电子护照-胆小如鼠的意思

三角恒等变换（教法分析）

导言：同角三角比 两角和差 二倍角
注1：
框架分析
三类公式

1．
同角三角比

sin
2

cos
2

1

知一求五全stc


sin

cos

,sin

cos

,sin
cos

知一求二

sin

cos

tan

,cot




公式同角三角比经验“1 
cos

sin

< br>
齐次问题
tan

cot

1

其他公式


切割化弦


2.
两角和差
sin(



)sin

cos
< br>sin

cos




拆角
角 的变换




配角



辅助 角
asin

bcos

a
2
b
2
sin(



)
cos(



)cos

cos

sin

sin





公式两角和与差经验

tan

tan


切割化弦
tan(



)
1tan

tan


其他变式


特殊角的三角比比值配合
3.
二倍角
sin2

2sin

cos


< br>
22
cos2

cos

sin
< br>

2

升幂、降幂
=2cos

1


2
公式二倍角经验

切割化弦

=12sin


等



2tan

tan2



1tan
2



其他变式、公式


注2：
不含辅助角，诱导公式（默认常识）
1
哈佛北大精英创立

注3：
题型总结


给值求角

求值

给值(或式子)求值



给角求值
同角三角比









两角和 与差

应用

化简


从左到右


恒等式证明

从右到左
二倍角





证明



左右到中间



条件等式证明



1.
同角三角比
sin
2

cos
2

1

tan


sin


tan

cot

1

cos

注：这里需要介绍正割，余割；引导出“切割化弦”
例1 知一求五
sin
2

4
2
，求
(cos
3)(sin

1)
的值；
(1)
已知
1cos


(2)
若

是第二象限角，且
sin



m342m
,
cos


，求
m
的值 ；
m5m5
(3)
若
cot

csc
< br>5
，求
sin

的值

练习1：化简
(1)
若实数

,

满足
|cos

c os

||cos

||cos

|
，且
(,

)
，化简
2



cos

cos


2

(2)
若
sin



注：针对化简
a b
(0ab)
，化简
cot
2

cos
2


ab
2
哈佛北大精英创立

求值和证明，就其本身而言，不难；然而在求值和证明过程中，发现很难，难的原因在于：求值和证明之
前，需要化简。

1、三角比种类尽量少

2、项数尽量少


3、尽量使分母不含三角比
a.
化简的要求

4、尽量使被开方数不含三角比

5、能求值的尽量求出值


6、次数尽量低


六个三角比中，知一求五注意符号

si n

cos

,sin

cos

, sin

cos

知一求二



同 角三角比的关系公式

切割化弦


“1”的代换





齐次类型化成含tan

形式


灵活使用公式变形



通分、升幂、降幂
b.
化简的方法




拆角和配角

和、差、倍角 创造条件



利用特殊三角比比值



异角化同角、异名化同名、异次化同次




遇多元，考虑消元


辅助角公式


诱导公式
（各个小技巧的具体 方法可参考以前的材料，平时应加强化简训练，在运用中掌握）
c.
谈谈化简时的思维方向及选取
c1

三角函数题很多都是很简 练的形式，学生在审题时往往感觉无从下手，也不容易运用所学知识去解决问题。
学生在做这类问题时， 往往出现两种情况：一，无从下手；二，把条件胡乱转化，甚至出现循环计算。

练习2：证明
sin
2

cos
2

1 sin

1cos

cot


1s in

cos


(2)
tan



(1)
1cos

1sin

1cot

1tan


22

sin

tan


sin

tan


(3)


22

csc

cot


csc

cot

2
3
哈佛北大精英创立

(4)
已知
tan
2

2tan
2
< br>1
，证明：
sin
2

2sin
2
< br>1


注：
第一：左

右；右

左；左

中

右（方向）
第二：综合法；分析法（方向——逻辑方向）
第三：反证法；数学归纳法
第四：逆否命题；回归到源头

练习3：求值（本练习较难）
1sin
4

cos
4


(2)
若
f(cosx)cos17x
，求
f(sinx)

(1)
1sin
6

cos
6



1cos

sin

sin

s in

0
，求
sin


(3)
已知< br>
1cos

cos

sin

co s

0


(4)
已知

sin

cos

p,q
，且
p1,q0
，求
tan

tan

的值.
sin

cos

例2 知一求二
求
sin

cos


(2)< br>已知
sin

cos


(1)
已知sin

cos

2
，

练习1： 2



求
sin

cos

0



，
3

2

(1)
求函数
y

sinxcosx
的最大值
1sinxcosx
(2)
若
RtABC
的斜边
AB2，求其内切圆的半径
r
的取值范围

注：注意（1）（2）的关系
4
哈佛北大精英创立

(3)
已知
sin

,cos

是关于
x
的二次方程
2x
2
(21)xm0
的根，求

练习2：
cossin


的值
1cot
2

1tan
2

(1)
已知
sin
< br>mcos

n
，求
msin

cos

的值

(2)
已知
sin

sin
2

1
，求
cos
2

cos
4
的值

练习3：
nn
已知
sin
cos

a(0a2)
，求
sin

cos



注：
第一：注意例题和练习的关系
第二：注意本材料是如何建构三角恒等变换的知识体系，如何消除相关矛盾

例3 齐次问题
已知
tan

3
，求下列各式的值：
(1)

sin

3cos

2
co

s3co
2
s


(2)
sin

sin
2sin

5cos< br>
sin
3

cos


(3)
cos

sin


已知下列条件，求
tan


(4)
1sin
2

3sin

cos


(5)

sin

cos




注：正向思维和逆向思维

5
2
8

5
哈佛北大精英创立

例4 ‘1’的代换
请用“‘1’的代换”证明：
14




的最小值
(1)
已知


0,

，求函数
f(

)< br>22
sin

cos


2


12cos
2

tan

cot


(2)
sin

cos


注：“‘1’的代换”可以扩大到“常值代换”

2.
两角和差
sin





sin

cos
sin

cos


sin





sin

cos

sin

cos


cos





cos

cos

sin

sin


cos


< br>

cos

cos

sin

sin


tan







例1 常规运算
tan

tan

tan

tan


tan







1ta n

tan

1tan

tan

(1)
若
cosxcosy

11
,
sinxsin y
，求
cos

xy


23
(2)
计算：
csc10
o
3sec10
o


注：辅助角作为两角和差的特殊情况

(3)
已知






6,且

,

满足关系式
3(tan

tan< br>
a)2tan

3tan

0
,则
tan


.
注：正切的运算要提醒学生注意
6
哈佛北大精英创立

练习1：
(1)

1tan1
o

1ta n2
o

1tan3
o



1tan43

1tan44


oo
(2)
f(x)

cosx
,则
f1f2 f58f59
cos(30x)


____.
注：首尾之间的关系

练习2：证明
(1)
tan 20
o
tan30
o
tan30
o
tan40
o
tan40
o
tan20
o
1


( 2)
tan

AB

tan

BC

tan

CA

tan

AB

tan

BC

tan

CA
< br>

练习3：范围
(1)
若
sin

s in


2
，则
cos

cos
的取值范围是
(

)

2

1414< br>
22

2

A.

0,,,
< br>
C.

2,2


D.






B.


2222
2



求
tan





的取值范围
(2)
已知
tan

,tan

是关于
x
的方程
mx
2
2x7m32m0
的两个实根，

练习4：
(1)
证明：
sin(ABC)sinAcosBcosC cosAsinBcosCcosAcosBsinCsinAsinBsinC


(2)
证明：
sin(3A)3sinA4sin
3
A


注：练习4虽然是两角和差的发散方向，但并不是学生掌握的方向

7
哈佛北大精英创立

练习5：
(1)
计算：
sin
2
10
0
sin
2
50
0
sin
2
70
0


(2)
计算：
sin
3
10
0
sin
3
50
0
sin
3
70
0


例2 拆角和配角
sin7

cos15

sin8< br>
2cos10

sin20


(2)
计算：
(1)
计算：
cos7

sin 15

sin8

cos20


(3)
计算：

sin75cos75

sin75 cos75

3





3
3


5
,
0


，求
sin(



)
的值
(4)
已知cos





,
sin





，其中



444

4

5

4

13

(5)< br>证明：已知
7sin

3sin(



)
，证明：
2tan

注：侧重让学生知道：“如何拆如何配”

2



5tan

22
3.
二倍角
(
1
)
sin2
2sin

cos


(
2
)
cos2

cos
2

sin
2

12sin
2

2cos
2< br>
1

(
3
)
tan2


变式1：
2tan


1tan
2

(sin

cos

)
2
1sin2


变式2：
8
哈佛北大精英创立

(
i
)
升幂
1cos2

2cos
2


1cos2

2sin
2


(
ii
)
降幂
2cos
2

1cos2


2sin
2

1cos2


(
iii
)
半角公式
cos
变式3：

2

1cos


1cos


sin

222
tan

2

1cos

sin

1cos



1cos

1cos

sin

例1 常规运算
(1)
计算：
cos
2
15
o
cos
2
75
o
cos15
o
cos75
o

(2)
计算：
sin18
o
sin54
o


(3)
计算：
cos

练习1：求值

11
cos
2

4

8

16


2

3

4

5

coscoscoscoscoscos

(4)
计算：
coscos

1111111
(1)
cos40
o
(13cot80
o
)

(2)
tan70
o
cos10
o
(3tan20
o
1)


(3)
sec50
o
cot80
o


例2 升幂和降幂
(1)
已知
sin

sin


11




,
cos

cos< br>

，求
cos
2

23

2

的值

(2)
化简：

34cos2

cos4


34cos2

cos4

9
哈佛北大精英创立

(3)
化简：

1cos

sin

1cos

sin



1cos

sin

1cos

sin

(4)
已知
tan

tan


1
，求
(2cos 2

)(2cos2

)
的值
3

注：可针对该材料进行相关丰富和发展，或颠覆
哈佛北大精英创立

10