2019河南高考分数线-高中生出国留学

学案22 简单的三角恒等变换
导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公 式，并熟练应用.2.能运用两角和与差
的三角公式进行简单的恒等变换．

自主梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝________________；
(2)cos 2α＝______________＝ ________________－1＝1－________________；
kπ
ππ
(3)tan 2α＝________________________ (α≠＋且α≠kπ＋)．
242
2．公式的逆向变换及有关变形
sin 2α
(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝；
2sin α
(2)降幂公式：sin
2
α＝______________ __，cos
2
α＝________________；
升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；
变形：1±sin 2α＝sin
2
α＋cos
2
α±2sin αcos α＝________________________.
自我检测
1．(2010·陕西)函数f(x)＝2sin xcos x是 ( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
2．函数f(x)＝cos 2x－2sin x的最小值和最大值分别为 ( )
A．－3,1 B．－2,2
33
C．－3， D．－2，
22
3．函数f(x)＝sin xcos x的最小值是 ( )
11
A．－1 B．－ C. D．1
22
4．(2011·清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sin A·sin B ( )
1
A．有最大值，最小值0
2
1
B．有最小值，无最大值
2
C．既无最大值也无最小值
1
D．有最大值，无最小值
2
探究点一 三角函数式的化简
例1 求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos
2
x－4cos
4
x的最大值和最小值．




4cos
4
x－2cos 2x－1
变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f(x)＝.
ππ

sin


4
＋x

sin

4
－x

11π
－

的值； (1)求f


12


π
1
0，

时，求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值． (2)当x∈


4

2




探究点二 三角函数式的求值
ππ
1
ππ
1
例2 已知sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求2sin
2
α＋tan α－
－1的值．
44442tan α




π
sinα＋
4
5
变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝，求的值．
13
cos2α＋4π
π
3
π3ππ
(2)已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值．
45224




探究点三 三角恒等式的证明
例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；
(2)求f(x)的解析表达式；
(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．




sin 2x
变式迁移3 求证：
sin x＋cos x－1sin x－cos x＋1
1＋cos x
＝.
sin x





转化与化归思想的应用
例 (12分)(2010·江西)已知函数f(x)＝

1＋
1

s in
2
x＋msin

x＋
π

sin

x－
π

.

tan x

4

4

π3π

(1)当m＝0时，求f(x)在区间


8
，
4

上的取值范围；
3
(2)当tan α＝2时，f(α)＝，求m的值．
5
【答题模板】
cos x

2
1＋
解 (1)当m＝0时，f(x)＝


sin x

sinx
1－cos 2x＋sin 2x
＝sin
2
x＋sin xcos x＝
2

1

2x－
π

＋1

，[3分] ＝

2sin
4

2

π3π

5π
π
，
，得2x－∈

0，

，[4分] 由已知x∈

4

84

4

π
2
2x－

∈

－，1

，[5分] 所以sin

4


2



1＋2

.[6分] 从而得f(x)的值域为

0，

2

m
(2)f(x)＝sin
2
x＋sin xcos x－cos 2x
2
1－cos 2x
1m
＝＋sin 2x－cos 2x
222
11
＝[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋，[8分]
22
2sin αcos α2tan α4
由tan α＝2，得sin 2α＝
22
＝
2
＝，
sin
α＋cosα
1＋t an
α
5
22
cos
α－sinα
1－tan
2< br>α
3
cos 2α＝
2
＝＝－.[10分]
5
co s
α＋sin
2
α
1＋tan
2
α
31
4 3
1
＋1＋m

＋，[11分] 所以＝


252

55
解得m＝－2.[12分]
【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数 公式、二倍
角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数< br>式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角
与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．
1．求值中主要有三类求值问题： (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非
特殊角与 特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并
且消除非特殊角的三角 函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题 关
键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值 求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的
式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角 ．
2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：
(1)在化简求值和证明时常用如下方法： 切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元
素法，“1”的代换法等．
α＋β
( 2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，< br>2
βα
αα
α－

＋

β－
，是的二倍角等． ＝


2

2

24< br>(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低
次，化 多项式为单项式，化无理式为有理式．
消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项 的次数、角、函数名称、
结构等方面的差异．

(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 ( )
1111
A. B．－ C. D．－
3366
π
1
π
2
β －

＝，那么tan

α＋

等于 ( ) 2．已知tan(α＋β)＝，tan


4

4

4

5
131331
A. B. C. D.
1822226
π
1
－，0

)，3．(2011·石家庄 模拟)已知cos 2α＝ (其中α∈


4

则sin α的值为 ( )
2
1133
A. B．－ C. D．－
2222
x
2sin
2
－1
2
π

4．若f(x)＝2tan x－，则f


12

的值为 ( )
xx
sin cos
22
43
A．－ B．8
3
C．43 D．－43
5．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos 2B＋3cos(A＋C)＋2
＝0，则sin B的值是 ( )
123
A. B. C. D．1
222
1 2 3 4 5
题号

答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
3
6．(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sin α＝，则tan 2α＝________.
5
7．函数y＝2cos
2
x＋sin 2x的最小值是________．
cos 2α2
8．若＝－，则cos α＋sin α的值为________．
π
2
α－

sin


4

三、解答题(共38分)
9．(12分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°；
3－4cos 2α＋cos 4α
(2).
3＋4cos 2α＋cos 4α




π

1
10．(12分)(2011·南京模拟)设函数f(x)＝3sin xcos x－cos xsin


2
＋x

－
2
.
(1)求f(x)的最小正周期；
π
0，

时，求函数f(x)的最大值和最小值． (2)当∈


2





11．(14分)(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin
2
x－4cos x.
π
(1)求f()的值；
3
(2)求f(x)的最大值和最小值．

答案 自主梳理
1．(1)2sin αcos α (2)cos
2
α－sin
2
α 2cos
2
α 2sin
2
α
1－cos 2α1＋cos 2α
2tan α1
2
α
2
α
(3) 2.(1)sin 2α (2) 2cos 2sin (sin α±cos α)
2

2
22222
1－tan
α
自我检测
1．C 2.C 3.B 4.D
课堂活动区
例1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少 ，次数尽量低，最好不
含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复 合函数，
重视复合函数中间变量的范围是关键．
解 y＝7－4sin xcos x＋4cos
2
x－4cos
4
x
＝7－2sin 2x＋4cos
2
x(1－cos
2
x)
＝7－2sin 2x＋4cos
2
xsin
2
x
＝7－2sin 2x＋sin
2
2x＝(1－sin 2x)
2
＋6，
由于函数z ＝(u－1)
2
＋6在[－1,1]中的最大值为z
max
＝(－1－1)< br>2
＋6＝10，最小值为z
min
＝(1－1)
2
＋6＝6，
故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10，
当sin 2x＝1时，y取得最小值6.
变式迁移1 解 (1)f(x)
1＋cos 2x
2
－2cos 2x－1
＝
π

π

sin

4< br>＋x

sin

4
－x

cos
2
2x
＝
ππ

sin


4
＋x

cos

4
＋x

2cos
2< br>2x2cos
2
2x
＝＝＝2cos 2x，
π
cos 2 x

sin

2
＋2x

11π11π
π
－

＝2cos

－

＝2cos ＝3. ∴ f


12

6

6
(2)g(x)＝ cos 2x＋sin 2x
π
2x＋

. ＝2sin

4

π
π
π3π
0，

，∴2x＋∈

，

， ∵x∈


4

4

44

π
∴当x＝时，g(x)
max
＝2，
8
当x＝0时，g(x)
min
＝1.
例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；
(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应 转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为
弦函数．
ππ
解 由sin(＋2α)·sin(－2α)
44
ππ
＝sin(＋2α)·cos(＋2α)
44
1
π
11
＝sin(＋4α)＝cos 4α＝，
2224
1
ππ5π
∴cos 4α＝，又α∈(，)，故α＝，
24212

1
∴2sin
2
α＋tan α－
－1
tan α
sin
2
α－cos
2
α
＝－cos 2α＋
sin αcos α
－2cos 2α
＝－cos 2α＋
sin 2α
5π
2cos
6
53
5π
＝－cos－＝.
6
5π
2
sin
6
5
变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角，cos α＝，
13
12
∴sin α＝.
13
π
2
sinα＋sin α＋cos α
42
∴＝
cos 2α
cos2α＋4π
2
sin α＋cos α
2
＝ < br>cos
2
α－sin
2
α
22
22
132< br>＝＝＝－.
14
cos α－sin α
512
－
1313
πππ
(2)cos(2α＋)＝cos 2αcos－sin 2αsin
444
2
＝(cos 2α－sin 2α)，
2
π
3
∵≤α<
π，
22
3ππ
7
∴≤α＋<
π.
444
π
3
又cos(α＋)＝>0，
45
3
π
7
故可知
π<α＋
<
π，
244
π
4
∴sin(α＋)＝－，
45
π
从而cos 2α＝sin(2α＋)
2
ππ
＝2sin(α＋)cos(α＋)
44
4324
＝2×(－)×＝－.
5525
π
sin 2α＝－cos(2α＋)
2
π
＝1－2cos
2
(α＋)
4
37
＝1－2×()
2
＝.
525
π
22247
∴cos(2α＋)＝(cos 2α－sin 2α)＝×(－－)
4222525

312
＝－.
50
例3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们
要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，
再 分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差
异，有目的地化 繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用
两角和的正切公式可得关 系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．
(1)证明 由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]
＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，
∴tan(α＋β)＝2tan α.
tan α＋tan βx＋y
(2)解 由(1)得＝2tan α，即＝2x，
1－tan αtan β1－xy
xx
∴y＝.
2
，即f(x)＝
1＋2x1＋2x
2
(3)解 ∵角α是一个三角形的最小内角，
π
∴0<α≤，03
112
设g(x)＝2x＋，则g(x)＝2x＋≥22(当且仅当x＝时取“＝”)．
xx2
2
故函数f(x)的值域为(0，]．
4
变式迁移3 证明 因为左边＝
2sin xcos x

[sin x＋cos x－1][sin x－cos x－1]
2sin xcos x
＝
2

sinx－cos x－1
2
2sin xcos x
＝
2

sinx－cos
2
x＋2cos x－1
2sin xcos xsin x
＝＝
2
－2cosx＋2cos x1－cos x
sin x1＋cos x
＝
1－cos x1＋cos x
sin x1＋cos x1＋cos x
＝＝＝右边．
sin
2
xsin x
所以原等式成立．
课后练习区
1．D [∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，
1
∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝，
6
1
cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.]
6
ππ
2．C [因为α＋＋β－＝α＋β，
44
π
π
β－

. 所以α＋＝(α＋β)－
< br>
4

4
ππ
α＋

＝tan
< br>α＋β－

β－

所以tan


4

4


3
＝.]
π
22
β－

1＋tanα＋βtan


4
1
3．B [∵＝cos 2α＝1－2sin
2
α，
2
π
1
－，0

， ∴sin
2
α＝.又∵α∈


4

4
1
∴sin α＝－.]
2
x
1－2sin
2
2
2cos x
4．B [f(x)＝2tan x＋＝2tan x＋
1sin x
sin x
2
24
＝＝
sin xcos xsin 2x
π

4
∴f

＝＝8.]

12

π
sin
6
5．C [由cos 2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化简变形，得2cos
2
B－3cos B＋1＝0，
1
∴cos B＝或cos B＝1(舍)．
2
3
∴sin B＝.]
2
24
6．－
7
3
解析 因为α为第二象限的角，又sin α＝，
5
4sin α3
所以cos α＝－，tan α＝＝－，
5cos α4
2tan α24
所以tan 2α＝.
2
＝－
7
1－tan
α
＝
7．1－2
解析 ∵y＝2cos
2
x＋sin 2x＝sin 2x＋1＋cos 2x
π
2x＋

＋1， ＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin

4

π
∴当sin(2x＋)＝－1时，函数取得最小值1－2.
4
1
8.
2
cos
2
α－sin
2
α
cos 2α
解析 ∵＝
π

2

sin

α－
4

sin α－cos α
2
2
＝－2(sin α＋cos α)＝－，
2
1
∴cos α＋sin α＝.
2
9．解 (1)∵sin 2α＝2sin αcos α，
sin 2α
∴cos α＝，…………………………………………………………………………(2分)
2sin α
sin 40°sin 80°1sin 160°
∴原式＝···
2sin 20°2sin 40°22sin 80°
π
β－

t anα＋β－tan


4


sin180° －20°
1
＝.……………………………………………………………………(6分)
16sin 20°16
3－4cos 2α＋2cos
2
2α－1
(2)原式＝………………………………………………………(9分)
3＋4cos 2α＋2cos
2
2α－1
1－cos 2α
2
2sin2
α
2
4
＝
2
＝
22
＝tanα.………………………………………………………(12分)
1＋cos 2α2cos
α
π

1
10．解 f(x)＝3sin xcos x－cos xsin


2
＋x

－
2

31
＝sin 2x－cos 2x－1
22
π
2x－

－1.…………………………………………………………………………(4分) ＝sin
< br>6

2π
(1)T＝＝π，故f(x)的最小正周期为π.…………………… ……………………………(6分)
2
πππ5π
(2)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤.
2666
πππ
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)有最大值0，
623
……………………………………………………………………………………………(10分)
ππ
3
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)有最小值－.
662
……………………………………………………………………………………………(12分)
π2πππ
11．解 (1)f()＝2cos＋sin
2
－4cos 3333
39
＝－1＋－2＝－.………………………………………………………………… ……(4分)
44
(2)f(x)＝2(2cos
2
x－1)＋(1－co s
2
x)－4cos x
＝3cos
2
x－4cos x－1
27
＝3(cos x－)
2
－，x∈R.………………………………………………………………(10分)
33
因为cos x∈[－1,1]，
所以，当cos x＝－1时，f(x)取得最大值6；
27
当cos
x
＝时，
f
(
x
)取得最小值－.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(14分)
33
＝