关于毛泽东-积极分子思想汇报

.
学案22 简单的三角恒等变换
导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、 余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与
差的三角公式进行简单的恒等变换．
(
(
(
(
自主梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝________________；
(2)cos 2α＝____ __________＝________________－1＝1－________________；
k
π
ππ
(3)tan 2α＝________________________ (α≠＋且α≠
k
π＋)．
242
2．公式的逆向变换及有关变形
sin 2α
(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝；
2sin α
22
(2)降幂公式：sin
α＝________________，cosα＝_____ ___________；
升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；
22
变形：1±sin 2α＝sin
α＋cosα±2sin αcos α＝________________________.
自我检测
1．(2010·陕西)函数
f
(
x
)＝2sin
x
cos
x
是
)
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
2．函数
f
(
x
)＝cos 2
x
－2sin
x
的最小值和最大值分别为
)
A．－3,1 B．－2,2
33
C．－3， D．－2，
22
3．函数
f
(
x
)＝sin
x
cos
x
的最小值是
)
11
A．－1 B．－ C. D．1
22
4．(201 1·清远月考)已知
A
、
B
为直角三角形的两个锐角，则sin
A
·sin
B
)
1
A．有最大值，最小值0
2
1
B．有最小值，无最大值
2
C．既无最大值也无最小值
1
D．有最大值，无最小值
2

探究点一 三角函数式的化简
24
例1 求函数
y
＝7－4sin
x
cos
x
＋4cos
x
－4cos
x
的最大值和最小值．

.

.



4cos
x
－2cos 2
x
－1
变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数
f
(
x
)＝.
ππ
si n

4
＋
x

sin

4
－x



11π

(1)求
f

－

的值；

12

π
1
( 2)当
x
∈

0，
4

时，求
g
(
x
)＝
f
(
x
)＋sin 2
x
的最大值和最小值．

2




探究点二 三角函数式的求值
11
ππππ
2
例2 已知sin(＋2α)·sin(－2α)＝，α∈(，)，求2sin
α＋tan α－
－1的
44442tan α
值．




π
sinα＋
4
5
变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝，求的值．
13cos2α＋4π
3ππ
3
ππ
(2)已知cos(α＋)＝，≤α<，求cos(2α＋)的值．
45224




探究点三 三角恒等式的证明
例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝
x
，tan β＝
y
，记
y
＝
f
(
x
)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；
(2)求
f
(
x
)的解析表达式；
(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数
f
(
x
)的值域．




sin 2
x
变式迁移3 求证：
sin
x
＋cos
x
－1sin
x
－cos
x
＋1
1＋cos
x
＝.
sin
x




4
.

.
转化与化归思想的应用
例 (12分)(2010·江西)已知函数
f
(
x
)＝

1 ＋
1

sin
2
x
＋
m
sin

x
＋
π

sin

x
－
π

.

tan
x


4

4



π
3π

(1)当
m
＝0时，求
f
(
x
)在区间

，

上的 取值范围；

84

3
(2)当tan α＝2时，
f
(α)＝，求
m
的值．
5
【答题模板】

cos
x

sin
2
x
解 (1) 当
m
＝0时，
f
(
x
)＝

1＋


sin
x

1－cos 2
x
＋sin 2
x
2
＝sin
x
＋sin
x
cos
x
＝
2
π
1
＝

2sin
< br>2
x
－
4

＋1

，[3分]
 
2

π

5π

π
3π

由已知
x
∈

，

，得2
x
－∈

0，

，[4分]
4

4

84

π

2

所以sin

2
x
－
4

∈

－，1

，[5分]


2



1＋2

从而得
f
(
x
)的值域为

0，

.[6分]
2

(2)
f
(
x
)＝sin
x
＋sin
x
cos
x
－cos 2
x

2
1－cos 2
x
1
m
＝＋sin 2
x
－cos 2
x

222
11
＝[sin 2
x
－(1＋
m
)cos 2
x
]＋，[8分]
22
2sin αcos α2tan α4
由tan α＝2，得sin 2α＝
22
＝
2
＝，
sin
α＋cosα
1＋t an
α
5
222
cos
α－sinα
1－tan
α
3
cos 2α＝
2
＝＝－.[10分]
22
cosα＋sinα
1＋tan
α
5
31

43
< br>1
所以＝

＋1＋
m


＋，[11分]
52

55

2
解得
m
＝－2.[12分 ]
【突破思维障碍】
三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角 函数公式、二倍
角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函 数
式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．

1．求值中主要有三类求值问题：
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表 面来看是很难的，但仔细观察非
特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公 式转化为特殊角并
且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三 角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关
键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的
.
2
m

.
式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：
(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割 化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元
素法，“1”的代换法等．
α＋β
(2) 常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，
2
βα
αα
＝

α－
2

＋

β－
2

，是的二倍角等．

24
(3) 化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低
次，化多项式为单项 式，化无理式为有理式．
消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、 函数名称、
结构等方面的差异．

(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于
( )
1111
A. B．－ C. D．－
3366
ππ
21
2．已知tan(α ＋β)＝，tan

β－
4

＝，那么tan

α ＋
4

等于

54
( )
131331
A. B. C. D.
1822226
π
1
3．(2011·石家庄模拟)已知cos 2α＝ (其中α∈

－
4
，0

)，则sin α的值为

2
( )
1133
A. B．－ C. D．－
2222
4
( )
43
A．－
3
B．8
．若
f
(
x
)＝2tan
x
－
2sin－1
2
sin cos
22
2x
xx
，则
π
f

12

的值为

C．43 D．－43
5．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△
ABC
中，若cos 2
B
＋3cos(
A
＋
C
)＋2
＝0，则sin
B
的值是 ( )
123
A. B. C. D．1
222
题号

1

2

3

4

5
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
3
6．(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sin α＝，则tan 2α＝________.
5
2
7．函数
y
＝2cos
x
＋sin 2
x
的最小值是________．
.

.
cos 2α2
＝－，则cos α＋sin α的值为________．
π2
sin

α－
4


三、解答题(共38 分)
9．(12分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°；
3－4cos 2α＋cos 4α
(2).
3＋4cos 2α＋cos 4α




8．若
π
1
10．(12分 )(2011·南京模拟)设函数
f
(
x
)＝3sin
x
cos
x
－cos
x
sin

2
＋
x

－.

2
(1)求
f
(
x
)的最小正周期；
π
(2)当∈

0，
2

时，求函数
f
(
x
)的最大值和最小值．





2
11．(14分)(2010·北京)已知函数
f
(
x
)＝2c os 2
x
＋sin
x
－4cos
x
.
π
(1)求
f
()的值；
3
(2)求
f
(
x
)的最大值和最小值．




答案 自主梳理
2222
1．(1)2sin αcos α (2)cos
α－sinα 2cosα 2sinα
2tan α11－cos 2α1＋cos 2α
2
α
2
α
(3) 2cos 2sin (sin
2
2.(1)sin 2α (2)
1－tan
α
22222
2
α±cos α)

自我检测
1．C 2.C 3.B 4.D
课堂活动区
例1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不
含分母，能求值的尽量求值．本题要 充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，
重视复合函数中间变量的范围是关键．
24
解
y
＝7－4sin
x
cos
x
＋4cos
x
－4cos
x

22
＝7－2sin 2
x
＋4cos
x
(1－cos
x
)
22
＝7－2sin 2
x
＋4cos
x
sin
x

22
＝7－2sin 2
x
＋sin2
x
＝(1－sin 2
x
)＋6，
22
由于函数
z
＝(
u
－ 1)＋6在[－1,1]中的最大值为
z
max
＝(－1－1)＋6＝10，最小值为
z
min
2
＝(1－1)＋6＝6，
故当sin 2
x
＝－1时，
y
取得最大值10，
当sin 2
x
＝1时，
y
取得最小值6.
变式迁移1 解 (1)
f
(
x
)
.

.
1＋cos 2
x
－2cos 2
x
－1
＝
π

π

sin
4
＋
x
sin
4
－
x

2
cos2
x
＝
π< br>
π

sin
4
＋
x
cos
4
＋
x

22
2cos2
x
2cos2
x
＝＝＝2cos 2
x
，
π
cos 2
x
 
sin
2
＋2
x

π

11π

11π

∴
f

－

＝2cos< br>
－

＝2cos ＝3.
6

12

6

(2)
g
(
x
)＝cos 2
x
＋sin 2
x

π
＝2sin

2
x
＋
4

.

π
π

π
3π

∵
x
∈

0，
4

，∴2
x
＋∈

，

，

4

44

π
∴当
x
＝时，
g
(
x
)
max
＝2，
8
当
x
＝0时，
g
(
x
)
min
＝1.
例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；
(2 )如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为
弦函数．
ππ
解 由sin(＋2α)·sin(－2α)
44
ππ
＝sin(＋2α)·cos(＋2α)
44
111
π
＝sin(＋4α)＝cos 4α＝，
2224
15π
ππ
∴cos 4α＝，又α∈(，)，故α＝，
24212
1
2
∴2sin
α＋tan α－
－1
tan α
22
sin
α－cosα
＝－cos 2α＋
sin αcos α
－2cos 2α
＝－cos 2α＋
sin 2α
5π
2cos
6
535π
＝－cos－＝.
65π2
sin
6
5
变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角，cos α＝，
13
12
∴sin α＝.
13
2
π
sinα＋sin α＋cos α
42
∴＝
cos2α＋4πcos 2α
2
.

.
2
sin α＋cos α
2
＝
22
cos
α－sinα
22
22
132
＝＝＝－.
cos α－sin α51214
－
1313
πππ
(2)cos(2α＋)＝cos 2αcos－sin 2αsin
444
2
(cos 2α－sin 2α)，
2
3
π
∵≤α<
π，
22
3π
π
7
∴≤α＋<
π.
444
π
3
又cos(α＋)＝>0，
45
3
π
7
故可知
π<α＋
<
π，
244
4
π
∴sin(α＋)＝－，
45
π
从而cos 2α＝sin(2α＋)
2
ππ
＝2sin(α＋)cos(α＋)
44
4324
＝2×(－)×＝－.
5525
π
sin 2α＝－cos(2α＋)
2
π
2
＝1－2cos(α＋)
4
3
2
7
＝1－2×()＝.
525
＝
22247
π
∴cos(2α＋)＝(cos 2α－sin 2α)＝×(－－)
4222525
312
＝－.
50
例3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我< br>们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关
系，再 分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边
的差异，有目的地化 繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，
利用两角和的正切公式可得关 系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．
(1)证明 由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α]
＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α，
∴tan(α＋β)＝2tan α.
tan α＋tan β
x
＋
y
(2)解 由(1)得＝2tan α，即＝2
x
，
1－tan αtan β1－
xy
.

.
∴
y
＝
2
，即
f
(< br>x
)＝
2
.
1＋2
x
1＋2
x
(3)解 ∵角α是一个三角形的最小内角，
π
∴0<α≤，0<
x
≤3，
3
112
设
g
(
x
)＝2
x
＋，则
g
(
x
)＝2
x
＋≥22(当且仅当
x
＝时取“＝”)．
xx
2
2
]．
4
变式迁移3 证明 因为左边＝
2sin
x
cos
x

[sin
x
＋cos
x
－1][sin
x
－cos
x
－1]
2sin
x
cos
x
＝
22

sin
x
－cos
x
－1
2sin
x
cos
x
＝
22
sin
x
－cos
x
＋2cos
x
－1
2sin
x
cos
x
sin
x
＝＝
2
－2cos
x
＋2cos
x
1－cos
x
sin
x
1＋cos
x

＝
1－cos
x
1＋cos
x

sin
x
1＋cos
x
1＋cos
x
＝＝＝右边．
2
sin
x
sin
x
所以原等式成立．
课后练习区
1．D [∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，
故函数
f
(
x
)的值域为(0，
1
∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝，
6
1
cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－.]
6
ππ
2．C [因为α＋＋β－＝α＋β，
44
π
π< br>所以α＋＝(α＋β)－

β－
4

.

4
ππ
所以tan

α＋
4

＝tan

α＋β－

β－
4


π
tanα＋β－tan

β－
4


3
＝＝.]
π

22

1＋tanα＋βtanβ－
4

1
2
3．B [∵＝cos 2α＝1－2sin
α，
2
π
1
2
∴sin
α＝
.又∵α∈

－
4
，0

，

4
1
∴sin α＝－.]
2
1－2sin
2
2cos
x
4．B [
f
(
x
)＝2tan
x
＋＝2tan
x
＋
1sin
x
sin
x
2
2
xx
x
.

.
24
＝
sin
x
cos
x
sin 2
x
π
4
∴
f

12

＝＝8.]
π

sin
6
2
5．C [由cos 2
B< br>＋3cos(
A
＋
C
)＋2＝0化简变形，得2cos
B－3cos
B
＋1＝0，
1
∴cos
B
＝或cos
B
＝1(舍)．
2
＝
∴sin
B
＝
24
6．－
7
3
解析 因为α为第二象限的角，又sin α＝，
5
4sin α3
所以cos α＝－，tan α＝＝－，
5cos α4
2tan α24
所以tan 2α＝.
2
＝－
1－tan
α
7
7．1－2
2
解析 ∵
y
＝2cos
x
＋sin 2
x
＝sin 2
x
＋1＋cos 2
x

π
＝sin 2
x
＋cos 2
x
＋1＝2sin

2
x
＋
4

＋1，

π
∴当sin(2
x
＋)＝－1时，函数取得最小值1－2.
4
1
8.
2
22
cos 2αcos
α－sinα
解析 ∵＝
π

2

s in
α－
4

2
sin α－cos α
＝－2(sin α＋cos α)＝－
2
，
2
3
.]
2
1
∴cos α＋sin α＝.
2
9．解 (1)∵sin 2α＝2sin αcos α，
sin 2α
∴cos α＝，…………………………………………………………………………(2
2sin α
分)
sin 40°sin 80°1sin 160°
∴原式＝···
2sin 20°2sin 40°22sin 80°
sin180°－20°1
＝＝.…………… ………………………………………………………(6
16sin 20°16
分)
3－4cos 2α＋2cos2α－1
(2)原式＝……………………………………………… ………(9
2
3＋4cos 2α＋2cos2α－1
分)
1－cos 2α2sin
α
4
＝
2
＝
22
＝tanα.………………………………………………………(12
1＋cos 2α2cos
α
分)
222
2
.

.
π
1
10．解
f
(
x
)＝3sin
x
cos
x
－cos
x
sin

2
＋
x

－

2
31
sin 2
x
－cos 2
x
－1
22
π
＝sin

2
x
－
6

－1.…………………………………………………………………………(4< br>
＝
分)
2π
(1)
T
＝＝π，故
f< br>(
x
)的最小正周期为π.…………………………………………………(6
2< br>分)
πππ
5π
(2)因为0≤
x
≤，所以－≤2
x
－≤.
2666
πππ
所以当2
x
－＝，即
x
＝时，
f
(
x
)有最大值0，
623
…………… ………………………………………………………………………………(10
分)
3
π π
当2
x
－＝－，即
x
＝0时，
f
(
x< br>)有最小值－.
662
………………………………………………………………………… …………………(12
分)
2π
ππ
2
π
11．解 (1)
f
()＝2cos＋sin－4cos
3333
39
＝－1 ＋－2＝－.………………………………………………………………………(4
44
分) (2)
f
(
x
)＝2(2cos
x
－1)＋(1－co s
x
)－4cos
x

2
＝3cos
x
－4cos
x
－1
2
2
7
＝3(cos
x
－)－，
x
∈R .………………………………………………………………(10
33
分)
因为cos
x
∈[－1,1]，
所以，当cos
x
＝－1时，
f
(
x
)取得最大值6；
27
当cos
x
＝时，
f
(
x
)取得最 小值－.…………………………………………………(14分)
33

22
.