条直 线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学
生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4 ；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的
定义、范围及应用。
2、过程与方法 ：（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学
知识。
3、情感与价值：让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教法
1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教法：探究交流法
四、教学过程
（一）创设情景、导入课题
1、通 过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平
面内的两条直 线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）
（二）新课探究
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：



19

2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与 第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空
间中，是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，
BB'∥AA'，DD'∥AA'，
BB'与DD'平行吗？
生：平行
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
（2）例2（投影片），例2的讲解让学生掌握了公理4的运用
（3）教材P47探究，让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。
3、组织学生思考教材P47的思考题

（投影）


让学生观察、思考：
∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 180
教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知 异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'
所成的锐角（或直 角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

20
0
=>a∥c

（2）强调：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位 置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一
般取在两直线中的一条上；

2
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
（3）例3（投影）
例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识。
（三）课堂练习：教材P49 练习1、2充分调动学生动手的积极性，教师适时给予肯定。
（四）课堂小结：在师生互动中让学生了解：（1）本节课学习了哪些知识内容？（2）计算异面
直线所 成的角应注意什么？
（五）课后作业：1、判断题：（1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ）。（2）a⊥c b⊥c => a⊥b
（ ）。
2、填空题：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。
五、教后反思：










21

第八课时§1.3.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
一、教学目标
1、知识与技能：（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中 平面与平面的位置关系；
（3）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法：（1）学生通过 观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用
已有的知识与经验归纳整理本节所学 知识。
二、教学重点、难点
重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
三、学法与教法
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。
2、教法：观察类比，探究交流。
四、教学过程
（一）复习引入：
1 空间两直线的位置关系：（1）相交；（2）平行；（3）异面
2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：
ab,bcac
．
3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角
( 或直角)相等.
5.空间两条异面直线的画法
a
b
b
a
a
b
A
1
A
D
1
B
1
D
B
C
1
C

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线 ，和这个平面内不经过
此点的直线是异面直线。推理模式：
A

,B
,l

,Bl
AB
与
l
是
异 面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线
a,b
，经过空间任一点
O
作直线
a

a,b

b
，
a

,b

所成的角的大小与点
O
的选择无关，把
a

,b

所成的锐角（或直角）叫异面

22

直线
a,b
所成的角（或夹角）．为了简便，点
O
通常取在异面直线的一条 上
8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线< br>a,b

垂直，记作
ab
．
（二）研探新知
1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
例1下列命题中正确的个数是（ ）
⑴若直线L上有无数个点不在平面内，则L∥
(2)若直线L与平面平行，则L与平面内的任意一条直线都平行
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
（4）若直线L与平面平行，则L与平面内任意一条直线都没有公共点
（A）0 (B) 1 (C) 2 (D)3
2、探析平面与平面的位置关系：
① 以长方体为例，探究相关平面之间的位置关系？ 联系生活中的实例找面面关系.
② 讨论得出：相交、平行。
→定义：平行：没有公共点；相交：有一条公共直线。→符号表示：α∥β、 α∩β＝
b

→举实例：…
③ 画法：相交：……。平行：使两个平行四边形的对应边互相平行
④ 练习： 画平行平面；画一条直线和两个平行平面相交；画一个平面和两个平行平面相交
探究：A. 分别在两平行平面的两条直线有什么位置关系？


23

B. 三个平面两两相交，可以有交线多少条？ C. 三个平面可以将空间分成多少部分？
D. 若



，
< br>

，则




（三）、巩固练习
1．选择题
（1）以下命题（其中
a
，
b
表示直线， 表示平面）①若
a
∥
b
，
b
，则
a
∥  ②若
a
∥，
b
∥，则
a
∥
b
③若
a
∥
b
，
b
∥，则
a
∥ ④若
a
∥，
b
，则
a
∥
b

其中正确命题的个数是 （ ）
（
A
）0个 （
B
）1个 （
C
）2个 （
D
）3个
（2）已 知
a
∥，
b
∥，则直线
a
，
b
的位置 关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；
⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有
（
A
）2个 （
B
）3个
（ ）
（
C
）4个 （
D
）5个
（3）如果平面外有两点A
、
B
，它们到平面的距离都是
a
，则直线
AB和平面的位置关系一定
是（ ）
（
A
）平行 （
B
）相交 （
C
）平行或相交 （
D
）
AB

（4）已知
m
，
n为异面直线，
m
∥平面，
n
∥平面，∩=
l
， 则
l
（ ）
（
A
）与
m
，
n
都相交 （
B
）与
m
，
n
中至少一条相交
（
C
）与
m
，
n
都不相交 （
D
）与
m
，
n
中一条相交
教材P51 练习 学生独立完成后教师检查、指导
（四）归纳整理、整体认识
教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
（五）作业：1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。
2、教材P51 习题2.1 A组第5题
五、教后反思：







24

第九课时§2.2.1 直线与平面平行的判定
一、教学目标
1、知识与技能：（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；（2）进一步 培养学生观察、发现的
能力和空间想象能力；
2、过程与方法：学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。
3、 情感、态度与价值观：（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与
平面互 相转换的数学思想。
二、教学重点、难点
重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
三、学法与教法
1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。
2、教法：探究讨论法
四、教学过程
（一）创设情景、揭示课题
引导学 生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位
置关系？如何 去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、探究问题

a

直线a与平面α平行吗？
α


a

若α内有直线b与a平行，
α b
那么α与a的位置关系如何？
是否可以保证直线a与平面α平行？
学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此 平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平
行。简记为：线线平行，则线面平行。

25

符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2、例1 引导学生思考后，师生共同完成：该例是判定定理的应用， 让学生掌握将空间问题转化
为平面问题的化归思想。
例1求证：:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.

平面BCD ， 证明：连结BD，在△ABD中，因为E、F，分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD又EF

平面BCD，EF∥平面BCD BD
A

E F
D
B

C
→改写：已知：空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF平面BCD.
→ 分析思路 → 学生试板演
例2在正方体ABCD- A’B’C’D’中，E为DD’中点，试判断BD’与面AEC的位置关系，并说明理由.
→ 分析思路 →师生共同完成 → 小结方法 → 变式训练：还可证哪些线面平行
（三）自主学习、发展思维（让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。）
1、判断对错
直线a与平面α不平行，即a与平面α相交． （ × ）
直线a∥b，直线b平面α，则直线a∥平面α． （ × ）
平面α，则直线a∥b． （ ∨ ） 直线a∥平面α，直线b
2、判断题
①一条直线平行于一个平面,这条直线就与这个平面内的任意直线不相交。(∨ )
②过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行。（ × ）
③过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行。（ × ）
④a、b是异面直线，则过b存在唯一一个平面与a平行。（∨ ）
⑤过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行.（ ∨ ）
⑥如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行。（ × ）
⑦若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行.（ × ）

26

⑧若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行. （ ∨ ）
3、如图，长方体的六个面都是矩形，则(1)与直线AB平行的平面是 。
【平面AC与平面 DC 】(2)与直线AD平行的平面是 。【平面BC与平面AC


11 1111】
(3)与直线AA 平行的平面是 。【平面BC与平面 DC 】
111

4、已知：E、F、G、H分别为空间四边形ABCD中各边的中点，求证： AC ∥平面EFGH，BD ∥平
面EFGH。
（四）归纳整理：1、同学们在运用该判定定理时 应注意什么？2、在解决空间几何问题时，常将
之转换为平面几何问题。3、方法一 根据定义判定 ；方法二 根据判定定理判定：直线和平面
平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条 直线平行，那么这条直线和这个平面
平行。 线线平行 线面平行
（五）作业
1、教材第64页 习题2.2 A组第3题；
2、预习：如何判定两个平面平行？
五、教后反思：











27


第十课时§2.2.2 平面与平面平行的判定
一、教学目标：1 、知识与技能：理解并掌握两平面平行的判定定理。2、过程与方法：让学生通
过观察实物及模型，得出 两平面平行的判定。3、情感、态度与价值观：进一步培养学生空间问题
平面化的思想。
二、教学重点、难点：重点：两个平面平行的判定。难点：判定定理、例题的证明。
三、学法与教法
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得 出两平面平行的判定。
2、教法：探究讨论法
四、教学过程
（一）创设情景、引入课题
引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。
（二）研探新知
问题提出：
1.空间两个不同平面的位置关系有哪几种情况？
α

β

2.两个平面平行的基本特征是什么？有什么简单办法判定两个平面平行呢？
知识探究(一):平面与平面平行的背景分析
思考1：根据定义，判定平面与平面平行的关键是什么？
思考2: 若一个平面内的所有直线 都与另一个平面平行，那么这两个平面的位置关系怎样？若一
个平面内有一条直线与另一个平面有公共点 ，那么这两个平面的位置关系又会怎样呢？
思考3：三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？
思考4：三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，三角板所在平面与桌面平行吗？
思考5： 一般地，如果平面α内有一条直线平行于平面β，那么平面α与平面β一定平行吗？如
果平面α内有两条 直线平行于平面β，那么平面α与平面β一定平行吗？

28

α
β

知识探究(二):平面与平面平行的判定定理
思考1:对于平面α、β，你猜想在什么条件，下可保证平面α与平面β平行？
思考2:设a，b是平面α内的两条相交直线，且 aβ，bβ. 在此条件下，若α∩β=
l
，则
直线a、b与直线
l
的位置关系如何？

b
a
α
l
β

思考3:通过上述分析，我们可以得到判定平面与平面平行的一个定理，你能用文字语言表述 出该
定理的内容吗？
再通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。
两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
则a∥α b∥α
例1 在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 求证：平面AB′D′∥平面BC′D.

29

D′
B′
C′
A′
D
C
A
B

（学生讨论自证，教师准对问题讲评）
例2 在三棱锥P- ABC中，点D、E、F分别是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求证：平面DEF
平面ABC.
（学生讨论自证，教师准对问题讲评） P
教师指出：判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义； F
（2）判定定理； D E
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2、例2 引导学生思考后，教师讲授。 A C
例子的给出，有利于学生掌握该定理的应用。 B
（三）自主学习、加深认识:练习：教材第59页1、2、3题。学生先独立完成后，教师指导讲评。
（四）归纳整理、整体认识
1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？
2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。
（五）作业布置:第65页习题2.2 A组第7题。
五、教后反思：








30

第十一课时§2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
一、教学目标
1、知识与技能：（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；（2）掌握 两个平面平行的性质定
理及其应用。
2、过程与方法：学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感、态度与价 值观：（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的
作用；（3）进一步渗 透等价转化的思想。
二、教学重点、难点：重点：两个性质定理 。难点：（1）性质定理的证明；（2）性质定理的正
确运用。
三、学法与教法
1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
2、教法：探究讨论法
四、教学过程
（一）、创设情景、引入新课
思考题：教材第60页，思考（1）（2）。学生思考、交流，得出
（1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行；
（2）直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。
（二）、探究新知
知识探究(一):直线与平面平行的性质分析
思考1:如果直线a与平面α平行，那么直线a与平面α内的直线有哪些位置关系？
a
a
α
α

思考2:若直线a与平面α平行，那么在平面α内与 直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置
关系如何？
思考3:如果直线a与平面α平行，那么经过直线a的平面与平面α有几种位置关系？

31

a
a
α

α

思考4:如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面与平面α相交于直线b，那么直线a、b的位
置 关系如何？为什么？【平行】
思考5:如果直线a与平面α平行，那么经过平面α内一点P且与直线a平行的直线怎样定位？
知识探究(二):直线与平面平行的性质定理
思考1:综上分析，在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.
定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β 则a∥b
α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。作平行线的方法，判断
线线平行的依据.
在教师的启发下，师生共同完成该结论的证明过程。
例1、如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.（1）要经过面A′C′ 内一点P和棱BC
将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？
D′
学生练习，教师准对问题讲评。







P
A′
B′
D
C
C′
A
32
B

例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.
学生练习，教师准对问题讲评。
知识探究(三):平面与平面平行的性质定理
思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？
学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。
再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？

在教师的启发下，师生共同完成该结论及证明过程，
于是得到两个平面平行的性质定理。

定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a 则a∥b
β∩γ= b 教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。
例3、课本例4 .以讲授为主，引导学生共同完成，逐步培养学生应用定理解题的能力。
（三）自主学习、巩固知识：练习：课本第63页；学生独立完成，教师进行纠正。
（四）归纳整理、整体认识
1、通过对两个性质定理的学习，大家应注意些什么？2、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？
（五）布置作业：课本第65页 习题2.2 A组第6题。
五、教后反思：









33

第十二课时§2.3.1直线与平面垂直的判定
一、教学目标
1、 知识与技能：（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）使学生掌握判定直线和
平面垂 直的方法；（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归
纳、概括结论 。
2、过程与方法：（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；（2 ）
探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值：培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学方法：探究讨论法
四、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
1、教师首先提出问题：在现实生活中， 我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗
杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你 能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思
考、讨论、教师对学生的活动给予评价。
2、 接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的
射影的位置关系 引出课题内容。
（二）研探新知
1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获 取新知，可再借助长方体模型让学
生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想 来思考问题：从直线与直
线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平 面内的直线来定
义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线 L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L
⊥α，直线L叫做平面 α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它
们唯一公共点P叫做垂足 。并对画示表示进行说明。
L

p
α
图2-3-1

34

2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与 平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比
较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC
的 顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问
如何 翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
A



B D C
图2.3-2
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条 相交直线确定一个平面），进行合
情推理，获得判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
（三）实际应用,巩固深化
（1）课本P69例1教学 （2）课本P69例2教学
（四）归纳小结，课后思考
小结：采用师生对话形式，完成下列 问题：①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本
过程。②直线与平面垂直的判定定理，体现的 教学思想方法是什么？
（五）课后作业:①课本P70练习2
②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。
思考题 ：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论
对吗？为什么？
五、教后反思：




35

第十三课时§2.3.2平面与平面垂直的判定
一、教学目标
1、 知识与技能：（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两
个平 面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学
生理会“ 类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法：（1）通过实例让学生直观感知“二面角 ”概念的形成过程；（2）类比已学知识，
归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 < br>3、情态与价值：通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，
从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点
重点：平面与平面垂直的判定。 难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教法
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。2、教法：探究讨论法。
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题：问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2 ：在立体几何中，
“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的 特征？以上
问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到 两
个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而
这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维 思考，并对以上问题
类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
角
A
边
图形
顶点 O 边 B B
α
定义 从平面内一点出发的两条射线（半从空间一直线出发的两个半平面所组
二面角
A
梭 l β

36

直线）所组成的图形
构成
表示
2、二面角的度量
射线 — 点（顶点）一 射线
∠AOB
成的图形
半平面 一 线（棱）一 半平面
二面角α-l-β或α-AB-β
二面角定理地反映了两个平面相交的 位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角
大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生 活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的
二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内 各作一射线（如图2.3-3），通过实验
操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L；（2）∠AOB的大 小与点
O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， β B
获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 C O A
（三）应用举例，强化所学 α
例题：课本P.72例3 图2.3-3
做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教 师
最后讲评并板书证明过程。
（四）运用反馈，深化巩固：问题：课本P.73的探究问题。 做法：学生思考（或分组讨论），老
师与学生对话完成。
（五）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直
的 判定定理有何关系？
（六）课后巩固，拓展思维
1、课后作业：自二面角内一点分别向两个 面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面
角互补。2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时， 为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB
的大小与点O在L上的位置无关？
五、教后反思：



37

第十四课时§2、3.3直线与平面垂直的性质
§2、3.4平面与平面垂直的性质
一、教学目标
1、知识与技能：（1）使学生掌握直线 与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质
定理解决一些简单问题；（3）了解直线与 平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互
联系。
2、过程与方法：（1）让学生 在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的
认识；（2）性质定理的推理论证。
3、情态与价值：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以
及逻辑推理能力。
二、教学重点、难点：两个性质定理的证明。
三、学法与教法
1、学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。2、教法：探究讨论法。
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？
让学生自由 发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观
察、研探。（自然进入课 题内容）
（二）研探新知
1、操作确认：观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关 系。如图2.3—4，在长方体ABCD
—ABCD中，棱AA、BB、CC、DD所在直线都垂直于平 面ABCD，它们之间是有什么位置关系？
（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？
（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？


B
1

D
1
C
1

a

b

11111111




A


A
1

C

D
B

α

图2.3-4 图2.3-5
38

2、推理证明
引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，
然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出：垂直于同一个平面的两条直线平行。
（三）应用巩固
例子：课本P.74例4
做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。
（四）类比拓展，研探新知
类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会 得出怎样的结论呢？例如：如何在黑
板面上画一条与地面垂直的直线？
引导学生观察教室相邻 两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上
画出一条与这交线平行的直线，则所画 直线必与地面垂直。然后师生互动，共同完成性质定理的
确认与证明，并归纳性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
（五）巩固深化、发展思维
思考1、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？（答：直线a必在平面α内）
思考2、已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a⊥β，a α，则直线a与平面α具有什么
位置关系？
（六）归纳小结,课后巩固
小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？
（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？
作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；
（2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
五、教后反思：







39

第十五课时1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、教学目标 1、知识与技能：（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。（2）
能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。（3）
培养 学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法：（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何 体的形状。（2）让学生通对照
比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3、 情感与价值：通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影
响。从而增 强学习的积极性。
二、教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算。难点：台体体积公式的推导
三、学法与教法
1、学法：通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体
的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。2、教法：探究讨论法。
四、教学过程
（一）、创设情境
1、教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和 体积的求法及公式，哪
些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。
2、教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是
怎样 的？你能否计算？引入本节内容。
（二）、探究新知
1、利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图





2、组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？
3、教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
（三）、质疑答辩、排难解惑、发展思维

40

1、教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构 ，并归纳出其表面积的计算公式:
S
圆台表面积


（r'
2
r
2
r'lrl)

r为上底半径 r为下底半径 l为母线长
2、组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
1

3、教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。如图：

4、教师指导学生思考，比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在
系。
的关
由此

(s’,s分别我上下底面面积，h为台柱高)
（四）、例题分析讲解 （课本）例1、 例2、 例3
（五）、巩固深化、反馈矫正
练习：
1、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧 面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径
2
（答案：
3a

m< br>）
为 。
3

2 、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这
个棱台 的体积。 （答案：2325cm）
（六）、课堂小结：本节课学习了柱体、锥体与 台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。
用联系的关点看待三者之间的关系，更加方便于我们对空 间几何体的了解和掌握。
（七）、作业：习题1.3 A组1.3
五、教后反思：




41
3

第十六课时§1.3.2 球的体积和表面积
一、教学目标 < br>1、知识与技能：⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：
“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
2、过程与方法：通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝
2
4< br>3
πR和
3
面积公式Ｓ＝４πR的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为 球的体积和面积”的方法，
体现了极限思想。
3、情感与价值观：通过学习，使我们对球的体 积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了
空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和 解决问题的信心。
二、教学重点、难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三、学法和教法
1、学法：学 生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似
值的和转化为球的体 积和面积”的解题方法和步骤。2、教法：探究讨论法
四、教学过程
（一）、创设情景 < br>1、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样
来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
2、教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球 半径来表示球的体积和面积？激发学生推导
球的体积和面积公式。
（二）、探究新知
1．球的体积：
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“ 小圆片”的体积的体
积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆 柱形状，所
以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准 确
和”的方法来进行。
步骤：第一步：分割

42

如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，
组平行于底面的平面把半球切割成 n个“小圆片”，“小圆片”厚度
为
用一
近似
R
，底面是“小圆片” 的底面。
n
如图：
R

R
3
i1
2
[1()]　　(i1、２n)
得
V
i

r
i

nnn
2
第二步：求和
1
(1
1
n
)(2
n
)
Ｖ
半球
＝v
1
v
2
v
3
v
n


R [1]

6
3
第三步：化为准确的和当n→∞时，
n
→0 （同学们讨论得出）
3
所以
Ｖ
半球＝

R(1
1
122
)

R
3

63
Ｖ
球

4

R
3

3
3
得到定理：半径是Ｒ的球的体积
练习：一种空心钢球的质量是142g, 外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9gcm)
2．球的表面积：
球的表面积是球 的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能
像推导圆柱、圆锥的表 面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近
似和转化为准确和”方法推导 。
思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？
半径为R的球的表面积为 Ｓ＝４πR
练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面 上，则这
个球的表面积是 。 （答案50元）
（三）、典例分析：课本P
47
例4和P
29
例5
（四）、巩固深化、反馈矫正
1、正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。
（答案：
33:1
； 3 ：1）
2、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面 ，它们的面积分别为49πcm和400πcm，求球的表面
积。 （答案：2500πcm）
2
22
2

43

分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性
质求球的半径

（五）、课堂小结
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公 式解决相关的球的问
题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。
（六）、 作业 P
30
练习1、3 ，B（1）
五、教后反思：





















44

第十七课时 本章小结
一、教学目标
1、知识与技能：（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识
的 梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法：利用框图对本章知识进行系统的 小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为
直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
3、情态与价值：学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进
一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。
二、教学重点、难点
重点：各知识点间的网络关系；
难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
三、教学设计
（一）知识回顾，整体认识
1、本章知识回顾
（1）空间点、线、面间的位置关系；
（2）直线、平面平行的判定及性质；
（3）直线、平面垂直的判定及性质。
2、本章知识结构框图







直线与直线的位置关系


（二）整合知识，发展思维
1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间 图形问题，进行逻辑推理的
基础。

45
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
空间直线、平面的位置关系
直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

公理1——判定直线是否在平面内的依据；
公理2——提供确定平面最基本的依据；
公理3——判定两个平面交线位置的依据；
公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；
3、空间平行、垂直之间的转化与联系：





4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（三）应用举例，深化巩固
1、P.82 A组第1题
本题主要是公理1、2知识的巩固与应用。
2、P.82 A组第8题
本题主要是直线与平面垂直的判定与性质的知识巩固与应用。
（四）、课堂练习：
1．选择题
（1）如图
BC
是
R
t⊿
ABC< br>的斜边，过
A
作⊿
ABC
所在平面垂线
AP
，连< br>PB
、
PC
，过
A
作
AD
⊥
BC< br>于
D
，连
PD
，那么图中直角三角形的个数是
（
A
）4个 （
B
）6个 （
C
）7个
（ ）
P
直线与直线平行
直线与平面平行
平面与平面平行
直线与直线垂直 直线与平面垂直
平面与平面垂直
（
D
）8个
（2）直线
a
与平面斜交，则在平面内与直线
a
垂直的直线（ ）
B
A
（
A
）没有 （
B
）有一条 （
C
）有无数条 （
D
）内所有直线
答案：（1）D (2) C
2．填空题
D

C
（1）边长为
a
的正六边 形
ABCDEF
在平面内，
PA
⊥，
PA
=
a
，则
P
到
CD
的距离为 ，
P
到
BC
的距离为 .
（2）
AC< br>是平面的斜线，且
AO
=
a
，
AO
与成60º角 ，
A
OC
，
AA
＇⊥于
A
＇，∠
A
＇
OC
=45º，

46

O
A′
C

则
A
到直线
OC
的距离是 ，∠
AOC
的余弦值是 .
答案：（1）
2a,
7142
a
; （2）
a,

244
3．在正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中，求证：
A
1
C
⊥平 面
BC
1
D
.
分析：
A
1
C
在 上底面
ABCD
的射影AC⊥BD,
D
1
A
1
B
1
C
1
A
1
C
在右侧面的射影
D
1
C⊥
C
1
D,
所以
A
1
C
⊥BD,
A
1
C
⊥
C
1
D,从而有
A
1
C
⊥平面
BC
1
D
.
D

（五）课后作业
A
B
C
1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；
2、P.83 B组第2题。
五、教后反思：




北师大版高中数学必修2第二章《解析几何初步》全部教案
法门高中 姚连省
§2、1直线与直线的方程
第一课时 直线的倾斜角和斜率
一、教学目标: 1、 知识与技能：（1）、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．（2）、理解直线 的
倾斜角的唯一性.（3）、理解直线的斜率的存在性.（4）、斜率公式的推导过程，掌握过两点的直
线的斜率公式．
2、情感态度与价值观：(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾 斜角与斜率关系的揭示，
培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2 ) 通过斜率概念的
建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一 的观点，培
养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
二、重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
三、教学用具：计算机
教学方法：启发、引导、讨论.

47

四、教学过程
（一）、直线的倾斜角的概念
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗?
如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
Y
a
b
c
OP
X

(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做
直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
．．．
问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以
用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
Y
a
O
b
X
c
如图, 直线a∥b∥c, 那么它们
案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
的倾斜角α相等吗? 答
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点和一个倾斜角α
．．．
P
．．．．．．．．
.
(二)直线的斜率
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常 用小写字母k表示,也就是
k = tanα

48

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如, α=45°时, k = tan45°= 1;
α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.
学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
(三) 直线的斜率公式:
给定两点P1(x1 ,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?
可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的
推导.(略)
斜率公式:
面四点：
对于上面的斜率公式要注意下
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分
母不能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
(四)例题:
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝
角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)
分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;
而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;
而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;
而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.
略解: 直线AB的斜率k1=17>0, 所以它的倾斜角α是锐角;
直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;

49

直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.
例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.
分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜
率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在
x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.
略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有， 1=(y－0)／(x－0)
所以 x = y，可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点
M(1,1), 可作直线a. 同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)
(五)练习: P91 1. 2. 3. 4.
(六)小结: (1)直线的倾斜角和斜率的概念．(2) 直线的斜率公式.
(七)课后作业: P94 习题3.1 1. 3.
五、教后反思：




第二课时 两条直线的平行与垂直
一、教学目标
(一)知识教学：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂
直.
(二)能力训练：通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力,
以及数形结合能力．
(三)学科渗透：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生 的成功意识，合作交流
的学习方式,激发学生的学习兴趣．
二、重难点
重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．
难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．
注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个
问题．
三、教学方法：启发、引导、讨论.

50

四、 教学过程
(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示
直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条
直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都
为90° ，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直
线的倾斜角 为0°，两直线互相垂直．
(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直
设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向
决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是:
两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?
首先研究两条直线互相平行(不重合 )的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α
1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)
∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．
结论: 两条直线都有斜 率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的
斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不
．．．．．．．．
成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.
下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设 α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点
在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．

51

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．


，
可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2．

结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒 数；反之，如果它们的
．．．．．．．．
斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.
(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥
L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).
（三）、例题：例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置
关系, 并证明你的结论.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)
解: 直线BA的斜率k1=(3-0)(2-(-4))=0.5, 直线PQ的斜率k2=(2-1)(-1-(-3))=0.5,
因为 k1=k2=0.5, 所以 直线BA∥PQ.
例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD
的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算
加以验证) 解同上.
4、 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.
解: 直线AB的斜率k1= (6-0)(3-(-6))=23,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-32, 因为
k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.
例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.

52

分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加
以验证.(图略)
（四）、课堂练习：P94 练习 1. 2.
（五）、课后小结：(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行
或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.
（六）、布置作业：P94 习题3.1 5. 8.
五、教后反思：








第三课时 直线的点斜式方程
一、教学目标
1、知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的 形式特点和适用范围；（2）能正确利用直
线的点斜式、斜截式公式求直线方程。（3）体会直线的斜截 式方程与一次函数的关系。
2、过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上 的一点和直线的倾斜角
的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与 “距离”的区
别。
3、情态与价值观：通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系， 进一步培养学生数形结
合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观 点看问题。
二、教学重点、难点：
（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
三、教学方法：启发、引导、讨论.
四、教学过程

53

问 题
1、在直线坐标系内确定一条直
线，应知道哪些条件？
设计意图
使学生在已有
知识和经验的基
师生活动
学生回顾，并回答。然后教师指
出，直线的方程，就是直线上任意
础上，探索新知。
一点的坐标
(x,y)
满足的关系
式。
2、直线
l经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
，且斜率为
k
。设点
P(x,y)
是直线
l
上的任意一点， 请建立
培养学生自主
探索的能力，并体
会直线的方程，就
学生根据斜率公式， 可以得到，
当
xx
0
时，
k
yy
0
xx
0
，即
x,y
与
是直线上任意一
点的坐标
yy
0
k(xx
0
)
（1）
教师对基础薄弱的学生给予关
注、引导，使每个学生都能推导出
这个方程。
k,x
0
,y
0
之间的关系。
y
P
P< br>0
(x,y)
满足的关系式，从
而掌握根据条件
求直线方程的方
法。
O
x

使学生了解方
程为直线方程必
须满两个条件。
设计意图
使学生了解方
程为直线方程必
须满两个条件。
师生活动
学生验证，教师引 导。然后教师
指出方程（1）由直线上一定点及
其斜率确定，所以叫做直线的点斜
式方 程，简称点斜式.
学生验证，教师引导。
3、（1）过点
P
0
(x
0
,y
0
)
，斜率是
k
的直线
l上的点，其坐标都满足
方程（1）吗？
问 题
（2）坐标满足方程（1 ）的点都在
经过
P
0
(x
0
,y
0
)，斜率为
k
的直线
l
上吗？
4、直线的点斜式方程能否表示坐
标平面上的所有直线呢？
使学生理解直线
的点斜式方程的
适用范围。
学生分组互相讨论，然后说明理
由。
5、（1）
x
轴所在直线的方程是什 进一步使学生 教师学生引导通过画图分析，求

54

么？
y
轴所在直线的方程是什么？
理解直线的点斜
（2）经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
且平行 于
式方程的适用范
围，掌握特殊直线
方程的表示形式。
得问题的解决。


y
P
0
x
轴（即垂直于
y
轴 ）的直线方程
是什么？
（3）经过点
P
0
(x
0
,y
0
)
且平行于
O

x
y

P

0

y
轴（即垂直于
x
轴）的直线方程
是什么？
O

6、例1的教学。 学会运用点斜式
方程解决问题，清
楚用点斜式公式
求直线方程必须
x

教师引导学生分析要用点斜
式求直线方程应已知那些条件？
题目那些条件已经直接给予 ，那
些条件还有待已去求。在坐标平
具备的两个条件：面内，要画一条直线可以怎样去
（1）一个定点；画。
（2）有斜率。同
时掌握已知直线
方程画直线的方
法。
7、已知直线
l
的斜率为
k
，且与
引入斜截式方
程，让学生懂得斜
截式方程源于点
斜式方程，是点斜
式方程的一种特
殊情形 。
8、观察方程
y
学生独立求出直线
l
的方程：
y
轴的交点为
(0,b)
，求直线
l
的
方程。
ykxb
（2）
再此基础上，教师给出截距的
概念，引导学 生分析方程（2）由
哪两个条件确定，让学生理解斜
截式方程概念的内涵。
学生讨论，教师及时给予评
价。
kxb
，它的
深入理解和
掌握斜截式方程
的特点？
形式具有什么特点？

55

问 题
9、直线
y
设计意图
使学生理解
“截距”与“距离”
两个概念的区别。
师生活动
学生思考回答，教师评价。
kxb
在
x
轴上的
截距是什么？
10、你如何从直线 方程的角度认
识一次函数
体会直线的斜
截式方程与一次
函数的关系.

学生思考、讨论，教师评价、归
纳概括。
ykxb
？一次函
数中
k
和
b
的几何意义是什么？你
能说出一次函数
y2x1,y3x,yx3
图象的特点吗？
11、例2的教学。 掌握从直线方
程的角度判断两
教师引导学生分析：用斜率判
断两条直线平行、垂直 结论。思
条直线相互平行，
考（1）
ll
时，
k,k;b,b121212
或相互垂直；进一
步理解斜截式方
程中
有何关系？（2）< br>l
1
l
2
时，
k,b
的几何
k
1
,k
2
;b
1
,b
2
有何关系？在此由
学 生得出结论：
意义。
l
1
l
2
k
1
k
2
,
且
b
1
b
2
；
l< br>1
l
2
k
1
k
2
1

12、课堂练习第100页练习第1，巩固本节课所学
2，3，4题。
13、小结
过的知识。
使学生对本节课
所学的知识有一
教师引导学生概括：（1）本节 课
我们学过那些知识点；（2）直线
学生独立完成，教师检查反馈。
个整体性的认识，方程的点斜式、斜截式的形式特点
了解知识的来龙
去脉。
14、布置作业：第106页第1题
的（1）、（2）、（3）和第3、5题
巩固深化
和适用范围是什么？（3）求一条
直线的方程，要知道多少个条件？
学生课后独立完成。

56

四、教后反思：










第四课时 直线的两点式方程
一、教学目标
1、知识与技能： （1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形
式特点及适用范围。
2、过程与方法：让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分
析、应用获得新知识的特点。
3、情态与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点
一. 重点：直线方程两点式。2、难点：两点式推导过程的理解。
三、教学方法：启发、引导、讨论.
四、教学过程
问 题
1、利用点斜式解答如下问
题：
（1）已知直线
设计意图
遵循由浅及
深，由特殊
师生活动
教师引导学生：根据已有的知识，要求
直线方程，应知道什么条件？能不能把问
题转化为已经解决的问题呢？在此基础
上，学 生根据已知两点的坐标，先判断是
否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而
可求出直线方程：
l
经过两点
的
到一般的认
知规律。使
学生在已有
P
1
(1,2),P
2
(3,5)
,求直线
l
方程.
（2）已知两点
的知识基础

57

P
1< br>(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
其中
上获得新结
论，达到温
故知新的目
的。
（1）
y
(x
1
x
2
,y
1
 y
2
)
，求通过这
两点的直线方程。
3
2(x1)

2
（2）
yy
1

y
2
y
1
(xx
1
)

x
2
x
1
y
2
时，方程可以写成 教师指出： 当
y
1
yy
1
xx
1
(x
1
x
2
,y
1
y
2
)

y
2
y
1
x
2
x
1
由于这个直线方程由两点确定， 所以我们
把它叫直线的两点式方程，简称两点式
（two-point form）.
2、若点
P
1
(x
1
,x
2
),P
2< br>(x
2
,y
2
)
中有
x
1
使学生懂 得
两点式的适
用范围和当
已知的两点
不满足两点
式的条件时
它的方程形
式。
问 题
3、例3 教学
已知直线
l
与
A
设计意图
使学生学会
师生活动
教师引导学生分析题目中所给的条件有什
么特点？可以用多少方法来求直线
l
的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线
方程：
教师引导学生通过画图、观察和分析 ，
发现当
x
1
x
2
，或
y
1
 y
2
，此
x
2
时，直线与
x
轴垂直，所
x
1
；当
y
1
y
2
时，
y
1
。
时这两点的直线方程是什么？
以直线方程为：
x
直线与y
轴垂直，直线方程为：
y
x
轴的交点为
轴的交点为
用 两点式求
直线方程；
理解截距式
源于两点
(a,0)
，与
y
B
(0,b)
，其中
a0,b0
，求
直线
l< br>的方程。
式，是两点
式的特殊情
形。
xy
1

ab
教师指出：
a,b
的几何意义和截距式方
程的概念。
教师给出中点坐标公式，学生根据自己
的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直
58
4、例4教学
已知三角形的三个顶点A

让学生学
会根据 题目

（-5，0），B（3，-3），C（0，2），中所给的条
求BC边所在 直线的方程，以及该
边上中线所在直线的方程。
件，选择恰
当的直线方
程解决问
题。
5、课堂练习
第102页第1、2、3题。
6、小结 增强学生对
直线方种四
种形式（点
斜式、斜截

线方程和该边上中线所在直线方程。在此
基础上，学生交流各自的作法，并进行比
较。
学生独立完成，教师检查、反馈。
教师提出：（1）到目前为止，我们所学过
的直线 方程的表达形式有多少种？它们之
间有什么关系？
（2）要求一条直线的方程，必须知道多少
式、两点式、个条件？
截距式）互
相之间的联
系的理解。
7、布置作业 巩固深化，
培养学生的
独立解决问
题的能力。
四、教后反思：









学生课后完成


59

第五课时 直线的一般式方程
一、教学目标
1、知识与技能：（1）明确直线方程一般式的形式特征； （2）会把直线方程的一般式化为斜截式，
进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化 为一般式。
2、过程与方法：学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点
1、重点：直线方程的一般式。2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
三、教学方法：探析交流法
四、教学过程
问 题
1、（1）平面直角坐标系中的每一
条直线都可以用一个关于
的二元一次方程表示吗？
（2）每一个关于
x,y
的二元一
次方程
Ax
设计意图
使学生理解直
线和二元一次
方程的关系。
师生活动
教师引导 学生用分类讨论的方法思
考探究问题（1），即直线存在斜率和直
线不存在斜率时求出的直线方 程是否
都为二元一次方程。对于问题（2），教
师引导学生理解要判断某一个方程是
x ,y
ByC0
（A，
否表示一条直线，只需看这个方程是否
可以转化为直 线方程的某种形式。为此B不同时为0）都表示一条直线

60

吗？
要对B分类讨论，即当
B0
时和当
B=0时两种情形进行变形。然后由学生
去变形判断，得出结论：
关于
x,y
的二元一次方程，它都表
示一条直线。
教师概括指出：由于 任何一条直线都
可以用一个关于
x,y
的二元一次方程
表示；同时，任何一个 关于
x,y
的二
元一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于< br>次方程
Ax
x,y
的二元一
ByC0
（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称
一般式（general form）.
2、直线方程的一般式与其他几种
形式的直线方程相比，它有什么
优点？
问 题

使学生理解直
线方程的一般
式的与其他形
设计意图
式的不同点。
学生通过对比、讨论，发现直线方程
的一般式与其他形式的直线方程的一
个不同点是：
师生活动
直线的一般式方程能够表示平面上的
所有直线，而点斜式、斜截式、两点式
方程，都不能表示与
x
轴垂直的直线。
3、在方程
AxByC 0
使学生理解二
元一次方程的
系数和常数项
对直线的位置
的影响。
教师引导学生回顾前面所学过的与
与
y
轴平行和重合的
x
轴平行和重合、
直线方程的形式。然后由学生自主探索
得到问题的答案。
中，A，B，C为何值时，方程表
示的直线
（1）平行于
x
轴；（ 2）平行于
y
轴；（3）与
x
轴重合；（4）与
y
重合。
4、例5的教学

使学生体会
61
学生独立完成。然后教师检查、评价、

已知直线经过点A（6，-4）， 把直线方程的反馈。指出：对于直线方程的一般式，
一般作如下约定：一般按含
x
项、 含
y
项、常数项顺序排列；
x
项的系数为正；
4
斜率为
，求直线的点斜式和
3
一般式方程。
点斜式转化为
一般式，把握直
线方程一般式
的特点。
x
，
y
的系数和常数项一般不出现分
数；无特加要时，求直线方程的结果写
成一般 式。
5、例6的教学
把直线
使学生体会直
线方程的一般
先由学生思考解答，并让一个学生上
黑板板书。然后教师引导学生归纳出由
l
的一般式 方程
x2y60
化成斜截式，
求出直线
l
的斜率以及它在x
轴
与
式化为斜截式，直线方程的一般式，求直线的斜率和截
和已知直线 方
程的一般式求
直线的斜率和
截距的方法。
距的方法：把一般式转化为斜截 式可求
出直线的斜率的和直线在
y
轴上的截距，并画出图形。
y
轴 上的截
距。求直线与
x
轴的截距，即求直线与
为此可在方程中令
x< br>轴交点的横坐标，
y
=0，解出
x
值，即为与直线与
x
轴的
截距。
在直角坐标系中画直线时，通常找
出直线下两个坐标轴的交点。
6、二元一次方程的每一个解 与坐
标平面中点的有什么关系？直线
与二元一次方程的解之间有什么
关系？
使学生进一步
理解二元一次
方程与直线的
关系，体会直解
坐标系把直线
与方程联系起
来。
7、课堂练习 巩固所学知识 学生独立完成，教师检查、评价。
学生阅读教材第105页，从中获得对
问题的理解。
第105练习第2题和第3（2） 和方法。
问 题
8、小结
设计意图
使学生对直线
师生活动
（1）请学生写出直线方程常见的几

62

方程的理解有
一个整体的认
识。
种形式，并说明它们之间的关系。
（2）比较各种直线方程的形式特点
和适用范围。
（3）求直线方程应具有多少个条
件？
（4）学习本节用到了哪些数学思想
方法？
9、布置作业
第106页习题3.2第10题和
第11题。
四、教后反思：
巩固课堂上所
学的知识和方
法。
学生课后独立思考完成。
第六课时 两直线的交点坐标
一、教学目标
1、知识与技能：（1）直线和直线的交；（2）二元一次方程组的解。
2、过程和方法：（ 1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。（2）掌握数形结
合的学习法。（3）组 成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程。
3、情态和价值：（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。
（2）能够用辩证的观点看问题。
二、教学重点，难点
重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。难点：两直线相交与二元一次方程的关系。
三、教 学方法：启发引导式：在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一
次方程组的的相 互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一
次方程组解的问题。由此 体会“形”的问题由“数”的运算来解决。
教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学
四、教学过程
(一）、情境设置，导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。
课堂设问一 ：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两
直线相交于一点，这 一点与这两条直线的方程有何关系？

63

（二）、研探新知
1、分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系
已知两直线 L1：A1x+B1y +C1=0,L2： A2x+B2y+C2=0
如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。
几何元素及关系 代数表示

点A A（a，b）
直线L
点A在直线上
直线L1与 L2的交点A
L：Ax+By+C=0


课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？
学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？
（1）若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。（2）若二元一次方程组无解，则L 1与 L2
平行。(3)若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。
课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？
2、例题讲解，规范表示，解决问题
例题1：求下列两直线交点坐标：L1 ：3x+4y-2=0，L1：2x+y +2=0

3x4y20
解：解方程组

得 x=-2，y=2
2x2y20

所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2 ），如图3。3。1。
6
y
4
2
-55
x
-2
-4
< br>教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进
行 讲解。

64

同类练习：书本110页第1，2题。
例2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。
（1） L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0
（2） L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0
（3） L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。
（三）、启发拓展，灵活应用。
课堂设问一。当

变化时，方程 3x+4y-2+

（2x+y +2）=0表示何图形，图形有何特点？求出
图形的交点坐标。
（1）、可以一用信息技术，当 取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，< br>同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。（2）、找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结
论。
（3）、结论，方程表示经过这两条直线L1 与L2的交点的直线的集合。
例3、 已知
a
为实数，两直线
l
1
：
axy10
，
l
2
：
xya0
相交于一点，求证交点不
可能在第一 象限及
x
轴上.
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.
a
2
1
a1
解：解方程组若＞0，则
a
＞1.当
a
＞1时 ，－＜0，此时交点在第二象限内.
a1
a1
a
2
1
又因为
a
为任意实数时，都有
a1

1＞0，故≠0
a1
2
a1a
2
1
,
因为
a
≠1（ 否则两直线平行，无交点） ，所以，交点不可能在
x
轴上，得交点(－)
a1a 1
王新敞
（四）、小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为 代数问题来
解决，并能进行应用。
（五）、练习及作业：
1、光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。
2、求满足下列条件的直线方程。
经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直。
五、教后反思：

65

第七课时 直线与直线之间的位置关系-两点间距离
一、三维目标
1、知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
2、过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
3、情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题
二、教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
三、教学方式：启发引导式。
教学用具：用多媒体辅助教学。
四、教学过程
（一）、情境设置，导入新课
课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题
平 面直角坐标系中两点
PP
12


x
2
x
2



y
2
y
1

7，分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别
为
N
1

0，y
1

，M
2

x
2，
0

，直线
PN
11
与P
2
N
2
相交于点Q。
在直 角
ABC
中，
PPPQQP
1
向x轴作垂线，垂足为
1212
，为了计算其长度，过点
P
222
2
M
1

x
1，
0

过点 向y轴作垂线，垂足为
N
2

0，y
2

，于是有
PQM
2
M
1
x
2
x
1
，QP
2
N
1
N
2
y
2
y
1

1
所以，
PP
12

2
22 2222
PQQP
2
=
x
2
x
1
 y
2
y
1
。
1
66
2222

由此得到两点间的距离公式，
PP
12


x
2< br>x
2



y
2
y
1

22

在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
（二）、例题解答，细心演算，规范表达。
例1 ：以知点A（-1，2），B（2，
7
），在x轴上求一点，使
PAPB
,并求
PA
的值。
解：设所求点P（x，0），于 是有
2

x1



02

2
22


x2

2
07
2

由
PAPB
得
x2x5x4x11
解得 x=1。
所以，所求点P（1，0）且
PA
距离公式理解。应用。
解法二： 由已知得，线段AB的中点为
Ｍ

，


11



02

22
22
通过例题，使学生 对两点间

1２＋７

，直线AB的斜率为


２

2
k=
７－２
７－２２＋７３1

２２


＝

ｘ－

ＰＡ＝

１＋２＋０ －２＝２２

３
３２2

２－７

线段AB的 垂直平分线的方程是 y-
２＋７３1

＝

ｘ－


２2

２－７

在上述式子中，令y=0，解得x=1。所以所求点P的坐标为（ 1，0）。因此
ＰＡ＝

１＋２

＋

０－２< br>
＝２２

同步练习：书本112页第1，2 题
（三）、 巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。）
例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示 有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻
译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨 论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数
问题解决几何问题的基本步骤。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ
（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为
２２
ABa
2
，CDa
2
，ADb
2
c< br>2
BC

2222

67

２，< br>２
AC

ab

＋ｃ

ＢＤ＝

ｂ－ａ

＋ｃ
2
２
２
２
所以，
ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ

２２２２

２２２
ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ

２２２

所以，
２２
ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：进行有关代数运算。第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
（四 ）、课堂小结：主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几
何问题，建立 直角坐标系的重要性。
（五）、课后练习1.：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等。
2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。
3．（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距离是 。
五、教后反思：













２２２２２２

68

第八课时 两条直线的位置关系―点到直线的距离公式
一、三维目标：
1、
2、能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离


王新敞
3、情感和价值：认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题

王新敞
二、教学重点：点到直线的距离公式
王新敞
教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.
三、教学方法：学导式
教具：多媒体、实物投影仪
王新敞
四、教学过程
（一）、情境设置，导入新课
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直 线的夹角公式，两直
线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方 法.这一节，
我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线
l
的距离。
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关 系，且
在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？
能否用两点间距离公式进行推导？
两条直线方程如下：

69