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高中一年级数学必修4
第三章：三角恒等变换
——两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一：知识点讲解
（一）：两角和的余弦公式
 公式：
cos






。
 简记符号： 。
 适用范围：

R
，

R

（二）：两角和与差的正弦、正切公式
 两角和的正弦：
sin






。适用范围：

R
，

R
。
简记符号为
S





。
 两角差的正弦：
sin






。适用范围：

R
，

R
。
简记符号为
S





。
 两角和的正切：
tan






。适用范围： 。
简记符号为
T





。
 两角差的正切：
tan






。适用范围： 。
简记符号为
T





。
例：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。
1) ( )两角和与差的余弦公式中角

、

是任意的。
2) ( )
sin





sin

sin

一定不成立。
3) ( )
sin
< br>



sin

cos

 sin

cos



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4) ( )
tan

tan
< br>，
tan

tan

，
tan





三者知二可表示或求出第三
个。
5) ( )
tan






能根据公式tan





直接展开。
23

6) ( )存在

，

R
，使
tan





tan
tan

成立。
7) ( )对任意锐角

、

，
cos




cos

cos

。
二：题型分析
题型一：给角求值
1.
sin20cos40cos20sin140
( )
A.
3


2
B.
3

2
C.

1

2
D.
1

2
2.
1tan15

( )
1tan15
A.
3

3
B.
3

C.
1

D.
1

2
3

4
3. 在平面直角坐标系总，点O(0，0)，P(6，8 )，将向量
OP
绕点O按逆时针方向旋转
后得向量
OQ
，则点Q的坐 标是( )
A.

7

4
2，2


B.

7

4
2，2


C.
6，2


D.
6，2


题型二：给值求角
4. 已知
tan


< br>

7
，
tan


3
，且


0，


，则

的值为 。
4

第 2 页 共 9 页

2
5. 若tan

，
tan

是方程
x5x60
的两个根，且

，







，

，则

22



< br>
。
题型三：给值求值
6. 若< br>
是锐角，且满足
sin







1


，则
cos

的值为( )
6

3
A.
261

6
B.
261

6
C.
231

4
D.
231

4
7. 已知
tan


< br>

3
，
tan





5
，则
tan2

的值为( )
A.

4

7
B.
4

7
C.
1

8
D.

1

8
8. 已知
cos









2cos





，则
tan





( )

2

4

1

3
1

3
A.
4

B.
4

C.

D.
9. 若
sin
< br>




11
tan






( ) ，
sin






，则
23
tan

< br>

A.
5

B.
1

C.
6

D.
1

6
10. 在△ABC中，C＝120°，
tanAtanB

23
，则
tanAtanB
的值为 。
3

第 3 页 共 9 页

题型四：两角和与差的三角函数公式的综合应用
11. 设
asi n14cos14
，
bsin16cos16
，
c
( )
A.
a＜b＜c
B.
b＜a＜c
C.
c＜b＜a
D.
a＜c＜b
6
，则下列结论正确的是
2
12. 在△ABC中，
cosA5310
，
cosB
，则△ABC的形状是( )
510
B.
钝角三角形
D.
等边三角形
A.
锐角三角形
C.
直角三角形
13. 已知平面向量a、b、c满足
abc1
，若
ab
为( )
1
，则

ab



2bc
的最小值
2
A.
2

B.
33

C.
1

D.
0

14. 已知函数
f

x

sinx3cosxa< br>在区间

0，2


上恰有三个零点
x
1< br>、
x
2
、
x
3
，则
x
1
 x
2
x
3

。
三：疑难问题
（一）：剖析两角和与差的正弦、余弦、正切公式
 两角和的余弦公式：
 公式推导：在公式
C



< br>
中，用


替换公式中的

，则有
cos





cos

cos

sin

sin

，简记作
C





。
 公式特点：等号右端为

、

的同名三角函数积的差，左端为两角和的余弦。




第 4 页 共 9 页

 记忆口诀：“余余正正，符号相反”
 “余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
 “符号相反”表示展开后 两项之间的连接符号与展开前两角之间的符号相反，
即两角和时用“－”，两角差时用“＋”；
 两角和与两角差的余弦公式只有中间的连接符号不同。
 两角和与差的正弦公式：
 公式推导：用诱导公式转化，





< br>
sin





cos








cos







sin

cos

cos

sin


2
 


2

再用


替换公式中的

，则有
sin





sin< br>
cos

cos

sin

。
 记忆口诀：“正余余正，符号相同”
 “正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
 “符号相同”是指展开后 两项之间的连接符号与展开前两角之间的符号相同，
即两角和时用“＋”，两角差时用“－”。
 两角和与差的正切公式
 公式推导：弦化切，
tan

< br>



sin





sin

cos

cos

sin

tan

tan



coa





cos

cos

sin

sin

1tan

tan
tan

tan


1tan

tan

n





再用


替换公式中的

，则有
ta

 公式的适用 条件：两角和与差的正切公式中，

、

、



、



均不等于
k


练1： 式子
cos

2

kZ

，这是由正切函数的定 义域决定的。
cos

12

6
sin
< br>12
sin

6
的值为( )
A.
1

2
B.
2

2
C.
1

D.
3

2



第 5 页 共 9 页

2
练2：已知
tan
< br>、
tan

是方程
6x5x10
的两根，且
0 



2
，




3

，求
2
tan




< br>及



的值。
思路分析：利用根与系数的关系求
tan

tan

，
tan

tan

的值→求
tan





的值
→确定



的范围→求



的值






（二）：两角和与差的三角函数公式的应用
 公式的正用、逆用、变形用
 正用、逆用、变形用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系。
 注意特殊角的应用，当式子中出现
引入特殊角。
1
3
，
1
，，
3
等这些数值时，一定要考虑
2
2
 整体意识：若化简的式子 中出现了“
tan

tan

”及“
tan
< br>tan

”两个整体，
常考虑
tan





的变形公式。
 利用两角和与差的三角函数公式化简，求值
 角的变换：明确各个角之间的关系（包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角），
熟悉角的 拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：
2













，

















，40°＝60°－20°，< br>
















等。

4

4

2
 名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常 常用到同角关系、诱导公式，
把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦。
 常用 方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切
化弦，特殊值与特殊角的三角 函数互化。

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练3：在△ABC中，3sinBcosB2
，则
tan
( )
ACAC
tan3tantan
的值是
2222
A.
3

B.
3

C.
3

D.
3

3
练4：已知

，



0，

，
cos



< br>

2

43
，
cos






。
55
思路分析：求
sin

想利用



与

表示

→联 想两角差的正弦公式→求
2



想到用


与

表示
2



→联想两角和的 余弦公式
1) 求
sin

的值；








2) 求
2



的值。









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四：习题
（一）：选择题
1. 下列四个式子中是恒等式的为( )
A.
sin





sin< br>
sin


B.
cos





cos

cos

sin

sin


C.
tan






tan

tan


1tan

tan

D.
sin





sin




< br>sin
2

sin
2


2. 已知< br>cos






3


1



均为锐角，，且

、则
s in





( )
sin




，
5
6

36< br>
A.
823

15
B.
824

15
C.
832

15
D.
842

15
3. 已知
cos





2

4




，


0
，则
sin




sin

等于( )
2
3

53

A.
33

5
B.

33

5
C.
43

5
D.

43

5
4. 使函数
f
x

sin

2x


3c os

2x


为奇函数，且在

0，

上是减函数的

的
一个值是( )




4

A.


3
B.
2


3
C.
4


3
D.
5


3


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（二）：填空题
5. 已知
tan






2


1


，
tan





，则
tan



的值为 。
5
4

44

（三）：解答题
6. 已知< br>tan

、
tan

是方程
x
2
 p

x1

10
的两个，


< br>

0，


。
1) 求



；










2) 若
cos








2


3


，



，

，求
sin

。
10

24












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