说尺子-小学副校长工作总结

高中数学-三角恒等变换

考点 三角函数的化简与求值


1 两角和与差的三角函数公式
sin(α＋β)＝sinαcosβ ＋cosαsinβ；(S
α
＋
β
)
sin(α－β)＝sinα cosβ－cosαsinβ.(S
α
－
β
)
cos(α＋β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ；(C
α
＋
β
)
cos(α －β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(C
α
－
β
)
t an(α＋β)＝
tan(α－β)＝
tanα＋tanβ
；(T
α
＋
β
)
1－tanαtanβ
tanα－tanβ
.(T
－
)
1＋tanαtanβ
αβ
2 二倍角公式
sin2α＝2sinαcosα；(S
2α
)
cos2α＝cos
2
α－sin
2
α＝2cos
2
α－1＝1－2sin
2
α；(C
2α
)
tan2α＝
2tanα
.(T)
1－tan
2
α
2α
3 公式的变形与应用
(1)两角和与差的正切公式的变形
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；
tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
(2)升幂公式 αα
1＋cosα＝2cos
2
；1－cosα＝2sin
2
.
22
(3)降幂公式
sin
2
α＝
1－cos2α1＋c os2α
；cos
2
α＝
.
22
2sinαcosα2tanα
；
22
＝
sinα＋cosα
1＋tan
2
α
(4)其他常用变形
sin2α ＝
cos
2
α－sin
2
α
1－tan
2
α
cos2α＝
2
＝；
cos
α＋sin
2
α< br>1＋tan
2
α
αα
sin±cos

2
； 1±sinα＝

2

2
1－cosα
α
sin α
tan＝＝.
2
1＋cosα
sinα
4 辅助角公式
asinα＋bcosα＝a
2
＋b
2
sin(α＋φ)，
其中cosφ＝
ab
，sinφ＝.
a
2
＋b
2
a
2
＋b
2

5 角的拆分与组合
(1)已知角表示未知角
例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，
α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，
ππ
ππ
＋α

－＝

α－

＋.
α＝


4

4

3

3
(2)互余与互补关系
π3π
＋α

＋

－α

＝π， 例如，


4

4


π
＋α

＋

π
－α

＝
π
.

3

6

2
(3)非特殊角转化为特殊角
例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.
注意点 先看角，再求值
在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”.
资*源%库
1．思维辨析

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( )
(3)公式tan(α＋β)＝
β都成立．( )
(4)存在实数α，使得tan2α＝2tanα.( )
(5)公式asinx＋bco sx＝a
2
＋b
2
sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值有关．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2．(1)化简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为( )
1
A.
2
1
C．－
2
1－tan
2
75°
(2)的值为( )
tan75°
A．23
C．－23
答案 (1)A (2)C
解析 (1)cos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－s in15°sin45°＝cos(15°＋45°)＝cos60°
1
＝.故选A.
2
(2)由题意知
2
＝－23.
tan150°
23
B.
3
D．－
23

3
B.
3

2
3

2
tanα＋ tanβ
可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意α，
1－tanαtanβ
D．－
3．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tan A·tanB，则C等于( )

π
A.
3
π
C.
6
答案 A
2π
B.
3
π
D.
4
解析 由已知可得tanA＋tanB＝3(tanA·tanB－1)，
tanA＋tanB
∴tan(A＋B)＝＝－3，
1－tanAtanB
2
π
又0π，∴C＝
.
33

[考法综述] 此部分考查内容题型多样，但一般属于中低档题型，难度不大．主要侧重
于两 角和与差的三角函数公式、倍角公式为化简基础，化简三角函数关系式或求值．利用同角三
角函数的基本 关系式变异名为同名的三角函数，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式进行恒等
变形为高考热点，常与 三角函数式的化简求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查．
命题法 利用基本公式及变形式进行化简和求值
31
典例 (1)－＝( )
cos10°sin170°
A．4
C．－2
B．2
D．－4
ππ
1＋sinβ
0，

，β∈
0，

，且tanα＝(2)设α∈

，则( )

2

2

cosβ
π
A．3α－β＝
2
π
C．3α＋β＝
2
π
B．2α－β＝
2
π
D．2α＋β＝
2
π5π
3
x＋

，x∈R，且f

＝. (3)已知函数f(x)＝Asin


4

12

2
①求A的值；
π3π
3
0，

，求f

－θ

. ②若f(θ)＋f(－ θ)＝，θ∈


2

4

2
[解析] (1)
3sin10°－cos10°2sin10°－30°
3131
－＝－＝ ＝＝
cos10°sin170°cos10°sin10°sin10°cos10°1
si n20°
2
－2sin20°
＝－4，故选D.
1
sin20°< br>2
(2)由条件得
π
sinα
1＋sinβ

＝，即 sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，sin(α－β)＝cosα＝sin

< br>2
－α

，因为
cosαcosβ
ππππππ
－＜ α－β＜，0＜－α＜，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B.
222222
5π< br>
5π
＋
π

＝
3
， (3)①f

＝Asin

12

124

2
3 3
∴A·＝，A＝3.
22

②f(θ)＋f(－θ)
π

－θ＋
π

＝
3
，
θ＋< br>
＋3·＝3sin

sin
4

2
4

∴3


22

3
sinθ ＋cosθ＋－sinθ＋cosθ
＝
2
，
22

36
∴6cosθ＝，cosθ＝，
24
π
0，

， 又θ∈


2

∴sinθ＝1－cos
2
θ＝
10
，
4
3< br>30
π－θ

＝3sin(π－θ)＝3sinθ＝
∴f
< br>.

4

4
[答案] (1)D (2)B (3)见解析
【解题法】 三角函数的化简与求值方法
(1)三角函数式化简遵循的三个原则
① 一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从
而正确使用公式 ．
②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”． ③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式
要通分” 等．
(2)三角函数求值的类型及方法
①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从 表面来看较难，但非特殊角与特殊角总
有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式 转化为特殊角的三角函数．
②“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值， 解题关键在于“变
角”，使其角相同或具有某种关系．
③“给值求角”：实质上也转化为“给 值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式
子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得 角，有时要压缩角的取值范围．

1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( )
A．－
3

2
B.
3

2
1
C．－
2
答案 D
1
D.
2
1
解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝.
2
2．化简
A．1
C.2
答案 C
cos40°
＝( )
cos25°1－sin40°
B.3
D．2

解析 原式
＝
cos25°sin
2
20°－2sin20°cos20°＋cos
2
20°
cos
2
2 0°－sin
2
20°
cos
2
20°－sin
2
20°
＝
cos25°cos20°－sin20°
＝
2sin65° 2cos25°
＝＝2.
cos25°cos25°

α＋
π
，1

，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，则sin

α＋
4π

＝( ) 3．已知向量a＝

sin

6

3

A．－
C.
3

4
1
B．－
4
1
D.
4
3

4
答案 B
解析 ∵a⊥b，
π
α＋

＋4cosα－3 ∴a·b＝4sin


6

＝23sinα＋6cosα－3
π
α＋

－3＝0， ＝43sin


3

π
1
α＋

＝. ∴sin


3< br>
4
4ππ
1
α＋

＝－sin

α＋

＝－. ∴sin


3

3

4
1
4.已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为______ __．
7
答案 3
1
＋2
tanα＋β－tanα
7
解析 tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
2
1＋tanα＋βtanα
1－
7
5．sin15°＋sin75°的值是________．
答案
6

2
6
.
2
解析 解法一：sin15°＋s in75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝
解法二：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°
＝2sin(45°＋15°)＝2sin60°＝
6
.
2
sin2A
＝________.
sinC
6．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则
答案 1
解析 由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，又由余弦定理知cosA＝
b
2
＋c
2
－a
2
25＋36－16
3sin2A2 sinAcosAsinA43
＝＝，所以＝＝2××cosA＝2××＝1.
2bc4sinCsinCsinC64
2×5×6

π
7．已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤ π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ
3
的值是________．
答案
π

6
π
1

解析 显然交点为


3
，
2

，
2
1
π＋φ

＝
， 故有sin

3

2
2
π
∴
π＋φ＝2kπ＋
，k∈Z，
36
25
或
π＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
36
ππ
∴φ＝2kπ－或φ＝2kπ＋，k∈Z，
26
π
又0≤φ≤π，故φ＝.
6
π
0，
，且2sin
2
α－sinα·
8．已知α∈

cosα－3c os
2
α＝0，则

2

答案
26
< br>8
π
α＋

sin


4

sin2α＋cos2α＋1
＝________.
解析 解法一：由2sin
2
α－sinαcosα－3cos
2
α＝0，得(2sinα－3cosα)·(si nα＋cosα)＝0，∵α∈

0，
π

，∴sinα＋cosα >0，∴2sinα＝3cosα，又sin
2
α＋cos
2
α＝1，

2

∴cosα＝
213313
，sinα＝，
1313
2
sinα＋cosα
2
26
∴＝＝. 8
sin2α＋cos2α＋1sinα＋cosα
2
＋－sin
2
α＋cos
2
α
3
解法二：同解法一得2sinα＝3cosα ，即tanα＝，由三角函数定义令y＝3，x＝2，则r＝13，
2
π
213
0，

，又α∈

故cosα＝.(或对式子2sin
2
α－sinαcosα－3cos
2
α＝0两边同时除去cos
2
α得2ta n
2
α

2

13
3
－tanα－3＝0 ，即(2tanα－3)(tanα＋1)＝0，得tanα＝或tanα＝－1(舍)．)以下同解法一．
2
9．化简tan
π
1
－＝________.
12π
tan
12
π
α＋

sin

< br>4

答案 －23
ππ

cos
2
π－sin
2
π

－cos
π
cos
－
121212

6

12
解析 原式＝－＝＝＝－23.
ππππ
1
π
cossinsincossin
1212121226
sin
10. 如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角．

A
1－cosA
(1)证明：tan＝； 2sinA
ABCD
(2)若A＋C＝180°，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝ 5，求tan＋tan＋tan＋tan的值．
2222
AA
2sin
2< br>22
1－cosA
A
解 (1)证法一：tan＝＝＝.
2AAAs inA
cos2sincos
222
sin
1－cosA
＝
sinA
A
＝tan.
AA2
2sincos
22
2si n
2
A
2
证法二：
(2)由A＋C＝180°，得C＝180°－A ，D＝180°－B.
由(1)，有
ABCD
tan＋tan＋tan＋tan
2222
＝
1－cosA1－cosB1－cos180°－A1－cos18 0°－B
22
＋＋＋＝＋.
sinAsinBsinAsinB
sin 180°－Asin180°－B
连接BD.
在△ABD中，有BD
2
＝AB
2
＋AD
2
－2AB·ADcosA，
在△BCD中，有 BD
2
＝BC
2
＋CD
2
－2BC·CDcosC， 所以AB
2
＋AD
2
－2AB·ADcosA＝BC
2
＋CD
2
＋2BC·CDcosA.
AB
2
＋AD
2－BC
2
－CD
2
6
2
＋5
2
－3< br>2
－4
2
3
则cosA＝＝＝.
2AB·AD＋BC·C D26×5＋3×4
7
于是sinA＝1－cos
2
A＝
连接 AC.同理可得
AB
2
＋BC
2
－AD
2
－CD
2
cosB＝
2AB·BC＋AD·CD
6
2
＋3< br>2
－5
2
－4
2
1
＝＝，
26×3＋5 ×4
19
于是sinB＝1－cos
2
B＝
1

2
610
1－


19

＝
19
.
3210
1－
2
＝.
77
ABCD
所以tan＋tan＋tan＋tan
2222
＝
2×72×19
41022
＋＝＋＝.
sinAsinB
210610
3

π
5
，π

，sinα＝. 11.已知 α∈


2

5
π

(1)求sin

4
＋α

的值；
5π

(2) 求cos


6
－2α

的值．
π
5
，π

，sinα＝， 解 (1)因为α∈


2

5
所以cosα＝－1－sin
2
α＝－
25
.
5
π
ππ
22510
25

＋α

＝sincosα＋cossinα＝×

－
故sin

＋×＝－.

4

442

510
5< br>
2
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×
cos2α＝1 －2sin
2
α＝1－2×

5

25

4
×
－
＝－，
5

5
5

< br>5

2
3
＝，
5

5
5π
44＋33
5π5π
3
31
－2α

＝coscos2α ＋sinsin2α＝

－

×＋×

－

＝－所以cos

.

6

6610

2

52

5


153
已知α，β为 三角形的两个内角，cosα＝，sin(α＋β)＝，则β＝________.
714
[错解]

[答案]
π
2
或
π
33
[错因分析] (1)错解中没有明确α＋β的范围，导致求cos(α＋β)时不能正确判断符号．
(2)所求函数值不是sinβ，而是cosβ，导致在(0，π)中角β有两解的错误．
1
[正解] 因为0<α<π，cosα＝，
7
所以sinα＝1－cos
2
α＝
43
ππ
，故<α<，
732
533
<，
142
又因为0<α＋β<π，sin(α＋β )＝
π2π
所以0<α＋β<，或<α＋β<π，
33

ππ2π
由<α<知<α＋β<π，
323
11
所以cos(α＋β)＝－1－sin
2
α＋β＝－，
14
所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]
11
153431
π
－

×＋＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝
< br>×＝，又因为0<β<π，所以β＝.

14

714723
[答案]
π

3
[心得体会]

………………………………………………
………………………………………………
时间：60分钟
基础组
π
2
＋α

＝，则sin2α等于( ) 1.[2016·衡水 二中猜题]若sin


4

5
A．－
C．－8

25
8
B.
25
D.
17

25

17

25
π
＋α

4
答案 C
π

2
解析 sin2α＝－cos


2
＋2α

＝2sin

( )
2

2
17
－1＝2×

－1＝－，故选C.

5

25

ππ
1
－α

＝，则cos
< br>＋2α

＝( ) 2．[2016·衡水二中一轮检测]若sin


3

4

3

7
A．－
8
1
C.
4
答案 A
ππ
1
－α

＝，得sin

－
解析 由 sin


3

4

2
ππ
＋2 α

＝cos

2＋α

∴cos


3

6

π
1
7
＋α
< br>－1＝2×

2
－1＝－. ＝2cos
2

< br>6

4

8
45
3．[2016·冀州中学周测] 在△ABC中，若cosA＝，cosB＝，则cosC＝( )
513
A.
C.
3

65
36
B.
65
D.
33

65
1
B．－
4
7
D.
8


π
＋α

＝
1
，即cos

π
＋α

＝
1
，

6

4

6

4
16

65
答案 C
312
解析 在△ABC中，05133124516
＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB＝×－×＝.
51351365
ππ
1
，π

，tan

α＋

＝，那么sinα＋cosα的值为( ) 4．[2016·冀州中学热身]已知 α∈


2

4

7
1
A．－
5
7
C．－
5
答案 A
π
1
5π π
π
3π5π
π
1
α＋

＝>0，α＋∈

，

，则α＋∈

π，

，sin
< br>α＋

＝－解析 tan

，所以sinα
4
4

4

7

4

4
< br>4
4

52
π
1
α＋

＝－，故选 A. ＋cosα＝2sin


4

5
π
ππ
＋x
－3cos2x

≤x≤

的最大值为( ) 5．[2016·枣强中学周测]函数f(x)＝2sin
2

2
< br>4

4
A．2
C．2＋3
答案 B
B．3
D．2－3
7
B.
5
3
D.
4

π
＋x

－3cos2x＝sin2x－3cos2x＋1 ＝2sin

2x－
π

＋1，当解析 依题意，f(x)＝1－c os

2
3

4

π
ππππ2 π
1
2x－

≤1，此时f(x)的最大值是3，选B. ≤x≤时，≤2x －≤，≤sin

3

426332
π
ππ
1< br>
π
－
β

＝
3
，则cos
α＋
β

＝
＋α

＝，6. [2016·冀州中学预 测]若0<α<，－<β<0，cos

cos

4

3< br>
42

3

2

22
( )

A.
C.
3

3
B．－
D．－
3

3
6

9
53

9
答案 C
βππβ
α＋

＝cos

＋α

－

－

＝ 解析 cos


2

4

42
ππβππβ
＋α

cos

－

＋sin

＋α

sin

－

， c os


4

42

4

42

π
3π

πβ

ππ

π
π
22

π
－
β

＝
6
，则cos

α＋
β

＝
1
，
，－∈，
，因此sin

＋α

＝而＋α∈

，si n

44

42

42

4

3

42

3

2

34
×
322653
＋×＝.
3339
π
1
0，

，且sin
2
α＋cos2α＝
，则tanα的值等于( ) 7．[20 16·枣强中学一轮检测]若α∈


2

4
A.
2

2
B.
3

3
C.2
答案 D
D.3
π
133
0，

，所以sinα＝，解析 由 二倍角公式可得sin
2
α＋1－2sin
2
α＝
，即sin
2
α＝
，又α∈


2

442
ππ< br>即α＝，所以tanα＝tan＝3，故选D.
33
8．[2016·冀州中学月考] 关于函数f(x)＝2(sinx－cosx)·cosx的四个结论：
p
1
：最大值为2；
π
资*源%库p
2
：把函数 g(x)＝2sin2x－1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)＝2(sinx－
4
cosx)cosx的图象；
7π11π
kπ＋，kπ＋

，k∈Z； p
3
：单调递增区间为

88

k
π
π＋
，－1

，k∈Z. p
4
：图象的对称中心为


28

其中正确的结论有( )
A．1个
C．3个
答案 B
π
2x－

－1，所以最大值为2解析 因为f(x)＝ 2sinxcosx－2cos
2
x＝sin2x－cos2x－1＝2sin
4

－1，所以p
1
错误．
π

x－π

－1＝2将g(x)＝2sin2x－1的图象向右平移个单位后得到h(x)＝2 ·sin

2

4

4
π
2x－
－1的图象，所以p
2
错误． sin

2
ππππ3π
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即 增区间为
24288
B．2个
D．4个

－
π
＋kπ，
3π
＋kπ

，k∈Z，所以p
3
正确．
8

8


k
π
π
k
π
π＋
，－1

，k∈Z，由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝
π＋
，k∈Z，所以图象的对 称中心为


28

428
所以p
4
正确 ，所以选B.

9. [2016·衡水中学月考]如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A， 点C，B在圆O上，且点C
125
ααα
3
，－

，∠AO C＝α.若|BC|＝1，则3cos
2
－sincos－的位于第一象限，点B的坐标为
13

13
2222
值为________．
答案
5

13
解析 由题意得|OB|＝|BC|＝1，从而△OBC为等边三角形，
π
5
－α

＝， ∴sin∠AOB＝sin


3

13
1＋cosα
sinα
2π
ααα
3313
α＋

又∵3cos
2
－sincos－＝3·－－＝ －sinα＋cosα＝sin


3

222222222

α＋
2π

＝sin

π
－α
< br>＝
5
. ＝sin

π－

3
3

13
10．[2016·衡水中学期中]已知13sinα＋5cosβ＝9 ,13cosα＋5sinβ＝15，那么sin(α＋β)的值为
________．
答案
56

65
解析 将两等式的两边分别平方再相加，得169＋130sin (α＋β)＋25＝306，所以sin(α＋β)
56
＝.
65
1
π
11. [2016·武邑中学期中]已知函数f(x)＝3sin ωxcosωx＋cos
2
ωx－
(ω>0)，其最小正周期为.
22
(1)求f(x)的表达式；
π
(2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标
8
π
0，
上有且只有一个实数不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间


2

解，求实数k的取值范围．
cos2ωx＋1
1
π
13
2ωx＋

. 解 ( 1)f(x)＝3sinωxcosωx＋cos
2
ωx－
＝sin2ωx＋－＝si n

6

2222
由题意知f(x)的最小正周期T＝
π
4x＋

. 所以f(x)＝sin

6

2πππ
＝＝，所以ω＝2.
2ω
ω
2

π
π
π
π
x－

＋
＝sin

4x－

的图象，再将所(2)将f(x)的图象 向右平移个单位后，得到y＝
sin

4

3

8


8

6

π
2x－
的图象，所以g(x)得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin

3

π
2x－

. ＝sin

3

πππ2π
因为0≤x≤，所以－≤2x－≤.
2333
ππ
0，

上有且只有一个实数解，即函数y＝g(x)与 y＝－k在区间

0，

上g(x)＋k＝0在区间

< br>2

2

有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－
1.
π

π
－α

＝－
1
，α∈
< br>π
，
π

，求：
＋α

·12．[201 6·衡水中学期末]已知cos

cos

6

3

32

4
(1)sin2α；
(2)tanα－
1
.
tanα
1

)
＝－，
(
2α＋
π

34
3333
≤－k<或－k＝1，所以－2222
π

π
－α

＝cos

π
＋α

·

π
＋α

＝
1
sin

＋α

·解 (1)cos

cossin

6< br>
3

6

6

2
πππ< br>1
2α＋

＝－，注意到α∈

，

， 即 sin

3

32

2
4π
π
π，

， 故2α＋∈

3

3

π< br>3
2α＋

＝－， 从而cos

3

2
ππ
2α＋－

＝sin

∴sin2α＝sin

33

(
2α＋
π

3
)
π
ππ
11331
2α＋

sin＝－×＋×＝. co s－cos

3

3

322222
2π

131sinαcosα
sin
2
α－cos
2
α

(2)∵2α∈

3
，π

，sin2α＝，∴cos 2α＝－.∴tanα－＝－＝＝
22tanαcosαsinαsinαcosα
3
2
－2cos2α
＝－2×＝23.
sin2α1
2
－

或者由1知2α＋
π
＝
7π
，∴α＝
5π
，< br>∴sin2α＝sin
5π
＝
1
，cos2α＝cos
5π< br>＝－
3
，∴tanα－
3612

6262

1sinαcosα
sin
2
α－cos
2
α
－cos2 α

＝－＝＝＝
23.
tanαcosαsinαsinαcosα1


sin2α
2
能力组
π

1
13.[ 2016·冀州中学猜题]设sin


4
＋θ

＝
3
，则sin2θ＝( )
7
A．－
9
1
C.
9
答案 A
1
B．－
9
7
D.
9

ππ
1
7
＋2θ

＝2sin< br>2

＋θ

－1＝2×

2
－1＝－. 解析 sin2θ＝－cos


2

4

3

9
24
θ
14．[2016·衡水中学模拟]已知θ为第二象限角 ，sin(π－θ)＝，则cos的值为________．
252
3
答案 ±
5
解析 ∵θ为第二象限角，
θ
∴为第一、三象限角．
2
θ
∴cos的值有两个．
2
2424
由sin(π－θ)＝，可知sinθ＝，
2525
7
θ
18
∴cosθ＝－，∴2cos
2
＝.
25225
θ
3
∴cos＝±.
25
π
2x＋

＋sin2x. 15．[2016·衡水中学仿真 ]已知函数f(x)＝cos

6

π

(1)求f

8

的值；
π
25

α－
7π

＝
122
.
0，

，sinα＝(2)设α∈

，证明：5f

2

24

tan4α5
π
ππ
31
2x＋

＋sin2x＝cos2xcos－sin2xsin＋sin2x＝cos2x－s in2x＋sin2x＝解 (1)f(x)＝cos

6

6622π
31
2x＋

， cos2x＋sin2x＝sin

3

22
π

2×
π
＋
π

＝sin

π
＋
π

所以f

＝sin

8

83

43

2＋ 6
ππππ
＝sincos＋cossin＝.
43434
π
2x＋

， (2)证明：由(1)，知f(x)＝s in

3

7π7π
α－

＝sin

2

α－

＋所以f


24
 
24


π

2α－
π

＝
2
sin2α－
2
cos2α. ＝sin
3

4

2

2
π
255
2
0，

，sinα＝因为α∈

，所以cosα＝1－sin
α＝
. 
2

55
43sin2α4
所以sin2α＝2sinαco sα＝，cos2α＝1－2sin
2
α＝－
，tan2α＝＝－.
55cos2α3
所以tan4α＝
2tan2α24
＝.
1－t an
2
2α
7
7π
22
α－

＝5

sin2α－cos2α

所以5f


24


22

＝5


72
3
2 42
－


＝
2
，
×－×

2 52

5


7π

α－

＝又＝ ＝，所以5f


24

tan4α
.
tan4α242
7

π
3x＋

. 16. [2016·冀州中学一 轮检测]已知函数f(x)＝sin

4

(1)求f(x)的单调递增区 间；
α

(2)若α是第二象限角，f


3

＝
π
4

cos

α＋
4
< br>
cos2α，求cosα－sinα的值．
5
ππ
－＋2kπ，＋2kπ

，k∈Z. 解 (1)因为函数y ＝sinx的单调递增区间为

2

2

πππ
由 －＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
242
π
2kπ
π
2kπ
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
43123
所以，函数f(x)的单调递增区间为

－
π
＋
2kπ
，
π
＋
2kπ

，k∈Z.

43123

π
4

α＋
π

( cos
2
α－sin
2
α)，所以sinαcos
π
＋co sαsin
π

α＋

＝·(2)由已知，有sin
cos

4

5

4

44
ππ
4
cosαcos－sinαsin

(cos
2
α－ sin
2
α)，
＝

44

5

4
即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)
2
(sinα＋cosα)．
5
当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝
此时，cosα－sin α＝－2.
5
当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)
2
＝.
4
由α是第二象限角，知cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－
综上所述， cosα－sinα＝－2或－
5
.
2
5
.
2
3π
＋2kπ，k∈Z.
4