三角恒等变换知识点和例题

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2020年08月15日 10:45
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高级审计师报考条件-证婚人致词


精品
三角恒等变换基本解题方法

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:



< br>sin





sin

co s

cos

sin

sin2
2sin

cos





< br>cos





cos

co s

m
sin

sin

cos2

cos
2

sin
2

                        2cos
2

112sin
2< br>
tan

tan

1+cos2


 tan





       cos< br>2


1
m
tan

tan
2
1cos2

                    sin
2


2
2tan

   tan2


1tan
2



如(1)下列各式中,值为
1
的是
2
2
tan22.5
o
1cos30
o
A、
sin15cos15
B、
cos
C、
D、
sin
1tan
2
22.5
o
1212
2oo

2

(2)命题P:
tan(AB)0
,命 题Q:
tanAtanB0
,则P是Q的
A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
(3)已知< br>sin(



)cos

cos(
< br>

)sin


3
,那么
cos2

的值为____
5
(4)
13

的值是______
sin10
o
sin8 0
o
00
1a
2
a3
(5)已知
tan110 a
,求
tan50
的值(用a表示)甲求得的结果是
,乙求得的结果是,对 甲、
2a
13a
乙求得的结果的正确性你的判断是______


2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察 角与
角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关
系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
(1)巧变角(已知角与 特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其
和差角的变换.

(



)

(



)


2

(


)(



)

2

 (



)(



)






,,






等)



2
2 22
2




-可编辑-


精品
如(1)已知
tan(



)




(2)已知
0







2

1


tan(
)
,那么
tan(

)
的值是_____
44 4
5

2




,且
cos(



1

2
)

sin( 

)
,求
cos(



)
的值
2923
(2)三角函数名互化(切化弦),
oo
如(1)求值
sin50(13tan10)







(2)已知



si n

cos

2
1,tan(


< br>)
,求
tan(

2

)
的值 1cos2

3
(3)公式变形使用(
tan

t an

tan





1mtan

tan



如(1)已知A、B为锐角,且满足tanAtanBtanAtanB1
,则
cos(AB)
=_____


(2)设
ABC
中,
tanAtanB33t anAtanB

sinAcosA




3
,则此三角形是____三角形
4
1cos2

1 cos2

2

sin



22
22
升幂公式 1cos2

2cos


1cos2

2sin

)。
(4)三角函数次数的降升(降幂公式:
cos


2
如(1)若

(

,

)
,化简



3
2
1111
cos2

为_____
22 22
2
(2)函数
f(x)5sinxcosx53cosx

5
3(xR)
的单调递增区间为___________
2





(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。
-可编辑-


精品
1
2

如( 1)化简:

2tan(x)sin
2
(x)
44
2 cos
4
x2cos
2
x







(6)常值变换主要指“1”的变换(
1sinxcosx
22

tan

sin

L
等),
42
22
如已知
tan

2
,求
sin

 sin

cos

3cos









(7)正余弦—
sinxcosx、

sinxcosx
”的内存联系――“知一求二”
如(1)若
sinxcosxt
,则
sinxcosx
__
< br>(2)若

(0,

),sin

cos


1
,求
tan

的值。
2
8、辅助角公式中辅助角的确定:
asinxbcosx
确定,

角 的值由
tan


a
2
b
2
sin
x


(其中

角所在的象限由
a
,
b
的符号
b
确定)在求最值、化简时起着重要作用。
a如(1)若方程
sinx3cosxc
有实数解,则
c
的取值范围是 ___________.
(2)当函数
y2cosx3sinx
取得最大值时 ,
tanx
的值是______
(3)如果
f

x

sin

x


2cos(x
)
是奇函数,则
tan

=




4、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选 择,其标准有二:一是此三
-可编辑-


精品
角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值)。
如(1)若

,

(0,

)
,且
tan


tan

是方程
x5x60
的两根,则求


的值______
2


(2)
AB C
中,
3sinA4cosB6,4sinB3cosA1
,则
C
=_______


(3)若
0





2


sin

sin
sin

0

cos

cos

cos

0
,求



的值






课后练习题
3


,

),sin

=,则tan(


)等于( )
5
2
4
11
A. B.7 C.- D.-7
77
1:(1)已知

∈(


(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 ( )
A.-


3:设cos(


33
11
B. C.- D.

22
22

12

π π
)=-,sin(-β)=,且<

<π,0<β<,
93
2222
求cos(

+β).









-可编辑-


精品
4:在△ABC中,角A、B 、C满足4sin
2





5. 已知α为锐角,且
tan









6.已知
f(x)

3sin
2
x

sinxcosx

(1) 求
f(








7:已知

7
AC
-- cos2B=,求角B的度数.
2
2
1< br>sin2

cos

sin

,求
的值.
2
sin2

cos2


13
25
)
的值; (2) 设

(0,

),f()
,求sinα的值.
24 2
6
sin
xx
2cos0
22
(1)求
ta nx
的值;
(2)求
cos2x
2cos(x)sinx
4< br>
的值.







8设函数f(x)=2
sinxcos
2

2

cos< br>x
sin


sin
x
(0

< br>

)

x

处取最小值.
-可编辑-


精品
(1)求

.的值;
(2)在
< br>ABC中,
a,b,c
分别是角A,B,C的对边,已知
a1,b2,f(A)
3
,求角C..
2


-可编辑-

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