高中学习方法-研究生报名号

.
2019年高考数学一轮复习：三角恒等变换
三角恒等变换


1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝____________________.
(2)cos(α±β)＝____________________.
(3)tan(α±β)＝____________________.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝______________．
(2)cos2α＝___________＝___________＝
_________ __．
(3)tan2α＝



.
3．半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin
α
2
＝±
1－cosα
2
.
(2)cos
α1＋cosα
2
＝±
2
.
(3) tan
α1
2
＝±
－cosαα
1＋cosα
＝
s in
1＋cosα
＝
1－cosα
sinα
.
4．几个常用的变形公式
(1)升幂公式：1±sinα＝



；
1＋cosα＝



；1－cosα
＝



．
(2)降幂公式：sin
2
α＝



；
cos
2
α＝



．
(3)tanα±tanβ＝______________________；
tanαtanβ＝
tanα－tanβ
tan（α－β）
－1＝1－
.
tanα＋tanβ
tan（α＋β）
.
(4)辅助角公式：
a< br>sinα＋
b
cosα＝
a
2
＋
b
2
sin(α
＋φ)，其中cosφ＝



，sinφ＝



，或tanφ＝



，φ角所在象限与点(
a
，
b
)
所在象限________，φ角的终边经过点(
a
，
b
)．
自查自纠
1．(1)sinαcosβ±cosαsinβ (2)cosαcosβ
∓sinαsinβ
(3)
tanα±tanβ
1∓tanαtanβ

2．(1)2sinαcosα
(2)cos
2
α－sin
2
α 2cos
2
α－1 1－2sin
2
α
(3)
2tanα
1－tan
2
α

4．(1)< br>

αα

sin
2
±cos
2

2

2
α
2

2cos
α
2
2sin
2

(2)
1－cos2α
2

1＋cos2α
2
(3)tan(α±β)(1∓tan
αtanβ)
(4)
abb
a
2
＋
b
2

a
2
＋
b
2

a
相同



(2015·全国卷Ⅰ)sin20°cos10°－
cos160°sin10°＝( )
A．－
3311
2
B.
2
C．－
2
D.
2

解：原式＝sin20°cos10 °＋cos20°sin10°＝sin30°
＝
1
2
.故选D
.< br>

.
(2016·全国卷Ⅱ)若tanθ＝
1
3
，则cos2θ＝
( )
A．－
4
5
B．－
1
5
C.
14
5
D.
5

解：因为tanθ＝< br>1
3
，所以cosθ＝3sinθ，根据
同角三角函数关系可得sin
2
θ＋9sin
2
θ＝1，sin
2
θ＝
1
10< br>.由倍角公式，cos2θ＝1－2sin
2
θ＝
4
5
.故选 D
.

(2017·全国卷Ⅲ)函数
f
(
x
)＝
1
π
5
sin


x
＋
3


＋
cos


x
－
π
6< br>

的最大值为( )
A.
6
5
B．1 C.
3
5
D.
1
5

解：
f
(
x
)＝
1< br>5
sin

ππ

x
＋
3


＋cos


x
－
6



＝
1

5

13

31

sin
x
·
2
＋cos
x
·
2


＋cos
x
·
2
＋sin
x
·
2
＝
33
π
5
sin
x
＋
3
5
cos
x
＝
3
5
·2sin


x
＋
3



＝
6
5
sin< br>
π

x
＋
3

6

，最 大值为
5
.
故选A
.

(2017·江苏)若tan< br>

α－
π
1
4


＝
6
，则tanα＝
________.
解：tanα＝tan

< br>


α－
π
4


＋
π
4



＝
tan

π
π
1

α－
4


＋tan
4
＝
6
＋1
＝
7
.故填
7
.

1－tan
π
π
155

α－
4


tan
4
1－
6
(2016·上海)方程3sin
x
＝1 ＋cos2
x
在区间[0，
2π]上的解为________．
解：3si n
x
＝1＋cos2
x
，即3sin
x
＝2－2sin2
x
，所
以2sin
2
x
＋3sin
x
－2＝0，解得sin
x
＝
1
2
或sin
x
＝－
2(舍去)，所以在区间
[
0，2π
]
上的解为
π
5π
π
6
或
6
.故填
6
或
5π
6
.




.
类型一 非特殊角求值问题
(1)(2017·山东)已知cos
x
＝
3
4
，则cos2
x
＝( )
A．－
1
4
B.
1
4
C．－
1
8
D.
1
8

解：由co s
x
＝
3
2

3

2
4
得cos2
x
＝2cos
x
－1＝2×


4

－1
＝
1
8
.故选D
.


(2)(教材复习参考题)sin50°(1＋3tan10°)＝
________.
解：sin50°(1＋3tan10°)
＝sin50°



1＋3×
sin10°
cos10°




＝sin50°×
cos10°＋3sin10°
cos10°

2 ×


1
cos10°＋
3
sin10°

＝sin50°×

22


cos10°

＝
2sin50°cos50°sin100
cos10°
＝
°
cos 10°
＝
cos10°
cos10°
＝1.故填1
.


(3)(福建漳州2017届八校联考)已知tanα＝
2(α∈(0，π))，则 cos


5

2
π＋2α



＝( )
A.
34
5
B.
5
C．－
3
5
D．－
4
5

解：由tanα＝2得sinα＝2cosα，sin
2
α＋cos
2
α＝1，得4cos
2
α＋cos
2
α＝1，cos
2
α＝
1
5
，
cos


5
π

2
π＋2α



＝c os


2
＋2α


＝－sin2α＝－2si nαcos
α＝－4cos
2
α＝－
4
5
.故选D
.

【点拨】解决非特殊角求值问题的基本思路有：
(1)化非特殊角为特殊角；(2 )化为正负相消的项，消
去后求值；(3)化分子、分母使之出现公约数，进行约
分求值；(4 )当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式
子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化， 再求
关于2α式子的值．

.
ππ
π
3
(1)(2016·四川)cos
2
8
－sin
2
8
＝
________.
解： 根据二倍角公式有co s
2
π
2
ππ
2
8
－sin
8
＝ cos
4
＝
2
.
故填
2
2
.


(2)(2015·长沙模拟)
3tan12°－3
sin12°（4co s
2
12°－2）
＝
________.
解：
3tan1 2°－3
sin12°（4cos
2
12°－2）

＝
3（ sin12°－3cos12°）
2cos24°sin12°cos12°

＝23sin（12°－60°）
1
＝－43.故填－43
.

2
sin48°

(3)(2015·浙江模拟)tan70°＋tan50 °－3
tan70°tan50°的值等于( )
A.3 B.
33
3
C．－
3
D．－3
解 ：因为tan120°＝
tan70°＋tan50°
1－tan70°·tan50°
＝－3，
所以tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°＝－3.
故选 D
.


类型二 给值求值问题
(1)(2015·江苏)已知 tanα＝－2，tan(α
＋β)＝
1
7
，则tanβ的值为______ __．
解：tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝
1
tan（α＋β）－tanα
＋2
1＋tan（α＋β）tanα
＝
7
＝3.故填3
.
1－
2
7

(2)设α为锐角，若cos

π4

α＋
6


＝
5
，则
s in


2α＋
π
12


的值为___ _____．
解：cos

π
4
π

α＋
6


＝
5
，α为锐角，则α＋
6
为锐角，
.
sin


α＋
6


＝< br>5
，
由二倍角公式得sin2


α＋
π
24
π
6


＝
25
，cos2


α＋
6


＝
7
25
，
所 以sin

π

2α＋
12


＝sin



2

π

α＋
6

π

－
4




＝sin2


α＋
π
π
π
π
6


cos
4
－cos2


α＋
6

sin
4

＝
24272172172
25
×
2
－
25
×
2
＝
50
.故填
5 0
.


(3)(2016·沈阳十一中联考)若cosα＝－
4< br>5
，α是
1＋tan
α
第三象限角，则
2
＝( )
1－tan
α
2
A. －
11
2
B.
2
C. 2 D. －2
解：由cosα＝－
4
5
，α是第三象限角，得sinα
＝－
3
5
，
1＋tan
αα
2
cos＋
α
＝
2
sin
2

1－tan
ααα
2
cos
2
－sin2


cos
α
＋sin
α

co s
α
＋sin
α
＝

22




22





α


cos
2
－sin
α
2






cos
α
2
＋sin
α
2



＝
1＋sinα
1－
3
5
cosα
＝＝－
1
.故选A
.

－
42
5
【点拨】给值求值问题，即给出某些角的三角函
数式的值，求另外一些角或式子的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)
＋(α－β)等，把所求角用含已 知角的式子表示，求解
时一定要注意角的范围的讨论．另掌握常用的勾股数
(3，4，5；5， 12，13；8，15，17；20，21，29)，可
简化计算．

(1)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝
1
2
，则
sin2α
sin2β
的值为( )

.
A.
1
3
B．－
1
3
C．3 D．－3
解：
sin2α
sin2β
＝
sin [（α＋β）＋（α－β）]
sin[（α＋β）－（α－β）]

＝
sin （α＋β）cos（α－β）＋cos（α＋β）sin（α－β）
sin（α＋β）cos（α－β） －cos（α＋β）sin（α－β）

＝
tan（α＋β）＋tan（α－β）tan（α＋β）－tan（α－β）
＝
1
3
.故选A
.

(2)(2015·汕头模拟)已知tan
α
2
＝3，则cosα ＝
( )
A.
4
5
B．－
443
5
C.
15
D．－
5

cos
2
α
－
2
α
解 ：cosα＝cos
2
α
2
α
2
sin
2
2
－sin
2
＝＝
cos
2
α
2
α
2
＋sin
2
1－tan
2
α
2
＝
1－ 94
1＋tan
2
α1＋9
＝－
5
.故选B
.
2

(3)已知cosα＝
1
3
，cos(α＋β) ＝－
1
3
，且α，β∈


0，
π
2

，则cos(α－β)的值等于( )
A．－
11123
2
B.
2
C．－
3
D.
27

解：因为α∈


0，
π
1
2


，2α∈(0，π)，cos α＝
3
，
所以cos2α＝2cos
2
α－1＝－
7
9
，sin2α＝
1－cos
2
2α＝
42
π
9
.而α，β∈


0，
2


，所以α＋ β∈(0，
π)，所以sin(α＋β)＝1－cos
2
（α＋β）＝
22< br>3
.所以
cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β )＋
sin2αsin(α＋β)＝


7

－
 
1

42
9


×


－
3


＋
9
×
22
3
＝23
27
.
故选D
.

类型三 给值求角问题
(福州外校2017届高三适应性考试)已知
A
，
B
均为钝角，s in
2
A
2
＋cos


A
＋
π
3

5－15

＝
10
，且sin
B.
＝
10
10
，则
A
＋
B
＝( )
A.
3π
4
B.
5π
4
C.
7π
4
D.
7π
6

解： 由题意知
1
2
(1－cos
A
)＋
1
2
c os
A
－
3
2
sin
A
＝
1
2< br>－
15
10
，得sin
A
＝
5
5
， sin
B
＝
10
10
.
A
，
B
均为钝角，π<
A
＋
B
<2π，cos
A
＝－
25
5
，cos
B
＝－
310
10
，cos(
A
＋
B
)＝cos
A
cos
B
－sin
A
sin
B
＝


25

310

5102

－
5


×

< br>－
10


－
5
×
10
＝
2
>0，
那么，
3π
2
<
A
＋
B
<2π，所以
A
＋
B
＝
7π
4
.故选C
.

【点拨】给值求角问题，可转化为“给值求值”
问题，解得所求角的某一三角函数 值，结合所求角的
范围及函数的单调性可求得角．

(2016·苏北四市调研)已知
π
2
<α<π，－
π<β<0，tanα ＝－
11
3
，tanβ＝－
7
，则2α＋β等于
_____ ___．
2×


－
1

解：tan2α＝2tanα
1－tan
2
α
＝

3


3
1－


1

－
3

＝－

2
4
，

－
31
tan(2α ＋β)＝
tan2α＋tanβ
4
－
7
1－tan2αtanβ＝
1－



－
3
4

< br>
×



－
1
7

< br>
＝－1.
因为
π
2
<α<π，－11
3
<0，
所以
3
4
π<α<π，
3
2
π<2α<2π.①
又－π<β<0，tanβ＝－
1
π
7
<0，所以－
2<β<0.②
由①②知，π<2α＋β<2π.
又tan(2α＋β)＝－1，所以2 α＋β＝
7π7π
4
.故填
4
.

.
类型四 三角恒等变换与三角函数性质
的综合应用
π
(2017·北京)已知
f
(
x
)＝3cos

2
x
－
3

－
为1－
3
.
2

2sin
x
cos
x
.
(1)求
f
(
x
)的最小正周期；
ππ
1
(2)求证：当
x
∈

－
4
，
4
时，
f
(
x
)≥－.

2
33
解 ：(1)
f
(
x
)＝cos2
x
＋sin2
x－sin2
x

22
π
13
＝sin2
x＋cos2
x
＝sin

2
x
＋
3

.

22
2π
所以
f
(
x
) 的最小正周期
T
＝＝π.
2
ππππ
5π
(2)证明：因 为－≤
x
≤，所以－≤2
x
＋≤.
44636
ππ
1
所以sin

2
x
＋
3

≥sin< br>
－
6

＝－.

2
ππ
1
所以当
x
∈

－
4
，
4
时，
f
(
x
)≥－.

2

【点 拨】本题考查三角函数式的恒等变形及三角
函数的图象与性质，属于基础题．要求准确应用降幂
公式和辅助角公式进行变形，化为标准的
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)＋
b
的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周
期、最值等．

π
(2015·重庆)已知函数
f
(
x
)＝sin

2
－
x

π

π
2π
(2)当
x
∈

，

时，有0≤2
x
－≤π，从而
3

63

5π
πππ
当0≤2< br>x
－≤时，即≤
x
≤时，
f
(
x
)单调递增 ；
32612
5π2π
ππ
当≤2
x
－≤π时，即≤x
≤时，
f
(
x
)单调递
23123
减． < br>
π
5π

5π2π

综上可知，
f(
x
)在

，

上单调递增，在

，


612

123

上单调递减．



1．深层次领悟公式的功能、规律与内涵
对三角公式，知其结构特征仅 是第一层面要求，
重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵．
如1±sin2α＝(s inα±cosα)有并项的功能，cos2α
＝cos
α－sinα有升幂的功能，sin2 α＝2sinαcosα有
将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示
的是同名不同角 的正切函数的关系等．
2．余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明
过程以及和差倍半公 式的推演方法是很有必要的．
3．三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的
恒等证明．对 于有条件的恒等证明，需要注意的问题
有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，
22
2

探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是
充分利用条件， 特别是将条件变形整理后使用．
4．熟知一些恒等变换的技巧
(1)公式的正用、逆用及变形用．
(2)熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对
的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－
α2ααα
β)＋β，
是的半角，是的倍角等．
3324
(3)在三角函数运算、求值、证明中，有时需要 将
常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种
π
22
变形，例如： 1＝tan，1＝sinα＋cosα等．
4
sin
x
－3cos
x
.
(1)求
f
(
x
)的最小正周期和最大值；

π
2π

(2)讨论
f
(
x
)在

，

上的单调性．

63

π
2
解：( 1)
f
(
x
)＝sin

2
－
x

sin
x
－3cos
x


＝cos
x
sin
x
－
3
(1＋cos2
x
)
2
2
133
＝sin2
x
－cos2
x
－
222
π
3
＝sin

2
x
－
3

－，

2
因此
f
(
x
)的 最小正周期
T
＝
2π
＝π，
f
(
x
)的最 大值
2
(4)在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，
常常采用切化弦、异名化同 名、异角化同角、高次降
.

.
低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的
目的．
总之，三角恒等变换说到 底就是“四变”，即变
角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角
相同；通过转换函数 ，达到同名(最好使式中只含一个
函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、
又s inα＝
525
，所以cosα＝，
55
所以sinβ＝sin[α－(α－β)]
＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)
531025

2
10

＝×－×

－
＝.

5105

10

2
π
所以β＝.故选C
.

低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．



1．(2016·韶关1月调研)cos
2
165°－sin
2
15 °＝
( )
A.
1233
2
B.
2
C.
2
D.
3
解：cos
2
165°－sin
2
15°＝cos
2
1 5°－sin
2
15°＝
cos30°＝
3
2
.故选C.

2．若tanα＝3，则
sin2α
cos
2
α
的值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．6
解：sin2α2sinαcosα
cos
2
α
＝
cos
2
α
＝2tanα＝2×3＝6.故
选D
.

3．(2016 ·全国卷Ⅱ)若cos

π
3

4
－α


＝
5
，则sin2α
＝( )
A.
7
25
B.
1
5
C．－
1
5
D．－
7
25

解：c os


2

π
2

4
－α



＝2cos

π

4
－α


－1＝2×


3

5


2

－1
＝－
7
25
，又cos


2

ππ

4
－α




＝cos


2
－2α


＝sin2α，所
以sin2α＝－
7
25
.故选D
.

4．(传统经典题)已知sinα＝
5
5
，sin(α－β)＝－
10
10
，α，β均为锐角，则β等于( )
A.
5π
πππ
12
B.
3
C.
4
D.
6

解：因为α，β均为锐角，所 以－
π
2
＜α－β＜
π
2
.
又sin(α－β) ＝－
103
10
，所以cos(α－β)＝
10
10
.
.
4
5．(2016·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin
α＝2c os2α，则sin


α＋
π
3


＝ ( )
A.
1＋351＋53
8
B.
8

C.
1－351－53
8
D.
8

解：由7sinα＝2cos2α得7sinα＝2(1－2sin
2
α)，即4sin
2
α＋7sinα－2＝0，所以sinα＝－2(舍
去 )或sinα＝
115
4
.因为α为锐角，所以cosα＝
4
，所以sin

π
1

α＋

11531＋35
3

＝
4
×
2
＋
4
×
2
＝
8
.故选A
.
6．设α∈


0，π


，β∈


0，
π
22


，且tanα＝
1＋sinβ
cosβ
，则( )
A．3α－β＝
π
2
B．3α＋β＝
π
2

C．2α－β＝
ππ
2
D．2α＋β＝
2

解：由条件得
sinα1＋
cosα
＝
sinβ
cosβ
，即sinαcosβ＝
cosα(1＋sinβ)，si n(α－β)＝cosα＝sin

π

2
－α


，
因为－
π
2
<α－β<
π
2
，0<< br>πππ
2
－α<
2
，所以α－β＝
2
－α，2
α－β＝
π
2
.故选C
.

7．(2016·江苏)定义 在区间[0，3π]上的函数
y
＝
sin2
x
的图象与
y< br>＝cos
x
的图象的交点个数是
________．
解：由sin2
x
＝cos
x
⇒cos
x
＝0或sin
x
＝
1
2
，因为
x
∈[0，3π]，所以
x
＝
π
2
，
3π
2
，
5π
2
，
π< br>6
，
5π
6
，
13π17π
6
，
6
，
共7个．故填7
.

8．(2017·武汉调研)若锐角α，β满 足(1＋3tan
α)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________.
解：由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得

. tanα＋tanβ
1－tanαtanβ
＝3，即tan(α＋β)＝3.又α＋
β∈(0，π)．所以α＋β＝
ππ
3
.故填
3
.
9．已知α∈

π

，π


，sinα＝< br>5
2
5
.
(1)求sin

π

4
＋α


的值；
(2)求cos


5π

6
－2α



的值．
解：(1 )因为α∈

π
5

2
，π


，sinα＝
5
，
所以cosα＝－1－sin
2
α＝－
25
5
.
所以sin

π
ππ

4
＋α


＝sin
4
cosα＋cos
4
sinα
＝
2
2
×



－
25

5


＋
2
2
×
5
5
＝－
10
10
，
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×
5
5
×


25

4

－
5


＝－
5
，
＝1－2sin
2
α＝1－2×


5

2
cos2α
3

5
< br>
＝
5
，
所以cos


5π

6
－2α


5π5π

＝cos
6cos2α＋sin
6
sin2α
＝



－
3

2


×
3
5
＋
1

4

2
×


－
5



＝－
4＋33
10
.
10．(2015· 天津)已知函数
f
(
x
)＝sin
2
x
－
sin
2


x
－
π
6

，
x
∈R.
(1)求
f
(
x
)的最小正周期；
(2)求
f< br>(
x
)在区间


－
ππ
3
，4


上的最大值和最小值．
解：(1)由已知，有
f
(
x
)＝
1－cos2
x
2
－
1－cos


2
x
－
π
3


2
＝
1

2

3

2
sin2
x
－
1

2
cos2
x


＝1
2
sin


2
x
－
π
6


，
f
(
x
)的最小正周期
T
＝
2π
2
＝π.
(2)因为
f
(
x
) 在区间

ππ

－
3
，－
6


上是减函数，在区
间

πππ
1
π
1
< br>－
6
，
4


上是增函数，
f
< br>
－
3


＝－
4
，
f


－
6


＝－
2
，
.
f

π
3
4
，所以
f
(
x
)在 区间


－
ππ

4


＝3
，
4


上的最大值为
31
4
，最 小值为－
2
.
在斜三角形
ABC
中，sin
A
＝－2
cos
B
·cos
C
，且tan
B
·tan
C
＝1－2，求角
A
的值．
解：由题意知，sin
A＝－2cos
B
·cos
C
＝sin(
B
＋
C
)＝sin
B
·cos
C
＋cos
B
·sinC
，两边同除以
cos
B
·cos
C
，得tan
B
＋tan
C
＝－2，又tan(π－
A
)＝
tan(< br>B
＋
C
)＝
tan
B
＋tan
C
－ 2
1－tan
B
tan
C
＝
1－（1－2）
＝－1 ，得
tan
A
＝1，所以
A
＝
π
4
.



1．(2017·山东)函 数
y
＝3sin2
x
＋cos2
x
的最小
正周期为 ( )
A.
π
2π
2
B.
3
C．π D．2π
解：因为
y
＝3sin2
x
＋cos 2
x
＝2sin

π

2
x
＋
6


，所
以其最小正周期
T
＝
2π
2＝π.故选C
.

2．(2015·陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝
0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：因为cos2α＝cos
2
α－sin2
α＝0，所以sin
α＝cosα或sinα＝－cosα，则“sinα＝cosα” 是
“cos2α＝0”的充分不必要条件．故选A
.

3．化简
cos85°＋sin25°cos30°
cos25°
等于( )
A．－
3
2
B.
21
2
C.
2
D．1
sin5°＋
3
sin25°
解：原式 ＝
2
cos25°

sin（30°－25°）＋
3
sin 25°
＝
2
cos25°

.
1
cos25
＝
2
°
1
cos25°
＝
2
. 故选C
.

4．(2017·杭州二次质检)函数
f
(
x< br>)＝3sin
xx
2
cos
2
＋
4cos
2
x
2
(
x
∈R)的最大值等于( )
A．5 B.
95
2
C.
2
D．2
解：由题意知
f
(
x
)＝
31＋cos
x
3
2
sin
x
＋4×
2
＝
2
sin
x
2
＋2cos
x
＋2≤


3
2



＋2
2
＋2＝
9
2
.故选B
.

5．(2016·揭阳模拟)已知tan


x
＋
π
4


＝2，则sin2
x
＝( )
A．－
3103
5
B.
5
C.
5
D．1
解法一：因为tan

π
1＋tan
x

x
＋
4


＝
1－tan
x
＝2，所以tan
x
＝
1
3
，cos
x
＝3sin
x
，由cos
2
x
＋sin
2
x
＝1，得sin
2
x
＝
1
10
，则sin2
x
＝6sin
2
x
＝
3
5
.
解法二：因为tan

π
1＋

x
＋
tan
x
4


＝
1－tan
x
＝2，所 以tan
x
＝
1
3
，所以sin2
x
＝2sin< br>x
cos
x
＝
2sin
x
cos
x
sin
2
x
＋cos
2
x
＝
2tan
x< br>3
1＋tan
2
x
＝
5
.故选C
.

6．(2017·四川泸州四诊)已知sin

π
1

3< br>－α


＝
4
，则
cos

π
3
＋2α


＝( )
A.
5
8
B．－
7
8
C．－
5
8
D.
7
8

解：由题意 sin

π

3
－α


＝sin


π

2
－

π

6
＋α




π

＝cos(
6
＋α)＝
1
4
，则cos

π

3
＋2 α


＝cos2

π
2
π

6
＋α


＝2cos(
6
＋α)－1＝－
7
8
.故选B
.

7．(2017·全国卷Ⅱ)函数
f
(< br>x
)＝2cos
x
＋sin
x
的
最大值为_____ ___．
解：
f
(
x
)＝2cos
x
＋sin< br>x
＝2
2
＋1
2
sin(
x
＋
φ) ≤2
2
＋1
2
＝5，其中tanφ＝2.故填5
.

8．(2016·瑞安八校联考)已知tan


3π

4
＋α



＝3，则
.
tanα＝________，
sinα
cos
3
α
＝________.
tan
3π
解：已知tan


3π

4
＋α



＝3，得
4
＋tanα
1－tan
3π＝3，
4
tanα
即
－1＋tanα
1＋tanα
＝3 ，解得tanα＝－α＝－2cos
α，代入sin
2
α＋cos
2
α＝1得5cos
2
α＝1，cos
2
α＝
1
5
， 所以
sinα－2cosα2
cos
3
α
＝
cos
3
α
＝－
cos
2
α
＝－10.故填－2；
－10
.

9．(2017·浙江)已知函数
f
(
x
)＝ sin
2
x
－cos
2
x
－
23sin
x
cos
x
(
x
∈R)．
(1)求
f
< br>
2π

3



的值．
(2)求
f
(
x
)的最小正周期及单调递增区间．
解：( 1)
f
(
x
)＝sin
2
x
－cos
2< br>x
－23sin
x
cos
x

＝－cos2
x
－3sin2
x

＝－2sin


2
x
＋
π
6


.
则
f


2π

3



＝－2sin


4π
π

3
＋
6


＝2.
(2)
f
(
x
)的最小正周期为π.
令2
kπ＋
ππ
3π
2
≤2
x
＋
6
≤2k
π＋
2
，
k
∈Z，
得
k
π＋π
6
≤
x
≤
k
π＋
2π
3
，
k
∈Z.
函数
f
(
x
)的单调递增区间为



k
π＋
π
2π
6
，
k< br>π＋
3



，
k
∈Z.
10． (2016·北京)已知函数
f
(
x
)＝2sinω
x
co sω
x
＋ cos2ω
x
(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求
f
(
x
)的单调递增区间．
解：(1)因为
f
(
x
)＝2sinω
x
cosω
x
＋cos2ω
x

＝sin2ω
x
＋cos2ω
x
＝2sin

π

2ω
x
＋
4


，
所以
f
(
x
)的最小正周期T
＝
2π
π
2ω
＝
ω
.
依题意，
π
ω
＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)知
f< br>(
x
)＝2sin

π

2
x
＋< br>4


.
由2
k
π－
π
2
≤2
x
＋
π
4
≤2
k
π＋
π
2
，
k
∈Z，
得
k
π－
3π
8
≤
x
≤
k
π＋
π
8
，
k
∈Z.

.
3π
π

所以
f
(
x
)的单调递增区间为

k
π－，
k
π＋

88

(
k
∈Ζ)．
13
(2016·河南六市联 考)设
a
＝cos2°－
22
2tan14°
sin2°，
b
＝，
c
＝
2
1－tan14°
1－cos50°
，则有( )
2
A．
a
<
c
<
b
B．
a
<
b
<
c

C．
b
<
c
<
a
D．
c
<
a
<
b

13
解：利用三角公式 化简得
a
＝cos2°－sin2°＝
22
cos(60°＋2°)＝cos 62°＝sin28°，
2
b
＝tan28°，
c
＝sin25°＝sin25°.
因为sin25°c
<
a
<
b
.故选D
.
.

.


.