证婚人致辞精选-美段

北 师 大 八年级数学（上册）
第一章 勾股定理
1.如果直角三角形两直角边长分别为
a
，
b
，斜边长为
c
，那么
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
常见勾股数

(1) （3， 4， 5）, （6， 8，10） … …
(2) （5，12，13） ,（ 7，24，25）, （ 9，40，41） … …
(3) (8，15，17), (12，35，37) … …
勾
弦
股

2、钝角三角形：a2 +b2c2
3水池芦苇问题（关键是芦苇的长度不变）； 楼梯地毯问题（地毯拉开）；
4、蚂蚁怎样走最近：三种路线（长方体中、缺一不可、均要考虑）、圆柱体一种路线 展开图
5.斜高公式 斜高等于直角边的乘积除以斜。
6勾股常见的折叠问题
1、如 图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，•长BC•为10cm．当小红折< br>叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？•



E
A
D

B
F
C
2．如图，将 一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（ ）．
A．3 B．4
C．
5



B
C

E



3．已知：如图，在△A BC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求
A C的长．








4 、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜< br>边AB上，且与AE重合，则CD的长为
D．5
A
F
D

C
D
AEB
AB6,
将矩形
ABC D
折叠，
C
落在
C

处，
2
，5、如图， 在矩形
ABCD
中，使点B与点D重合，若
AE：BE1：
则折痕
EF
的长为 。








第 二 章 实 数

1、无限____不循环小数叫做无理数．
2、有理数与无理数的主要区别：
①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；
②整数和分数统称有理数．任何有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能．
3、两个无理数的和不一定是无理数（对）
4、算数平方根的定义：若一个正数
x< br>的平方等于
a
，即
x
=
a
，则这个正数
x< br>就叫做
a
的算术平方根.记为“
a
”读
2
作“根号< br>a
”.这就是.特别地规定0的算术平方根是0，即
0
=0.
5、， 算术平方根的性质.：算术平方根有什么特点.→正数或0→定义中的
a
和
x
都为正数，即算术平方根是非负
数，负数没有算术平方根.用式子表示为
a
(
a
≥0)为非负数
5、
81
的算术平方根为_________ (－1.44)的算术平方根为_________.
2
6一个正方形的面积变为原来的n
倍时，它的边长变为原来的多少倍——根号a
.7、对于任意数
a
，
a
2
一定等于
a
吗？——当
a
≥0时，
a
2
=
a
当
a
＜0时，
a
2
=－
a
8立方根、定义“若< br>x
的平方等于
a
，则
x
叫
a
的平方根，记作
x
=±
2
a
，读作
x
等于正、负二次根号
a
，简称为
x
等于正，负根号
a
.若
x
的立方等于
a
，则
x
叫
a
的立方根，记作
x
=±3
a
，读作
x
等于正、负三次根号
a
，简称
x
等
于正、负根号
a
.
9、立方根的性质：正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.
10、平方根与立方根的区别与联系 ：
联系：

(1)0的平方根、立方根都有一个是0.(2)平方根、立方根都是开方的结果.
区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于
a
，这个数就叫做
a
的平方根”；“如果一个数的立方等于
a
，这个数就叫做
a
的立 方根.”
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一 个负数有一个立方根.
(3)表示法不同 正数
a
的平方根表示为±
a< br>，
a
的立方根表示为
3
a
.
(4)被开方数的取值范围不同 ±
a
中的被开方数
a
是非负数 ；
3
a
中的被开方数可以是任何数.
求下列各式的值
3
0 .027;
3
1;
3
1
3
638
;1;3
(2)
3
;(
3
2)
3
;
3< br>()
2
1256427

11、你能估算
3
900
的大小吗？(误差小于1).

(1)先确定位数 因为1的立方为1，10的立方为1000，900大于1小于1000，所以应是一位数.
(2)确定个位上数字. 因为9的立方为729，所以个位上的数字应为9.
.估算下列数的大小：(1)
13.6
(误差小于0.1) ——
13.6
应为3.6或3.7.
(2)
3
800
(误差小于1)——
3
800
应为9或10.
12实数比较大小的基本方法与技巧
在现实生活与生产实际中，我们经常会遇到比较两个或几 个数的大小。怎样比较实数与实数之间的大小呢?比较两个
实数的大小通常有以下几种方法：
一、求差法
求差法——设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a-b<0 时，a0
时，a>b.”来比较a与b的大小.
例1.比较大小：(1)
31
1
与；(2)1-
2
与1-
3

5
5
解：(1)∵
31
1
32311
－=<0, ∴<.
55
555
(2) ∵(1-
2
)-(1-
3
)=
3
-
2
>0, ∴1-
2
>1-
3

二、求商法
求商法——设a，b为任 意正两个实数，先求出a与b的商，再根据“当
时，a>b.”来比较a与b的大小.
例 2．比较大小：(1)
aaa
<1时，a1
bbb31
1
与；
5
5
解：(1) ∵
31
1
31
1
÷=
3
-1<1，∴<.
55
55

三、倒数法
倒数法——设a，b为任意两个正实数 ，先分别求出a与b的倒数，再根据“当
来比较a与b的大小.
例3．比较
20042003
与
20052004
的大小.
解：∵
1111
<时，a>b；当>时，aabab
120042003
=
20042003
,
1
200520 04
=
20052004
,
又∵
20042003
<
20052004
,
∴< br>1
20042003
<
1
20052004
,∴
20042003
>
20052004
.
四、估算法
估算法——设a，b为任意两个正实数，先估算出a, b两数或两数中某部份的取值范围，再进行比较.
例4．比较大小：(1)
133
1
与 ；(2)
23
+3与4
47

8
8
133
1
<.
8
8
解：(1)∵3<
13
<4, ∴
13
-3<1, ∴
(2) ∵-4<
23
<-5, ∴-1<
23
+3<-2； 又∵-6<
47
<-7, ∴-2<4
47
<-3. ∴
23
+3>4
47
.
五、平方法
平方法——比较 含有无理数的式子的大小时，先将要比较的两个数分别平方，再根据“在a＞0，b＞0时，可由
22< br>a＞b得到a＞b”比较大小.也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平方大， 则这个数大
于另一个数。
例5.比较
35
与
53
的大小.
解：∵（
35
）=45 ，（
53
）=75 , 又∵45<75, ∴
35
<
53
.
22
六、移动因式法
移动因式法——当a>0, b>0时，若要比较形如
ab
与
cd
的 两数的大小，可先把根号外的正因数a与c平方
后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。
例6.比较
35
与
53
的大小.
解：∵
35=
3
2
5
=
45
，
53
=
5
2
3
=
75
, 又∵45<75,∴
35
<
53
.
七、近似值法
在比较 含有无理数的两个数的大小时，也可以先用计算器求出它们的近似值，不过取它们的近似值时，要保持精
确度相同，再通过比较有理数的大小，即比较它们的近似值的大小，从而确定它们的大小。
例7. 比较大小：(1)л与
10
；(2) л与
22
2
；(3)

与
11
-4.
7
3

解：(1)∵л≈3.142，∵
10
≈3.162，∴л <
10
.
(2)∵л≈3.1416，∵
2222
≈3.1629，∴л<.
77
(3)∵

22
≈-0.4714，
11
-4≈-0.6834，∵ -0.4714>-0.6834,∴

>
11
-4.
33
两个实数的大小比较，形式有多种多样，只要我们在实际操作时，有选择性地灵活 运用上述方法，一定能方便快
捷地取得令人满意的结果。

13、1)相反数：
a
与－
a
互为相反数，0的相反数是0.
1
(2)倒数：若
a
≠0，则
a
与互为倒数.
a
(3)绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即｜
a
｜

a(a0)

=

0(a0)


a(a0)

实数的两种分类.
(1)按大小分为：正实数，0，负实数.
(2)按定义分为：有理数和无理数.
14、.在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义仍然和在有理数范围内的意义相同.
15、.实数和数轴上的点是一一对应的.
16、.根据实数在数轴上的位置比较实数的大小
17
abab(a0,b0);

18、化简：
(1)
6
aa
(a0,b0)
.
b
b
2
626
； (2)
273
－4； (3)(
3
－1)
2
；(4)；(5).
3
354
9
2
2
126
；(2)；(3)(1+
3
)(2－3
)；(4)(
3
).
20
3
8
化简：(1)
5


第三章 图形的平移与旋转
1、平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移
注意：“将一个图形沿某个方向移动一定的距离”，意味着“图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离
．．．．．．．．．．．．．．．．．．
平移有什么特征呢？ ——平移不改变图形的形状和大小.
．．．．．．．．．．．
2、经过平移，对应线段，对应 角分别相等；对应点所连的线段平行且相等.
这个性质也从局部刻画了平移过程中的不变因素：图形的形状和大小.
3、旋转定义：在平面 内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个
定点称为旋转中 心，转动的角称为旋转角.

4、注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角 度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相
．．．．．．．．．．．．．
同的角度.
．．．．
在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变.因此，旋转具有不改变图形的大小 和形状的特征.
．．．．．．．．．．．
5、旋转的基本性质
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度.
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角彼此相等.
对应点到旋转中心的距离相等.
要确定一个三角形旋转后的位置的条件为：
(1)三角形原来的位置.(2)旋转中心.(3)旋转角.
这三个条件缺一不可.只有这三 个条件都具备，我们才能准确地找到一个三角形绕点旋转后的位置，进而作出它
旋转后的图形.
第四章 四边形性质探索
平行四边形
定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
表示：平行四边形用符号“
□
”来表示。
平行四边形性质：
平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边
形对角线互相平分
平行四边形 的面积等于底和高的积，即S
□
ABCD
=ah
，
其中
a可 以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边
的距离，即对应的高。
平行四边形的判定：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形
从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
若一条直线过平行四边形对角线的交点， 则直线被一组
对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二
等分平行四边形的面积。
三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角
形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第
三边，且等于第三边的一半。
特殊的平行四边形
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是
长方形
矩形的性质：
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等
矩形的对角线相等且互相平分。
特别提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
矩形具有平行四边形的一切性质
矩形的判定方法
有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平
行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是
平行四边形：一组邻边相等）
性质：
菱形的四条边都相等
菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平
分一组对角。
菱形的判定方法:
一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形
对角线互相垂直平分的四边形是菱形
四条边都相等的四边形是菱形
正方形:
定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方
形。
性质：正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质。
正方形是轴对称图形，其对称轴为对边中点 所在的直线
或对角线所在的直线，也是中心对称图形，对称中心为
对角线的交点。
梯形：
定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做
梯形。
等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形。
直角梯形：有一个角是直角的梯形是直角梯形




等腰梯形的性质：
等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线所在的直线
是对称轴，
等腰梯形同一底边上的两个角相等。
等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形的判定定理
同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形

等腰梯 形的判定方法：先判定它是梯形，再用两腰相等
或同一底上的两个角相等来判定它是等腰梯形。
解决梯形问题常用的方法：
1、“平移腰”把梯形分成一个平行四边形和一个三角形
2、“作高”：使两腰在两个直角三角形中
3、平移对角线：使两条对角线在同一个三角形中
4、延腰构造具有公共角的两个三角形
5、等积变形：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并 延
长与下底延长线交于一点，构成三角形。


第五章 位置的确定

平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水 平的数
轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点O称为原点。
※点的坐标： 在平面内一点P，过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点
的横坐 标和纵坐标，则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。
※在直角坐标系中如何根据点的坐标，找出这 个点（如图4所示），方法是由P（a、b），在x轴上找到坐
标为a的点A，过A作x轴的垂线，再在 y轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为
所找的P点。
※如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？
根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计 算方便，一般地没有明确的方法，但有以下几条常用的
方法：①以某已知点为原点，使它坐标为（0,0 ）；②以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；③以
已知线段中点为原点；④以两直线交点为原点； ⑤利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。
※图形“纵横向伸缩”的变化规律:
A、将 图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原来的图
形在横向： ①当n>1时，伸长为原来的n倍；②当0B、将图形上各个点的坐 标的横坐标不变，而纵坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原来的图
形在纵向：①当n>1时， 伸长为原来的n倍；②当0※图形“纵横向位置”的变化规律: < br>A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别加上a，所得的图形形状、大小不变，而位
置向右（a>0）或向左(a<0)平移了|a|个单位。
B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变 ，而纵坐标分别加上b，所得的图形形状、大小不变，而位
置向上（b>0）或向下(b<0)平移了| b|个单位。
※图形“倒转与对称”的变化规律:
A、将图形上各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于x轴对称。
B、将图形上各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于y轴对称。
※图形“扩大与缩小”的变化规律:
将图形上各个点的纵、横坐标分别变原来的n倍（n>0 ），所得的图形与原图形相比，形状不变；①当

n>1时，对应线
段大小扩大到原来的n倍；②当0三、轴对称
6.纵坐标不变，横坐标分别乘-1，所得图形与
原图形关于
Y轴对称
；7.横坐标不变，纵坐标分别乘-1，所得图形与
原图形关于
X轴对称
；
四、中心对称
8.横坐标与纵坐标都乘-1，所得图形与原图形
关于
原点
中心 对称。

★请说出点A与点B的位置关系。
点A与点B关于Y轴对称
横坐标互 为相反数,纵坐标相同
★
你能从自己画的图形中再找出这样的几组点吗？
★请说出点C 与点D的位置关系。
点C与点D关于X轴对称
点D与点E关于原点对称
横坐标相同,纵 坐标互为相反数
★你能说出点D与点E的位置关系吗？
横坐标、纵坐标均互为相反数
★
若设点M（a,b),
M点关于X轴的对称点M
1
（
a,-b
）
Y轴的对称点M
2
（
-a, b
），
原点O的对称点M
3
（
-a,-b
）

第六章 一次函数
1、函数的定义:
若两个变量x,y间的关系式表示成y=k x+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。
特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。


1


b.0



2
k0

b0

b0


3< br>


b.0

k0

b0

b0


1


2

3


2、※正比例函数y=kx的图象是经过原点(0,0)的一条直线。
3、※在一次函数y=kx+b中: 当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小。
4、一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的性质：
（1）与y轴的交点坐标：（0，b）
(2）当k>0时，y随x的增大而(增大)。
（3）当k<0时，y随x的增大而（减少）

y=kx+b(k

≠

0)

的草图，回答出各图中

k

、

b

的符号：



（4）根据下列一次函数





K >0，b>0 k>_0，b_<_0 k__<0，b>0 k<0，b<0
图像过第一、二、三象限 一、三、四 一、二、四 二、三、四
5、函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
当k1 ≠ k2，两直线相交；
当k1 ≠ k2，b1=b2时，两直线相交于y轴上同一点；
当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行。
6、关于确定函数的解析式
（1）根据已知条件写出含有待定系数的解析式——（定型）
（2）将x，y的几对值或图象 上点的坐标代入上述解析式，得到以待定系数为未知数的方程或方程组，
并解
方程（组），得到待定的系数的值 —— （定系数）
3）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中，得到所求函数的解析式
（求一次函 数的解析式，只要确定k和b两个常数即可；求正比例函数或反比例函数的解析式，只要确
定k一个系数 即可。
一次函数图象的应用
第七章 二元一次方程组
（一）基本概念
1.二元一次方程：
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都
是 1 的方程叫做二元一次方程.
(1)含有两个未知数
(2)含未知数的项（单项式）的次数是1
(3)是整式方程
2.二元一次方程的解：
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做
这个二元一次方程的一个解.
一个二元一次方程有无数个解.
3.二元一次方程组：
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方
程,叫做二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解：
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个
二元一次方程组的解.
方程组的解法
基本思想或思路——
常用方法————代入肖元法和加减

根据方程未知数的系数特征确定用哪一种解法.
用代入法解二元一次方程组的步骤：
(1).求表达式：从方程组中选一个系数比较简
单的方程，将此方程中的一个未知数，如y，用
含x的代数式表示;
(2).把这个含x的代数式代入另一个方程中，
消去y，得到一个关于x的一元一次方程；
(3).解一元一次方程，求出x的值;
(4).再把求出的x的值 代入变形后的方程，求
出y的值.
用加减法解二元一次方程组的步骤：
6.列二元一次方程解决实际问题 的一
般步骤
：
审：
审清题目中的等量关系
．
设：
设 未知数
．
列：
根据等量关系，列出方程组
．
解：
解方程组， 求出未知数
．
答：
检验所求出未知数是否符合题意，写出答案
．
(1 ).利用等式性质把一个或两个方程的两边都乘
以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系
数，使其绝对值相等；
(2).把变换系数后的两个方程的两边分别相加或
相减，消去一个未知数，得一元一次方程；
(3).解这个一元一次方程，求得一个未知数的
值 ；
(4).把所求的这个未知 的值代入方程组中较为简
便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方
程的解 .
4.销售问题:
标价×折扣=售价
售价-进价=利润
利润售价进价
利润率=
进价

进价
1.行程问题:
1.相遇问题:甲的路程+乙的 路程=总的路程
(环形跑道):甲的路程+乙的路程=
一圈长
2.追及问题:快者的路 程-慢者的路程=原来相距路
程
(环形跑道): 快者的路程-慢者的路程=一圈长
3 .顺逆问题:顺速=静速+水(风)速
逆速=静速-水
(风)速










二元一次方程和一次
函数的图象的关系

以二元一次方程的解为坐标的点都< br>在对应的函数图象上.
一次函数图象上的点的坐标都适合
对应的二元一次方程.
方程组的解是对应的两条直
线的交点坐标
两条线的交点坐标是对应
的方程组的解
二元一次方程组和一
次函数的图象的关系

第八章 数据的代表
1．平均数
2．中位数与众数
3．利用计算器求平均数
x
1
w
1
x
2
w
2


x
n
w
n
x,x
2
,x
n
的权分加为
w
1
, w
2
,w
n
，则称
w
1
w
2


w
n
为这※加权平均数：一组数据
1
n个数的加权平 均数。 （如：对某同学的数学、语文、科学三科的考查，成绩分别为72，50，88，而
724 503881
431
三项成绩的“权”分别为4、3、1，则加权平均数为：） < br>※一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
※一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
※众 数着眼于对各数据出现次数的考察，中位数首先要将数据按大小顺序排列，而且要注意当数据个
数为奇数 时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才
是中位数，特别 要注意一组数据的平均数和中位数是唯一的，但众数则不一定是唯一的。
1、通过学习，平均数、中位数、众数各是 么样的特征数？他们有什么联系？分别怎样来求他们？
A、都可以作为一组数据的代表。
B、平均数比较可靠和稳定，它包括所有数据提供的信息。 因而应用最为广泛。但计算比较麻烦，容易
受到极端数的影响。
C、众数可靠性差，但其大小 只与这组数据中部分数据有关。计算简单，在一组数据中有不少数据重复
出现时，常选用它来 表示这组数据的集中趋势。
D、中位数可靠性也差，它与数据 的排序有关，不受极端数据的影响，计算简单，当一组数据中个别
数据变动较大时，适合用中位数表示。