汉字的魅力-师范生实习自我鉴定

3．2 简单的三角恒等变换

考点
半角公式
三角恒等变换


问题导学
预习教材P139－P142，并思考下列问题：
ααα
1．如何用cos α表示sin
2
，cos
2
和tan
2
？
222
2．半角公式的符号是由哪些因素决定的？

1．半角公式
学习目标
了解半角及其推导过程
灵活运用和差的正弦、余弦公式
进行相关计算及化简、证明
核心素养
逻辑推理
逻辑推理、数学运算

2．辅助角公式
b
asin x＋bcos x＝a
2
＋b
2
sin(x＋θ)(其中tan θ＝)．
a

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)半角公式对任意角都适用．( )
(2)cos
α
2
＝
1＋cos
α
.( )
2
(3)对于任意α∈R，sin
α
1
2
＝sin
α
都不成立．( )
2
答案：(1)× (2)× (3)×
α
1
若cos
α
＝，且α∈(0，π)，则cos 的值为( )
32

A.
6

3
6

3
B．－
D．±
6

3
3

3
C．±
答案：A
α
3π
4
已知cos
α
＝，
α
∈

，2π

，则sin 等于( )
52

2

A．－
33
C.
10
答案：B
10

10
B.
10

10
3
D．－
5
θ
3
已知cos
θ
＝－，且180°＜θ＜270°，则tan ＝________．
52
答案：－2



应用半角公式求值
α
－β
412
已知α为钝角，
β
为锐角，且sin
α
＝，sin
β
＝，求cos 的值．
5132
412
【解】 因为α为钝角，
β
为锐角，sin
α
＝
，sin
β
＝，
513
35
所以cos
α
＝－，cos
β
＝
.
513
π
3
541233
－
×
＋
×
＝
.因为
＜α＜π且0＜所以cos(α－β )＝cos
α
cos
β
＋sin
α
sin
β
＝


5

13513652
π
β＜< br>，
2
所以0＜α－β＜π，即0＜
α
－βπ
2
＜
.
2
33
1＋
65
765
＝
.
265
所以cos
α
－β
2

＝
1＋cos（α－β）
＝
2
利用半角公式求值的思路
(1)看角 ：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助

半角公式求 解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
α
sin
α
1－cos
α
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan
＝＝，其优点是计
2
1＋cos
α
sin
α
算 时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin
2

1－cos
α
α
1＋cos
α
＝，cos
2

＝计算．
222

3π
α
4
1．已知sin
α
＝－且π＜α＜，则sin ＝________．
522
3π
4
解析：因为sin
α
＝－
，π＜α＜，
52
3
π
α
3π
所以cos
α
＝－
.又
＜＜，
5224
α
2
所以sin ＝
2
25
答案：
5
α
1－cos
α
＝
2
3
1＋
5
25
＝
.
25
θ
23
π
2．已知cos 2
θ
＝－，<
θ
<π，求tan的值．
2522
23
π
解：因为cos 2
θ
＝－
，
<
θ
<π，依半角公式得
252
1－cos 2
θ
＝
2
23
1＋
25
26
＝，
25
23
1－
25
1
＝－，
25
sin
θ
＝
cos
θ
＝－
1＋cos 2
θ
＝－
2
1
1＋
θ
1－cos
θ
5
6
所以tan＝＝＝
.
2
26
2
sin
θ
5

三角函数式的化简

（1－sin
α
－cos
α
）

sin ＋cos

2

2
化简(－π＜α＜0)．
2－2cos < br>α
αα
α

ααα

αα

α< br>
αα

2
α

2sin
－2sin
cos

sin
＋cos

2sin
2

sin
－cos

sin
＋cos

222

22

2

22

2
解：原式＝
＝

α

α
2

sin

2×2sin
2

2

2
sin

sin
2
－cos
2

－sin
cos
α
2

22

2
＝＝
.
α

αα

α

α


sin


2


α


sin


2

因为－π＜α＜0，
π
α
所以－＜＜0，
22
所以sin ＜0，
2
－sin
cos
α
2
所以原式＝＝cos
α
.
－sin
α
α
α
2

[变条件]若本例中式子变为
（1＋sin
θ
＋cos
θ
）

sin －cos

2

2
(0＜θ＜π)，
2＋2cos
θ
则化简后的结果是什么？
解：原式＝
θθ
θθθ

θθ


2sin cos
＋2cos
2


sin
－cos

222

22

4cos
2

θ
2

＝
cos

sin
2

－cos
2


2

22

θ< br>
θθ


θ


cos


2

cos cos
θ
2
＝－
.
θ

θ


cos


2

因为0＜θ＜π，

所以0＜＜，
22
所以cos ＞0，
2
所以原式＝－cos
θ
.

三角函数式化简的思路和方法
(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消 项和逆用公式；对于三角公式，基本
思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式 的逆用．另外，还可以
用切化弦、变量代换、角度归一等方法．
(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．
θ
π
θ
α
3π
cos

－α

－tan ·（1＋cos
α
）
2

2

化简：(0＜α＜π)．
1－cos
α
α
sin
α
解：因为tan
＝，
2
1＋cos
α
所以(1＋cos
α
)tan ＝sin
α
， 2
又因为cos

α

3π

－α

＝－sin
α
，
2

α
且1－cos
α
＝2sin
2

，
2
－sin
α
－sin
α
－2sin
α
所以原式＝＝

α

α
2

sin

2
2sin

2

2
22sin cos
22
＝－
.
αα

α


sin


2

因为0＜α＜π，
所以0＜＜
.所以sin
＞0.
222
α
π
α

所以原式＝－22cos
.
2

与三角函数性质有关的问题
1
已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
2
1
【解】 因为f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－

2
1
＝sin xcos x＋cos
2
x－

2
1＋cos 2x
11
＝
sin 2x＋
－
222
11
＝
sin 2x＋cos 2x
22
＝
π

2

sin

2x＋

，
2
4

α
2π
所以T＝＝π.
2
πππ
由2kπ－
≤2x＋≤2kπ＋
，k∈Z，
242
3π
π
得kπ－
≤x≤kπ＋
，k∈Z.
88
3π
π

所以f(x)的单调递增区间为

kπ－< br>，kπ＋

，k∈Z.
88


应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤,运用和、差、倍角公式化简)
↓
统一化成f（x）＝asin
ω
x＋bcos
ω
x＋k的形式
↓
利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋k
的形式，研究其性质
< br>ππ
1．已知函数f(x)＝cos
2

x－

＋s in
2

x＋

－1，则f(x)( )

12

12


A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
π

π

1＋cos

2x－

1－cos

2x＋

6
6

π

π

11
< br>解析：选A.f(x)＝
＋－1＝

cos

2x－

－cos

2x＋

＝
222

6

6

2

sin 2x，是奇函数．故选A.
x
2．已知函数f(x)＝sin x－23sin
2
.
2
(1)求f(x)的最小正周期；
2π
(2)求f(x)在区间

0，

上的最小值．
3

解：(1)因为f(x)＝sin x＋3cos x－3

π

＝2sin

x＋

－3，

3

所以f(x)的最小正周期为2π.
2π
(2)因为0≤x≤
，
3
ππ
所以
≤x＋≤π.
33
π
2π
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．
33< br>
2π

2π

所以f(x)在区间

0 ，

上的最小值为f

＝－3.
3

3


规范解答 三角函数的实际应用
π
(本题满分12分)如图，某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边
4
在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积．

【解】 连接OC，设∠COB＝θ，

π
则
0＜θ＜
，OC＝1.
4


易忽视此条件


因为AB＝OB－OA＝cos
θ
－AD
＝cos
θ
－sin
θ
，(3分)


用θ的三角函数正确表示S
矩形ABCD
是求解此题的关键

所以S
矩形ABCD
＝AB·BC
sin
θ
＝
（cos
θ
－sin
θ
）·
(6分)
＝－sin
2

θ
＋sin
θ
cos
θ

11
＝－
(1－cos 2
θ
)＋sin 2
θ

22
(8分)
11
＝
(sin 2
θ
＋cos 2
θ
)－

22

π

2

cos

2θ－

< br>2
4

利用辅助角公式将S
矩形ABCD
表示为
1
－是求解此类问题的常用方法
2
＝
π

12
< br>cos

2
θ
－

－
．
2
4

2

(10分)
π
当2θ－＝0，即θ＝时，
48
π

2－1
(S
矩形ABCD
)
max
＝(m
2
)．
2< br>2－1
所以割出的长方形桌面的最大面积为
m
2
.(12分)
2

三角函数的实际应用问题多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下：
(1)审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式．
(2)利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式．
(3)在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值．

1．若sin(π－α )＝－
A．－
3ππ
α
5
且α∈

π，

，则sin

＋

等于( )
3
2

22

6666
B．－ C. D.
3663
5

3π

，
α
∈

π，

，
3
2

解析：选B.由题意知sin
α
＝－
2
所以cos
α
＝－
.
3
因为∈

，

，
2

24< br>
α

π3π

α

π
α

所以sin

＋

＝cos ＝－
2

22

＝－
6
.故选B.
6
1＋cos
α

2
2．化简：
1＋cos（3 π－θ）

3π

＝________．
<
θ
<2π
2

2

1－cos
θ

θ

＝

sin

， 2

2

解析：原式＝
3π3π
θ
因为
<
θ
<2π，所以<<π，
242
所以sin
>0，故原式＝sin.
22
答案：sin < br>2
θθ
θ

ππ
17
3．已知α∈
< br>0，

，
β
∈

，π

，cos
β
＝－，sin(α＋β)＝.
39
2

2

(1)求tan的值；
2
(2)求sin
α
的值．
β

π

122
解：(1)因为β∈

，π

，cos
β
＝－，则sin
β
＝，
33

2

22
β
sin
β
3
tan
＝＝＝2.
2
1＋cos
β
1
1－
3

π

π

π3π

(2)因为α∈

0，

，
β
∈
< br>，π

，故α＋β∈

，

，

2

2

22

从而cos(α＋β)＝－1－sin
2
（α＋β）＝－
7

42
1－

＝－，

9

9
2
所以sin
α
＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos
β
－cos(α＋β)sin
β

1
7
42
221
－

－

－
＝
×

×
＝
.
9

3


33
9


[A 基础达标]
π
1
1．已知sin 2α＝，则cos
2

α
－

＝( )
3
4

1
A．－
3
1
C.
3
2
B．－
3
2
D.
3
π
 
1＋cos

2
α
－

2

1 ＋sin 2
α
2


π

2
解析：选< br>
α
－

＝＝＝
.
223
4

π
4
2．若cos 2
α
＝－，且α∈

，π

，则sin
α
＝( )
5

2

310
A.
10
3
C.
5
B.
10

10
10

10
D．－


π

解析：选A.因为α∈

，π

，所以sin
α
≥0，由半角公式可得sin
α
＝

2

310
.
10
1－cos 2
α
＝
2
7
3．已知等腰三角形 的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为( )
25
3
A.
4
1
C.
2
3
B.
5
4
D.
5
π
α
7
解析：选B.设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则co s
α
＝.又β＝
－，所以cos
β
2522
α

π
α

＝cos

－

＝sin＝2

22

4．若α∈

7
1－
25
3
＝，故选B.
25
1＋cos 2
α
－
2
1－cos 2
α
等于( )
2
B．cos
α
＋sin
α

D．－cos
α
－sin
α

7π
，2π

，则

4

A．cos
α
－sin
α

C．－cos
α
＋sin
α

解析：选B.因为α∈< br>

7π

，2π

，

4

所以sin
α
≤0，cos
α
＞0，
则
＝
1＋cos 2
α
－
2
cos
2
α
－sin
2
α

1－cos 2
α

2
＝|cos
α
|－|sin
α
|＝cos
α
－(－sin
α
)＝cos
α
＋sin
α
.
x
5 ．(2019·贵州遵义航天高级中学月考)函数f(x)＝cos
2
x－2cos
2
(x∈[0，π])的最小值为
2
( )
A．1
5
C.
4
B．－1
5
D．－
4
x< br>解析：选D.由题意，得f(x)＝cos
2
x－2cos
2
＝cos
2
x－(1＋cos x)＝cos
2
x－cos x－1，设t
2
1
51
t－

－，所以当t＝，即x＝cos x(x∈[0，π] )，y＝f(x)，则t∈[－1，1]，y＝t
2
－t－1＝


2

42
2

π
55
＝时，y取得最小值，为 －，所以函数f(x)的最小值为－，故选D.
344
6．已知sin
θ
2
－cos
θ
2
＝
6
，则cos 2
θ
＝________．
3
6
解析：因为sin
－cos＝，
223
21
所以1－sin
θ
＝，即sin
θ
＝，
33
27
所以cos 2
θ
＝1－2sin
2
θ
＝1－＝
.
99
7
答案：
9
ππ
α
2
7．已知si n

＋α

＝，则cos
2

－

＝________．

6

3

62
θθ

π

π



π
< br>解析：因为cos

－α

＝sin

－

－α




3


2

3



π

2
＝sin
< br>＋α

＝，

6

3

π

1＋cos

－α

1＋
2
3
5
3


π

所以cos
2

－
α

＝＝＝
.
226

62

5
答案：
6
8．若3sin x－3cos x＝23sin(x＋φ)，
φ
∈(－π，π)，则
φ
＝________．
解析：因为3sin x－3cos x
＝23

31

sin x－cos x

2
2


π

＝23sin

x－< br>
，

6

π
因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－
.
6
π
答案：－
6
α
4
9．已知180°<
α
<270°，且sin(270°＋α)＝，求tan的值．
52
44
解：因为sin(270°＋α)＝
，所以cos
α
＝－
.
55

又180°<
α
< 270°，所以90°<
<135°.
2
α
所以tan＝－
2
α
1－cos
α
1＋cos
α
＝－
4
－

1－


5

4
－

1＋

5

＝－3.
3π1＋sin
α
1－sin
α
10．已知π＜α＜，化简：＋ .
2
1＋cos
α
－1－cos
α
1＋cos
α
＋1－cos
α


sin
α
＋cos
α

2
解：原式＝

22


2



cos
α

2


－2


α



sin
2




sin
α
－cos
α

2
＋

22


2

α

α

，

cos
2


＋2


sin
2
< br>
因为π＜α＜
3π
π
α
3π
2
，所以2
＜
2
＜
4
，
所以cos
α
＜0，sin
α
22
＞0.


sin
α
＋cos
α

2
所以原式＝

22



－2


αα


sin
2
＋cos
2




sin
α
－cos
α

2
＋

22



2



sin
αα

2
－cos
2


sin
αααα
＝－
2
＋cos
2
sin
2
－cos
2
＋
2
2

＝－2cos
α
2
.
[B 能力提升]
11．已知cos

π

4
＋θ


·cos

π

4
－θ


＝
3
4
，
θ
∈

3π

4
，π


，则sin
A.
66
2
B．－
2

＋cos
θ
的值是( )
θ

C．－
2

2
D.
2

2

π

π

解析：选

＋θ

·cos

－θ



4

4


π

π

＝sin

－θ

cos

－θ< br>


4

4

1

π

＝
sin

－2θ


2

2

13
＝
cos 2
θ
＝.
24
所以cos 2
θ
＝
因为θ∈

3
.
2

3π


，

4
，π


3π


，

2
，2π

所以2θ∈

1
所以sin 2
θ
＝－，且sin
θ
＋cos
θ
＜0.
2
11
所以(sin
θ
＋cos
θ
)
2
＝1＋sin 2
θ
＝1－＝
.
22
所以sin
θ
＋cos
θ
＝－
2
.
2
2cos
2
－sin
θ
－1
2
π
3
12．已知sin 2
θ
＝，0＜2θ＜，则＝________．
52
π
2sin< br>
θ
＋

4

2cos
2
解析：
θ
θ

2

－sin
θ
－sin
θ
－1
2

2cos
2
－1

＝
ππ

π

2 sin

θ
＋

2

sin
θ
cos
＋cos
θ
sin

4

44

θ
sin
θ
1－
cos
θ
1－tan
θ
cos
θ
－sin
θ
＝＝＝
.
sin
θ
＋cos
θ
sin
θ
tan
θ
＋1
＋1
cos
θ
π
3
因为sin 2
θ
＝，0＜2θ＜，
52
4
所以cos 2
θ
＝，
5

所以tan
θ
＝
1＋cos 2
θ
1
＝，
43
1＋
5
3
5
sin 2
θ
＝
1
1－
1－tan
θ
3
1
所以＝＝，
tan
θ
＋1
1
＋1
2
3
2cos
2

－sin
θ
－1
2
1
即＝
.
2

π

2sin

θ
＋

4
 
1
答案：
2
π
13．已知函数f(x)＝sin
2x－

－22sin
2
x.
4

(1)求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；
π
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的最大、最小值．
2
解：f(x)＝
1－cos 2x
2222
sin 2x－cos 2x－22·
＝
sin 2x＋cos 2x－2
22222
θ
π

＝sin

2x＋

－2.
4

ππ
(1)令2x＋
＝kπ＋
(k∈Z)，
42
π
1
得x＝
kπ＋(k∈Z)，
28
π1
所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝
kπ＋(k∈Z)．
28
ππ
1
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝
kπ－
(k∈Z)．
4 28
π

所以函数f(x)图象的对称中心的坐标是

1
kπ－
，－2

(k∈Z)．
8

2

πππ
5π
π

2

(2)当0≤x≤
时，
≤2x＋≤
，－
≤sin

2x＋

≤1，
2 4442
4


ππ
32
所以当x＝时，f(x)取 最小值－，当x＝时，f(x)取最大值1－2.
228
14．(选做题)点P在直径AB＝ 1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB
＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的 面积最大？
解：如图所示．因为AB为半圆的直径，

π
所以∠APB＝，又AB＝1，
2
所以PA＝cos
α
，PB＝sin
α
.
又PT切半圆于P点，
所以∠TPB＝∠PAB＝α，
11111
所以S
四边形ABTP
＝S
△PAB
＋S
△TPB
＝
PA·PB＋PT·PB·sin
α
＝sin
α
cos
α
＋sin
2
α
＝
sin 2α
22224
1
＋
(1－cos 2
α
)
4< br>＝
π

12

sin

2α－
< br>＋
.
4
4

4

π
因为0＜α＜，
2
ππ
3π
所以－＜2α－＜，
444
ππ
所以当2α－＝，
42
3π
即α＝时，
8
S
四边形ABTP
取得最大值
21
＋
.
44