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第三节 三角恒等变换
考纲解读
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式.
能利用两角差的余弦公式导出两角和 的正弦，余弦，正切公式，导出二倍角的正
弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系.
能利 用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差，和差化积，半角公式，
但对这三种公式不要求记忆 ）.
命题趋势探究
高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透，是三角函数的重要变 形工具.
分值与题型稳定，属中下档难度.
考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主.
化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）.
知识点精讲
常用三角恒等变形公式
和角公式
sin(



)sin

cos

cos

sin

cos(



)cos

cos

sin

sin


tan(



)
tan

tan


1tan

tan

差角公式
sin(


)sin

cos

cos

sin


cos(



)cos

cos

sin

sin


tan (



)
tan

tan


1tan

tan

倍角公式
sin2

2sin

cos


co s2

cos
2

sin
2

2c os
2

112sin
2


2tan


1tan
2

降次（幂）公式 < br>11cos2

1cos2

sin

cos< br>
sin2

;sin
2

;cos
2

;

222
半角公式
tan2


sin

2

1cos

1cos

;cos;

222

sin

1cos

.

21cos

sina
辅助角公式
tan
b
(ab0),
角

的终边过点
(a,b)
，特殊
a
b
地，若
asin

bcos

a
2
b
2
或
a
2
b
2
，则
tan
.

a
常用的几个公式
asin

b cos

a
2
b
2
sin(


),tan


sin

cos

2sin(

);

4
sin

32co s

2sin(

);

3
3sin

cos

2sin(

);

6
题型65 两角和与差公式的证明
题型归纳及思路提示
思路提示 推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通
过余弦定理或向量数 量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.
例4.33 证明




(1)
C



:cos(



)cos

cos

sin

s in

;

(2)用
C



证 明
S



:sin(



) sin

cos

cos

sin


(3)用(1)(2)证明
T



:tan(



)
tan

tan

.

1tan

tan

解析(1)证法一：如图4－32（
a
）所示，设角

,

的终边交单位圆于
P
1
(cos

.sin

),P
2
(cos(
),sin(

)),
,由余弦定理得
22
PP OP
121
OP
2
2OP
1
OP
2
cos(



)

2
[cos
< br>cos(

)]
2
[sin

sin(< br>
)]
2
22cos(



)

22(cos

cos

sin

si n

)22cos(



)

C



:cos(



)cos
cos

sin

sin

.

证法二：利用两点间的距离公式.
如图4－32（
b
）所示
A(1 ,0),P
1
(cos

,sin

),P
2(cos(



),sin(



),

P
3
(cos(

),sin(
< br>)),
由
OAP
2
OP
3
P
1
;
得，
AP
2
PP
13
.
故

(1cos(



))
2
(0sin(< br>


))
2
[cos(

)cos

]
2
[sin(

)sin

]
2
,
即
[1cos(



)]
2
sin
2
(



)cos
2< br>
cos
2

2cos

cos
sin
2

sin
2

2sin
sin

化简得
cos(



)cos< br>
cos

sin

sin



(2)sin(



)cos[(



)]cos[

(

)]

22cos

cos(

)sin

sin(

)

22
cos

sin

s in

cos


S



: sin(



)sin

cos

 cos

sin




(3)tan(


)
sin(



sin< br>
cos

cos

sin



cos(



)cos

cos
sin

sin

sin

cos

cos

sin


tan

tan

cos

cos

cos

cos
< br>T:tan(



).



cos

cos

sin

sin

1tan

tan


cos

co s

cos

cos

变式１ 证明：
(1)C



:cos(



)cos
cos

sin

sin

;

(2)S



:sin(



)sin

cos

cos

sin

(3)T



:tan(



)
tan

tan

.

1tan

tan

题型66 化简求值
思路提示
三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.
(1)给式求值 ：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先
将所给式子变形，将其转化成所求函数式 能使用的条件，或将所求函数式变形为
可使用条件的形式.

(2)给值求值： 给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，
解题关键在于“变角”，使其角相同或具有 某种关系，解题的基本方法是：①将
待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“ 凑角法”是
解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互
关系 ，并根据这些关系来选择公式.
(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一 三角函数
值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.
一、化同角同函
3
sin2x2sin
2
x
(
例4.34 已知
cos(x)
则
45
1tanx
A.

)

7121118

B.

C.

D.

25252525
解析 解法一：化简所求式
sin2x 2sin
2
x2sinxcosx2sin
2
x

sinx
1tanx
1
cosx
2sinx(cosxsinx )
cosx
2sinxcosx.

cosxsinx

3
22332
由
cos(x)
得
cosxsinx,即
cosxsinx,
两边平方得
45
2255
cos< br>2
xsin
2
x2sinxcosx
1818
,
即
12sinxcosx.

2525
7
.
故选Ａ.
25
解法二：化简所求式
所以
2sinxcosx
sin2x 2sin
2
x
2sinxcosxsin2x
1tanx
 
7
sin[2(x)]cos2(x)12cos
2
( x).
故选Ａ.
424425
评注 解法一运用了由未知到已知，单方向的转化 化归思想求解；解法二运用了
化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采 用构
造法较为简单.
13
cos(



), cos(



),
则
tan

tan

_______.
变式1 若
55
4
2
(
变式2 若
cos


，

是第三象限角，则

5
1tan
2
1
1
A.

B.

C.2

D.2

2
2
1tan

)

1
).

4
，则
sin2
(
tan

111
1
A.

B.

C.

D.

543
2
二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）
将已知 条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解
题时首先要分析已知条件和结论中各 种角的相互关系，并根据这种关系来选择公
式.
常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，诱导等.
1.和、差角变换
变式3 （2012江西理４）若
tan


如

可变为
(



)

；
2

可变为(



)(



)
；
2



可变为
(



)


例4.35 若
0


33




,cos

,sin(

< br>
),
则
cos

的值为（ ）.
255
2424
7
A.1

B.1
或
C.

D.

2525
25

分析 建立未知角与已知角的联系，

(



)

.

解析 解法一：
cos

cos[(



)

] cos(



)cos

sin(



)sin

.
因为
4
4

sin





(,)
所以，则
c os(



),

(0,),sin
< br>0,

5,
2252

3

433424
cos

()().

555525
< br>解法二：因为

(,

)
，所示
cos

(1,0).

2
故选Ｃ.
评注 利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：

(



)

;



(
< br>

);



(



)(



)
等.解题时，要注意根据已
知角 的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号.
变式1 已知
sin
< br>
A.
5

12
510

,sin(



),

,

(0,)
则< br>
(
5102
).


B.

3

C.

4

D.

6



3

33

5
变式2 若

(,),

(0,),cos(

),sin(
)
，则
44445413
sin(



)______.

二、辅助角公式变换

7


43
)
的值为（ ）. 例4.36 已知
cos(

)sin


，则
sin(


6
65
44
25
25
C. D.

A.
B.
55
5
5
分析 将已知式化简，找到与未知式的联系.
解析 由题意，
cos

cos
6
sin

sin

6
sin


43

5

4
33

43< br>sin(

).
，得
cos

sin
3sin(

)
65
2265
所以
s in(


7

4
)sin[

 (

)]sin(

).
故选Ｃ.
6665
6
,
则
a,b,c
的大小关系为
2变式1设

sin14
o
cos14
o
,bsi n16
o
cos16
o
,c
（ ）.
A.
a B.
b C.
a D.
b
变式2设

sin15
o
cos15
o
,bsin17
o< br>cos17
o
,
则下列各式中正确的是（ ）.
a
2
b
2
a
2
b
2

A.ab

B.ab
22
a
2
b
2
a
2
b
2
C.ba

D.ba

2
2
3.倍角，降幂（次）变换
例4. 37（2012大纲全国理7）已知

为第二象限角，
sin

c os


cos2

().

3
则
3
A.
5555

B.

C.

D.

3993
分析 利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解.
解析 解法一： ；因为
sin

cos


1
3
2所以
(sin

cos

)

3
3
22
得
2sin

cos


，即< br>sin2


.又因为

为第二象限角且
33< /p>

sin

cos



3

3
0
，则

(2k

,2k
< br>)(kZ).

24
3
3

)(kZ).故
2

为第三象限角，
2
所以
2

(4k



,4k


25
cos2

1()
2

.故选Ａ.
33
解法 二：由

为第二象限角，得
cos

0,sin

0
，
cos

sin

0,

且
(cos

sin

)
2
12sin

cos

，又
sin

cos


3
，则
3
(sin

cos

)2
12sin

cos


5
12
2sin

cos


，得
(cos
sin

)
2

，
33
3
所以< br>cos

sin


15
，
3cos2

cos
2

sin
2

(cos

sin

)(cos

sin

)


3155
().
故选Ａ.
333

12



)().
变式1 若
sin(

)
则
cos(
633
11
77
A.

B.

C.

D.

33
99

47

变式2（201 2江苏11）设

为锐角，若
cos(

)
，则
sin(2

)
的值省
6512
为 .
31 2

变式3已知
sin(2



),sin


且

(,

),

( ,0),
求
sin

值.
51322
3
1
变式4若
sin

,

(,

),tan(



)
，则
tan(

2

)().

522
247247
A.

B.

C.

D.

724724cos2

1

_____.

变式5已知
sin

cos

，且

(0.)
，则
sin(

)
22
4
4.诱导变换
例4.38 若
f(sinx)3cos2x
，则
f(cosx)().

A.3cos2x

B.3sin2x

C.3cos2x

D.3sin2x

分析 化同函
f(cosx)f(sin(L))
以便利用已知条件.
解析 解法一：
f(cosx)f[sin(x)]3cos2(x)3cos(2x
)3cos2x.

22
故选Ｃ.

解法二：
f(sinx)3cos2x3(12sin
2
x)2sin
2
x2
则
f(x)2x
2
2,x[1,1]
故
f(cosx)2cos
2
x22cos
2
x13cos2x 3.

故选Ｃ.
4
变式1

是第二象限角，
ta n(

2

)
，则
tan

__ _____.

3
cos2


5

_ ____.

变式2若
sin(

),

( 0,)
，则
cos(

)
4132
4
最有效训 练题19（限时45分钟）

1.已知函数
f(x)sinx3cosx,
设
af(),bf(),cf()
，则
a,b,c
的大小763
关系为（ ）.
A.
a B.
c C.
b D.
b

1

2.若
sin(

)
，则
cos(2

)().

343
1
177
A.
B.

C.

D.

4
488
1

).
3.若
tan

，则
cos(2

)(
22
411
4< br>A.

B.

C.

D.

522
5
11
).
4.已知
t an(



),tan


，且

,

(0,

)
，则
2

< br>
(
27
3


5

3

5


,,
A.

B.

C.,

D.

444444
4
5. 函数
ysin(

x

)(

0)
的部分图像如图4－33所示，设
Ｐ
是图像的最高点，
Ａ，Ｂ
是图像与x轴的 交点，则
tanAPB(
Ａ
.10
Ｂ
.8
C.

D.

6.函数
y
sinx3
的最大值是（ ）.
cosx4
8
7
4
7
).

14
1226
1226
A.

B.

C.

D.

23
15
15


7.已知
tan(

)3
，则
sin2

2cos
2

______.

4
1

sinxsiny


3
x,y
8.已知满足
，则
cos(xy)______.

1

co sxcosy

5

3tan10
o
1
_ _______.
9.
(4cos
2
10
o
2)si n10
o
113

10.已知
cos

,cos (



)
，且
0


< br>
，则
tan2

____,

____.
7142
2
x
11.已知函数
f(x)2cos3sin x.

2
（1）求函数
f(x)
的最小正周期和值域；

1cos2


f(

)
（2）若是第二象限 角，且，求的值.
331cos2

sin2


3

12.已知三点
A(3,0),B(0,3),C(cos

,s in

),

(,).

22
uuuruuur
（1）若
ACBC
，求角

；
uuuruuur
2sin
2

sin2

（2）若
ACBC1< br>，求的值.
1tan
