文科状元-高考数学压轴题

三角恒等变换
一、知识点：
（一）公式回顾：

cos





cos

cos

sin

sin

.简记：C
（

< br>
）


sin





sin

cos

cos

sin

.简记：S
（



）


tan

tan


tan(


),简记：T






1
tan

tan




s in2

2sin

cos

，简记S
2


22
cos2

cos

sin

,简记C
2



2tan

k
tan2

(

且

k

）,简记T
2


2
1tan

242


2222

cos2cossin2cos112sin

二倍角公式不仅限于2 α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α2是α4
的两倍，3α是3α2的两倍，α3是α6 的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公
式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是 β的二倍角。凡是符合
二倍角关系的就可以应用二倍角公式。

（二）公式的变式

1sin2

(sin

cos

)
2

1cos

cos

2
1cos2

2cos

22


1cos2

2sin
2


1cos

sin

cos
2


1cos2

22

2


1cos2

2
sin

sin



2

1cos

2< br>
tan


21cos

cos
1 cos

sin

1cos



2

tan
2

1cos


1cos


sin



公式前的号，取决于
2

合一公式：
所在的象限，注意讨论.



ab
22
ab

sinxcosx


asinxbcosx

2222
abab



b
22
absin(x

)其中tan
< br>


a


二典例剖析：
基础题型


题型一：公式的简单运用
例1:

[ 课本例题]已知sin2


5
13
,

4




2
,求sin4

,cos4

,tan4

.


[同型练习]已知cos


12
,





,




2132
,求sin

2
< br>
,cos

,tan

.

[课本例题] 在△ABC中，cosA
4
,tanB2,求tan(2A2B).

5

[提高练习]已知sinx
3
,x

< br>
,



,tan(

y)
1
,求tan(x2

5

2

2
y).
题型二：公式的逆向运用
例2:

1.求下列各式的值：

(1)sin22.5cos22.5;(2)
2tan15

1t an
2
15
;(3)12sin
2
75

2.化简下列各式：


1tan
2
3

(1)sin
4

4



2
cos
2
;(2)
2
3

;(3)sin

< br>



4

cos







tan

4


2

3.求值：(1)cos

5

12< br>cos
12
;(2)cos36cos72

题型三：升降幂功能与平方功能的应用
例3.
1.化简下列各式：
(1) 1sin40;(2)1sin

;
(3)1cos20;(4)1co s

2.化简：(1)
1sin2

cos2

1sin2

cos2

;(2)
1sin2
< br>cos2

1sin2

cos2

3.已知 sinxcosx
1
3
,0x

,求sin2x和cos2 x.

提高题型：
题型一：合一变换
例1




12
3cos

12

2.当锐角< br>
取何值时,(13)sin2

(13)cos2

有最大值？并求这个最


3.求y3sin(x10)5sin(x70 )的最大值.
方法：角不同的时候，能合一变换吗？

大值.

4.

求函数y2sin(x10)2cos (x55)的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值


5.
f(x)asinxbcosx,当f()1且f(x)的最小值为k时，求k的取值范围.
3

32sinx
6.

求函数y的值域.
22cosx
方法：
时的x的值.
1.转化为与圆有关的最值2.合一变换+有界性3.万能公式换元为二次分式

题型2：角的变换（1）把要求的角用已知角表示
例2

821
1.已知

,

为锐角，sin

,co s(



),求cos

的值.

1729

41
[类似题]

,

为锐角 ,cos

,tan(



),求cos

的值.

53


3

312
2.已知



,sin(



) ,cos(



),求cos2

的值.

24513



12






[类似题]已知cos


,sin



,且



,0
,求cos.


2

93222

2


方法：1、想想常见的角的变换有哪些？2、求值时注意讨论研究角的范围。

< br>12



3

5





3







,sin




,且


0,

,



,

,求 sin(



).

45413444


5


3< br>





3

3


[类似题]已知

,，

0,，cos

，sin

,求sin(



).


44

4

4
5

4

13

4.已知sin(2



)2sin

,求证：tan

3 tan(



).


[类似题]已知7sin

3sin(



),求证：2tan(
2< br>


)5tan

.
22

证明的方法也是角的变换：把要求证的角转化为已知的角.

（2）互余与互补




3tan




< br>


6

1.已知cosxm,则sin2

x

______.2.化简：

4




13cot






3


7

7

sin2x 2sin



3



3
x ，求

3.已知sin

x

,求sin2x4.已 知cos

x

,且
1241tanx

4

5

4

5



x

,



x
三者关系
x

,

2

方法： 善于发现补角和余角解题，关注

题型3：非特殊角求值
例3:
2cos10sin20sin7cos15sin8
1.; [类似题]

cos20cos7sin15sin8

1313
2.; [类似题]
sin10cos10sin50cos50
44
2x


8

1
tan

12
;[类似题]sin
2

12
cos
2

8



4.
1
2sin170


5.(tan10
2sin70
3)
cos10
sin50

1cos20

6.sin10(cot5tan5)
2sin20

131


7.



22


cos80cos10

cos20

8.2sin50sin10(1


3tan10)

2sin
2
80
方发：(1)减少非特殊角的数量；(2) 注意“倍”、“半”。
题型4：式的变换
1、tan(α±β)公式的变用

tan

tan

tan(



)(1tan

tan
)



1tan

1tan

tan(

4


)
1tan

1 tan

tan(

4


)
例4:

化简：


1.

tantanta ntan;[类似题]tan111tan114tan111tan114126126



2.

tan18t an423tan18tan42[类似题]tan(x)tan(x)3
< br>tan(x)tan(x)

6666


20tan60tan60tan10tan10tan20

4. (1tan1)(1tan2)

(1tan44)(1tan45)

(18x)tan(12x)3

tan(18x)tan(1 2x)


x

x

()tan()
2442


由5可推广：



,则(1tan

)(1tan

)2,为 什么？










2、齐次式

sincos
1212
1.

sincos
1212
2.已知tan

,tan

是方程6x5x10的两个实数根
22
2
4
.求:(1)ta n(



)的值；
(2)sin(



)cos(



)sin(



)3cos(



)的值.

3、“1” 的运用（1±sinα, 1±cosα凑完全平方）

1.化简下列各式：


(1)1sin

;(2)1cos

1sin2

cos2

1sin2

cos2

2.化简：(1);(2)

1sin2

cos2
1sin2

cos2


1
3.已知 sinxcosx,0x

,求sin2x和cos2x.

3

4、两式相加减，平方相加减
34

1.已知sin

sin

,cos

cos

 ,求cos(



).

55

11< br>[类似题1]已知cos

sin

,sin

cos

,求sin(



).

23

[类似题2]已知sin

sin

s in

0,cos

cos

cos
0,求cos(



).

13
2.已知 cos(



),cos(



) ,求tan

tan

的值.

55

11tan

的值.

[类似题]已知sin(



),sin(



),求
23tan< br>

31

3.(2004全国)锐角ABC中,sin(AB) ,sin(AB),(1)求证：tanA2tanB
55

(2)若AB3,求AB边上的高.


[类似题]ABC中,BAC 45,BC边上的高把BC分成BD2,DC3的两部分，求
5、一串特殊的连锁反应（角成等 差，连乘）

求值：36cos72

10sin30sin50 sin70[类似题]sin6sin42sin66sin78


2

3

4

5

x xx
coscoscos[
类似题
]coscos

c os

n
4
2

题型5：函数名的变换
ABC的面积.
要点：(1)切化弦；(2)正余互化

2
< br>
,
3

2



例5:

1.(1)若f(cosx)cos17x,求证：f(sinx)sin17x(2) xR,nZ,且f(sinx)sin(4n1)x,求f(cosx)

2
2cos

1

3.化简sin 2

(1tan2

tan

).

2 .化简

2
2tan(

)sin(

)< br>
44


135
4.若锐角

,

满足tan

tan

,且sin(

< br>
),求(1)cos(



);(2)cos(



).

73

题型6：给值求角 要点：先确定角的范围（尽可能缩小），再选择恰当的函数
例6:


1.

,

为锐角,co s


25
,sin


10
,求



的值.

510


[类似题] 已知

,

为钝角,且sin


5
,s in


10
,求



的值.

510

111

2.

,

,

为锐角,tan

,tan

,tan
< br>,求





.
258

11

3.已知tan(



),tan
,且

(0,

),

(0,
),求2



的值.

27


[类似题]已知0



,0



,且3sin

sin(2



) ,4tan

1tan
2

,求



的值.

4422

4.已知3sin
2
2sin
2

1,3sin2

2sin2
< br>0,

,

为锐角，求

2

.


题型7：化简与证明
方法：上述7类常见方法
思路：变同角，变同名，变同次
例7:

2



1.已知7sin

3sin(



) ,求证：2tan5tan

22

1＋sin

co s

1＋sin

cos


2.化简：

1＋sin

cos

1＋si n

cos




(1sin

cos

)(sincos)

3.化简
22
(0



)

22cos


1


2

si n
2

cos
2

cos
2

cos2

cos2

.
2





1＋sin

3cos



5. 化简：

2tan()


42



2cos
2
()cottan

22

42

题型8：综合应用
例8:
f(x)
sin2xcos2x
.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x) 的值域.1.设

tanxcotx




2

2.已知函数f(x)2cosx23s inxcosxa,若f(x)在

，

上最大值与最小值之和为3，求 a的值.


63






2


3.已知函数f(x) 3sin

2x

2sin

x

,xR.
612


(1

)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.


06福建)若函数f(x)sin
2
x3sinxcosx2cos
2
x.4.(

(1

)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

)函数f(x)的图象可以由函数( 2ysin2x的图象经过怎样的变换得到？

总结：
一、Sα±β、 Cα±β公式的逆向运用
 （1）变角，以符合公式的形式 （2）合一变换
二、角的变换
 1、变换角：要点：（1）把要求的角用已知角表示；（2）注意角的范围
 2、互余与互补
三、非特殊角求值
 方向：（1）减少非特殊角的个数 （2）关注倍、半角关系（3）利用一些
特殊的数值
四、式的变换
 1、tan(α±β)公式的变用
 2、齐次式
 3、 “1”的运用（1±sinα, 1±cosα凑完全平方）
 4、两式相加减，平方相加减
 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）
五、函数名的变换
 要点：（1）切割化弦；（2）正余互化
六、倍、半角公式的功能
 （1）升降幂功能，（2）平方功能（ 1±sinα, 1±cosα）
七、给值求角问题
 要点：（1）先确定角的范围（尽可能缩小），（2）选择恰当的函数
八、化简与证明问题
 思路：变同角，变同名，变同次
补充公式（了解）
< br>1





sin

sin

2sincos

sin

cos



sin(



)sin(

< br>
)

222

1






cos
sin



sin(



)s in(



)

sin

sin
2cossin

222







cos

cos


1

cos(



)c os(



)

cos

cos
2coscos

222

1





cos

cos

2sinsi n

sin

sin



cos(< br>


)cos(



)
< br>222

3

sin3

3sin

4sin


cos3

4cos
3

3cos





2sincos2tan


22< br>
2
.sin

2sincos

22
2

2

2


sincos1tan
222


2

2

2

cossin1tan

2

2

22

2
.sin

cos

cos
22
2

2

2


sincos1tan
222



2tan

2
.

tan


2

1tan

2