三角函数与解三角形 第九讲 三角函数的概念诱导公式与三角恒等变换答案
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专题四 三角函数与解三角形
第九讲
三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
答案部分 2019年
1.解析
由题意和题图可知，当 P 为优弧 ?AB 的中点时，阴影部分
的面积取最大值，如图所
1 示，设圆心为O ， AOB 2
，BOP AOP
. 2 2 2 此时阴影部分面积
S S
扇形
AOB
S
S
AOP △
BOP △
1 2 2
2 1 22
sin 4 4 sin .故选 B. 2 2 2.解析 由 2 sin 2
cos 2 1，得 4sin cos
2 cos2 . 因为
，所以
cos 2sin . 0, π
2 由 cos 2 sin ，得sin 5
5 .故选 B.
sin cos 1 2 2
tan
3.解析 由
，得
2
3 tan
2 ，
3 tan tan 4
1 tantan 4 tan( )
4 tan (1 tan )
所以
1 ．
1 tan 3 3 当
tan 2 时， sin2
2tan
1 tan
2 4
5 ，
1 tan2
1 tan
2 3 ， 5 cos2
2 ，解得 tan 2 或 tan
sin(2
) sin2 cos 4
4
cos2 sin
4
2 3 2 2 . 4 5 2 5 2 10 3
1 1 tan 4
2tan
当
tan 时，sin 2
3
4
1 tan 2 4 ，
，
2 5 cos2
1
tan 5 3 2 4 22
2 . 所以 4 5 2 5 2 10 1
综上，sin(2 ) 的值是 4
2
．
10
2010-2018年
1．B【解析】由题意知 cos
1 2 ，所以cos 3
0 ，因为 cos 2 2 cos2
，
5 6 5 ．故
sin
1 ，得| tan | 5 6
选 B． 2．B【解析】 cos 2 | | a b | ，所以
| a b
，由题意知| tan | 1 2 5 5 2 2 1 2 cos1 2 (1)7
．故选 B．
3 9 y
3．C【解析】设点 P 的坐标为 (x,
y)，利用三角函数可得 x y ，
所 以 x 0 ，y 0．所
x
以 P 所在的圆弧是 ? ，故选 C．
E
F4．A【解析】由sin cos
，两边平方得1sin 2 16 ，所以sin 2 4
3 9 2 cosx
4 2 7 ，选 A．
9 5．D【解析】由 cos x 得 cos2 3
1 2
(3)
2 1 1 x
，故选 D． 4 8
，
6．D【解析】由 tan
1 ，得sin
3 cos
，所以cos 2 10 ， cos 3 10 或sin 10
cos2 10 ，故选 D．
10 10
sin2 4 5 1 1
3 10 10 tan(a b) tana
2 3 1 7．A【解析】
b tan[(a b) a] tan 1 tan(a
．
1 1 7 1 2 3
12 13 ，
8．D【解析】由sin
1 sin2
则
tan
，故选 D．
5 cos
12 9．C【解析】 tan
0
5 ，且
为第四象限角，则cos 13 sin
b) tana
知
的终边在第一象限或第三象限，此时sin 与cos 同号，故sin 2
2sin cos
0 ，选 C． 10．B【解析】由条件得
sin
1 sin
，即sin cos cos(1 sin )，cos
cos
得sin( ) cos sin( ) ，又因为
，0
2 2 2 2 2 ，2
所以
，所以 2 ． 2 2 2 2 11．D【解析】
2 sin B sin A = 2(sin
)
sin A
2
2 B
sin A
． 1 2( )1 b ，∵3a
2b ，∴上式= 7 a 2
2 1 cos 2( 4) 1 cos(2 2)
1 sin 2
12．A【解析】因为 cos ( )
2
2 2
2
，
4 1
1sin
2
所以 cos2 ( )
4 2 13．C【解析】由 (sin 2 3 1
，选 A. 2 6 2
2 sin 2 cos )( 10 ) 4 cos 4 sin
cos 10 ，
2 2 ，可得
2 2 2 sin
cos 4 进一步整理可得3 tan2
tan 3 或 tan 1 ，
8
tan 3 0 ，解得
3 2 tan
于是
3 ．
tan 2
1 tan 2
14．D【解析】由
4
2 ， 可得 [ , ] 4 2
2 ，
cos 2 1
sin 2 2 ，
8
另解：由
sin 1 cos 2 3
，答案应选 D。
1 4 2
3 7 ， 及sin 2=
可得 4 2 8
sin
cos 1 sin 2 1 3
7 8
16 6 7 9 6 7 7 7 16 16 4 3
7
sin , cos .答案应选
3 ， 4 ，
时 sin cos ，结合选项即可得 4 而当
4 2
D．
15．B【解析】分子分母同除 cos 得： sin cos tan 1 1 ,
tan 1 2 2 tan
3 ∴
tan 2
1
tan
4 2 16．B【解析】由角 的终边在直线 y 2x 上可得，
cos2
sin2 1 tan2
3 ． cos 2 cos sin 2
2
cos sin 1 tan 5 2
2
2
3 4
∴ tan 3 ，
sin
tan
2，
cos
17．C【解析】
cos( ) cos[( ) ( )] cos( ) cos( ) 2 4 4 2 4
4 2
，而 ( , 3 )
sin( )
sin( ) ，
( , ) ，
4 4 2 4 4 4 4 2 4 2
， 2 2 6 因此
，
sin( ) sin( ) 4
3 4 2 3
1 3 2 2 6 5 3 则
cos( )
．
2 3 3 3 3 9 18．A【解析】∵ cos ，
，且 是第三象限，∴sin 3 4 5 5
1 tan cos
sin (cos sin ) 2 2 2 2 2 2 ∴
1 tan cos sin (cos sin )(cos
sin ) 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin 1
．
cos 2 cos sin 2 2 2 2 19．
3 10
10 【解析】由 tan 2 得sin 2 cos
又
sin2
cos2 1，所以cos2 1
5 因为
(0, )
，所以 cos 5 , sin 2 5 2 5 5 因为 cos( ) cos cos
sin sin
．
5 2 2 5 2
3 10 4 4 4 5 2 5 2 10 1
【解析】 与 关于 y 轴对称，则
2k ，
20．
3 1 所以
sin sin
2k
sin ．
3
tan( 4 ) tan 4 7
7
21． 【解析】 tan tan[( ) ]
．
5 4 4 1 tan( ) tan 5
4 4 4
【解析】因为sin( ) 3
sin( 22．
3 4 5 4 2 4 3
，因为 为第四象限角，所以 2k
2k ,k Z ，
5 2 所以
3
2k
cos( ) sin[ (
)] ，所以
2k ,k Z ，
4 4 4 4 ) 4
所以sin( ) 4 1 (3)2 4
，
5 5 sin( 4 ) ) 4 3 ． 4
所以
tan( )
4 cos( 23． 1【解析】由已知可得
tan
2sin cos cos ＝
2 2 sin cos cos
2 tan 1 4 1
2 1 sin cos
2 2
．
tan 1 2 4 1
24．3【解析】
tan tan(
)
tan( ) tan
2 ，
1 2 7 3 ．
1 tan( ) tan 1
2
7 25．1【解析】 f (x) sin[(x
) ] 2sin
cos(x ) sin(x sin(x 10 26．
) cos cos(x )
sin
) sin x ．∵ x R ，所以 f (x) 的最大值为 1．
1
4 2
1 ,可得 tan ，
5 ∴
【解析】∵ tan 3 sin 1 10 , cos 2 ，sin cos =
10 10 5 ．
27． 3 【解析】sin 2 2sin cos sin
，则cos 1 ，又 ( , ) ，
2 2
则 tan 3
，
2 tan
tan 2 1 tan 2
2 3
3 13
．
4 3 ， 5 ,∴sin( ) = 5 6 17
2
50 【解析】因为 为锐角，cos( ) = 6 28．
∴sin2(
) 24 6 25,
7 2
cos2( )
，所以 sin( ) sin[2( ) ] 6 25 12 6 4
29．【解析】(1)由角
4) 得sin 4 ，
5 5 5 5 2 17
2 25 17 2 50 ．
4 所以
sin(
) sin
．
5 3 ，
5 ．
(2)由角 的终边过点 P( 3, 4) 得
cos 5 5 由
5 sin( )
得 cos( ) 13 12
13 由 ( ) 所以
得cos cos( ) cos sin( )
sin ，
cos 56 或 cos 65 4
．
16 65
sin
P( 3, 的终边过点
，所以 sin 4 cos
．
30．【解析】(1)因为
tan ， tan
3 cos
因为
sin2 3
cos2 1，所以 cos2
9 ， 25 因此，
cos 2
2cos2 1
7 ． 25 (2)因为, 为锐角，所以
(0,π) ．
5 又因为 cos( )
因此 tan( ) 2 ．
2 tan 24 ， 4 tan ，所以 tan 2
3 1 tan2
7 tan 2 tan( ) 因此，
tan( ) tan[2 ( )]
因为
1+ tan 2 tan( )
31．【解析】（Ⅰ）
，所以sin( 5 ) 1 cos2 (
， ) 2 5 5 2
． 11 tan
tan
tan 4
tan 1 2 1
3 ．
4 1 tan tan
4 1 tan 1 2
（Ⅱ）
sin 2
sin cos
cos 2
2 2sin cos
1 sin sin cos
2
22 1．
2 cos 1 1
sin 2
2sin cos
2 2 tan
sin2 sin cos 2 cos2
32．【解析】（1）∵
tan tan 2 22 2 2
2 sin
5 ，∴ 5 2
(cos sin) 3 5 sin 2 6
3 3 2 1
10 ； 10 2 ， ， 2 5 5 cos
sin sin cos cos sin
4 4 4 2 4 （2）∵sin 2 2sin
cos
2 2 5 ∴ c
os
6 2
cos
cos 2 6
，cos 2 cos sin
1
sin
sin 4
5 3 3 4
． 10 5 2 33．【解析】（1）因为
f (x) (a 2 cos2
x) cos 2x
6
是奇函数，而 y1 a 2 cos2 x 为偶
函数，所以 y2 cos(2x
) 为奇函数，又
0，
, 得
. 2
所以 f (x) sin 2x（ a 2cos2
x），由 f 0，得 (a 1) 0 ，即 a 1.
4
（2）由（1）得：
1 2 4 1 f sin , 又
sin f (x) sin 4x, 因为 5 2 ，得
4 2 5
4 3 3
. ， ，所以 cos , 因此sin sin cos sin cos
10 2 5 3 3 3
3
34．【解析】（1） f ( ) 2 cos 1. 3 12 4 3 3
（2）由于cos , <θ<2π，
5 2 所以sin 1 cos2
6
1 9 4 ，
25 5 ) 6 12
2 sin sin ) 4 1 5
因此 f ( ) 2 cos(
2 cos( ) 2 cos cos 4 4 3 2 4 2 2 2 ( )
（1） ( ) (2 cos 1) sin 2 cos 4 f x x x x
2 2
1 sin 4 1 cos 4 cos 2xsin 2x cos 4x
x x
1 2 2 2
2
sin(4x ) 2 4
2
T
4 2
k 2
f (x)
x
5 2 5 2 1 35．： 【解析】
（ k Z ）时， 当
4x 2k （ k Z ），即 max 2 2 16 4 2 2 2
（2）因为 f
() sin(4 ) ，所以sin(4 ) 1 2 4 2
4 所以，最小正周期
9 因为
，所以
4 2 4
5
所以
4
，即
9
4 2 16 2
36．【解析】（1）T
10
17 4 4 1 ． 5 7
5 6 （2） f (5
)
3 3 sin ,
cos( )
cos 3 5 2 5 5 5 16 8 15 f (5 ) cos
, sin ． 6 17 17 17 4 8 3
cos( ) cos cos
sin sin 5 17 5
4 5 15 13 ． 17 85 8