3.2 简单的三角恒等变换(教、教案)
雷锋日活动-群众路线对照材料
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3． 2
简单的三角恒等变换
【教学目标】
会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生
推导半角公式，积化和差、 和差化积公式<公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换
元、方程等数学思想解决问题的
能力。
【教学重点、难点】
教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式
，积化
和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和
方法，体会三角变换的
特点，提高推理、运算能力。ICq7WURgYY
教学难点：认识三角变换的特点，
并能运用数学思想方法指导变
换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
ICq7
WURgYY
【教学过程】
复习引入：复习倍角公式、、
先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意
。既然能用单角
表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？
半角公式的推导及理解 ：
例1、
试以表示．
和来做解读：我们可以通过二倍角
此题．<二倍角公式中以
代
2
，代
）
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解：因为
因为
，可以得到
，可以得到．
；
两式相除可以得到．
点评：⑴以上结果还可以表示为：
并称之为半角公式<不要求记忆），符号由角的象限决定。
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、
求值、证明。
⑶代数
式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常
常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并
以此为依据选择可
以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。
ICq7WURg
YY
变式训练1：求证
积化和差、和差化积公式的推导<公式不要求记忆）：
例2：求证：
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<１）
<２）．
；
解读：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证
式子的联系。
证明：<１）因为
我们从等式右边着手．
；
两式相加得
即
<２）由<１）得
，
那么
把
．
的值代入①式中得．
；
①；设
；
．
和是我们所学习过的知识，因此
点评：在例２证明中用到了换元思想，<１）式是
积化和差的形式，
<２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和
差、和差
化积的公式．ICq7WURgYY
变式训练2：课本p142 2<2）、3<3）
例３、求函数的周期，最大值和最小值．
解读：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值。
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解：
所以，所求的周期
，
，最大值为２，最小值为．
点评：例３是三角恒等变
换在数学中应用的举例，它使三角函数中
对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简
三
角函数式中的作用．ICq7WURgYY
变式训练3：课本p142
4、<1）<2）<3）
探究：求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值．
小结：我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等
数学思想方法加深认识，学会灵活运用
．
作业布置：课本p143 习题3.2 A组1、<1）<5） 3 、5
4
9
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3．2
简单的三角恒等变换<导学案）
课前预习学案
一、预习目标：回顾复习两角和与差
的正弦、余弦和正切公式
及二倍角公式，预习简单的三角恒等变换。
二、预习内容：
1、回顾复习以下公式并填空：
Cos(α+β>=
Cos(α-β>=
sin(α+β>=
sin(α-β>=
tan(α+β>=
tan(α-β>=
sin2α=
tan2α=
cos2α=
2、阅看课本P139---
141例1、2、3。
三、提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下
面的表格中
疑惑点
课内探究学案
一、学习目
标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和
证明，会推导半角公式，积化和差、和差化积公式<公
式不要求记
忆），进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能
力。ICq7WU
RgYY
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疑惑内容
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学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和
差、
和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，
体会三角变换的特点，提
高推理、运算能力。ICq7WURgYY
学习难点：认识三角变换的特点，并能运
用数学思想方法指导
变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
ICq7WUR
gYY
二、学习过程：
探究一：半角公式的推导<例1）
请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。
1、2α与α有什么关系？α与α2有什么关系？进一步体
会二倍角公式和半角公式的应用。
2、半角公式中的符号如何确定？
3、二倍角公式和半角公式有什么联系？
4、代数变换与三角变换有什么不同？
探究二：半角公式的推导<例2）
请同学们阅看例2，思考以下问题，并进行小组讨论。
1、两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？它们与例
2在结构形式上有什么联系？
2、在例2证明过程中，如果不用<1）的结果，如何证明
<2）？
3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？
探究三：三角函数式的变换<例3）
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请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。
1、例3的过程中应用了哪些公式？ 2、如何将形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如
y=Asin(ωx+φ>的函数？
并求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最
小值．ICq7WURgYY
三、反思、总结、归纳：
sinα2=
cosα2=
tanα2=ICq7WURgYY
sinαcosβ= cosαsinβ=
cosαcosβ= sinαsinβ=
sinθ+sinφ= sinθ-sinφ=
cosθ+cosφ= cosθ-cosφ=
四、当堂检测：
课本p143 习题3.2 A组1、<3）<7）2、<1）B组2
课后练习与提高
一、选择题：
1．已知cos<α+β）cos<α－β）=，则cos2α－sin2β的
值为< ）
A．－
C．
B．－
D．
2．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是< ）
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A．等边三角形
C．不等边三角形
3．sinα+sinβ=
B．等腰三角形
D．直角三角形
A．－
C．
二、填空题
4．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．
5．已知α－β=
_________．
三、解答题
6．已知f
D．
B．－
<1）将f
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申明：
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途。
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