江苏数学高考-写景的散文

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

课时目标 1.能 利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和
与差的正切公式及变形运用 ．

1．两角和与差的正切公式
(1)T
(α
＋
β)< br>：tan(α＋β)＝_____________________________________ ________________.
(2)T
(α
－
β)
：ta n(α－β)＝___________________________________________ ___________.
2．两角和与差的正切公式的变形
(1)T
(α
＋
β)
的变形：
tan α＋tan β＝ __________________________________________________ __________.
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________.
tan α·tan β＝__________ __________________________________________________ __.
(2)T
(α
－
β)
的变形：
tan α－tan β＝______________________________.
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.
tan αtan β＝___________________________________________ ___________________.


一、选择题
π

π
3
，π
，sin α＝，则tan

α＋

的值等于( ) 1．已知α∈


2

4

5
11
A. B．7 C．－ D．－7
77
4
2．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )
5
441
A. B．－ C．－7 D．－
337
11
π3π
3．已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是( )
2322
π3π5π7π
A. B. C. D.
4444
4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x
2
－5x＋1＝0的两个实数根，
则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )
A．1 B．2 C．tan 10° D.3tan 20°
23
6．在△ABC中，角C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为( )
3
1115
A. B. C. D.
4323

题 号 1 2 3 4 5 6
答 案

二、填空题
1＋tan 75°
7.＝________.
1－tan 75°

π
＋α

＝2，则8．已知tan


4

1
的值为________．
2sin αcos α＋cos
2
α
sinα＋β
9．如果tan α，tan β是方程x
2
－3x－3＝0两根，则＝________.
cosα－β
cos α－sin α
10．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
cos α＋sin α

三、解答题
11．在△ABC中，tan B＋tan C＋3tan Btan C＝3，且3tan A＋3tan B＋1＝tan Atan B，
试判断△ABC的形状．



12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐 角α，β，它们的终边分别与
225
单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
105
求tan(α＋β)的值．






能力提升

11
13．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
27







31
14．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝，sin(A－B)＝.
55
(1)求证：tan A＝2tan B；
(2)设AB＝3，求AB边上的高．

1．公式T
(α±β)
的适用范围
π
由正切函数的定义可知α、β 、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋
(k∈Z)．
2
2．公式T
(α±β)
的逆用
ππ
3
π
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝3等．
4633
1＋tan α1－tan α
ππ
要特别注意tan(＋α)＝，tan(－α)＝
.
44
1－tan α1＋tan α
3．公式T
(α±β)
的变形应用
只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T
(α±β)
的意识，就不难想到解题思路．

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
答案
知识梳理
tan α＋tan βtan α－tan β
1．(1) (2)
1－tan αtan β1＋tan αtan β
tan α＋tan β
2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－
tanα＋β
tan α－tan β
(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) －1
tanα－β
作业设计
1．A 2.C 3.C
51
4．A [tan A＋tan B＝
，tan A·tan B＝，
33
55
∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
22
∴C为钝角．]
5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋3 tan 10°
＝3(tan 10°＋tan 20°＋
＝3tan 30°＝1.]
6．B [tan(A＋B)＝－tan C＝－tan 120°＝3，
1
∴tan(A＋B)＝＝3，即＝3，解得tan A·tan B＝
.]
3
1－tan Atan B1－tan Atan B
7．－3
2
8.
3
1＋tan α
π

解析 ∵tan

4
＋α

＝2，∴＝2，
1－tan α
tan A＋tan B
23
3
3
tan 10°tan 20°)
3

1
sin
α＋cosα
tan
α＋1
9
＋1
211
解得tan α＝
. ∴
＝＝＝＝
.
3
2sin αcos α＋cos
2
α
2sin αcos α＋cos
2
α
2tan α＋1
23
＋1
3
3
9．－
2
222
sin αcos β＋cos αsin βtan α＋tan β
33
解析
＝＝＝＝－
.
2
cosα－βcos αcos β＋sin αsin β1＋tan αtan β1＋－3
10．1
cos α－sin α1－tan α
解析 tan β＝
＝
.
cos α＋sin α1＋tan α
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.
1－tan αtan β
11．解 由tan B＋tan C＋3tan Btan C＝3，
得tan B＋tan C＝3(1－tan Btan C)．
tan B＋tan C
∴tan(B＋C)＝＝3，
1－tan Btan C
π
又∵B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝
.
3
又3tan A＋3tan B＋1＝tan Atan B，
∴tan A＋tan B＝－
3
(1－tan Atan B)，
3
tan α＋tan β
sinα＋β
tan A＋tan B
3
∴tan(A＋B)＝＝－，
3
1－tan Atan B
5π
而A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，又∵A＋B＋C＝π，
6
2ππ
∴A＝，B＝C＝
.∴△ABC为等腰三角形．
36
225
12．解 由条件得cos α＝
，cos β＝
.
105
72
∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos
2
α＝
，
10
5
sin β＝1－cos
2
β＝.
5
sin αsin β1
因此tan α＝＝7，tan β＝＝
.
cos αcos β2
1
7＋
tan α＋tan β
2
tan(α＋β)＝
＝＝－3.
1－tan α·tan β
1－7×
1
2
tanα－β＋tan β
1
13．解 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝
>0.
1－tanα－βtan β
3

π
而α∈(0，π)，故α∈(0，
)．
2
1
π
∵tan β＝－，0<β<π，∴
<β<π.
72
1
∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝
>0，
2
π
∴－π<α－β<－
.
2
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝1，
1－tan αtanα－β
3π
∴2α－β＝－
.
4
31
14．(1)证明 ∵sin(A＋B)＝
，sin(A－B)＝，
55
32
sin Acos B＋cos Asin B＝sin Acos B＝
55
tan A
∴
⇒⇒
＝2，所以tan A＝2tan B.
tan B
11
sin Acos B－cos Asin B＝cos Asin B＝
55
tan α＋tanα－β








tan A＋tan B
π
333
(2)解 ∵，∴tan(A＋B)＝－，即＝－
.
2544
1－tan Atan B
将tan A＝2tan B代入上式并整理得，2tan
2
B－4tan B－1＝0.
2＋6
2±6
解得tan B＝，舍去负值，得tan B＝
.
22
∴tan A＝2tan B＝2＋6.设AB边上的高为CD.
CDCD3CD
则AB＝AD＋DB＝＋＝
.
tan Atan B
2＋6
由AB＝3，得CD＝2＋6.∴AB边上的高等于2＋6.

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