盐城职业技术学院-残疾人低保申请书

三角恒等变换综合
北京四中 苗金利
一、知识要点
1．三角函数式的变形应利用三角公式从以下三个方面入手：
（1）变名：注意条件与结论中三 角函数式的名称有什么差别及联系，
通过同角三角函数公式，诱导公式，万能公式等，达到统一函数名称 的目
的．
（2）变角：注意条件与结论中三角函数式的角有什么差别及联系，通
过诱导公式、和、差、倍、半角的三角函数公式等，达到把三角函数中的
角统一起来的目的．
（3）变运算形式：根据需要，将条件与结论的运算形式化一，将等式
一边的运算形式化 成另一边的运算形式，通过升次与降次的转化以达到目
的．
2．应用三角变换公式， 要注意公式间的联系，公式成立的条件．每
个三角公式的结构特征，都决定了它的双向功能，从左到右及 从右到左常
常可起到不同的作用．所谓三角恒等变形是指在有意义的条件下有恒等关
系，但三角 变换常常会改变三角式中角的取值范围，因此在讨论由三角函
数式表示的函数性质时，应首先确定其定义 域，以确保变形后的函数与原
函数是同一函数．

二、典型例题
例1．某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一
个常数．
(1)
sin13cos17sin13cos17

(2)
sin15cos15sin15cos15

(3)
sin18cos12sin18cos12

(4)
sin(18)cos48sin(18)cos48

(5)
sin(25)cos55sin(25)cos55

Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你
的结论．
解：














22
22
2
2
2
2
2
2
xx
3
例2．求函数
y
的值域．
42
2(x2x1)
解：

例3．设
f

x< br>
4cos(

x

6
)sin
xcos(2

x

)
,其中

0.< br>
(Ⅰ)求函数
yf

x

的值域；
(Ⅱ)若
f

x

在区间


解：




















例4．设
aR
，
f

x

cosx

asinxcosx

cos

2

3


,

上为增函数,求
的最大值．

22




x

满足

2


11




f



f

0

，求函 数
f(x)
在
[,]
上的最大值和最小值．
424

3

解：