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第六节简单的三角恒等变换


1．常用的公式变形
(1)由(sin α±cos α)
2
＝sin
2
α＋cos
2
α±2sin αcos α＝1±sin 2α.
(2)由(sin α±cos α)
2
＝1±sin 2α
⇒


1＋sin 2α＝|sin α＋cos α|，

1－sin 2α＝|sin α－cos α|.


(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
cos
2
α＝
1＋cos 2α1－cos 2α
，sin
2
α＝
.
22
π
α±

. (4)sin α±cos α＝2sin


4

2．几个常用的恒等变换
ααα
1－tan
2
2tan
222
(1)万能代换：sin α＝；cos α＝；tan α＝.
2
α
2
α
2
α
1＋tan1＋tan1－tan
222
2tan
1－cos α
α
sin α
(2)恒等式：tan ＝＝.
2
1＋cos α
sin α

[小题体验]
π
1
1．计算：cos
2
－＝________.
82
ππ
2cos
2
－1cos
84
2
解析：原式＝＝＝.
224
答案：
2
< br>4
π
3
π
4
x＋

＝，sin
< br>x－

＝，则tan x＝________. 2．已知sin


4

5

4

5
π
3
π
4
x＋

＝，sin

x－

＝， 解析 ：因为sin


4

5

4

5
π
7
两式展开相加得2sin xcos ＝， ①
45
π
1
两式相减得2cos xsin ＝－， ②
45

①②两式相除得tan x＝－7.
答案：－7

1．在三角函数式化简时，要结合三角函数的性质进行考虑，易出现符号的差错．
2．三角恒等变换时，选择合适的公式会简化化简过程．易出现公式的不合理使用．

[小题纠偏]
π
1
0，

，且sin 2x＝，则sin x－cos x＝________. 1．(2019·镇江调研)已知x∈


4

3
π
0，

，∴sin x＜cos x， 解析：∵x∈


4

1
又sin 2x＝，∴sin x－cos x＝－sin x－cos x
2

3
＝－1－sin 2x＝－
答案：－
6

3
6
.
3
ααα
5
2．已知sin －cos ＝－，450°＜α＜540°，则tan ＝________.
2252
α
43
解析：已知等式两边平方得sin α＝，又450°＜α＜540°，所以cos α＝－，所以tan
552
1－cos α
＝＝2.
sin α
答案：2

考点一 三角函数式的化简

基础送分型考点——自主练透

[题组练透]
sin 2α－2cos
2
α
1．化简：＝________.
π

sin

α－
4

2sin αcos α－2cos
2
α
解析：原式＝＝22cos α.
2
sin α－cos α
2
答案：22cos α

sin
θ
－cos
θ

1＋sin θ＋cos θ·
22

2．化简：(0＜θ＜π)．
2＋2cos θ

解：原式＝

2sin
θ
cos
θ
＋2cos
2
θ

·

sin
θ
－co s
θ

222

22

4cos
2< br>θ

2

sin
2
θ
－cos
2< br>θ

－cos
θ
·cos θ
22

2
θ

＝cos·＝.
2
< br>cos
θ

cos
θ


2

2

θ
π
θ
因为0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos＞0 ，所以原式＝－cos θ.
222
[谨记通法]
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则

2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“ 次升角降”是基本的规律，根号中含有三角
函数式时，一般需要升次．
考点二 三角函数式的求值

题点多变型考点——多角探明

[锁定考向] 研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据
函数名称的变换 特点，选择合适的公式求解．
常见的命题角度有：
(1)给值求值；
(2)给角求值；
(3)给值求角．
[题点全练]
角度一：给值求值
12
1．(2018·启东中学高三测试)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－，若f(α)＝，则
26
π

cos


4
－2α

＝________.

1＋cos 2x
111
解析：法一：f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－＝sin xcos x＋cos
2
x－＝sin 2x＋－
2222
ππ
1< br>π
11122
2x＋

，因为f(α)＝，所以sin
2α＋

＝，所以cos

－2α

＝sin 2x＋cos 2x＝sin

4

4

3

4

22226
π
π
1
π
2α＋


＝sin

2α＋

＝. ＝cos

2
－

4


4

3



1＋cos 2x
1111
法二：f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－＝sin xcos x＋cos
2
x－＝sin 2x＋－＝
22222
1122
sin 2x＋cos 2x，因为f(α)＝，所以sin 2α＋cos 2α＝，
2263
π
ππ
2221
－2α

＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝(cos 2α＋sin 2α)＝×＝. 所以cos


4

442233
1
答案：
3
角度二：给角求值
2．化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.
解析：sin 50°(1＋3tan 10°)
sin 10°


1＋3·
＝sin 50°

cos 10°

cos 10°＋3sin 10°
＝sin 50°×
cos 10°
3

1

2
cos 10°＋sin 10°
2

2

＝sin 50°×
cos 10°
＝
＝
2sin 50°·cos 50°

cos 10°
sin 100°cos 10°
＝＝1.
cos 10°cos 10°
答案：1
角度三：给值求角
3．若sin 2α＝
π3π
510
，π

，β∈

π，

，则α＋β＝___ _____. ，sin(β－α)＝，且α∈

2

4
510
ππ
，π

，所以2α∈

，2π
< br>， 解析：因为α∈


4

2

因为sin 2α＝
π
5
，π

. ，所以2α∈


2

5
ππ

25
，
且cos 2α＝－所以α∈

，

42

5
又因为sin (β－α)＝
3π
10
π，

， ，β∈

2
10

π5π

310
，
，cos( β－α)＝－所以β－α∈

，

24

10
所以cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝
－

310

×

－
25

－
10< br>×
5
＝
2
，
2

10

5

105
5π
7π
，2π

，所以α＋β＝. 又α＋β∈


4

4
答案：
7π

4
[通法在握]
三角函数求值的类型及解题策略
(1)“给值求值”：给 出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题
关键在于“变角”，使其角相同或具有某 种关系．
(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特
殊角并且消 除非特殊角的三角函数而得解．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数 值，再求角的范围，
最后确定角．
[演练冲关]
π2π
1
－α< br>
＝，则cos

2α＋

＝________. 1．已知 cos

3

6

4

ππ
1
－α

＝sin

＋α

＝， 解析：∵cos< br>

6

3

4
2ππ
1
7
2α＋

＝1－2sin
2

＋α

＝1－2×

2
＝. ∴cos

3

3< br>
4

8
7
答案：
8
2sin
2
35°－1
2.＝________.
cos 10°－3sin 10°
2sin
2
35°－1－cos 70°
1
解析：原式＝＝＝－.
2
3

1

2sin 20°
2
cos 10°－sin 10°
2

2

1
答案：－
2
ππ

π
1
，
，tan

2α＋

＝，那么sin 2α＋cos 2α＝________. 3．已知α∈

4

7

42

tan 2α＋1
1
π
1
2α＋

＝，知解析：由tan

＝，
4

7

1－tan 2α
7

3
所以tan 2α＝－.
4
π
34
，π

，所以sin 2α＝，cos 2α＝－. 因为2α∈


2

55
1
所以sin 2α＋cos 2α＝－.
5
1
答案：－
5
考点三 三角恒等变换的综合应用

重点保分型考点——师生共研


[典例引领]
π
1
x－

＋sin
2
x－. 1. (2019·睢宁模拟)已知函数f(x)＝3cos xcos


2
< br>2
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
π
3
0，

，f(x)＝，求cos 2x的值． (2)若x∈


4

3
1－cos 2x
1
π
1
x－

＋sin
2
x－＝3sin xcos x＋解：(1)函数f(x)＝3cos xcos

－＝

2

222
π
2x－

， sin

6

πππ
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
262
ππ
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
63
ππ
kπ－，kπ＋

，k∈Z. 故函数f(x)的单调递增 区间为

63

πππ
π
0，

，∴2 x－∈

－，

， (2)∵x∈


4

6

63

π
3
2x－

＝， 又f(x)＝sin

6

3

π
2x－

＝ ∴cos

6

π
6
2x－

＝， 1 －sin
2

6

3


2x－
π

＋
π

＝cos

2x－
π

cos
π
－sin

2x－
π

si n
π
＝
6
×
3
－
3
×
1
＝∴cos 2x＝cos

6

6

6

6
6



63232
32－3
.
6
2．已知函数f(x)＝5sin xcos x－53cos
2
x＋
(1)函数f(x)的单调区间；
(2)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．
53
(其中x∈R)，求：
2

π
55353
3

1

2x－

，解：(1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋＝5
sin 2x－cos 2x
＝5sin

3



222
2

2

πππ
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z) ，
232
π5π
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
1212
π5π
kπ－，kπ＋

(k∈Z)． 所以函数f(x) 的单调增区间为

1212

ππ3π
由2kπ＋≤2x－≤2k π＋(k∈Z)，
232
5π11π
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
1212
5π11π
kπ＋，kπ＋

(k∈Z)． 所以函数f( x)的单调减区间为

1212

kπ
5πππ
(2)由 2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
32212
kπ
5π
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
212
kπ
ππ
由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
326
kπ
π

所以函数f(x)的对称中心为

2
＋
6
，0

(k∈Z)．
[由题悟法]
三角恒等变换在研究三角函数性质中的2个注意点
(1)三角函数的性质问题，往往都要先化 成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再求解．要注
意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出 现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根
据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂 或降幂公式，把解析式统一化
成关于同一个角的三角函数式．
(2)要正确理解三角函数的性 质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代
入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与 周期．
[即时应用]
π
1
x＋

，g(x)＝1＋sin 2x. (2019·南通 中学检测)已知函数f(x)＝cos
2


12

2(1)设x＝x
0
是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(2x
0
)的值；
π
0，

的值域． (2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x) ，x∈


4


2x＋
π

1 ＋cos
6

π
x＋

＝解：(1)f(x)＝cos< br>2

，

12

2
∵x＝x
0< br>是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，

ππ
∴2x
0
＋＝kπ(k∈Z)，∴2x
0
＝kπ－(k∈Z)，
66
π
4 －3
11
－

＝∴g(2x
0
)＝1＋sin 4x
0
＝1＋sin

.
22

3
< br>4
π
2x＋

1＋cos

6

1
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝＋1＋sin 2x
22
31

31

＝
3
＋
1
sin

2x＋
π

， ＝＋
cos 2x＋sin 2x
3

2 2

22

22

π
π
π
5π< br>0，

，∴2x＋∈

，

， ∵x∈
< br>
4

3

36

π
1
2 x＋

∈

，1

， ∴sin

3
2

π
7
31
2x＋

∈
，2

. ∴h(x)＝＋sin

3

4

22

π
7
0，

上的值域为

，2

. 即函数h(x)在


4

4


一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·东台期末)已知α∈(0，π)，tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝________.
sin α
解析：由α∈(0，π)，tan α＝2＝，得α为锐角，
cos α
结合sin
2
α＋cos
2
α＝1，可得sin α＝
255
，cos α＝，
55
5－3
15
∴cos 2α＋cos α＝2cos
2
α－1＋cos α＝2×
－1＋＝.
555
答案：
5－3

5
π
α－

＝2，则cos 2α＝________. 2．(2 018·苏州高三期中调研)已知tan


4

πππ
－ 2α

＝2sin

－α

cos

－α

＝解析：cos 2α＝sin


2

4< br>
4

π

2tan


4－α

ππ
－α

cos

－α
< br>2sin


4

4

ππ
－α

＋cos
2

－α

sin


4

4

2
＝
4
＝－.
π
5
－α

＋1tan
2


4

4
答案：－
5
π
1
5π
α＋

＝，则sin

＋2α

＝________. 3．(2018·通州期末 )已知cos


6

3

6
