拔火罐的方法-安全承诺书

三角恒等变换的应用

【第一课时】

【教学目标】

1．了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．
2．掌握半角的正弦 、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化
简、求值和恒等式的证明．
【教学重难点】

掌握半角的正弦、余弦和正切公式.
【教学过程】

一、直接导入
前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正 切公式，倍角公式，以及它们的一些应用，
初步感受到了这些三角恒等变换在研究三角函数性质中的重要 性.这里我们将继续学习前面所
学公式的应用.
二、新知探究
1．化简问题
1＋sin α
3π
【例1】已知π<α<
2
，求＋
1＋cos α－1－cos α
1－sin α
的值．
1＋cos α＋1－cos α
α
[思路探究]

解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据
2
的范围开方化筒．
α

α

2

α

α

sin
2
＋cos
2

2

sin
2
－cos
2


[解]

原式＝
＋
α

α

α

α

2

cos
2

－2

sin
2

2

cos
2

＋2

sin
2

 
3ππα3παa
∵π<α<
2
，∵
2
<
2<
4
，∵cos
2
<0，sin
2
>0.
α

α

sin
2
＋cos
2
2

∵原式＝
α

＋

α
－2

sin
2
＋cos
2


α

α

sin
2
－cos
2

2

α



α
2

sin
2
－cos
2


110

αααα
sin
2
＋cos
2
sin
2
－cos
2
α
＝－＋＝－2cos
2
.
22
αα
【教师小结】要熟记一些可用公式的形式，如：1＋cos α＝2sin
2
2
，1－cos α＝2cos
2
2
，1±sin
α

2

α
α＝

sin
2
±cos
2

等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路．

2．求值问题
35πθθθ
【例2】已知|cos θ|＝
5
，且
2
<θ<3π，求sin
2
，cos
2
，tan
2
的值．
[思路探究]

由题意求cos θ
θθ
―→由半角公式求sin
2
2
， cos
2
2

θθθ
―→求sin
2
，cos
2
―→求tan
2

5π3
[解]

由
2
<θ<3π，且|cos θ|＝
5
可知，
3θ

5π3π

cos θ＝－
，
∵

4
，
2

.
52

3
1＋
5
θ
1－cos θ
4
由sin
2
2
＝＝＝
225
得，
θ
sin
2
＝－
2
θ
425
5
＝－
5
.
3
1－
5
1＋cos θ
1
由cos
2
＝＝＝
225
得，
θ5
cos
2
＝－
5
.
θ25
sin
2
－
5
θ
∵tan
2
＝＝2．
θ
＝
5
cos
2
－
5
θ
2θ
【教师小结】已知θ的某三角函数值，求
2
的相应三角函数值时，常借助于半角 公式sin
2
＝
1－cos θ1＋cos θ1－cos θ
θsin θ
2
θ
，cos＝，tan ＝＝
2222
1＋cos θ
sin θ
来处理，由于上述式子中可能涉及解
θ
的不定性，故在求解中应 注意求
2
的范围.
210

3．三角恒等式的证明
【例3】（1）求证：1＋2cos
2
θ－cos 2θ＝2；
1＋cos x
2sin xcos x
（2）求证：＝
sin x
.
sin x＋cos x－1sin x－cos x＋1
[思路探究]（1）可由左向右证：先把左边cos
2
θ降幂化为同角后整理可证．
（2）可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化．
1＋cos 2θ
[解]（1）左边＝1＋2×
－cos 2θ＝2＝右边．
2
所以原等式成立．
（2）左边＝
2sin xcos x
xxxxxx


2sin
2
cos
2
－2sin
2
2

2sin
2
cos
2
＋2sin
2
2




xx
cos
2
2cos
2
2
1＋cos x
2sin xcos xsin x
＝＝＝＝＝＝右边．
xxxxxxsin x
x

4sin
2
2

cos
2
2
－sin
2< br>2

2sin
2
2
sin
2
2sin
2
cos
2


所以原等式成立．
【教师小结】三角恒等式证明的五种常用方法：
1执因索果法：证明的形式一般化繁为简.
2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.
3拼凑法：针对题设和结论之间的 差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言
之，即化异求同.
4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”.
5分析法：从被证明 的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的
事实为止，就可以断定原等式成立.
三、课堂总结
常用的三角恒等变换思想方法
(1)常值代换
用某些三角 函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关
公式，化简得以顺利进行． 我们把这种代换称为常值代换．
(2)切化弦
当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tan α＝
310

sin α
cos α
，将正切化为正弦和余弦 ，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角
函数名称．
(3)降幂与升幂
11
由C
2α
变形后得到公式：sin
2
α＝
2< br>(1－cos 2α)，cos
2
α＝
2
(1＋cos 2α)，运用它就是降幂．反
过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos 2α＝2cos
2
α，1－cos 2α＝2sin
2
α，就是升幂．
(4)角的变换
角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简 化．常见的
11
角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝
2[(α＋β)＋(α－β)]，α＝
2
[(α＋β)－(β－α)]，α＋
β＝( 2α＋β)－α等.
四、课堂检测
3α

3

π，2π

1．已知cos α＝
5
，α∵
2
，则sin
2
等于(

)

5
A．
5


4
C．
5

α

3

A

[由题知
2
∵

4
π，π

，

αα
∵sin
2
>0，sin
2
＝
5
B．－
5

25
D．
5

1－cos α
5
＝
25
.]
5
2．已知sin α－cos α＝－
4
，则sin 2α的值等于(

)
7
A．
16

9
C．－
16

7
B．－
16

9
D．
16

525
2
C

[由sin α－cos α＝－
4
，(sin α－cos α)＝1－2sin α·cos α＝1－sin 2α＝
16
，所以sin 2α＝
9
－
16
.]
3
3．函数y＝
2
sin 2x＋cos
2
x的最小正周期为________．
π

13311

2
2x＋
π

[∵y＝
2
sin 2x＋cosx＝
2
sin 2x＋
2
cos 2x＋
2
＝sin

＋，∵函数的最小正 周期T
6


2
410

2π
＝
2
＝π.]
1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ
4．求证：
＝
.
2tan 4θ
1－tan
2
θ
[证明]

原式可变形为
1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)，
sin 2θ
∵式右边＝
cos 2θ
(1＋2cos
2
2θ－1＋2sin 2θcos 2θ)
sin 2θ
＝
(2cos
2
2θ＋2sin 2θcos 2θ)＝2sin 2θ(cos2θ＋sin2θ)
cos 2θ
＝2sin 2θcos2θ＋2sin
2
2θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边．
∵∵式成立，即原式得证．
∵
【第二课时】

【教学目标】

1．能根据公式S
α±β
和C
α±β
进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．
2．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进 一步体会三角变换的特点，提高推理、
运算能力．
【教学重难点】

三角函数的积化和差与和差化积公式
【教学过程】

一、问题导入
两个三角函数的和、差、积是怎么进行运算的？可以用之前学过的公式进行推导吗？
二、合作探究
1．积化和差问题
【例1】（1）求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
（2）求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
[思路探究]

利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．
[解]

（1）sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°
11
＝
2
(sin 90°－sin 50°)－
2
(cos 60°－cos 40°)
111
＝
4
－
2
sin 50°＋
2
cos 40°
510

1111
＝
4
－
2
sin 50°＋
2
sin 50°＝
4
.
（2）原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°
3
＝
2
cos 10°cos 50°cos 70°
3

1

＝
2

2
cos 60°＋cos 40°·cos 70°




33
＝
8
cos 70°＋
4
cos 40°cos 70°
33
＝
8
cos 70°＋
8
(cos 110°＋cos 30°)
3333
＝
8
cos 70°＋
8
cos 110°＋
16
＝
16
.
【教师小结】积化和差公式的功能与关键
1功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式.
②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.
2关键是正确地选用公式 ，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三
角函数.
2．和差化积问题
11
【例2】已知cos α－cos β＝
2
，sin α－sin β＝－
3
，求sin(α＋β)的值．
[思路探究]利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．
1
[解]

∵cos α－cos β＝
2
，
α＋βα－β
1
∵－2sin
2
sin
2
＝
2. ∵
1
又∵sin α－sin β＝－
3
，
α＋βα －β
1
∵2cos
2
sin
2
＝－
3
. ∵
α－β
∵sin
2
≠0，
α＋βα＋β
33
∵由∵∵，得－tan
2
＝－
2
，即tan
2
＝
2
.
α＋βα＋β
2sin
2
cos
2
∵sin( α＋β)＝

α＋βα＋β
sin
2
2
＋cos
2
2
610

2tan
α＋β
3
＝
2
2×
2
12
1＋tan
2
α＋β
＝
21＋
9
＝
13
.
4

1．(变结论)本例中条件不变，试求cos(α＋β)的值．
[解]

因为cos α－cos β＝
1
2
，
所以－2sin
α＋βα－β
1
2
sin
2
＝
2
. ∵
又因为sin α－sin β＝－
1
3
，
所以2cos
α＋βα－β
＝－
1
2
sin
23
. ∵
因为sin
α－β
2
≠0，
所以由∵∵，得－tan
α＋β
3
α＋β
3
2
＝－
2
，即tan
2
＝
2
.
cos
2
α＋β
2
α＋β
所以cos (α＋β)＝
2
－sin
2
sin
2
α＋β
＋cos
2
α＋β

22
1－tan
2
α＋β

3

2
＝
2
1－

＝

2


5
1＋tan
2
α＋β
3
2
＝－
13
.
2
1＋



2



2．(变条件)将本例中的条件“cos α－cos β＝
111
2
，sin α－sin β＝－
3
”变为“cos α＋cos β＝
2
，
sin α＋sin β＝－
1
3
”，结果如何？
[解]

因为cos α＋cos β＝
1
2
，
所以2cos
α＋βα－β
2
cos
＝
1
22
. ∵
又因为sin α＋sin β＝－
1
3
，
所以2sin
α＋βα－β
1
2
cos
2
＝－
3
. ∵
所以cos
α－βα＋β
2
2
≠0，所以由∵∵，得tan
2
＝－
3
，
710

α＋βα＋βα＋β

2

2sin
2
cos
2
2tan
2
2×

－3


12
所以sin (α＋β)＝＝＝＝－
.
213
2
α＋βα＋βα＋β

1＋

－
3
sin
2
2
＋cos
2
2
1＋tan
2
2

【教师小结】和差化积公式应用时的注意事项：
1在应用和 差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公
式化为同名，若是高次函数 ，必须用降幂公式降为一次.
2根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.
3为了能够把三角函数 式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用
1π
公式，如
2
－cos α＝cos
3
－cos α.
3．公式的综合应用
[探究问题]
（1）解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？
[提示]

注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等．
（2）在∵ABC中有哪些重要的三角关系？
[提示]

在∵ABC中的三角关系：
sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C， < br>A＋BA＋B
CC
sin
2
＝cos
2
，cos2
＝sin
2
，
sin(2A＋2B)＝－sin 2C，cos(2A＋2B)＝cos 2C
．

【例3】在∵ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C
ABC
＝4sin
sincos.
222
[思路探究]

利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.
B－CB＋C
[解]

左边＝sin(B＋C)＋2sin
2
·cos
2

B＋C B＋CB－CB＋C
＝2sin
2
cos
2
＋2sin
2< br>cos
2

B＋C

B＋CB－C


＝2cos
2

sin
＋sin
22


ABC
＝4sin< br>2
sin
2
cos
2
＝右边，∵原等式成立．
【教师小结】证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用
810

化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时 ，可
变形为整式来证.
三、课堂总结
1．公式的记忆
和差化积公式记忆口诀：
“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天．”
(正代表sin α，余代表cos α)
2．公式的应用
注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导．
四、课堂检测
1．sin 75°－sin 15°的值为(

)
12
A．
2
B．
2

31
C．
2
D．－
2

75°＋15°75°－15°
212
B

[sin 75°－sin 15＝2cossin
＝2×
×
＝
22222
.故选B．]

π

2．函数y＝sin

x－
6

cos x的最大值为(

)

11
A．
2
B．
4

2
D．
2

1

π

π
π

B

[∵y＝sin

x－
6

cos x＝
2

sin

x－
6
＋x

－sin
< br>x＋
6
－x





π

1

1
π

11

2x －
6

－
＝
sin

2x－
6

－
.

＝
2

sin

< br>2

2

4


1
∵函数y的取 最大值为
4
.]
21
3．已知sin(α＋β)＝
3
，s in(α－β)＝
5
，则sin αcos β＝________.
1311121113

[sin αcos β＝sin(α＋β)＋sin(α －β)＝
30222
×
3
＋
2
×
5
＝30
.]
C．1
4．化简下列各式：
cos A＋cos120°＋B＋cos120°－B
（1）；
sin B＋sin120°＋A－sin120°－A
910

sin A＋2sin 3A＋sin 5A
（2）
.
sin 3A＋2sin 5A＋sin 7A
[解]

（1）原式＝
cos A＋2cos 120°cos B

sin B＋2cos 120°sin A
A＋BB－A
2sin
2
sin
2
cos A－cos BA＋B
＝＝＝tan
2
.
sin B－sin A
2cos
A＋BB－A
2
sin
2
（2）原式＝
sin A＋sin 5A＋2sin 3A
sin 3A＋sin 7A＋2sin 5A
＝
2sin 3Acos 2A＋2sin 3A
2sin 5Acos 2A＋2sin 5A

＝
2sin 3Acos 2A＋1
2sin 5Acos 2A＋1
＝
sin 3A
sin 5A
.
1010