2
．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）

（1）积化和差公式：
1
cos

cos

[ cos(



)cos(



)]
；
2
1
sin

sin

[cos (



)cos(



)]
；
2
1
sin

cos

[sin(



)sin(



)]
； < br>2
1
cos

sin

[sin(


)sin(



)]
.
2
（2）和差化积公式：学科+网
sin

sin
< br>2sin



2
cos



2
；
；
；
.
sin

sin< br>
2cos



2
2
2
sin



2
2
cos

cos

2cos



cos






2
cos

cos

2si n



sin

考向一

三角函数式的化简

1．化简原则
（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；
（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．
2．化简要求
（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；
（2）式子中的分母尽量不含根号.
3．化简方法
（1）切化弦；
（2）异名化同名；
（3）异角化同角；

3

（4）降幂或升幂．

典例
1
化简：
【解析
.
】原式
.
【方法技巧】
(1)
三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，
切化弦 ，特殊值与特殊角的三角函数互化．

(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．
(3)
在化简时要注意角的取值范围
.

1．
22cos821sin8
的化简结果为________．
考向二 三角函数的求值问题
1．给角求值
给角求值中一般所给出的角都是非 特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊
角之间总有一定的关系．解题时，要 利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊
角的三角函数，从而得解
.
2．给值求值
已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
3．给值求角
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．

4

（2）已知 正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是
(0,)
，则选正、余弦皆可；若角的范
围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为
(
4．常见的角的变换
（1）已知角表示未知角
例如：















，
2












,2

< br>








< br>
，
π
2
ππ
,)
，则选正弦较好.
2 2
2



(



)
，
2



(


< br>)

，


（2）互余与互补关系
例如：
(



2




2
，





2




2
.
π3ππππ


)(

)π
，
(

)(

)
.
44362
（3）非特殊角转化为特殊角
例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.

典例
2
求下列各式的值：

（
1
）
cos
π
3π
ππ
+cos-2sincos;
8848
-cos 12°+sin 54°.
（
2
）
sin 138°

【名师点睛】“给角 求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如
和或差为特殊角 ，必要时运用诱导公式.

2cos55
o
3sin5
o
2．的值为__________．
cos5
o

5

典例
3
已知
tan(α−β)=,tan β=−,
且
α,β
∈
(0,π),
则
2α−β=
A
．
π

4
B
．

D
．
π

4
C
．

3π

4
π
3π

或

44
【答案】C
1
2tan





2

4
,

【解析】因为
tan 2(α−β)=
1tan
2





1(
1
)
2
3
2
2
4

1




tan2





tan
< br>3

7


=1.
所以
tan(2α−β )=tan[2(α−β)+β]=
4

1

1tan2





tan

1



3

7

1

1





tan





tan

1
2

7


,
又
tan α=tan[(α−β)+β]=
1

1
31tan





tan

1 



2

7

又
α
∈
(0,π),
所以
0<α<
π
.
4
又
π
3π
<β<π,
所以
−π<2α−β<0,
所以
2α− β=

.
故选
C
．

24
【名师点睛】在 解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角
函数值尽可能地 缩小角的范围
.

3
．已知错误！未找到引用源。，且
0




（
1
）求错误！未找到引用源。的值．

（
2
）求错误！未找到引用源。的值
.


错误！未找到引用源。
.
2

6

典例4 在平面直角坐标系
（1）求
（2）求
的值；
的值.
中，以轴为始边作角，角的终边经过点.
【解析】（1）由于角
所以，
的终边经过点
.
，
.

【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量
,
哪些是已 知的
,
哪些是待求的
,
再利用已知条
件结合同角三角函数的基本关系 求出待求值
,
注意根据角的象限确定符号
.
这类求值问题关键在于结合条件
和结论中的角，合理拆、配角
.

4
．已知
tan






π

1
2cos

sin


，
tan





，则的值为
_________ _____.

44
5cos

sin


考向三 三角恒等变换的综合应用
1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题
（1）利用三角恒 等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ)＋t< br>的形式．
（2）利用公式
T
2π

(

0)
求周期．
（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲 线求值域或最值，另外求最
值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．
（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(ωx＋φ)＋t或y=Acos(ωx＋φ) ＋t的单调区间．
2．与向量相结合的综合问题

7

三 角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的
条件 ，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a=(x
1
，y
1< br>)，b=(x
2
，y
2
)，则a·b=x
1
x
2
＋y
1
y
2
，a∥b⇔x
1
y
2=x
2
y
1
，a⊥b⇔x
1
x
2
＋y
1
y
2
=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函
数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.
3．与解三角形相结合的综合问题
（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三
角恒等变换化简求解；
（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．
【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各 个
角均在
(0,)
内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.
π
2

典例5 已知函数
（1）求函数的对称中心及最小正周期；
，角，，所对的边分别为，，.若，且，
.
（2）
△ABC
的外接圆直径为
求的值.
【解析】（1）
f(x)43sinxcosxsinx3cosx123sin2x2cos2x4sin
2x
22


π


.
6

2π

π
，得最小正周期为.
2
ππ
k
π

(kZ)
， 令
2x kπ(kZ)
，得
x
6122
由
故对称中心为


π
k
π

，0

（

12 2

，∴.
）.
（2）∵
∵
∵
又∵
，，∴
，∴
，∴
，
，
，

8

即
∵
∴
∵
∴
，∴
，
，∴
.
，∴.
，
，即，

5．已知向量< br>a

sin

,2

,b

c os

,1

，且
a,b
共线，其中.
（1）求
（2）若
的值；
，，求的值.


1
．
cos45°·cos15°·sin15°
＋
sin45°
＝< br>
A
．
1

2
B
．
3

2
C
．
3

3
，则的值是
D
．
3

2．已知
A．

24

25
B．

12

25
C．
12

25
D．
24

25
3
．已知锐角
,

满足
sin


1025
，则



的值为

,cos


105
π

4
3π
π
D．或
44
B．
9
3π

4
π
C．
6
A．

4．已知
A．
C．


，则
B．
D．
，
B．


，则 5．已知为锐角，为第二象限角，且
A．

1

2
1

2
C．

6．函数
3

2
图象的一条对称轴为
D．
3

2
A．
x
π

4
B．
x
π

8
C．
x
π

8

D．
x
π

4
7．已知
cos2
< br>5
，则

π

2

2sin



4

1
A．


8
C．
B．
8

1

8
D．8
8．已知
cos


5
，且
5
，则__________．
9．已知，则__________(填“>”或 “<”)；__________(用表示).
10．在斜三角形
ABC
中，
tanAtanBtanAtanB1
，则
C
____________ _.
11．已知函数
f

x

sin
2
x23sinxcosxsin

x


π
< br>π

π

，若
sinxxx0x
0

0

为函数
4

4

2
f

x

的一个零点，则
cos2x
0< br>
__________．学科@网
12．已知
tan

2
．
（1）求
tan




π


的值；
4


10

（2）求







sin2

的值．
2
sin

sin

cos

cos2

1
13．在平面直角坐标系
别为
中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴 的正半轴，终边与单位圆的交点分
，点的纵坐标为． ．已知点的横坐标为
的值；
的值.
（1）求
（2）求







14
．
已知
(1)求函数
(2)设






,
的表达式;
,且,求
(),函数,函数的最小正周期为．
的值．

11 < /p>

15．已知函数
f

x

3cosxcos

x
（1）求
f

x

的单调递增区间 ；


π

π

1
2

sinx


.
2

6

2

（2）若
x

0，

，
f

x


，求
cos2x
的值.
6

4





16．在
△ABC
中，角
（1）求；
（2）若







，
△ABC
的周长为，求
△ABC
的面积.
所对的边分别为，.

π

3

1．（2016新课标全国Ⅱ理科）若cos(
A
．
7

25

−α)=
，则sin 2α=
45
1
B
．

5
1
C
．
−
5
D
．
−
7

25
2
．（
2016
新课标全国Ⅲ理科）若
tan


A
．
64

25
3
，则
cos
2< br>
2sin2



4
48
B
．

25

12

C
．
1 D
．
16
< br>25
3
．（
2017
北京理科）在平面直角坐标系
xOy中，角
α
与角
β
均以
Ox
为始边，它们的终边关于y
轴对称
.
若

sin


1
，则
cos(



)
=___________.
3
ππ
–sin
2
= .
88
4
．（
2018
新课标全国Ⅱ理科）已知
sinαcosβ1
，
cosαsinβ0
，则
sin(αβ)
__________．

5．（2016四川理科）cos
2
6
．（
201 6
浙江理科）已知
2cos
2
xsin2xAsin(

x

)b(A0)
，则
A=______
，
b=_ _______
．

34
7
．

（
201 8
浙江）已知角
α
的顶点与原点
O
重合，始边与
x
轴的非负半轴重合，它的终边过点
P
（
，-
）．
55
（Ⅰ ）求
sin
（
α+π
）的值；

（Ⅱ）若角
β满足
sin
（
α+β
）
=






8．（2018江苏）已知

,

为锐角，
tan


（1）求
cos2

的值；学 科+网
（2）求
tan(



)
的值．






5
4
，
cos(



)
．
5
3
5
，求
cosβ
的值．

13


13

变式拓展
1．【答案】−2sin4

22
【解析】原式=
4cos42 (sin4cos4)2|cos4|2|sin4cos4|
，
因为
53
π

4

π
，
42
所以cos4<0，且sin4所以原式=−2cos4−2(sin4−cos4)=−2sin4.
2．【答案】1
【解析】

2cos553sin5
2cos

60 5

3sin5
cos53sin53sin5
 1
.
cos5cos5cos5
1
,0

< br>，得错误！未找到引用源。
.
72
3
．【解析】（
1
）由错误！未找到引用源。
cos


错误！未找到引用源。，

于是错误！未找到引用源。
.

4
．【答案】
3

22
π
tan
cos

sin

1tan

π
4
tan




，

【解析 】因为
cos

sin

1tan

1ta n
π
tan

4

4
tan

14

π

tan





tan





π

π


4



且
tan



tan













，

π
44



1tan

< br>
tan





4

21

2π

1
cos

sin


54

3
.

将
tan





,tan





代入可得
54

4
cos

sin< br>
1
2

1
22

54
5．【解 析】（1）∵
a∥b
，∴
∴.
，即.

考点冲关
1．【答案】B
【解析】cos45°·cos15°＋sin45°·sin15°＝
2．【答案】A
【解析】
∴
3．【答案】B
【解析】因为锐角

,

，所以
cos


，∵，∴
，故选A．

.故选B．
，
3105
，
,sin


105

15

因此
cos





cos

c os

sin

sin


因为




0,π

，所以




4．【答案】D
310251052
，

1051052
π
，选B．
4
π
π

tan




tan
π


π

π

6

31

3


23
，故选D． 【解析】
tan




tan








ππ
663

1

3




1tan



tan
6

3

5．【答案】B
【解析】 因为为锐角，为第二象限角，
所以
因此sin
所以
因为为锐角，所以
6．【答案】C
【解析】由题意得
令
当时，
x
，得，
，
，
，cos

2)=cos
为第二象限角，
，
,
,选B．
，，
π
．
8
故
x
π
是函数图象的一条对称轴．故选C．
8
7．【答案】D
cos2

cos
2

sin
2

5
【解析】，从而
cos

 sin


π
2

sin


cos

2sin




4

1sin

cos

1
8
，故选D． 则
tan


tan

cos

sin

sin

cos

8．【答案】
，
4

3
且，所以
16
【解析】因为

，

所以．

10．【答案】
3π

4
【解析】在
△ABC
中，
tanAtanBtanAt anB1
，则
tanAtanB1tanAtanB,

tan Ctan

πAB

tan

AB



tanAtanB1tanAtanB
1
，
1tanAtanB1tanAtanB
0Cπ,C
3π3π，故答案为.
44
11．【答案】
351

8
< br>
π
π

π

f(x)2sin(2x)，化简可得
sinx

6

4

4< br>
【解析】由
f

x

sin
2
x23sinxcosx
sin

x

1
π1π1< br>，由
f(x
0
)2sin(2x
0
)0
，得
sin(2x
0
)=0
,
26264
πππ5ππ π
π15
，
2x
0

，所以
2x
0
0
，故
cos(2x
0
)
，
266 666
64
又
0x
0

此时：
cos2x
0
cos[(2x
0
)
π
6
πππππ35

1
.
]cos(2x
0
)cossin(2x
0
)sin
666668
π
π

4

tan


1

2

1
3
. 12．【解析】（1）
tan





4< br>
1tan

tan
π
1tan

1 2

4
tan

tan
（2）
sin2

2sin

cos



2
22
sin

sin

cos

cos2
1
sin

sin

cos



2cos

1

1

2sin
< br>cos

2tan

22
1
.
< br>sin
2

sin

cos

2cos
2

tan
2

tan

22
2
22
17

13．【解析】（1）因为点P的横坐 标为，P在单位圆上，α为锐角，所以cosα＝，
所以cos2α＝2cos
2
α－1＝．
（2）因为点Q的纵坐标为，所以sinβ＝．
又因为β为锐角，所以cosβ＝
因为cosα＝
．
， ，且α为锐角，所以sinα＝
， 因此sin2α＝2sinαcosα＝
所以sin(2α－β) ＝ ．
因为α为锐角，所以0＜2α＜π．
又cos2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝．
14
．
【解析 】(1)
因为函数
所以
(2)由
因为
所以
所以=
, 所以
,
===．
,得
,
的最小正周期为
．
,
,所以
=
,解得,
,
π

1 cos

2x

π

π

1
3

1


2


15．【解析】（1）
f

x

3cosxcos

x
< br>sin

x


3sinxcosx
22< br>262



31

13
31π
sin2x

cos2xsin2x

sin2xc os

2x




2

2 2
223

2



1

π
31
sin2xcos2x
sin

2x
< br>，
44
2

6


18

ππππ2π
2x2kπ
，即
2kπ2x2kπ
，
26233
ππ
则
k
π
xk
π
< br>，
63
令
2kπ
所以
f

x

的单调递增区间为

k
π



ππ
，k
π


，
kZ
.
63
（2）∵
f

x


1

π

3
π

3

，∴
sin
< br>2x


，
sin

2x


2

6

66

3

πππ< br>∵
x

0，

，∴
2x
，∴cos

2x


，
663
4
6 3


故
cos2xcos


2x
π


π

6



π

π

π

3π

1< br>

cos2xsin2x





6

6

6

26
2


23
6313
.


26
3223
，
，
，
，且
.
，
16．【解析】（1）因为
由正弦定理得
所以
所以
所以

所以
因为
所以

，
，所以
.
19
，

直通高考
1．【答案】D


< br>7





3

【解析】< br>cos

2





2cos
2




12

1，
44525





又
cos

2

2
7



< br>




cos(2

)sin2

，所以
sin2


，故选D．
25
2



4
【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是 把待求角用已知角表示：
(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
2
．【答案】
A
【解析】方法一：由tan α=
cos
2
α+2sin 2α=
2
,cos
2
α+sin
2
α=1,得或,则sin 2α=2sin αcos α=,则
+.
cos
2

4sin

cos

14tan

1364
.
故选
A
．

方法二：
cos
α+2sin 2α=

222
9
cos

sin

1tan< br>
1
25
16
【方法点拨】三角函数求值：

①< br>“
给角求值
”
将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求 出三角函数值；

②
“
给值求值
”
关键是目标明确，建立已 知和所求之间的联系．


【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常 用的一些对称关系包含：若

与

的终边关
于
y
轴 对称，则



π2kπ,kZ

，若
< br>与

的终边关于
x
轴对称，则



2kπ,kZ
，若


20

与
< br>的终边关于原点对称，则



π2kπ,kZ
.
4．【答案】
，，所以

， 【解析】因为
因此
5．【答案】
2

2
2
【解析】 由三角函数的半角公式得，
cos
ππ
sin
2

88< br>1cos
ππ
1cos
4

4
cos
π

2
.

2242
【名师点睛】本题也可以看作来自于课 本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有
许多三角函数的求值问题都是通过三 角函数公式把一般的三角函数求值转化为特殊角的三角函数求值而
得解．
6
．【答案】
2
，
1

【解析】
2cos
2
xsin2x2sin(2x)1
，所以
A2,b1.

【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简
cos
2
x
，再用辅 助角公式化简
cos2xsin2x1
，进而对照

4
Αsin


x


b
可得
Α
和b
的值．


8．【解析】（1）因为
tan


4
sin

4
，
tan


，所以
sin

cos

．
cos

3
3
9
，
25
因为
s in
2

cos
2

1
，所以
cos
2



21

因此，
cos2< br>
2cos
2

1
7
．
25（2）因为

,

为锐角，所以



(0,π)
．
又因为
cos(



)
525
，所以
sin(



)1cos2
(



)
，
55
因此
tan(



)2
． < br>4
2tan

24
，所以
tan2


，
2
1tan

7
3
tan2
tan(



)2

． 因此，
tan (



)tan[2

(


)]
1+tan2

tan(


)11
因为
tan


【名师点睛】三角函数求值的三种类型< br>
（
1
）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特 殊角的三角函数．

（
2
）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系 及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变
换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将 已知式的值代入，从而达到解题的目的．

（
3
）给值求角：实质是转化为< br>“
给值求值
”
，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．




22

23