杭州58同城网招聘-音乐教学工作计划

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专题03 三角恒等变换
知识必备
一、两角和与差的三角函数公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）< br>C
(



)
：
cos(



)
cos

cos

sin

sin


（2）
C
(


< br>)
：
cos(



)cos

cos

sin

sin


（3）
S
(



)
：
sin(


)sin

cos

cos

sin< br>

（4）
S
(



)
：
sin(



)sin

cos

cos

sin


（5）
T
(



)
：
tan(



) 
tan

tan

π
(

,

,



kπ,kZ)

1tan
tan

2
tan

tan

π
(

,

,



kπ,k Z)

1tan

tan

2
（6）
T
(



)
：
tan(

< br>
)
2．二倍角公式
（1）
S
2

：< br>sin2

2sin

cos


（2）
C
2

：
cos2


cos
2

sin
2

12sin
2

2 cos
2

1

（3）
T
2

：
tan2


3．公式的常用变形
（1）
tan

tan

tan(



)(1tan< br>
tan

)
；
tan

tan

1
2
2tan

πkππ
(

kπ 且

,kZ)

2
1tan

224< br>tan

tan

tan

tan
< br>1

tan(



)tan(


)
（2）降幂公式：
sin


1co s2

1cos2

1
2
；
cos
< br>
；
sin

cos

sin2


222
2
（3）升幂公式：
1cos2

2cos
2

；
1cos2

2sin
2
< br>；
1sin2

(sin

cos

)
；
1sin2

(sin

cos
)
2

（4）辅助角公式：
asinxbcosx
abs in(x

)
，其中
cos


22
a
a
2
b
2
,sin


b
a< br>2
b
2
，
tan


b

a
二、简单的三角恒等变换
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1．半角公式
（1）
sin

2


1cos


2
1cos


2
1cos

sin

1cos



1cos

1cos

sin

（2）
cos

2


（3）
tan
< br>2


【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：

2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）
（1）积化和差公式：
1
cos

cos

[cos(



)cos(



)]
；
2
1sin

sin

[cos(


)cos(



)]
；
2
1
s in

cos

[sin(



) sin(



)]
；
2
1
cos
sin

[sin(



)sin(



)]
.
2
（2）和差化积公式：
22





sin

sin< br>
2cossin
；
22



< br>
cos

cos

2coscos
；
22
sin

sin

2sin



cos



；
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cos

cos

2sin
核心考点
< br>

2
sin



2
.
考点一 三角函数式的化简与求值
sin47sin17cos30

__________． 【例1】（三 角函数式的化简）
cos17

sin20cos10cos160sin 10

【答案】1
sin47sin17cos30
【解析】
cos17

sin20cos10cos160sin10



sin

3017

sin17c os30
cos17

sin20cos10cos20sin10< br>

sin30cos17cos30sin17sin17cos30

cos17sin30
cos17sin30
1
．
cos17sin30
故答案为1．

备考指南
1．三角化 简、求值的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，
特殊值 与特殊角的三角函数互化．
2．三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．
3．在化简时要注意角的取值范围.

【例2】（给角求值）
cos75 cos15sin255sin165
的值是
A．

1

2
B．
1

2
C．
3

2
D．
0

【答案】B
【解析】
cos7 5cos15sin255sin165cos75cos15sin(18075) sin(18015)

cos75cos15sin75sin15c os(7515)cos60
1
，故选B．
2

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备考指南
给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角
之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的
三角函数，从而得解.

cos
2

1
【例3】（给值求 值）“

”是“
tan

2
”的
sin2

4
A．充分不必要条件
C．充要条件
【答案】C











B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
备考指南
已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．

【例4】（给值求角）已知
tan


A．
45

C．
120

【答案】D








1
，
tan

2
，
0

90
，
90

180
，则角



的值为
3






B．
60

D．
135

1
2
tan

tan

1

3
1
， 【解析】∵
tan


，
tan

2
，∴
tan






1tan

tan
1
1
2
3

3
∵
0
< br>90
，
90

180
，

< br>

90,270,



135
， 故选D.

备考指南
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

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通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数． 若角的范围是
(0,)
，则选正、余弦皆可；若角的范围
是(0，π)，则选余弦较好 ；若角的范围为
(
π
2
ππ
,)
，则选正弦较好.
22

考点二 三角恒等变换的应用
【例5】（与三角函数定义的综合应 用）如图，点
A
为单位圆上一点，
xOA
逆时针方向旋转
到点
B

,
π
，已知点
A
沿单位圆按
4

34


，则
sin2

的值为

55


24

25
12
C．
25
A．
【答案】B














7

25
14
D． < br>25
B．
【解析】由题意可得，cos（
π
3
π
4< br>π
+

）=，sin（+

）=，

∈（0 ，）．
45454
∴cos（
π
9777

2

π
+2

）=2
cos




﹣1=2×﹣1=﹣，即﹣sin2

=﹣，∴sin2

=，
4
225252525

故选B．
备考指南
1．理解三角函数定义.
2．熟练掌握三角恒等变换公式——二倍角公式，以及诱导公式.

【例6】（在三角形中的应用）在三角形
ABC
中，
tan
是 .
ABB
tantan
222
C
tan
2
A
tan
2
C
tan
的值
2
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【答案】1
备考指南
1．掌握三角恒等变换公式的逆用.
2．熟悉并记忆三角形中隐含条件：三角形内角和为π.
【例7】（在三角函数图象与性质中的应用）已知函数
f(x)3sinxcosxcos x
（1）当
x[
2
3
.
2

,]
时，求函数
yf(x)
的值域；
6 3

x
)
，若函数
g(x)
在区间
[ ,]
上是增函数，求

的最大值. （2）已知

0
，函 数
g(x)f(
21236
【解析】（1）
f(x)
∵
x[
31cos2x3
sin2xsin(2x)2
，
2226

,]
，
63

∴
2x[,]
，
666
1
∴
sin(2x)1
，
26
3
∴函数
yf(x)
的值域为
[,3]
.
2

x
)sin(

x)2
， （2 ）
g(x)f(
2123
2



 
,]
时，

x[,]
， 当
x[
3633363

,]
上是增函数，且

0
， ∵
g(x)
在区间
[
36
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

2

2k,kZ


3
2




32
,][2k,2k],kZ
，即

∴
[
，化简得


336322

2k,kZ


632
5



3k,kZ
，
4




112k ,kZ
15
k,kZ
，
1212
∴
k0
，解得

1
，因此，

的最大值为
1
.
∵

0
，∴

备考指南
1．熟练应用三角恒等变换公式变形.
2．掌握三角函数的图象与性质.
【例8】 （在解三角形中的应用）在
△ABC
中，角
A,B,C
的对边分别是
a,b,c
，若
bcosAacosBc
2
，
ab2
，则
△ABC
的周长为
A．5
C．7
【答案】A
【解析】由正弦定理可得
sinBcosAsinAcosBcsinC
，即
si n(AB)sinCcsinC
，
∵
sinC0
，∴
c 1
，故
△ABC
的周长为
1225
，故选A．




B．6
D．
7.5

备考指南
1．熟练应用三角恒等变换公式变形.
2．掌握正、余弦定理.

能力突破
1．若

(,)
，
3cos2
< br>sin(

)
，则
sin2

的值为
A．


2

4
17

18
B．
17

18
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C．

1

18
D．
1

18
【答案】A

2．已知

，

为锐角，且
tan

< br>1
25
，
cos






，则
cos2



7
5
B．A．
3

5
4

5

2

3
72

10
C． D．
【答案】C
【解析】

,



0,


π

21
，


< br>0,π，cos



，sin



,



2

55
11 7
tan

,sin

,cos


，
7
5252
∴
cos

cos







cos


< br>

cos

sin



< br>
sin


153

，
51010cos2

2cos
2

12
94
 1
,选C．
105
3．设

,

0,π,且满足
sin

cos

cos

sin

1
,则
cos

2


< br>
的取值范围为
A．
0,1

C．
1,1

【答案】B



B．
1,0





22

,
D．




22

sin

cos

cos

sin

sin





1
，
,π
，【解析】又

,

0
则
< br>

π,π
，所以




 
π
，
2
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所以
cos

2




cos




π


sin



1,0

，故选B．
2

4．已知
a
为正整数，
tan< br>
1lga,tan

lga
，且





，则当函数
4
f(x)asin

3 cos



[0,]

取得最大值时，
< br>
___________．
【答案】
5

6
【 解析】由条件知




tan

tan

π
，则由
tan





1
，得
tan






＝
1tan

tan

4

1lga

lga
1
1
，即

1lga

lg a0
，解得
a1
或
a
（舍去），则
1
< br>1lga

lga
10


2

f(x)sin

3cos

2sin




．因为

[0,π]
，所以

 [,]
，则当


，
3

33332

5
时，函数
f(x)
取得最大值．
6

5 ．设

(0,)
，且满足
6sin

2cos

3
.
3

（1）求
cos(

)
的值；
6

（2）求
cos(2

)
的值.
12
即


【解析】（1）∵
6sin

2co s

3
，
∴
sin(


6
，
)
64
∵

(0,)
，
∴



3

(,)
，
662
10
.
)
64
10
2
1
)2cos
2
(

)12()1
，
3644
∴
cos(


（2）由（1）可得：
cos( 2


∵

(0,)
，

3
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∴
2



(,)
，
33
15
.
)
34
302
.
)cos[(2

)]cos(2

)cossin(2

)sin< br>123434348
∴
sin(2


∴
cos(2


高考通关
1．（2016新课标Ⅱ理）若cos(
A．
7

25

−α)=，则sin 2α=
45
1
B．
5
1
C．−
5
D．−
7

25
【答案】D

【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：
(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．
2．（ 2016新课标Ⅲ理）若
tan


A．
64

25
C．1
【答案】A
3
，则
cos
2

2sin2



4
48
B．
25
16
D．
25
【解析】方法一：由tan α=
α=,则cosα
+
2sin 2α=
2
,cosα
+
sinα=1,得
22
或,则sin 2α=2sin αcos
+
.
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cos
2

4sin
cos

14tan

1364

2
方法二：cosα
+
2sin 2α=
cos
2

sin
2

1tan
2

1
9
2 5
.故选A．
16
【方法点拨】三角函数求值：
①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；
②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．
3．（2017北京理）在平 面直角坐标系
xOy
中，角α与角β均以
Ox
为始边，它们的终边关于
y
轴对称.若
1
，则
cos(



)
=___________.
3
7
【答案】


9
sin



【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以 及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若

与

的终边关
于
y
轴对称，则



π2kπ,kZ
，若

与

的终边关于
x
轴对称，则



2kπ,kZ
，若

与

的终边关于原点对称，则


π2kπ,kZ
.
4．（2018新课标Ⅱ理） 已知
sinαcosβ1
，
cosαsinβ0
，则
sin (αβ)
__________．
【答案】
，，所以

， 【解析】因为
因此
5．（2016四川理）cos
2
ππ
–sin< br>2
= .
88
【答案】
2

2< br>2
ππ
π
1cos1cos
2
π
sin【解析】由三角函数的半角公式得，
cos
4

4
cosπ

2
.

88
2242
【名师点睛】本题也 可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有
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许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式 把一般的三角函数求值转化为特殊角的三角函数求值而
得解．
6．（2016浙江理）已知< br>2cosxsin2xAsin(

x

)b(A0)，则
A
=______，
b
=________．
【答案】
2
，
1

【解析】
2cos
2< br>xsin2x2sin(2x)1
，所以
A2,b1.

【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简
cos
2
x
，再用辅助角公式化简
cos2xsin2x1
，进而对照
2

4
Αsin< br>

x


b
可得
Α
和
b
的值．
7．（2018江苏）已知

,

为锐角，< br>tan


（1）求
cos2

的值；
（2）求
tan(



)
的值．
【解 析】（1）因为
tan


4
sin

4
，
tan


，所以
sin

cos

．
cos

3
3
9
，
25
4
5
，
cos(



)
．
3
5
2
因为
sin
2

cos
2

1
，所以
cos


2
因此，
co s2

2cos

1
7
．
25
（2）因为

,

为锐角，所以



 (0,π)
．
又因为
cos(



)525
，所以
sin(



)1cos
2
(



)
，
55
因此
tan(



)2
． < br>4
2tan

24

，所以
tan2
< br>
，
1tan
2

7
3
tan2

tan(



)2

． 因此，
tan(



)tan[2

(



)]
1+tan2

tan(



)11
因为
tan


【名师点睛】三角函数求值的三 种类型
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变
换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．
你都掌握了吗？
有哪些问题？整理一下！

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