托福考试时间表-开学第一周

第六节 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换
能运用公式进行简单的恒等变换( 包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三
组公式不要求记忆)．



知识点一 半角公式
ααα
1．用cos α表示sin
2
，cos
2
，tan
2
.
222
α
1－cos α
α
1＋cos α
sin
2
＝；cos
2
＝；
2222
α
1－cos α
tan
2
＝.
2
1＋cos α
ααα
2．用cos α表示sin ，cos ，tan .
222
α
sin ＝±
2
α
tan ＝±
2
1－cos α
α
；cos ＝±
22
1－cos α
.
1＋cos α
1＋cos α
；
2
α
3．用sin α，cos α表示tan .
2
1－cos α
α
sin α
tan ＝＝.
2
1＋cos α
sin α
α
易误提醒 应用“sin＝±
2
1－cos α
α
”或“cos＝±
22
1＋cos α
α
”求值时， 可由
22
所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．
必记结论 用tan α表示sin 2α与cos 2α
cos
2
α－sin
2
α
2sin αcos α2tan α
sin 2α＝2sin αcos α＝
2
＝
2
；cos 2α ＝cos
2
α－sin
2
α＝
2
＝
2
si n
α＋cosα
tan
α＋1
cos
α＋sin
2
α
1－tan
2
α
.
1＋tan
2
α
[自测练习]
1
5πθ
1．已知cos θ＝－，<θ<3π，那么sin＝( )
522
A.
10

5
B．－
10

5

C.
15

5
D．－
15

5
5π5πθ3π
解析：∵<θ<3π，∴<<.
2422
θ
∴sin＝－
2
答案：D
知识点二 辅助角公式
b
其中tan φ＝

. asin α＋bcos α＝a< br>2
＋b
2
sin(α＋φ)

a

易误提 醒 在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a，b)所在象限决定，当φ在
第一、二象限时，一般 取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．
[自测练习]
2．函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( )
A．π
C．2π
π
B.
2
π
D.
4
1－cos θ
＝－
2
1
1＋
5
15
＝－
.
25
π
2x＋

，
解析：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin

4

∴T＝π.
答案：A
π
x＋

的值域为( ) 3．函数f(x)＝sin x－cos


6

A．[－2,2]
C．[－1,1]
B．[－3，3]
D.

－

33


，
22
π
ππ
31
x＋

＝sin x－cos xcos＋sin xsin＝sin x－
cos x＋sin x＝解析：∵f(x)＝sin x －cos


6

6622
3

π
31

x－

(x∈R)，
sin x－cos x
＝ 3sin


6

2

2

∴f (x)的值域为[－3，3]．
答案：B

考点一 三角函数式的化简|

化简：
(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；
1
2cos
4
x－2cos
2
x＋
2
(2).
π

2

π
 
2tan

4
－x

sin

x＋4

解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)
＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)
cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°
＝sin 50°·

cos 60°cos 10°
cos60°－10°
＝sin 50°·

cos 60°cos 10°

＝
＝
2sin 50°cos 50°

cos 10°
sin 100°cos 10°
＝＝1.
cos 10°cos 10°

1
2cos
2
xcos
2
x－1＋
2
(2)原式＝
π

π

2< br>2tan

4
－x

·cos

4
－x

－4cos
2
xsin
2
x＋11－sin
2
2x
＝＝

π

π

π
 
4cos

4
－x

sin

4
－x

2sin

2
－2x

cos
2
2x1
＝＝
cos 2x.
2cos 2x2
考点二 辅助角公式的应用|

(1)函数y＝sin 2x＋2 3sin
2
x的最小正周期T为________．
π
[解析] y＝sin 2x＋23sin
2
x＝sin 2x－3cos 2x＋3＝2sin(2x－)＋3，所以该函数的
3
2π
最小正周期T＝＝π.
2
[答案] π

(2)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.
[解析] f(x)＝sin x－2cos x
＝5

525

sin x－cos x
＝5sin(x－φ)，
5

5

255
其中sin φ＝，cos φ＝，
55
π
当x－φ＝2kπ＋
(k∈Z)时函数f(x)取到最大值，
2
π
即θ＝2kπ＋＋φ时函数f(x)取到最大值，
2
25
所以cos θ＝－sin φ＝－
.
5
25
[答案] －
5

(1)利用asin x＋bcos x＝a
2
＋b
2
sin(x＋φ)把形如y＝asin x＋bcos x＋k的函数化为一个角
的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域 、最值和对称轴等．
b
(2)化asin x＋bcos x＝a
2
＋b
2
sin(x＋φ)时φ的求法：①tan φ＝；②φ所在象限由(a，b)
a
点确定．


π
x＋

. 已知函数f(x)＝2sin xsin


6

求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间．
解：f(x)＝2sin x

31

sin x＋cos x

2

2

1－cos 2x
1
＝3×＋
sin 2x
22
π
3
2x－

＋
.
＝sin

3

2

函数f(x)的最小正周期为T＝π.
πππ
由－＋2kπ≤2x－
≤
＋2kπ，k∈Z，
232
π5π
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
1212
π5π
－＋kπ，＋kπ

，k∈Z. 所以函数f(x) 的单调递增区间是

12

12


考点三 三角恒等变换的综合应用|
三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图 象与性质、解三角形及平面向
量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：
1．三角恒等变换与三角函数性质的综合．
2．三角恒等变换与三角形的综合．
3．三角恒等变换与向量的综合．
探究一 三角恒等变换与三角函数性质的综合
π π
π
ω>0，－
≤φ<

的图象关于直线x＝对称，且图象上1．已 知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)

22

3
相邻两个最高 点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
α

2π
3

π
<α<

， ( 2)若f

＝
3

2

4

6
3π
α＋

的值． 求cos

2

解 ：(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从
2π
而ω＝＝2.
T
π
又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以
3
ππ
2×
＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
32
ππ
因为－
≤φ<
，所以k＝0，
22
π2ππ
所以φ＝－＝－
.
236
α
απ

3

2·
－
＝，
(2)由(1)得f

＝3sin

2

26

4
π
1
π2πππ
α－

＝
.由<α<
，得0<α－
<
， 所以sin


6

46362
π
α－

＝所以cos


6

π
α－

＝1－sin
2


6

1

2
15
1－

＝
.

4

4
π
π
3πππ
ππ
1315
α＋
＝sin α＝sin


α－
6

＋
＝sin

α－

cos
＋cos

α－
sin
＝
×
＋因此cos

2


6


6

6

6

642


4
3＋15
1
×
＝
.
28

探究二 三角恒等变换与三角形的结合
π
π
2 ωx－

(ω>0)的相邻2．(2016·台州模拟)已知实数x
0
，x< br>0
＋是函数f(x)＝2cos
2
ωx＋sin

6

2
的两个零点．
(1)求ω的值；
3bc2a
(2)设a， b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若f(A)＝且＋＝，
2tan Btan Ctan A
试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：(1)f(x)＝1＋cos 2ωx＋
＝
31
sin 2ωx－cos 2ωx
22
31
sin 2ωx＋cos 2ωx＋1
22
π
2ωx＋

＋1， ＝sin

6

2π
由题意得T＝π，∴＝π.∴ω＝1.
2ω
π
2x＋

＋1，
(2)由(1)得f(x)＝si n

6

π
3
2A＋

＋1＝， ∴f (A)＝sin

6

2
π
1
2A＋

＝
.
即sin

6

2

ππ
13π
∵0<2A＋<
，
666
π
5π
π
∴2A＋＝，即A＝
.
663
由
bc2abcos Bccos C2acos A
＋＝得＋＝，所以cos B＋cos C＝2cos A＝1，
tan Btan Ctan Asin Bsin Csin A
2π
2π
－B

＝1， 又因为B＋C＝，所以cos B＋co s


3

3
π
π
B＋

＝1，所以B＝C＝
.
即sin


6

3< br>综上，△ABC是等边三角形．
探究三 三角恒等变换与向量的综合

θ－
π

，1

，b＝(3,0)，其中θ∈

π，
5π

，若a·3．(2015·合肥模拟)已知向量a＝

cosb

4

24

＝1.
(1)求sin θ的值；
(2)求tan 2θ的值．

π
1


θ－
π

＋
π

＝si n

θ－
π

cos
π

θ－
π

＝
22
，
θ－

＝，
解：(1)由已知 得：cos

sinsin θ＝sin

4

3

4

3

4

4


4

4

π

π
4＋2

θ－< br>＋cos

4

·sin
＝
.
46
π
122
θ－

＝得sin θ＋cos θ＝，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝，即sin 2θ＝－
(2)由cos
< br>
4

339
74272
，而cos 2θ＝1－2sin
2
θ＝－
，∴tan 2θ＝
.
998

三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变 换把函数
化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注 意利用
整体思想解决相关问题．


5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板
π
x＋

. 【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f(x)＝sin xcos x－cos
2


4

(1)求f(x)的单调区间； < br>A

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f


2

＝0，a＝1，求△ABC
面积的最大值．
[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f(x)的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f(x)的单调区间．
(2)首先求出角A的三角函数值，然后根据余弦定理及 基本不等式求出bc的最大值，最
后代入三角形的面积公式即可求出△ABC面积的最大值．
sin 2x
[规范解答] (1)由题意知f(x)＝－
2
＝
sin 2x
1－sin 2x
－
22
π
2x＋

1＋cos

2
2

1
＝sin 2x－.(3分)
2
ππππ
由－
＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ， k∈Z；(4分)
22 44

π3ππ3π
由
＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ ≤x≤＋kπ，k∈Z，
2244
所以f(x)的单调递增区间是

－< br>π
＋kπ，
π
＋kπ

(k∈Z)；(5分)
4< br>
4

π3π
＋kπ，＋kπ

(k∈Z)．(6分 )
单调递减区间是

4

4

A
11
(2)由f

＝sin A－＝0，得sin A＝，

2

22
由题意知A为锐角，所以cos A＝
3
.(8分)
2
由余弦定理a
2
＝b
2＋c
2
－2bccos A，(9分)
可得1＋3bc＝b
2
＋c
2
≥2bc，(10分)
即bc≤2＋3，且当b＝c时等号成立．
2＋3
1
因此
bcsin A≤.(11分)
24
所以△ABC面积的最大值为
[模板形成]
2＋3
.(12分)
4

[跟踪练习] 已知函数f(x)＝23sin xcos x＋2cos
2
x－1(x∈R)．
π
0，

上的最大值和最小值； (1)求函数f(x)的最小正周期及在区 间


2

π
6
(2)已知△ABC为锐角三角形 ，A＝，且f(B)＝，求cos 2B的值．
35
解：(1)由f(x)＝23sin xcos x＋2cos
2
x－1得
π
2x＋

. f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin

6

所以函数f(x)的最小正周期为π.