昭通事业单位招聘-油价调整窗口时间表

二轮复习微专题
三角恒等变换

考点一 给值求值、给值求角、给角求值
【必备知识】
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 < br>⑴
cos





cos
< br>cos

sin

sin

；⑴
cos< br>




cos

cos
< br>sin

sin

；
⑴
sin





sin

cos

cos

sin

；⑴
sin





sin

cos

cos

sin

；
⑴
tan





tan

tan



（
tan

tan

tan



< br>
1tan

tan


）；
1t an

tan

tan

tan



（
tan

tan

tan





1tan

tan

）．
1tan

tan

⑴
tan





2、二倍角的正弦、余弦和正切公式 < br>⑴
sin2

2sin

cos

．1sin2

sin
2

cos
2

2sin

cos

(sin

cos
)
2

⑴
cos2

cos
2< br>
sin
2

2cos
2

11 2sin
2



升幂公式
1cos

2cos
2

降幂公式
cos
2



2
,1cos

2sin
2

2
< br>cos2

11cos2

，
sin
2


．
22
1cos

1cos
 
1cos

sin

1cos

,sin ,tan

22221cos

1cos

sin

b
ab
π
4
22
(3)半角公式：< br>cos

2

（4）辅助角公式:
asinxbcosx a
2
b
2
sin(x

)
，其中
s in

,cos


a
ab
22
。
3、常数“1”的代换:1=sin
2
α+cos
2
α,1=2co s
2
α-cos 2α,1=cos 2α+2sin
2
α,1=tan .

【典型例题】
【例1】已知cos（α+
π
）-sin α=
4
6
3
5
,则sin（α+
11π
）的值是( )
6
A.-
23
5
B.-
4
C.
2
5
3
5
D.
4

5
【解析】cos(α+
π
)-sin α=
4
6
3
5

cosα-
3
2
⑴
3
2
cos α-
3
sin α=
4
2
3
5
⑴
3
(
1
2
sin α)=
43
5
⑴sin(
π
-α)=
4
.
65
sin(α+
11π
)=sin[2π+(α-
π
)]=si n(α-
π
)=-sin（
π
-α）=-
4
.
6
6665
故选B.
【方法归纳 】
1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
⑴一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;
⑴变换待求式,便于将已求得的函数值代入,从而达到解题的目的.
2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：

(
< br>

)

;



(



);
1
2

4



1
2

(

);

24



2;
2

[(



)(



)];
5
5

 [(



)(



)]
等 .
,α,β均为锐角,则角β等于( )
【例2】已知sin α=
A.
5π

12
,sin(α-β)=-
10
10
B.
π

3
C.
π
D.
π

46
【解析】因为α,β均为锐角,所以-
π
<α -β<
π
.
22
又sin(α-β)=-
10
10
,所以cos(α-β)=
310
10
.

又sin α=
5
5
,所以cos α=
25
5
,
所以sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)
=
5
5
×
31 0
10
-
25
5
×(-
10
10
)=2
2
.
所以β=
π
.故选C.
4
【方法归纳】
“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：
（1）求值.求出所求角的某种三角函数值.
（2）界定范围.根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.
（3）求角.由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.
【例3】tan 25°+tan 35°+ tan 25°·tan 35°=________.
【解析】原式=tan(25°+35°)(1-tan 25°tan 35°)+ tan 25°tan 35°
= (1-tan 25°tan 35°)+ tan 25°tan 35°=
3
.
【方法归纳】
求解“给角求值”问题的三个注意点
(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.
(2)观察名,尽可能使函数统一名称.(3)观察结构,利用公式,整体化简.
sin110
0
sin20
0
【类比训练】1、计算的值为( )
cos
2
155
0
sin
2
155
0< br>33
11
A.

B. C. D.


22
22
sin7 0
0
sin20
0
sin20
0
sin20
01sin40
0
1

.
【解析】原式=
2020 00
cos25sin25cos502sin402

2、已知α,β⑴(0,π),且tan(α-β)=
1
,tan β=-
1
,则2α-β的值为 .
27
【解析】因为
11

tan α=tan[(α-β)+β]=
=
2
1
7
1
1tan


< br>

tan

1
27
tan





tan

=
1
>0,所以0< α<
π
.
3
2
又因为
1
3
tan 2α =
2tan

=
2
2
1tan

1

1


3

2
=
3
>0,所以0<2α<
π
,
42
所以tan(2α-β)=tan2

tan

1tan2

tan

=
31

47
31
1
47
=1.
因为tan β=-
1
<0,所以
π
<β<π,-π<2α-β<0 ,所以2α-β=-
3π
.
7
24
【自我总结】三角函数求值有三类：
（1）“给角求值”，一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来 看是很难的，但仔细观察可以
发现非特殊角与特殊角总有一定联系，解题时，要利用观察得到的关系，结 合公式转化为特殊
角并且消去非特殊角的三角函数而得解.
（2）“给值求值”，给出某些角 的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变
角”.
（3）“给值求角”， 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一三角函数值，再求角的范围，
进而确定角.

考点二 公式的灵活运用
【必备知识】
1、同角三角函数关系式的应用技巧 < br>(1)利用平方关系sin
2
α+cos
2
α=1可实现α的正弦、余 弦的互化,利用商数关系
sin

=tan α可以实
cos

现角α的弦切互化.
(2)关系式的逆用及变形用:1sin
2

cos
2

,sin
2
1cos
2

,cos
2

1si n
2

.
(3)sin α,cos α的齐次式的应用:分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式,无分母含有

sin2α,cos2α及sin αcos α的式子求值时,可将所求式子的分母看 作“1”,利用“sin2α+cos2α=1”代换
后转化为“切”后求解.
2、利用诱导公式化简三角函数的思路和要求
(1)思路方法:
①分析结构特点,选择恰当公式;
②利用公式化成单角三角函数;
③整理得最简形式.
(2) 化简要求:
①化简过程是恒等变形;
②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
【例4】已知tanα=2，求
sin2

的值.
sin
2

sin

cos

cos2

 1
【解析】原式=
2sin

cos


sin< br>2

sin

cos

(2cos
2< br>
1)1
=
2sin

cos

2ta n

22
===1.
sin
2

sin
cos

2cos
2

tan
2

tan

22
2
2-2
【方法归纳】
< br>把形如
asinxbcosx
,
asin
2
xbsinx cosxccos
2
x
等类型叫做“齐次式”，已知正切值，可用
csin xdcosx
“弦切互化法”求值，具体思路是：
①整式的分母换成1,再用平方关系,构造出分子、分母都是关于正弦、余弦的齐次式;
②把分子分母同除以余弦的齐次幂,转化为一个关于正切的分式;
③代入已知的正切值可解.

【例5】若

(0,

),sin(< br>


)cos


2
,则
si n

cos

的值为（ ）
3
A.
22
44
B.

B.
D.


33
33
2
,
3
【解析】由诱导公式得
sin (



)cos

sin

co s


平方得
(sin

cos

)< br>2
12sin

cos


27
,则< br>2sin

cos

0
,
99
所以
(sin

cos

)
2
1-2sin

cos


4
，故选C.
3
16
, 又因为

(0,

)
,所以
sin

 cos

0
,
9
所以
sin

co s


【方法归纳】
已知正弦和余弦的表达式的值求值
关键是通 过平方关系,采用“完全平方式转换法”在
sin

cos

，< br>sin

cos

，
sin

cos< br>
之
t
2
1
间建立联系,比如设
sin

cos

t
⇒
sin

cos


,
sin

cos

2t
2< br> (注意根据角
2
的范围选择正负号)或者
1sin2

 sin

cos

，
1sin2

sin< br>
cos

，解这些题目的
最基本方法是解关于
sin
，cos

的方程组,解得
sin

，cos

的值.
易错提醒:(1)平方关系最多使用一次,注意开方时正负号的选取.
(2)解方程组时,注意三角函数的符号,不要产生增解.
【变式训练】已知△ABC中,
sinAcosA
7
,则tanA= .
13
【解析】由已知得sinA>0,cosA<0, |sin A|<|cos A|,tanA>-1,
由
sinAcosA
760
两边平方,整理 得
sinAcosA
，
13169

即sinAcosA60tanA605
2
，分子分母同除以得， 解得.
co sA
tanA
222
sinAcosA169tanA116912
考点三 利用三角恒等变换解决三角函数的性质问题
【必备知识】
三角函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的思路
①利用三角恒等变换及辅助角公式把 三角函数关系式化成
yAsin(wx

)k
或
yAcos (wx

)k
的形式;
②利用公式
T
2


求周期;
③根据自变量的 范围确定

x

的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另 外求
最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;
④根据正、余弦函 数的单调区间列不等式求函数
yAsin(wx

)k
或
y Acos(wx

)k
的
单调区间.
【例6】(2020·江 苏扬州9月检测)在
ABC
,角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量
m( a,b),n(cosA,cosB),p(22sin
（1）求角A，B，C的值；
BC
,2sinA)
，且
mn,
2
p3
. < br>（2）若
x[0,]
，求函数
f(x)sinAsinxcosBcos x
的最大值与最小值.
2
【解析】（1）因为
mn
，所以
acosBbsinA
.
由正弦定理得
sinAcosBsinBsinA，所以
sin(AB)0
.
又


AB

,所以
AB
. < br>
由
p3
可得
pp8sin
2
BC
4sin
2
A9
，
2
2
2

所以
8cos
2
A
4sin
2
A9
， 所以
4(1cosA)4(1cos
2
A)9
，
2
所以
4cos
2
A4cosA10
，所以
(2cosA1 )
2
0
，
故
cosA
1
，
2又
0A

，所以
A

3
,又A=B，所 以
ABC

3
.
（2）由题意知，
f(x)si n

sinxcoscosxsinxcoscosxsinsin(x)
，
33666

令
tx



2

，因为
x[0,]
，所以
t[,]
.
6263


2

易知函数
h(t)sint
在
[,]
上单调递增，在
[,]
上单调递减，
6223

2


1
所以函数
h(t)
在
[,]< br>上的最小值为
h()sin
，此时x=0；
63662

2



函数
h(t)
在
[,]
上的 最大值为
h()sin1
，此时
x
.
63223

1
综上，可知当
x[0,]
，函数
f(x)
最大值为1， 最小值为
.
22
【方法归纳】
利用三角恒等变换求解三角函数的最值问题，最常用的方法是辅助角法和换元法。
（1）辅助 角法.求形如
yasinxbcosxc
的最值，解决此类题的关键是：
第一步：通过引入辅助角

(cos


a
ab
22
,sin


b
ab
22
)
，将原 式化为
ya
2
b
2
sin(x

)c；
第二步：由x的取值范围求出
x

的取值范围，从而利用三角函数 的有界性求得函数的最

值.
（2）换元法.将形如
ya sinxcosxb(sinxcosx)c
的函数，通过换元转化为形如
ydt2
etf
的二次函数形式，解此类题的关键点是利用三角函数的平方关系，把异名化为
同名，再转化为二次函数求解，注意新元的取值范围.

3

【类 比训练】已知函数
f(x)2cos(x)2sin(x)
.
32
(1)求函数
f(x)
的单调减区间.
(2)求函数
f(x)
的最大值并求
f(x)
取得最大值时的x的取值集合.
(3)若< br>f(x)
6

,求
cos(2x)
的值.
53
π
3
π
3
π
6
【解析】f(x)=2cosxco s
+2sinxsin
-2cosx=cosx+
3
sinx-2cosx=
3
sinx-cosx=2sin
(x-
3
2
)
.
(1)令2kπ+≤x-≤2kπ+π(k⑴Z),
26
2π
3
5 π
3
ππ
所以2kπ+
≤x≤2kπ+(k⑴Z),
2

5

,2k

],(kZ)
.
33
π
2
2π
3
所以单调递减区间为
[2k


(2)f(x)取最大值2时,x-=2kπ+(k⑴Z),则x=2kπ+
6
π
(k⑴Z).
所以f(x)的最大值是2,取得最大值时的x的取值集合是
{x|x
6
5
π
6
=2kπ+
2π
3
, k∈Z}
.
(3)f(x)=,即2sin
(x-
所以sin
(x -
π
6
)
=
6
5
,
)
=
3
5
.

所以cos
(2x-
p
3
)
=1-2sin
2
(x-)
=1 -2×
()
65
π
3
2
7
=
25
.
高考真题
【选择题组】
1
、（
2019
全国⑴
文
·T11
）已知
a∈
（
0
，），
2sin2α=cos2α+1
，则
sinα=
（

）

1
5
π
2
A
．
B
．
5

5
C
．
3

3
D
．
25

5
【解析】
B.
由
2sin2

cos2
1
，得
4sin

cos

2cos< br>2

.
因为



0,

，所以
cos

2sin

.
2



π


cos

2sin

5
.
故选
B.
由

2
，得
sin

2
sin

cos

1
5< br>
2
、
(2018
全国卷
Ⅰ)
已知角
的顶点为坐标原点，始边与
x
轴的非负半轴重合，终边上有两点
A(1,a)，
B(2,b)
，且
cos2


1
5
2
，则
ab
（

）

3
A
．
B
．
5

5
C
．
25

5
D
．
1

2
【解析】由题意知
cos

 0
，因为
cos2

2cos

1
2
5
，所以
cos


，

3
6
sin


|ab|
1
55
，得
|tan
|
，由题意知
|tan

|
，所以
|a b|
．故选
B
．

12
6
55
1< br>，则
cos2


（ ）
3
3、(201 8全国卷⑴)若
sin


8
A．

9
B．
7

9

7
C．


9

8
D．


9

< br>17
【解析】
cos2

12cos
2

12()
2

．故选B．
39
»
，
EF
¼
是圆
x
2
y
2
1
上的四段弧（如图 ）
»
，
GH
AB
，
CD
4、(2018北京)在平 面坐标系中，
»
，
点
P
在其中一段上，角

以Ox
为始边，
OP
为终边，若
tan

cos

sin

，则
P
所在的圆弧
是（ ）

AB
A．
»

»
C．
EF
»
B．
CD

¼
D．
GH
【解析】设点
P
的坐标为
(x,y)
，利用三角函 数可得
»
，故选C． 在的圆弧是
EF
y
xy
，所以< br>x0
，
y0
．所以
P
所
x
4
5 、（2017新课标⑴）已知
sin

cos


，则< br>sin2

=（ ）
3
7227
A．

B．

C．
D．

9 999
4167
【解析】由
sin

cos


，两边平方得
1sin2


，所以
sin2


，选A．
399
6、（2017山东）已知
cosx3
，则
cos2x
（ ）
4
1111
A
．

B
．
C
．

D
．

4488
【解析】由
cosx
【非选择题组】 < br>33
2
1
2
得
cos2x2cosx12()1
，故选
D
．

448

1、（20 19江苏13）已知
π

tan

2


，则
sin

2



的值是 . < br>π

4

3


tan




4

【解析】由
2
tan
2

，得

，


3
3
tan(

)
tan

tan
4
4

1tan

tan
4
tan

所以
t an

(1tan

)21

，解得
tan< br>
2
或
tan


．
1tan
33
1tan
2

3
2tan

4
cos2



当
tan

2< br>时，
sin2


，，
2
2
1tan< br>
5
1tan

5
42322
sin(2< br>
)sin2

coscos2

sin< br>.
444525210
1tan
2

4
12ta n

3

，

，
cos2


当
tan


时，
sin2

2
2
1tan

5
31tan

5
32422

所以
sin(2

)sin2

coscos2

sin
.
4445252102

综上，
sin(2

)
的值是．
10
4
2、（2017新课标⑴）已知


(0,)
，
tan

2
，则
cos(

)
=__________．
24
【解析】由
tan

2
得
sin

2cos


又
sin
2< br>
cos
2

1
，所以
cos
2


1

5


525

,s in


因为

(0,)
，所以
cos



55
2
52252310

< br>因为
cos(

)cos

cossin
< br>sin

．
525210
444
3
、（
2017
北京）在平面直角坐标系
xOy
中，角

与角
< br>均以
Ox
为始边，它们的终边关于
y

1
sin=
轴对称．若，则
sin

=_________．

3
1

【解析】

与

关于
y
轴对称，则





2k

，所以
sin

sin


 2k




sin


．
3

1
4、（2017江苏）若
tan(

)
， 则
tan

= ．
46
tan(
< br>)tan

44

7
． 【解析】
tan
tan[(

)]
44
1tan(


)tan

5
44
5、（2018浙江）已知角

的顶点与原点
O
重合，始边与
x
轴的非负半轴重合，它的 终边过点
34
P(,)
．
55

(1)求
sin(



)
的值；
(2)若角

满足
sin(



)
5
，求
cos< br>
的值．
13
344
【解析】(1)由角

的终边 过点
P(,)
得
sin


，
555所以
sin(



)sin


4
．
5
343
(2)由角

的终边过点
P( ,)
得
cos


，
555
由
si n(



)
512
得
cos(


)
．
1313
由

(



)

得
cos

cos(



)cos

sin(


< br>)sin

，
所以
cos


5616
或
cos


．
6565
5
4
，
cos(



)
．
5
36、（2018江苏）已知

,

为锐角，
tan
< br>

(1)求
cos2

的值；
(2)求
tan(



)
的值．
【解 析】(1)因为
tan


，
tan


4
3
4
sin

，所以
sin

cos

．
3
cos

9
，
25
因 为
sin
2

cos
2

1
，所以< br>cos
2


7
．
25
因此，
c os2

2cos
2

1
(2)因为
< br>,

为锐角，所以



(0,π)
．
又因为
cos(



)
525
，所 以
sin(



)1cos
2
(



)
，
55
因此
tan(



)2
． < br>因为
tan


，所以
tan2


4
3
2tan

24

，
1tan
2

7
tan2

tan(


< br>)2

．
1+tan2

tan(



)11
因此，
tan(



)ta n[2

(



)]