长沙的专科学校-青海省会计信息服务平台

复习课： 第三章 简单的三角恒等变换
一、【教学目标】
重点：引导学生在已有的公式基础上进行简单的三角恒等变换，体会三角变换的特点.
难点： 认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过
程的能 力.
知识点：三角恒等变换.
能力点：通过变换，使学生在变换的思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力.
教育点：通过公式的应用，培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点.
自主探究点：利用已有公式证明积化和差、和差化积公式.
训练（应用）点：利用公式进行化简、求值与证明
考试点：简单的三角恒等变换.
易错易混点：和（差）角公式，倍角公式的符号以及特殊角的三角函数值.
拓展点：所有公式之间的内在联系.
二、【知识梳理】
























两角和与差的正弦、
余弦、正切公式
二倍角的正弦、
余弦、正切公式
公式的运用
注意角度的各种存在形式
利用三角函数求最值问题
给角求值
三角函数式的化简
给值求值

两 弦
角 余
和 弦
与 正
差 切
的 公
正 式

简恒
单等
的变
三 换
角
三角函数式的求值 给式求值
给值求角
三角函数式的证明
“化一”公式的应用

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin(



)sin

cos

cos

sin

；
cos(



)cos

cos

msin

sin

；
tan (



)
tan

tan

.
1
m
tan

tan

sin2

2sin

cos

,cos2

cos2

sin
2

2cos
2

 112sin
2

,

2tan

k

tan2

.(

,

k

,kZ)
1tan
2

422
2.三角函数中常用 的转化思想及方法技巧
（1）常见角的变换：

(



)

；
2

(


)(



)
；
2

(



)(



)
；


2



2



2
；
(

)(

)
；
22

（2）方程思想：
sin

cos

, sin

cos

,sin

gcos

知一求二；
（3）“1”的替换：
1sin

cos
< br>tan
（4）切弦互化；
（5）公式变形
22

42cos
2

cos2

等；
tan

tan

tan(



)(1tan
gtan

),cos
2


1cos2

1cos2

,sin
2


；
22
（6）辅助角公式：

ab

asinxbco sxa
2
b
2

sinxcosx

2

222
ab

ab

a
2
b
2
(sinxcos

cosxsin

)a
2
b
2
sin(x

)

(其中辅助角

所在象限由点
(a,b)
所在的象限决定,
tan


常用结论 :
sinxcosx
b
).
a
2sin(x

)
，
sinxcosx2sin(x)
.
44

3.三角函数式化简的目标与方法: 化为单角或同角，函数名称少，次数尽量 低，尽量不含分母和根号.口
诀：大角化小角，负角化正角，异名化同名，切化弦，高次化低次.
4.三角函数式的求值的类型一般可分为:
(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值——化非特殊角为特殊角，再用公式计算；
（ 2）“给值求值”：给出一些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值——变换角,找出已知
角与所求角的联系；
（3）“给式求值”：给出的三角函数式的值，求其他式子的值——化简已知式或所求式，再求； （4）“给值求角”：——先求角的某一三角函数值,结合角的范围求出角,要特别注意角的范围对三角函数

值的影响，有时需要讨论.
5.证明及其基本方法:
（1）化繁为简法； （2）左右归一法 ； （3）变更命题法；
（4）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别与联系．
三、【范例导航】
例1.求值：
1cos20
o
1
o
sin10(tan5
o
)
.
oo
2sin20ta n5
【分析】这道题目中出现了很多不同的角，所以要充分把握角之间的关系，通过通分、切化弦以及和 （差）
角、倍角公式化异为同.
o
1cos20
o
sin5o
o
cos5
sin10()
【解答】原式

2 sin20
o
sin5
o
cos5
o
1cos20
o
cos10
o
o
sin10

ooo
2s in20sin5cos5
o
2cos
2
10
o
o
cos10
sin10
1
4sin1 0
o
cos10
o
sin10
o
2
cos10o
2cos10
o
o
2 sin10
cos10
o
2sin20
o

2sin10
o
cos(30
o
20
o
)2 sin20
o

2sin10
o
31
cos20
o
sin20
o
2sin20
o
2

2
2sin10
o
33
cos20
o
sin20
o
2

2
2sin10
o
3sin10
o

2sin10
o
3
.
2

【点评】在解决化简求值一类题目时，要注意三看，一看角，二看函数名，三 看形式，从而找到问题的切
入点．

变式训练：求
sin20cos 803sin20cos80
的值．
【分析】从形式上看
80
o
20
o
60
o
，因此把
80
o
代换成
20
o
60
o
，接着提取公因式再利用和(差)角公式
就能够求出 其值．
2
o
2
ooooo
【解答】原式
sin20c os(2060)3sin20cos(2060)

2
o
2
ooo
2
oooooo

sin20cos(2060)[cos(2060)3sin20]

c os20
o
3
sin20cos(2060)(sin20
o
)

22
2
ooo
o
cos20
o
33
o
cos20
sin20(sin20)(sin20
o
)

2222
2
o
cos
2
20
o
3sin
2
20
o
sin20

44
2o
cos
2
20
o
sin
2
20
o< br>

44
1
.
4

【点评】本小题主要 考查角的变换、两角和与差的的正余弦公式、二倍角公式等基础知识，考查基本运算
能力．
例 2.证明：
3cos4

4cos2

8sin
< br>.
证明：左边
32cos2

14cos2



22cos2

4cos2


2
2
4
2(1cos
2
2

2co s2

)
2(cos2

1)
2
2(2si n

)
8sin
4


右边
所以等式成立.
22

1sin2

cos2

tan

变式训练：证明：（1）
1sin2

 cos2

；
sin(2



)sin

2cos(



).
（2）
sin

sin


【分析】（1）从形式上看可以利用二倍角公式进行证明；

（2）从形式上看
2





(



)
，因此通分之后利用和（差）角公式就可以证明.
【解答】证明：（1） 2sin
2

2sin

cos


原式左边
2cos
2

2sin

cos
< br>
sin

(sin

cos

)

cos

(sin

cos

)

tan

.



右边
所以等式成立.
（2）
sin(2



)2sin

cos(



)
原式左边
sin

sin

cos(



)cos

sin(



)2 sin

cos(



)


sin




cos

sin(



)sin

cos(


< br>)

sin

sin(



< br>
)
sin


sin


sin


右边
所以等式成立.
【点评】本小题主要考查角的变换、两角和与差的的正余弦公式、二倍角公式 等基础知识，考查基本运算
能力．
44
例3. 求函数
f(x)sinx 23sinxcosxcosx
的最小正周期和最小值，并写出该函数在区间
[0,

]
上的单调增区间．
【分析】通过平方差公式和化一变形公式化成
y Asin(

x

)
这种形式，即可讨论其所有的性质．
2222
【解答】
f(x)(sinxcosx)(sinxcosx)23sinxcosx

cos2x3sin2x

2sin(2x)

6
所以
T

，最小值为
2
;
< /p>

由


2
2k

2x

6


2
2k

得

< br>6
k

x

3
k

,k Z,

又因为
x[0,

]
,
所以该函数的递增区间为
[

,

],[0,]
.
63

【点评】这个题目平方差公式是入手点，能够看到这一点，后面的问题就迎刃而 解.
2
变式训练：已知函数
f(x)23sinxcosx2cosx1(x R)
.
（1）求函数
f(x)
的最小正周期及在区间

0,



上的最大值和最小值；

2
（2）若
f(x
0
)
6



, x
0


,

，求
cos2x
0
的值．
5

42

【分析】可以化成
yAsin(
x

)
的形式，然后再求周期、及最值等，本题应先降幂，利用2cos
2
x1cos2x
，比较简单，必须掌握．
【解答】（1）
f(x)3(2sinxcosx)(2cos
2
x 1)
3sin2xcos2x2sin(2x)
6
所以函数
f(x)
的最小正周期为

.


因为
f(x)2si n

2x




6

在区间

0,





,
上为减函数， 上为增函数，在区间



6

62

又
f(0)1,f





2,
6




f

1
，

2

所以函数
f(x)
在区 间

0,



上的最大值为2，最小值为-1;


2



（2）由（1）可知
f(x
0
)2sin

2x
0



,
6

又因为
f(x
0
)

< br>3
6

，所以
sin

2x
0
< br>

，
6

5
5

由
x
0




2

7

 


,

，得
2x
0


,

，
6

36


42

从而
cos

2x
0

所以






4
2

，
1sin2x

0

6

6

5







cos2 x
0
cos


2x
0




6

6








cos

2x
0


cossin

2x
0


sin
．
6

66

6


343.
10
【点评】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数
yA sin(

x

)
的性质、同角三角
函数的基本关系、两 角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力．
例4. 在
ABC
中，
si nA
53
,cosB
，求
cosC
的值.
135【分析】由于是三角形，所以隐含的条件就是
ABC

，因此
co sCcos[

(AB)]cos(AB)
，那么利用两角和的余弦公式 就可以求解.
34
，所以
sinB
,
55
512又因为
sinA
，所以
cosA
；
1313
【 解答】因为
cosB
（1）若角
A
为锐角，显然符合题意；
（2 ）若角
A
为钝角，因为
sinA
515


，所 以
A

；
1326
又
sinB
故
AB
42


，所以
B
，
52
42
5

13



，不符合题意，舍去 ；
6412
所以
cosccos(AB)

sinAsinBcosAcosB


54123< br>
135135
16
.
65

【点评】本题 的思路还是比较清晰的，但是经过计算之后，会发现有两组值，而其中有一组值是不符合题
意的，需要舍 去，所以这里是一个非常容易忽略的地方，因此需要特别注意.

变式训练：设

,

都是锐角，且
cos


53
,s in(



)
，求
cos

. 55
【分析】从形式上看

(



)< br>
，所以可以利用两角差的余弦公式展开进行计算．
【解答】因为
0


又因为
sin(



)
2
,
且
cos


525
，所以
si n


，
55
34
，所以
cos(
< br>

)
，
55
而
sin(



)
因此
25
3
，
sin


，故
sin

sin(



)，
5
5

4




< br>
，所以
cos(



)
；
25
所以
cos

cos[(



)

]

cos(



)cos< br>
sin(



)sin

45325

5555

25
.
25

【点 评】这个题目同例4类似，在求
cos(



)
的值时有 两个值，但是同样需要根据已知条件舍去一个值，
这是本题的难点，具体操作时要和学生进行充分地讨论 ，为什么要舍去一个值，明白其来龙去脉.
四、【解法小结】
1.运用公式时要注意审查公 式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，
要注意“1”的各种变通 ，熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌
握公式中角和函数名称的 特征；
2. 在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值；
3.重视三角函数的“三变” ：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、
同角、特殊角；变名：尽 可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数
等.在解决求值、化简、 证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求问题的整体形式中的差异，再选择
适当的三角公式恒等变形 .
五、【布置作业】
必做题：



4
< br>1.设

为锐角，若
cos





，则
sin(2a)
的值为 ．
6

5
12


2.
21sin822cos8
等于 ．
3. 如果
sin(



)m
tan


，那么等于 ．
sin(



)n
tan

4．已 知函数
f(x)2cos(

x
（1）求

的值； < br>
6
（其中

0,xR
）的最小正周期为
10< br>
．
)
，
56516
]
，
f(5



)
，
f(5



) 
，求
cos(



)
的值．
235617
mn
113
17
答案：1.； 4.


，
cos(



)
.
2
； 2.
2sin4
； 3．
585
50
mn
（2）设

,

[0,
选做题：设
f(x )2sinx2cosxcos2x3
.
（1）求函数
f(x)
的最小正周期；
（2）求函数
f(x)在闭区间
[
442


3

,
161 6
]
上的最小值及相应
x
的取值.
；（2）
f(x)min

答案：（1）
f(x)cos4x1,T

2
23

1,x
.
216
六、【教后反思】
三角恒等变换这一章最大的特点是公式非常多，因此熟练掌握公式是解决这类问题的关键，所以本节
课在 一开始就列出了本章的知识脉络以及出现的公式，目的是让学生从宏观上把握这一章的内容；本节课
所选 择的例题具有一定的代表性，主要是让学生理解公式在恒等变换中的综合应用以及方法技巧的掌握，
目的 在于训练学生的运算能力、变通能力，由于个别题目较难，所以在具体实施时遇到了一定的困难，没
有达 到预期的效果，应想办法把一个难的问题分解，让学生能够愉快地接受．