优秀员工颁奖词-豆贴画

向量知识点
一、向量有关概念
名称
向量
定义
既有_______又有_______的量。
向量的大小叫做向量的_______（或_______）
记为_______
备注
向量不能比较大小
r
若已知
a

x,y

，则
r
ax
2
y
2
，模可以比较大 小
零向量与所有向量平行；
与所有向量垂直。

向量的模
零向量
单位向量
平行向量
长度为_______的向量，记为_______
长度等于_______的向量
方向_______或_______的非零向量。
r
0
与任一向量平行或共线；
直线平行：不包括重合情况
共线向量：包括重合情况
共线向量 _______向量又叫共线向量。
rrrr
若
a
、
b
都是非零向量，
a
P
b 
存
rr
在实数λ，使
a

b

相等向量 长度_______且方向_______的向量
长度_______且方向_______的向量
相反向量
特点：1、长度相等；
2、平行且方向一致
特点：1、长度相等；
2、平行且方向相反
r
0
的相反向量是本身
r
a
_______

二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则（或几何意义）
三角形法则：
C
备注
uuuruuuruuur
ABBCAC

特点：首尾相连，始终如一。
A
加法 求两个向量和的运算
平行四边形法则：
C
B uuuruuuruuurr
在
VABC
中，
ABBCCA0
D
uuuruuuruuur
ABACAD

特点：共同始点为相邻边的和是平行四边
形中有共同始点的对角线。
A B
rr
三角形法则：
求
a
与
b
的相反向量
减法
r
r
b
的和的运算叫做
a
C
uuuruuuruuur
ACABBC

特点：差向量是从减向量的终点指向被减
向量的终点。

r
与
b
的差
A
B

r
求实数

与向量
a
的
数乘
积的运算

r
1、当

a
=_______ < br>r
r
r
r

a
与
a
的方向____ ___；

a
与
a
的方向_______；2、当

0
时，当

0
时，
rrrr
当

 0
时，

a
=_____；当
a0
时，

R
则

•0
_____
三、向量的表示方法
r
uuur
1、字母表示法：如
a
、
AB
； 2、几何表示法：用一条______________表示向量；
uuur
3、坐标表示法 ：在平面直角坐标系中，设向量
OA
的始点为坐标原点，
uuur
终点坐标为A（X，Y），则向量
OA
坐标记为（X，Y）
四、两个向量的夹角
O
B
A
rr
uuurruuu rr
rr
1、定义：已知两个_______向量
a
与
b
， 作
OAa
，
OBb
，则
AOB

叫做向量
a
与
b
的夹角。
rrrr
2、范围：
0

180
，
a
与
b
同向时，夹角


_______；
a
与
b
反向时，夹角


_______
00
rrrr
3、向量垂直：如果向量
a
与b
的夹角是_______时，则
a
与
b
垂直，记为_____ __
五、平面向量基本定理及坐标表示
r
uruur
1、定理：如果e
1
、
e
2
是同一平面内的两个_______向量，那么对于 这一平面内的任意向量
a
，_______一对实数
r

1
、

2
，使
a
=___________，其中，________ ___叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
2、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量正交分解。 r
r
3、平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与X轴、Y轴方向相同的两个 单位向量
i
、
j
作为基底，
rr
rrr
对于平面内 的一个向量
a
，有且只有一对实数对X，Y，使
axiyj
，把有序实数 对_______叫做向量
a
的坐标，
rrr
rrr
记作
a
=_______，其中_____叫做
a
在X轴上的坐标，其中_____叫做a
在Y轴上的坐标。即
axiyj

r
a
=（X，Y）
六、平面向量的坐标运算：
uuur
1、向量坐标求法：已知
A

x
1
,y
1

，
B

x
2
,y
2

，则
AB 

x
2
x
1
,y
2
y
1< br>
，即一个向量的坐标等于该向量_______
的坐标减去_______的坐标。
rr
2、向量坐标加法、减法、数乘运算：设
a

x
1< br>,y
1

，
b

x
2
,y
2


rrrr
r
加法：
a
+
b
=

x
1
x
2
,y
1
y
2

减法：
a
-
b
=

x
1< br>x
2
,y
1
y
2

数乘：

a


x
1
,

y
1



x
1
,y
1

< br>r
rr
3、平面向量共线与垂直的表示：设
a

x
1
,y
1

，
b

x
2
,y< br>2

，其中
b0
，则
rrr
r
rrrr
rr
x
1
y
1


x
1
y
2
x
2
y
1
0

ab
a
g
a
与
b
共线（或
a
Pb
）
a

b
b0x
1
x
2
y
1
y
2
0

x
2
y
2
七、平面向量数量积

rrrr< br>r
r
1、已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为< br>
，把数量_______叫做
a
与
b
的数量积（或内积）， 记作
a
。
b
，即
rr
a
。
b
=_ ______，并规定零向量与任一向量的数量积为_______
rr
注：两个非零向量< br>a
和
b
的数量积是一个数量，不是向量，其值为两向量的模与它们夹角的余弦的 乘积，其符号
由夹角的余弦决定。
当




0 ,90
00

rrrrrr
0
00
a
g
b0
； 当

90a
g
b0
当



90,180

b0
；

a
g
rr
rr
rr
b
表示，不能用
a b
或
ab
表示 数量积是内积，用
a
g
2、一向量在另一向量方向上投影
rrrr
uuurruuurr
定义： ____ ___（_______）叫做
a
在
b
的方向上（
b
在a
的方向上）的投影。如图
OAa
，
OBb
，过
B
作
BB
1
r
cos


垂直于直线OA， 垂足为
B
1
，则
OB
1
b
g






O


B
B
B
r
b

r
b



O
图2


r
r
a

A
r
b



0

B
1


r
a

图3
a

图1
B
1

A
B
1

A
rr
r
OB
1
b< br>g
cos

叫做向量
b
在
a
的方向上
当

为锐角时，如图1，它是_______； 当

为钝角时，如图2，它是_______；
当

为直角时，如图3，它是_______； 当

=
0
时，它是_______； 当

=
180
时，它是_______；
0
0
r rrr
r
r
a
g
b
的几何意义：数量积
agb等于
a
的长度
a
与______________的乘积
3、平面向量数量积的重要性质：
rrrr
r
rrrr
r
设
a
、
b
都是非零向量，
e
是与
b
方向相 同的单位向量，

是
a
与
e
的夹角，则
e
。
a
=
a
。
e
=_______
rr
rr
rr
rr
b
=_______； 当
a
与
b
反向时，
a
g
b
=_______；
当
a
与
b
同向时，
a
g
rr
r
2
r
2
r
特别是
a
。
a
=
aa

a
4、平面向量数量积的运算律
r
r
r r
r
2
rr
rrrr
bagb|cos

|
aa
g
a

a
b
a
g
b
=_______
ag
rr
rr
b
______________=__________ ____
交换律：
a
+
b
=_______ 数乘结合 律：

a
g

2
rr
rr
r
分 配律：（
a
+
b
）
g
c
=___________ ___
ab
rrrrr
2
r
2

ab
g
abab


rrr


abc


2
r
2
rrr
2
a2a
g
bb

r
2
r
2
r
2
rrrrrr
abc2a
g
b2a
g< br>c2b
g
c

八、向量的应用：
1证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件

rr
rr
rr
xy
a
与
b
共线（或
a
P
b
）
a

b
1

1
< br>
x
1
y
2
x
2
y
1
0

x
2
y
2
r
r
rr
2、 证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：
a
b
a
g
b0x
1
x
2
y
1
y
2
0

rr
x
1
x
2
y
1
y
2
a< br>g
b
3、求夹角的问题，利用夹角公式
cos


r r


2222
A
ab
x
1
y
1
x
2
y
2
4、求线段的长度，可以利用向量的线性运算，向量 的模
C
D
B
rrr
uuur
r
22
若
a

x,y

，则
aa
g
ax y
若
A

x
1
,y
1

,B

x
2
,y
2

，则
AB

x
2
x
1

2


y
2
y
1


2
rr

ab< br>
rr
ab

2
r
2
rrr
2< br>a2a
g
bb

uuur
1
uuuruuur
5、如图所示，在
VABC
中，D是BC边上有中点（AD是
VABC
的BC边上中线），则有
ADABAC

2

三角函数恒等变换
（一）基本公式：

1、两角和与差的公式：①
cos(



)
；
②
sin(



)
；
③
tan(



)
。
理解：①两角和与差的公式揭示“同名不同角的三角函数的运算规律”。
②对公式会正用、逆用、变形用。③善于对角按需要变形。
．．．．．．．．．
2、二倍角公式：①
sin2


；

②
cos2


= = ；

③
tan2


。
理解：二倍角公式揭示“具有倍数关系的两角的三角函数的运算规律”。
3、辅助角公式和 万能公式：①辅助角公式：
asin

bcos


；
（其中
tan


，

所在的象限由点（ ）所在的象限所确定。）
4、了解以下公式： ①半角公式：
sin


1cos

；
cos


1cos

；
2222

t an


1cos


1cos


sin


21cos

sin

1 cos

②积化和差公式：
sin

cos


1
[sin(



)sin(

< br>
)]
；
cos

sin


1< br>[sin(



)sin(


)]
；
22
11
cos

cos

[cos(



)cos(



)]
；
sin

sin

[cos(



)cos(



)]
。
22
③和差化积公式：
sin

sin

2sin



cos



；
sin

sin

2cos



sin
< br>

；
2222
cos

cos
2cos



2
cos


< br>；





。
cos
cos

2sinsin
222
（二）、三角恒等变换是本章的主 题和核心。
1、三角恒等变换的入手点：“角”、“名”、“形”。其中
角的变换
尤应注意。

2、三角恒等变换的核心：
角的变换和角的限定

3、三角 恒等变换的手段和方法：①角的配凑；如：
2

(



)(



),

(

< br>
)

等等；
②降次与升次：升次公式：
1cos2


；
1cos2


；
1s in

=_________________
1sin

=__ ____________
降次公式：
cos


；
sin


。
③常 值代换：特别是1的代换。如：
1sin
2

cos
2

tan

cot

2sin

2cos

等等。
4463
22
1tan

=________________
tan

tan

=____________________
1tan

解三角形
1、内角和：
ABC180

；
< br>0

A180

,0

B180

,0

C180


2、(1)
A180< br>
(BC)
；
B180

(AC)
；C180

(AB)
；
(2)
sinAsin (BC)
；
sinBsin(AC)
；
sinCsin(AB)< br>；

cosAcos(BC)
；
cosBcos (AC)
；
cosCcos(AB)
；
ABCBACCAB
；
90


；
90


；
90


222222
ABCBACCAB
(2)
sincos
；
sincos
；
sincos
；
222222
ABCBACCAB

cossin
；
cossin
；
cossin
；
222222
3、(1)
4、两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
5、大边对大角，大角对大边；
6、正弦定理：
abc
2R
（R指三角形外接圆半径）
sinAsinBsinC
（(1) 解三角形：①已知两边和其中一边的对角；②已知两角和一边；
(2) 注意已知两边和其中一边的对角解三角形有一解、两解及无解情形）
变形：
a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC


a:b:csinA:sinB:sinC

7、余弦定理： 变形：
b
2
c
2
a
2
abc2bcc osA
；
cosA
；
2bc
222
c
2
a
2
b
2
bca2cacosB
；
cosB
；
2ca
222

a
2
b
2
c
2

cab2abcosC
；
cosC
；
2ab
222
（解三角形①已知两边一夹角；②已知三边）
8、已知 形如
ab
或
ab
，由
a
2
b
2(ab)2ab,a
2
b
2
(ab)
2
 2ab
变形；

c
2
a
2
b
2
2abcosC(ab)
2
2ab2abcosC

c< br>2
a
2
b
2
2abcosC(ab)
2< br>2ab2abcosC

数列基本公式
1、一般数列的通项a
n
与前n项和S
n
的关系：a
n
=______________
2、等差数列的通项公a
n
=___________=___________ (其中a
1
为首项、a
k
为已知的第k
项) 当d≠0时，a
n
是关于n的一次式；当d=0时，a
n
是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式：S
n
=____________=__________ ___
当d≠0时，S
n
是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a< br>1
≠0），S
n
=na
1
是关于n的正比例式。
4、等比数列的通项公式： a
n
=___________ = ______________


(其中a
1
为首项、ak
为已知的第k项，a
n
≠0)
5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S
n
=n a
1
(是关于n的正比例式)；
当q≠1时，S
n
=______________ = _____________
三、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{ a
n
}的任意连续m项的和构成的数列S
m
、S
2m
-S< br>m
、S
3m
-S
2m
、S
4m
- S
3m
、……仍为等差数列。
2、等差数列{a
n
}中，若m+n =p+q=2k，则_________________
3、等比数列{a
n
} 中，若m+n=p+q=2k，则_________________
4、等比数列{a
n
}的任意连续m项的和构成的数列S
m
、S
2m
-S
m< br>、S
3m
-S
2m
、S
4m
- S
3m
、……仍为等比数列。
5、两个等比数列{a
n
}与{b
n
}的积、商、倒数组成的数列
{a
n
b
n
}、 、 仍为等比数列,公比分别为___,____,____
6、{a
n
}为等差数列，则 (c>0)是等比数列,公比为____
7、{b
n
}（b
n
>0）是等比数列，则{log
c
b< br>n
} (c>0且c1) 是等差数列,公差为______
8. 在等差数列 中：
（1）若项数为 ，则
（2）若数为 则， ，
9. 在等比数列 中： 若项数为 ，则