简爱读后感英文-财务管理试题

§4.6 简单的三角恒等变换

1．公式的常见变形
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
(2)sin
2
α＝
1－cos 2α
2
；
cos
2
α＝
1＋cos 2α
2
；
sin αcos α＝
1
2
sin 2α.
(3)1＋cos α＝2cos
2
α
2
；
1－cos α＝2sin
2
α
2
；
1＋sin α＝(sin
α
＋cos
α
)
2
22
；
1－sin α＝(sin
α
－cos
α
)
2
22
.
2．辅助角公式
asin x＋bcos x＝a
2
＋b
2
sin(x＋φ)，
其中sin φ＝
b
a
2
＋b
2
，cos φ＝
a
a
2
＋b
2
.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.( × )
(2)设α∈(π，2π)，则
1－cosπ＋α
2
＝sin
α
2
.( × )
(3)在非直角三角形中有：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C．( √ )
(4)设
5π1
θ
2
<θ<3π，且|cos θ|＝
15
5
，那么sin
2
的值为
5
.( × )
(5)公式asin x＋bcos x＝a
2
＋b
2
sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(
(6)函数f(x)＝cos
2
x＋3sin xcos x在区间[－
ππ
3
4
，
3
]上的最大值为
2
.( √ )

) ×

1．化简：
sin 2αcos α－sin α
cos 2α
等于( )
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
答案 C
解析 原式＝
2sin α·cos
2
α－sin α
sin α2cos
2
α－1
cos 2α
＝
cos 2α

＝sin α.
2．已知cos α＝
1
α
3
，α∈(π，2π)，则cos
2
等于( )
A.
66
3
B．－
3

C.
33
3
D．－
3

答案 B
解析 ∵
α
2
∈(
π
2
，π)，
∴cos
α
＝－
1＋cos α
2
22
＝－
3
＝－
6
3
.
3．如果α∈(
π
2
，π)，且sin α＝
4
5
，那么sin(α＋
ππ
4
)＋cos(α＋
4
)等于(
A.
42
5
B．－
42
5

C.
32
5
D．－
32
5

答案 D
解析 由已知cos α＝－
3
5
，
∴sin(α＋
π
4
)＋cos(α＋
πππ
4
)＝2sin(α＋
4＋
4
)
＝2cos α＝－
3
5
2.
4． (2014·上海)函数y＝1－2cos
2
2x的最小正周期是________．
答案
π
2

)

2ππ
解析 由题意y＝－cos 4x，T＝＝.
42

题型一 三角函数式的化简求值
θθ
1＋sin θ＋cos θsin－cos
22
例1 (1)化简：(0<θ<π)＝________.
2＋2cos θ
1
π
cos 2α
(2)已知sin α＝＋cos α，且α∈(0，)，则的值为________．
22
π
sinα－
4
答案 (1)－cos θ (2)－
解析 (1)原式
θθθθθ
2sincos＋2cos
2sin－cos
22222
＝
2
θ
4cos
2
θθθ
sin
2
－cos
2
－cos·cos θ
222
θ
＝cos·＝.
2
θθ
|cos||cos|
22
θπ
因为0<θ<π，所以0<<，
22
θ
所以cos>0，所以原式＝－cos θ.
2
1
(2)方法一 ∵sin α＝＋cos α，
2
1
∴sin α－cos α＝，
2
π
1
∴2sin(α－)＝，
42
π
2
∴sin(α－)＝.
44
ππππ
又∵α∈(0，)，∴α－∈(－，)，
2444
π
14
∴cos(α－)＝，
44
πππ
2147
∴cos 2α＝－sin[2(α－)]＝－2sin(α－)cos(α－)＝－2××＝－，
444444
14

2

7
－
4
cos 2α14
∴＝＝－.
π
2
2
sinα－
4
4
1
方法二 ∵sin α＝＋cos α，
2
1
∴sin α－cos α＝，
2
1
∴(sin α－cos α)
2
＝1－2sin αcos α＝，
4
3
∴2sin αcos α＝，
4
π
∵α∈(0，)，
2
∴sin α＋cos α＝
＝
sin
2
α＋cos
2
α＋2sin αcos α
37
1＋＝，
42
cos α＋sin αcos α－sin α
cos 2α
∴＝
π
2
sinα－
sin α－cos α
4
2
＝－2(sin α＋cos α)＝－
14
.
2
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ，一看角，二看名，三看式子结构与特
征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、 差、倍、互余、互补等)，寻找式
子和三角函数公式之间的共同点．
1＋cos 2α
1
(1)若＝，则tan 2α等于( )
sin 2α2
5
A.
4
4
C.
3
5
B．－
4
4
D．－
3
π
4
π
(2)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．
6512
17
答案 (1)D (2)2
50
1＋cos 2α
2cos
2
α
cos α1
解析 (1)＝＝＝，
sin 2α2sin αcos αsin α2

2tan α44
∴tan α＝2，∴tan 2α＝＝＝－.
3
1－tan
2α
1－4
π
4
(2)∵α为锐角，cos(α＋)＝，
65
π
3
∴sin(α＋)＝，
65
πππ
24
∴sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝，
36625
ππ
7
cos(2α＋)＝2cos
2
(α＋) －1＝，
3625
πππ
∴sin(2α＋)＝sin(2α＋－)
12 34
＝
2
ππ
172
[sin(2α＋)－cos(2α＋)]＝.
23350
题型二 三角函数的求角问题
例2 (1)已知锐角α，β满足sin α＝
3π
A.
4
π
C.
4
5310
，cos β＝，则α＋β等于( )
510
π3π
B.或
44
π
D．2kπ＋(k∈Z) < br>4
ππα
(2)已知函数f(x)＝tan(2x＋)，若α∈(0，)且f()＝2c os 2α，则α＝________.
442
π
答案 (1)C (2)
12
解析 (1)由sin α＝
53102510
，cos β＝且α，β为锐角，可知cos α＝，sin β＝，
510510
253105102
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，
5105102
π
又0<α＋β<π，故α＋β＝.
4
α
(2)由f()＝2cos 2α，
2
π
得tan(α＋)＝2cos 2α，
4
π
sin α＋
4
＝2(cos
2
α－sin
2
α)，
π
cosα＋
4

sin α＋cos α
整理得＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．
cos α－sin α
π
∵α∈(0，)，∴sin α＋cos α≠0.
4
11
∴(cos α－sin α)
2
＝，即sin 2α＝.
22
ππ
由α∈(0，)，得2α∈(0，)，
42
ππ
∴2α＝，即α＝.
612
思维升华 (1)由三角函数 值求角，一定要考虑角的范围；(2)通过求角的某种三角函数值来求
角，在选取函数时，遵照以下原则 ：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数
π
0，

，选正、余 弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余值，选正弦或余弦函数；若角的范围是


2

ππ
－，

，选正弦较好． 弦较好；若角的范围为


22

(1)已知sin α＝
5ππππ
A. B. C. D.
12346
(2)在△ABC中，tan A＋tan B＋3＝3tan A·tan B，则C等于( )
π2πππ
A. B. C. D.
3364
答案 (1)C (2)A
ππ
解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－<α－β<.
22
又sin(α－β)＝－
又sin α＝
10310
，∴cos(α－β)＝.
1010
510
，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( )
510
525
，∴cos α＝，
55
∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝
531025102
×－×(－)＝.
5105102
π
∴β＝.
4
(2)由已知可得tan A＋tan B＝3(tan A·tan B－1)，

∴tan(A＋B)＝＝－3，
1－tan Atan B
2
π
又0π，∴C＝
.
33
题型三 三角变换的应用
例3 已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，3)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
π2π
(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数y＝3f(－2x)－2f
2
(x)在区间[0，] 上
23
的取值范围．
解 (1)∵角α终边经过点P(－3，3)，
133
∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－，
223
∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α
＝－
333
＋＝－.
236
tan A＋tan B
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，
π
∴y＝3cos(－2x)－2cos
2
x
2
＝3sin 2x－1－cos 2x
π
＝2sin(2x－)－1，
6
2π
∵0≤x≤，
3
4π
∴0≤2x≤，
3
ππ7π
∴－≤2x－≤，
666
1
π
∴－≤sin(2x－)≤1，
26
π
∴－2≤2sin(2x－)－1≤1，
6
π2π
故函数y＝3f(－2x)－2f
2
(x)在区间[0，]上的取值范围是[－2,1]．
23
思维升华 三角变换和三角函数性质相结合是高考的一个热点，解题时要注意观察角、式子

间的联系，利用整体思想解题．
π
(1)函数f(x)＝3sin x＋cos(＋x)的最大值为( )
3
1
A．2 B.3 C．1 D.
2
π
(2)函数f(x)＝sin(2x－)－22sin
2
x的最 小正周期是________．
4
答案 (1)C (2)π
ππ
解析 (1)f(x)＝3sin x＋cos cos x－sin sin x
33
13
π
＝cos x＋sin x＝sin(x＋)．∴f(x)
max
＝1.
226
(2)f(x)＝
＝
22
sin 2x－cos 2x－2(1－cos 2x)
22
22
π
sin 2x＋cos 2x－2＝sin(2x＋)－2，
224
2π
∴T＝＝π.
2

二审结论会转换
典例：(12分)(2013·山东)设函数f(x)＝
3
－3sin
2
ωx－sin ωxcos ωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一
2
π
个对称中心到最近的对称轴的距离为.
4
(1)求ω的值；
3π
π，

上的最大值和最小值． (2)求f(x)在区间

2

审题路线图
(1)求ω

求f(x)的周期

T
π
对称中心与对称轴的最近距离＝
44

T＝π

求出ω＝1
3
(2)求f(x)在[π，
π]上的最值
2
π
由(1)得f(x)＝－sin(2x－)
3
π
3
求f(x)＝－sin(2x－)在[π，
π]上的最值
32
π
利用换元思想，将2x－作为一个整体
3
π
求2x－的范围
3
3
由π≤x≤
π
2
5
π
8
π≤2x－
≤
π
333
结合正弦函数的图象
－1≤f(x)≤
规范解答
解 (1)f(x)＝
3
－3sin
2
ωx－sin ωxcos ωx
2
3
.
2
＝
＝
1－cos 2ωx
13
－3×－sin 2ωx
222
31
cos 2ωx－sin 2ωx
22
π
2ωx－

. ＝－sin

3

2π
π
依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.[6分]
2ω4
π
2x－

. (2)由(1)知f(x)＝－sin

3

3π5ππ8π
当π≤x≤时，≤2x－≤.
2333
所以－
π
3
2x－

≤1. ≤sin

3

2
3
.[10分]
2
所以－1≤f(x)≤

3π
3
π，

上的最大值和最 小值分别为和－1.[12分] 故f(x)在区间

2

2
温馨提醒 (1)讨论三角函数性质要 先利用三角变换将函数化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式；(2)解
π
题中将2x－视为一 个整体，可以借助图象求函数最值.
3

方法与技巧
1．三角函数的求值 与化简要有联系的观点，注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，
然后进行变换．
2．利用三角函数值求角要考虑角的范围．
3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题． 借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析
式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助 三角函数图象解决．
失误与防范
1．利用辅助角公式，asin x＋bcos x转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．
2．计算形如y＝sin(ωx＋φ), x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混
淆.

A组 专项基础训练
(时间：30分钟)
π
2
α＋

等于( ) 1．(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝，则cos
2


4

3
1112
A. B. C. D.
6323
答案 A

α＋
π

1＋cos

2α＋
π

1＋cos2
2

1－sin 2 α

4

π

π
2

2

α＋α＋

＝解析 因为cos

＝＝＝，所以cos
4

4

222
2
1－
1－sin 2α
3
1
＝＝，故选A.
226

4
π
2
2．若sin α＝，则sin(α＋)－cos α等于( )
542
22
A.
5
42
C.
5
答案 A
π
2
ππ
24222
解析 sin(α＋)－cos α＝sin αcos ＋cos αsin－cos α＝×＝.
42442525
1
3．在△ABC中，tan B＝－2，tan C＝，则A等于( )
3
π
A.
4
π
C.
3
答案 A
解析 tan A＝tan[π－(B＋C)]
tan B＋tan C
3π
B.
4
π
D.
6
22
B．－
5
42
D．－
5
＝－tan(B＋C)＝－
1－tan Btan C
1
－2＋
3
＝－＝1.
1
1－－2×
3
π
又A为△ABC的内角．故A＝.
4
110
πππ
4．若tan α＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为( )
tan α3424
A．－
223272
B. C. D.
10101010
答案 A
110sin αcos α10
解析 由tan α＋＝得＋＝，
tan α3cos αsin α3
∴
1103
＝，∴sin 2α＝.
sin αcos α35
πππ
∵α∈(，)，∴2α∈(，π)，
422
4
∴cos 2α＝－.
5
πππ
∴sin(2α＋)＝sin 2αcos ＋cos 2αsin
444

＝
2342
×(－)＝－.
255102
，则sin
4
θ＋cos
4
θ的值为( )
3
11
B.
18
D．－1
5．已知cos 2θ＝
13
A.
18
7
C.
9
答案 B
解析 sin
4
θ＋cos
4
θ＝(sin
2
θ＋cos
2
θ)
2
－2sin
2
θcos
2θ
1111
＝1－sin
2
2θ＝1－(1－cos
2
2θ)＝.
2218
6．已知sin(α－45°)＝－
4
答案
5
解析 ∵0°<α<90°，∴－45°<α－45°<45°，
∴cos(α－45°)＝
72
1－sin
2
α－45°＝，
10
2
，0°<α<90°，则cos α＝___________________________.
10
∴cos α＝cos[(α－45°)＋45°]
4
＝cos(α－45°)cos 45°－sin(α－45°)sin 45°＝.
5
π
2sinx＋1
0 ，

，则函数y＝7．设x∈

的最小值为_______________ ___________________．

2

sin 2x
答案 3
2
2sin
2
x＋12－cos 2x
解析 方法一 因为y＝＝，
sin 2xsin 2x
2－cos 2x
π
0，

， 所以令k＝.又x∈


2

sin 2x
所以k就是单位圆x
2
＋y
2
＝1的左半圆上的动点
P(－sin 2x，cos 2x)与定点Q(0,2)所成直线的斜率．
2sin
2
x＋1
又k
min
＝tan 60°＝3，所以函数y＝的最小值为3.
sin 2x
2sin
2
x＋1 3sin
2
x＋cos
2
x
方法二 y＝＝
sin 2x2sin xcos x

3tan
2
x＋1
31
＝＝tan x＋.
2tan x22tan x
π
∵x∈(0，)，∴tan x>0.
2
31
∴tan x＋≥2
22tan x
(当tan x＝
31
tan x·＝3.
22tan x
3
π
，即x＝时取等号)
36
即函数的最小值为3.
π
8．已知tan(＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos
2
θ的值为________．
4
4
答案 －
5
π
解析 ∵tan(＋θ)＝3，
4
∴
1＋tan θ
1
＝3，解得tan θ＝.
2
1－tan θ
∵sin 2θ－2cos
2
θ＝sin 2θ－cos 2θ－1
cos
2
θ－sin
2
θ
＝
2
－
2
－1
22
sin
θ＋cosθ
sin
θ＋cosθ
2sin θcos θ
1－tan
2
θ
＝－－1
1＋tan
2
θ
1＋tan
2
θ
2tan θ
434
＝－－1＝－.
555
15
ππ
9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈(，π)，β∈(0，)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
3522
解 由cos β＝
5
π
，β∈(0，)，
52
25
得sin β＝，tan β＝2.
5
∴tan(α＋β)＝
1－tan αtan β
1
－＋2
3
＝＝1.
2
1＋
3
tan α＋tan β

πππ3π
∵α∈(，π)，β∈(0，)，∴<α＋β<，
2222
5π
∴α＋β＝.
4
1
π
10．已知函数f(x)＝2sin(x－)，x∈R.
36
5π
(1)求f()的值；
4
ππ
106
( 2)设α，β∈[0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
22135
解 (1)由题设知：
5π5πππ
f()＝2sin(－)＝2sin＝2.
41264
10
π
(2)由题设知：＝f(3α＋)＝2sin α，
132
6
π
＝f(3β＋2π)＝2sin(β＋)＝2cos β，
52
53
即sin α＝，cos β＝，
135
π
124
又α，β∈[0，]，∴cos α＝，sin β＝，
2135
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
1235416
＝×－×＝.
13513565
B组 专项能力提升
(时间：15分钟)
11．cos 20°cos 40°cos 60°·cos 80°等于( )
1
A.
4
1
C.
16
答案 C
sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
解析 原式＝
2sin 20°
＝
＝
sin 40°cos 40°cos 80°

4sin 20°
sin 80°cos 80°sin 160°1
＝＝.
8sin 20°16sin 20°16
1
B.
8
1
D.
32

12．定义运算


a

c
1

sin α sin β

33
π
＝ad－bc，若cos α＝，

＝，0<β<α<，则β等于( )

7

cos α cos β

142
d

b

ππππ
A. B. C. D.
12643
答案 D
33
解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，
14
ππ
又0<β<α<，∴0<α－β<，
22
故cos(α－ β)＝
13
1－sin
2
α－β＝，
14
143
而cos α＝，∴sin α＝，
77
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝
43131333
×－×＝，
7147142
π
故β＝，故选D.
3
π
2
13．sin(α＋)＝，则sin 2α＝________.
44
3
答案 －
4
π
222
解析 sin(α＋)＝sin α＋cos α＝，
4224
1
∴sin α＋cos α＝，
2
(sin α＋cos α)
2
＝sin
2
α＋cos
2
α＋2sin αcos α
1
＝1＋sin 2α＝，
4
3
故sin 2α＝－. 4
1
14．(2013·北京)已知函数f(x)＝(2cos
2
x－1 )sin 2x＋cos 4x.
2
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
π

2
，π
，且f(α)＝，求α的值． (2)若α∈


2

2

1
解 (1)f(x)＝(2cos
2
x－1)sin 2x＋cos 4x
2
1
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
2
π
12
4x＋

， ＝(sin 4x＋cos 4x) ＝sin

4

22
π
2
∴f(x)的最小正周 期T＝，最大值为.
22
(2)由f(α)＝
π
2
4α＋

＝1. ， 得sin

4

2
π

9π
π
17π
，π
，则<4α＋<， ∵α∈


2

4 44
π
59
所以4α＋＝
π，故α＝π.
4216
π
3
15．(2014·天津)已知函数f(x)＝cos xsin(x＋)－3cos
2
x＋，x∈R.
34
(1)求f(x)的最小正周期；
ππ
(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值．
44
133
解 (1)由已知，有f(x)＝cos x·(sin x＋cos x)－3cos
2
x＋
224
133
＝sin x·cos x－cos
2
x＋
224
133
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
444
13
＝sin 2x－cos 2x
44
1
π
＝sin(2x－)．
23
2π
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
2
ππππ
(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，
412124π
1
π
1
π
1
f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝ ，
4412244
ππ
11
所以，函数f(x)在闭区间[－，]上的最大 值为，最小值为－.
4442