2019年高考数学一轮复习-三角恒等变换
证明书格式-入团志愿书格式
. .
2019年高考数学一轮复习：三角恒等变换
三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1
)sin(
α
±
β
)＝____________________. (2)cos(
α
±
β
)＝____________________
.
(3)tan(
α
±
β
)＝________________
____.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2
α
＝______________．
(2)cos2α
＝___________＝___________＝
___________．
(3)tan2
α
＝
.
3．半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin
α
1－cos
α
2
＝±
2
.
(2)cos
α
1＋cos
α
2
＝±
2
.
(3)tan
α
1－cos
α
sin
2
＝±
1＋cos
α
＝
α
1＋cos
α
＝
1－cos<
br>α
sin
α
.
4．几个常用的变形公式
(1)升幂公式：1±sin
α
＝
；
1＋cos
α
＝
；1－cos
α
＝
．
(2)降幂公式：sin
2
α
＝
；
cos
2
α
＝
．
(3)tan
α
±tan
β＝______________________；
word完美格式
tan
α
tan
β
＝
tan
α
－tan
β
tan（
α
－
β
）
－1＝1－
tan
α
＋tan
β
tan（
α
＋
β）
.
(4)辅助角公式：
a
sin
α
＋
b<
br>cos
α
＝
a
2
＋
b
2
sin(<
br>α
＋
φ
)，其中cos
φ
＝
，sin
φ
＝
，或tan
φ
＝
，
φ
角所在象限与点(
a
，
b
)所在象限____
____，
φ
角的
终边经过点(
a
，
b
)．
自查自纠
1．(1)sin
α
cos
β
±cos
α
sin
β
(2)cos
α
cos
β
∓sin<
br>α
sin
β
(3)
tan
α
±tanβ
1∓tan
α
tan
β
2．(1)2sin
α
cos
α
(2)cos
2
α
－sin
2
α
2cos
2
α
－1 1－2sin
2
α
(3)
2tan
α
1－tan
2
α
4．
(1)
sin
α
2
±cos
α2
2
αα
2cos
2
2
2sin
2
2
(2)
1－cos2
α
1＋
2
cos2
α
2
(3)tan(
α
±
β
)
(1∓
tan
α
tan
β
)
(4)
abb
a
2
＋
b
2
a
2
＋
b
2
a
相同
(2015·全国卷Ⅰ)sin20°cos10°－
cos160°sin10°＝( )
A．－
3
2
B.
311
2
C．－
2
D.
2
.
.
解：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝
sin30°＝1
2
.故选D
.
(2016·全国卷Ⅱ)若tan
θ
＝
1
3
，则cos2
θ
＝
( )
A．－
4
5
B．－
1
5
C.
14
5
D.
5
解：因为tan
θ
＝
1
3
，所以cos
θ
＝3sin
θ
，根据同
角三角函数关系可得sin
2
θ
＋9sin
2
θ<
br>＝1，sin
2
θ
＝
1
10
.由
倍角公式，
cos2
θ
＝1－2sin
2
θ
＝
4
5
.
故选D
.
(2017·全国卷Ⅲ)函数
f
(
x
)＝
1
5
sin
π
x<
br>＋
3
＋
cos
π
6
x
－
的最大值为( )
A.
6
5
B．1
C.
3
5
D.
1
5
解：f
(
x
)＝
1
5
sin
x
＋
π
3
＋cos
<
br>
x
－
π
6
<
br>＝
1
5
sin
x
·
1
2
＋cos
x
·
3
2
<
br>＋cos
x
·
3
2
＋sin
x
·
1
2
＝
3
5
sin
x
＋
333<
br>5
cos
x
＝
5
·2sin
π
x
＋
3
＝
6
5
sin
π
3
6
x
＋
，最大值为
5
.
故选A
.
(2017·江苏)若tan
π
1
α
－
4
＝
6
，则tan
α
＝
________.
解：tan
α
＝tan
α
－
π
4
π
＋
4
＝
tan
α
－
π
4
＋tan
π1
46
＋1
1－tan
＝
77
π
π
1
＝
5.故填
5
.
α
－
4
tan
4
1－
6
(2016·上海)方程3sin
x＝1＋cos2
x
在区间
[0，2π]上的解为________．
解
：3sin
x
＝1＋cos2
x
，即3sin
x
＝2－2s
in
2
x
，所
以2sin
2
x
＋3sin
x
－2＝0，解得sin
x
＝
1
2
或sin
x＝－2(舍
去)，所以在区间
[
0，2π
]
上的解为
π
6
或
5π
6
.故填
π
6
或
5π<
br>6
.
word完美格式
类型一 非特殊角求值问题
(1)(2017·山东)已知cos
x
＝<
br>3
4
，则cos2
x
＝( )
A．－
1
4
B.
1
4
C．－
11
8
D.
8
解：由cos
x
＝
3
4
得cos2
x
＝2cos
2
x
－1＝2×
3
2
4
<
br>
－1＝
1
8
.故选D
.
(2)(教材复习参考题)sin50°(1＋3tan10°)＝
________.
解：sin50°(1＋3tan10°)
＝sin50°
s
in10°
1＋3×
cos10°
＝sin50°×
cos10°＋3sin10°
cos10°
2
×
1
cos10
3
＝sin50°×
2
°＋
2
sin10°
cos10°
＝
2sin50°cos50°sin100°cos10°
cos10°＝
cos10°
＝
cos10°
＝1.故
填1
.
(3)(福建漳州2017届八校联考)已知tan
α
＝
2(
α
∈(0，π))，则cos
5
2
π＋2
α
＝( )
A.
3
5
B.
4
5
C．－
3
5
D．－
4
5
解：由tan
α
＝2得sin
α＝2cos
α
，sin
2
α
＋cos
2
α＝1，得4cos
2
α
＋cos
2
α
＝1，cos2
α
＝
1
5
，cos
5
2
π＋2
α
＝cos
π
2
＋2
α
＝－si
n2
α
＝－2sin
α
cos
α
＝－4cos
2<
br>α
＝－
4
5
.故选D
.
【点拨】解决非特殊角求值问题的基本思路有：
. . (1)化非特殊角为特殊角；(2)化为正负相消的项，消去
后求值；(3)化分子、分母使之出现
公约数，进行约分
求值；(4)当有
α
，2
α
，3
α
，4
α
同时出现在一个式子
中时，一般将
α
向2
α
，3
α
(或4
α
)向2
α
转化，再求
关于2α
式子的值．
(1)(2016·四川)cos
2
ππ<
br>8
－sin
2
8
＝
________.
解： 根据
二倍角公式有cos
2
π
8
－sin
2
ππ
8＝cos
4
＝
22
2
.故填
2
.
(2)(2015·长沙模拟)
3tan12°－3
sin12°（4co
s
2
12°－2）
＝________.
解：
3tan12°－3
sin12°（4cos
2
12°－2）
＝
3（sin1
2°－3cos12°）
2cos24°sin12°cos12°
＝
23
sin（12°－60°）
1
＝－43.故填－43
.
2
sin48°
(3)(2015·浙江模拟)tan70°＋tan50
°－3
tan70°tan50°的值等于( )
A.3
B.
3
3
C．－
3
3
D．－3 <
br>解：因为tan120°＝
tan70°＋tan50°
1－tan70°·tan50
°
＝－
3，
所以tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°＝－3.故选D
.
类型二 给值求值问题
(1)(20
15·江苏)已知tan
α
＝－2，tan(
α
＋
β
)＝<
br>1
7
，则tan
β
的值为________．
解：tan<
br>β
＝tan[(
α
＋
β
)－
α
]＝
word完美格式
1
tan（
α
＋
β
）－tan
α
7
＋2
1＋tan（
α
＋
β
）tan
α
＝＝3.故填3
.
1－
2
7
(2)设
α
为锐角，若cos
α
＋
π
6
4
π
＝
5
，则s
in
2
α
＋
12
的值为
________．
解：cos
π
α
＋<
br>π
6
＝
4
5
，
α<
br>为锐角，则
α
＋
6
为锐角，
sin
<
br>π
α
＋
6
＝
3<
br>5
，
由二倍角公式得sin2
π
2
4
π
α
＋
6
＝
25
，cos2
α
＋
6
＝
7
25
，
所以sin
π
2
α
＋
12
＝sin
2
α
＋
π
6
－
π
4
＝sin2
α
＋
π
6
<
br>
π
π
π
cos
4
－cos2
α
＋
6
sin
4
＝
2427217217
25
×
2
－
25
×
2
＝
50
.故填
2
50
.
(3)(2016·沈阳十一中联考)若cos
α
＝－
45
，
α
是
1＋tan
α
第三象限角，则
2＝( )
1－tan
α
2
A. －
1
2
B.
1
2
C. 2 D. －2
解：由cos<
br>α
＝－
4
5
，
α
是第三象限角，得sin
α
＝
－
3
5
，
1＋tan
ααα
2
cos
2
＋sin
2
1－tan
α
＝
αα
2
cos
2
－sin
2
cos<
br>α
＋sin
α
cos
α<
br>＋sin
α
＝
22
22
α
cos
α
2
－sin
2
αα
cos
2
＋sin
2
.
.
3
＝
1＋sin
α
1－
5
cos
α<
br>＝
－
4
＝－
1
2
.故选A
.
5
【点拨】给值求值问题，即给出某些角的三角函
数式的值，求另外一些角或式子的三角函
数值，解题
的关键在于“变角”，如
α
＝(
α
＋
β
)－
β
，2
α
＝(
α
＋
β
)
＋(
α
－
β
)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解
时一定要注意角
的范围的讨论．另掌握常用的勾股数
(3，4，5；5，12，13；8，15，17；20，21，2
9)，
可简化计算．
(1)已知
tan(
α
＋
β
)＝－1，tan(
α
－
β
)＝
1
2
，则
sin2
α
sin2
β
的
值为( )
A.
1
3
B．－
1
3
C．3 D．－3
解：
sin
2
α
sin[（
α
＋
β
）＋（
α
－
β
sin2
β
＝
）]
sin[（
α
＋
β
）－（
α
－
β
）]
＝
sin（
α
＋
β
）cos（
α
－
β
）＋cos（
α
＋
β
）sin（
α
－
β
）
sin（
α
＋
β
）cos（
α
－
β
）－cos（
α
＋
β
）sin（
α
－
β
）
＝
tan（
α
＋
β
）＋tan（
α
－
β）
tan（
α
＋
β
）－tan（
α
－
β
）
＝
1
3
.故选A
.
(2)(20
15·汕头模拟)已知tan
α
2
＝3，则cos
α
＝
(
)
A.
4
5
B．－
4
5
C.
43
15
D．－
5
cos
2
α
2
α
解：cos
α
＝cos
2
α2
－sin
2
α
2
－sin
2
2
＝＝
cos
2
α
2
＋sin
2
α
2
1
－tan
2
α
2
＝
1－9
＝－
4
.
1＋tan
2
α
1＋95
故选B
.
2
(3)已知cos
α
＝
1
3
，cos(
α
＋
β
)＝－
1
3
，且
α
，
β
∈<
br>
0，
π
2
，
则cos(
α
－
β
)的值等于( )
A．－
11123
2
B.
2
C．－
3
D.
27
word完美格式
解：因为
α
∈
0，π
2
，2
α
∈(0，π)，cosα
＝
1
3
，
所以cos2
α
＝2cos
2
α
－1＝－
7
9
，sin2
α
＝1－cos<
br>2
2
α
＝
42
9
.而
α
，
β
∈
0，
π
2
，所以
α
＋
β
∈(0，π)，所以
sin(
α
＋
β
)＝1－cos
2
（
α
＋
β
）＝
22
3
.所以cos(
α
－
β
)＝cos[2
α
－(
α
＋
β
)]＝cos2
α
cos(
α
＋
β
)＋sin2
α
sin(
α
＋β
)＝
7
1
3
4
22223
－
9
×
－
＋
9
×
3
＝
27
.故选D<
br>.
类型三 给值求角问题
(福州外校2017届高三适应性考试)已知<
br>A
，
B
均为钝角，sin
2
A
2
＋cos<
br>
π
5－15
A
＋
3
＝
10
，且sin
B
＝
10
10<
br>，则
A
＋
B
＝( )
A.
3π
4
B.
5π
4
C.
7π7π
4
D.
6
解：由题意知
1
2
(1－cos
A
)＋
131
2
cos
A
－
2
sin
A
＝
2
－
155<
br>10
，得sin
A
＝
5
，sin
B
＝
10
10
.
A
，
B
均为钝角，π<
A
＋
B
<2π，cos
A
＝－
25
5
，
co
s
B
＝－
310
10
，cos(
A
＋
B<
br>)＝cos
A
cos
B
－sin
A
sin
B
＝
－
25
5
×
310
－
10
<
br>
－
5102
5
×
10
＝
2
>0，
那么，
3π
2
<
A
＋
B
<2π，所以A
＋
B
＝
7π
4
.故选C
.
【点拨】给值求角问题，可转化为“给值求值”
问题，解得所求角的某一三角函数值，结合所求角的<
br>范围及函数的单调性可求得角．
(2016·苏北四市调研)已知
π<
br>2
<
α
<π，－
π<
β
<0，tan
α＝－
1
3
，tan
β
＝－
1
7
，则2
α
＋
β
等于
________．
.
.
2×
－
1
解：tan2α
＝
2tan
α
3
3
1－tan
2
α
＝
1－
1
＝－
4
，
－
3
2
3
tan
(2
α
＋
β
)＝
tan2
α
＋tan
β<
br>－
4
－
1
7
1－tan2
α
tan
β
＝
1－
3
－
4
×
－
1
7
＝－1.
因为
π
2
<
α
<π，－
1
＝－
1
3
<0，
所以
3
4
π<
α
<π，
3
2
π<2
α
<2π.①
又－π<
β
<0，tan
β
＝－
1π
7
<
0，所以－
2
<
β
<0.②
由①②知，π<2
α
＋
β
<2π.
又tan(2
α
＋
β
)＝－1，所以2
α
＋
β
＝
7π<
br>4
.故填
7π
4
.
类型四
三角恒等变换与三角函数性质
的综合应用
(2017·北京)已知
f
(<
br>x
)＝3cos
2
x
－
π<
br>3
－2sin
x
cos
x
.
(1)求
f
(
x
)的最小正周期；
(2)求证：当
x
∈
ππ
1
－
4，
4
时，
f
(
x
)≥－
2
.
解：(1)
f
(
x
)＝
3
2
cos2
x
＋
3
2
sin2
x
－sin2
x
＝
1
2
sin2
x
＋
3
2
cos2
x
＝sin
2
x
＋
π
3
.
所以
f
(x
)的最小正周期
T
＝
2π
2
＝π.
(2)
证明：因为－
ππππ
4
≤
x
≤
4
，所以－
6
≤2
x
＋
5π
3
≤
6
.
所
以sin
π
π
1
2
x
＋
3
≥sin
－
6
＝－
2
.
所以当
x
∈
ππ
1
－
4
，
4
时，
f
(
x
)≥－
2
.
【点拨】本题考查三角函数式的恒等变形及三角
函数的图象与性质，属于基础题．要
求准确应用降幂
word完美格式
公
式和辅助角公式进行变形，化为标准的
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)＋
b
的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周
期、最值等．
(2015·重庆)已知函数
f
(
x
)＝sin
π
2
－
x
sin
x
－3cos
2
x
.
(1)求
f
(
x
)的最小正周期和最大值；
(2)讨论<
br>f
(
x
)在
π2π
6
，
3
上的单调性．
解：(1)
f
(
x
)＝sin
π
2
－
x
sin
x
－3cos
2
x
＝cos
x
sin
x
－
3
2
(1＋c
os2
x
)
＝
13
2
sin2
x
－3
2
cos2
x
－
2
＝sin
<
br>
2
x
－
π
3
3<
br>
－
2
，
因此
f
(
x
)的最小正
周期
T
＝
2π
2
＝π，
f
(
x
)
的最大值为
1－
3
2
.
(2)当
x
∈
π
6
，
2π
3
时，有0≤2
x
－
π
3
≤π，从而
当0≤2<
br>x
－
π
3
≤
π
2
时，即
π
6
≤
x
≤
5π
12
时，
f
(
x<
br>)单调递增；
当
ππ5π2π
2
≤2
x
－
3
≤π时，即
12
≤
x
≤
3
时，
f
(
x
)单调递
减．
综上可知，
f
(
x
)在
π
6
，
5π
12
<
br>
上单调递增，在
5π2π
12
，
3
上单调递减．
1．深层次领悟公式的功能、规律与内涵
对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵．
如1±sin2
α
＝(sin
α
±cos
α
)
2
有并项的功能，
cos2
α
＝cos
2
α
－sin
2
α
有升幂的功能，s
in2
α
＝
2sin
α
cos
α
有将角由大化小的
功能，两角和与差的正
切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系等．
.
.
2．余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明
过程以及和差倍半公式的推演方法是很有
必要的．
3．三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的
恒等证明．对于有条件的恒等证明
，需要注意的问题
有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，
探寻消除差异(函数的差
异、角的差异)的方法；二是充
分利用条件，特别是将条件变形整理后使用．
4．熟知一些恒等变换的技巧
(1)公式的正用、逆用及变形用．
(2)熟悉角的
拆拼技巧，理解倍角与半角是相对
的，如2
α
＝(
α
＋
β<
br>)＋(
α
－
β
)，
α
＝(
α
＋β
)－
β
＝(
α
－
β
)
＋
β
，
α
2
ααα
3
是
3
的半角，
2
是
4
的倍角等．
(3)在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将
常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种
变形，例如：1＝tan
π
4
，1＝sin
2
α
＋cos
2
α
等．
(
4)在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，
常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降<
br>低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的
目的．
总之，三角恒等变换说到底
就是“四变”，即变
角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角
相同；通过转换函数，
达到同名(最好使式中只含一个
函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、
低次化
、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．
1．(2016·韶关1月调研)cos
2
165°－sin
2
15
°
＝( )
A.
1
2
B.
2
2
C.
33
2
D.
3
解：cos
2
165°－sin
2
15°
＝cos
2
15°－sin
2
15°
＝cos30°＝
3<
br>2
.故选C
.
2．若tan
α
＝3，则
s
in2
α
cos
2
α
的值等于( )
A．2
B．3 C．4 D．6
word完美格式
解：
sin2
α
cos
2
α
＝
2sin
α
cos
α
cos
2
α
＝2ta
n
α
＝2×3＝6.故选
D
.
3．(2016·全国卷Ⅱ
)若cos
π
3
4
－
α
＝
5
，则sin2
α
＝( )
A.
7
25
B.
1
5
C．－
17
5
D．－
25
解：cos
π
π
3
5
2
4
－
α
＝2cos
2
4
－
α<
br>
2
－1＝2×
－1＝
－
7
25
，又cos
2
π
4
－
α
＝cos
π
2
－2
α
＝sin2
α
，所以sin2
α
＝－
7
25
.故选D
.
4．(传统经典题)已知sin<
br>α
＝
5
5
，sin(
α
－
β
)＝－
10
10
，
α
，
β
均为锐角，则
β
等于( )
A.
5π
12
B.
π
3
C.
ππ
4
D.
6
解：因为
α
，
β
均为锐角，所以－
π
2
＜
α
－
β
＜
π
2
. 又sin(
α
－
β
)＝－
10
10
，所以co
s(
α
－
β
)＝
310
10
.
又sin
α
＝
5
5
，所以cos
α
＝
25
5
，
所以sin
β
＝sin[
α
－(
α
－
β
)]
＝sin
α
cos(
α
－
β<
br>)－cos
α
sin(
α
－
β
)
＝
5310
5
×
10
－
25
10
2
5
×
－
10
＝<
br>2
.
所以
β
＝
π
4
.故选C
.
5．
(2016·安徽十校联考)已知
α
为锐角，且7sin
α
＝2cos2α
，则sin
π
α
＋
3
＝( )
A.
1＋351＋5
8
B.
3
8
C.
1－35
8
D.
1－53
8
解：由7sin
α
＝2cos2
α
得7sin
α
＝2(1－2sin
2
α
)，
即4
sin
2
α
＋7sin
α
－2＝0，所以sin
α
＝－2(舍去)或sin
α
＝
115
4
.因为
α
为
锐角，所以cos
α
＝
4
，所以
sin
α
＋
π
3
1115
＝
4
×
2
＋
4
×
31＋35
2
＝<
br>8
.故选A
.
. .
6
．设
α
∈
0，
π
2
，
β
∈
0，
π<
br>2
1＋sin
β
，且tan
α
＝
cos
β
，
则( )
A．3
α
－
β
＝
π
2
B．3
α
＋
β
＝
π
2
C．2
α
－
β
＝
π
2
D．2
α
＋
β
＝
π
2
解：由条件得sin
α
cos
α
＝
1＋sin
β
cosβ
，即sin
α
cos
β
＝cos
α
(1＋s
in
β
)，sin(
α
－
β
)＝cos
α
＝sin
π
π
2
－
α<
br>
，因为－
2
<
α
－
β
<
π
2
，0<
π
2
－
α
<
π
2<
br>，所以
α
－
β
＝
ππ
2
－
α
，2
α
－
β
＝
2
.
故选C
.
7．(2016·江苏)定义在区间[0，3π]上的函数
y
＝sin2
x<
br>的图象与
y
＝cos
x
的图象的交点个数是
________
．
解：由sin2
x
＝cos
x
⇒cos
x
＝0
或sin
x
＝
1
2
，因为
x
∈[0，3π]，所以
x
＝
π3π5ππ5π13π17π
2
，
2
，2
，
6
，
6
，
6
，
6
，共7个．故填7
.
8．(2017·武汉调研)若锐角
α
，<
br>β
满足(1＋3tan
α
)(1＋3tan
β
)＝4，则α
＋
β
＝________.
解：由(1＋3tan
α
)(1＋3tan
β
)＝4，可得
tan
α
＋tan
β<
br>1－tan
α
tan
β
＝3，即tan(
α
＋
β
)＝3.又
α
＋
β
∈(0，π)．所以
α
＋<
br>β
＝
ππ
3
.故填
3
.
9．已知
α
∈
π
2
，π
5
，sin
α
＝
5
.
(1)求si
n
π
4
＋
α
的值；
(2)求cos
5π
6
－2
α
的值．
解：(1)因为
α
∈
π
2
，π
5
，sin
α
＝
5
，
所以cos
α
＝
－1－sin
2
α
＝－
25
5
.
所以sin
π
4
＋
α
ππ<
br>
＝sin
4
cos
α
＋cos
4
sin<
br>α
＝
2
2
×
－<
br>25
5
＋
2
2
×
5
5
＝－
10
10
，
(2)由(1)知sin2
α
＝2sin
α
cos
α
＝2×
5
5
× word完美格式
－
25
4
5
＝－
5，
cos2
α
＝1－2sin
2
α
＝1－2×
5
2
3
5
＝
5
，
所以cos
5π
6－2
α
＝cos
5π
6
cos
2
α
＋sin
5π
6
sin2
α
＝
－
3
2
×3
5
＋
1
2
×
－4
5
＝－
4＋33
10
.
10．(2015·天津)已知函数
f
(
x
)＝sin
2
x
－
sin
2
x
－
π
6
，
x
∈R.
(1)求
f
(
x
)的最小正周期；
(2)求
f
(
x
)在区间
－
π
3
，
π
4
上的最大值
和最小值．
解：(1)由已知，有
f
(
x
)＝
1－cos
2
x
2
－
1－cos
π
2
x
－
3
1
3
1
1
2
＝
2
2
sin2x
－
2
cos2
x
＝
2
sin
2
x
－
π
6
，
f
(
x
)的最小正周期
T
＝
2π
2
＝π.
(2)因为
f
(
x
)在区
间
ππ
－
3
，－
6
上是减函数，在区
间
－
π
6
，
π
4
上是增函数，
f
－
π
3
＝
－
1
4
，
f
π
1
－
6
＝－
2
，
f
π
3
4
＝
4
，所以
f
(
x
)在区间
－
π
3
，
π
4
3
上的最大
值为
4
，
最小值为－
1
2
.
在斜三角形
ABC
中，sin
A
＝－2
cos
B
·cos
C
，且tan
B
·tan
C
＝1－2，求角
A
的值．
解：由题意知，sin
A
＝－2cos
B
·cos
C
＝sin(
B
＋
C
)＝sin
B
·cosC
＋cos
B
·sin
C
，两边同除以
cos
B
·cos
C
，得tan
B
＋tan
C
＝－2，又
tan(π－
A
)＝tan(
B
＋
C
)＝
tan<
br>B
＋tan
C
－
1－tan
B
tan
C＝
2
1－（1－2）
＝
－1，得tan
A
＝1，所以<
br>A
＝
π
4
.
.
.
1．(2017·山东)函数y
＝3sin2
x
＋cos2
x
的最
小正周期为(
)
A.
π
2
B.
2π
3
C．π D．2π
解：因为
y
＝3sin2
x
＋cos
2
x
＝2sin
2
x
＋
π
6
，所
以其最小正周期
T
＝
2π
<
br>2
＝π.故选C
.
2．(2015·陕西)“sin
α＝cos
α
”是“cos2
α
＝0”
的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：因为cos2
α
＝cos
2
α
－sin
2
α
＝0，所以sin
α
＝cos
α
或sin
α
＝－cos
α
，则“sin
α
＝cos
α
”是“cos2
α
＝0”的充分不必要条件．故选A
.
3．化简
cos85°＋sin25°cos30°
cos25°
等于(
)
A．－
32
2
B.
2
C.
1
2
D．1
sin5°＋
3
解：原式＝
2
sin25°
cos25°
sin（30°－25°）＋
3sin25°
＝
2
cos25°
1
cos25
＝
2
°
cos25°
＝
1
2
.故选C
.
4．(2017·杭州二次质检)函数
f
(
x
)＝3si
n
xx
2
cos
2
＋
4cos
2
x
2
(
x
∈R)的最大值等于( )
A．5
B.
9
2
C.
5
2
D．2
解：由题意知
f
(
x
)＝
31＋cos
x
3
2
sin
x
＋4×
2
＝
2
si
n
x
＋2cos
x
＋2≤
3
2
2
9
2
＋2＋2＝
2
.故选B
.
5．(2016·揭阳模拟)已知tan
x
＋
π
4
＝2，则sin2x
word完美格式
＝( )
A．－
3
5
B.
10
5
C.
3
5
D．1
解法一：因为tan
x
＋
π
4
1＋tan
x
＝
1－tan
x
＝2，所以tan
x
＝
11
3
，cos
x
＝3sin
x
，由cos
2<
br>x
＋sin
2
x
＝1，得sin
2
x
＝10
，
则sin2
x
＝6sin
2
x
＝
3
5
.
解法二：因为tan
x
＋
π
4
1＋tan
x
＝
1
－tan
x
＝2，所以tan
x
＝
12sin
x
c
os
3
，所以sin2
x
＝2sin
x
cos
x<
br>＝
x
sin
2
x
＋cos
2
x
＝<
br>2tan
x
3
1＋tan
2
x
＝
5
.故选C
.
6．(2017·四川泸州四诊)已知sin
π
3
－
α
1
＝4
，则
cos
π
3
＋2
α
＝( )
A.
5
8
B．－
7
8
C．－
5
8
D.
7
8
解：由题意sin
π
<
br>
π
π
π
3
－
α
＝sin
2
－
6
＋
α
＝cos(
6
＋
α
)＝
1
4
，则cos
π
3
＋2
α
＝cos2
π
6
＋
α
＝
2cos
2
(
π
6
＋
α
)－1＝－
7<
br>8
.故选B
.
7．(2017·全国卷Ⅱ)函数
f
(
x
)＝2cos
x
＋sin
x
的
最大值为___
_____．
解：
f
(
x
)＝2cos
x
＋si
n
x
＝2
2
＋1
2
sin(
x
＋
φ
)≤2
2
＋1
2
＝5，其中tan
φ
＝2.故填
5
.
8．(2016·瑞安八校联考)已知tan
3
π
4
＋
α
＝3，
则ta
n
α
＝________，
sin
α
cos
3
α<
br>＝________.
tan
3π
解：已知tan
3π
4
＋tan
α
4
＋
α
＝3，得＝3
1－tan
3π
，
4
tan<
br>α
即
－1＋tan
α
1＋tan
α
＝3，解得tan
α
＝－
α
＝－2cos
α
，
代入sin
2
α
＋cos
2
α
＝1得5cos
2
α
＝1
，cos
2
α
＝
1
5
，所
以
sin
α
cos
3
α
＝
－2cos
α
cos
3
α
＝－
2
cos
2
α
＝－10.故填－2；－10
.
9．(2017·浙江)已知函数
f
(
x
)＝
sin
2
x
－cos
2
x
－
.
.
23sin
x
cos
x
(
x
∈R)．
2π
(1)求
f
的值．
3
(2)求
f
(
x
)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1)
f
(
x
)＝sin
2
x
－co
s
2
x
－23sin
x
cos
x
＝－cos2
x
－3sin2
x
π
＝－2sin
2
x
＋
.
6
2π
4ππ
则
f
＝－2
sin
＋
＝2.
3
36
(2)
f
(
x
)的最小正周期为π.
ππ3π令2
k
π＋≤2
x
＋≤2
k
π＋，
k
∈Z，
262
π2π
得
k
π＋≤
x
≤
k
π＋，
k
∈Z.
63
π2π
k
π＋
，
k
π＋
函数
f
(
x
)的单调递增区间为
，
k
63
∈Z.
10．(2016·北京)已知
函数
f
(
x
)＝2sin
ωx
cos
ωx
＋ cos2
ωx
(
ω
>0)的最小正周期为π.
(1)求
ω
的值；
(2)求
f
(
x
)的单调递增区间．
解：(1)因为f
(
x
)＝2sin
ωx
cos
ωx
＋cos
2
ωx
π
2
ωx
＋
＝sin2ωx
＋cos2
ωx
＝2sin
，
4
2ππ
所以
f
(
x
)的最小正周期
T
＝
＝.
2
ωω
π
依题意，＝π，解得
ω
＝1.
C．
b
<
c
<
a
D．
c
<
a
<
b
13
解：利用三角公式
化简得
a
＝cos2°－sin2°
22
＝cos(60°＋2°)＝cos
62°＝sin28°，
b
＝tan28°，
c
＝sin
2
25°＝sin25°.
因为sin25°
<
a
<<
br>b
.
故选D
.
ω
π
(2)由(1)知<
br>f
(
x
)＝2sin
2
x
＋
<
br>.
4
πππ
由2
k
π－≤2
x
＋≤2
k
π＋，
k
∈Z，
242
3ππ
得k
π－≤
x
≤
k
π＋，
k
∈Z.
8
8
3ππ
所以
f
(
x
)的单调递增区间为
k
π－，
k
π＋
(
k
∈
88
Ζ)．
1
(2016·河南六市联考)设
a
＝
cos2°－
2
32tan14°
sin2°，
b
＝，
c<
br>＝
21－tan
2
14°
则有( )
A．
a
<
c
<
b
B．
a
<
b
<
c
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1－cos50°
，
2
.
.
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，你的意见是我进步的动力。赠语；、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们
索性就做得更好，来给人笑吧！、现在你不玩命的学，以后命玩你。、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。、
不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时
候。、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛×几倍的人依然比你努
力。
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