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三角恒等变换和解三角形基本知识回顾
（2009年11月19日）


1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
令

< br>
sin





sin
< br>cos

cos

sin

sin2
2sin

cos


令

< br>
cos





cos
< br>cos

m
sin

sin

co s2

cos
2

sin
2

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2cos
2

112sin< br>2

tan

tan

1+cos2
< br>　tan





　　　　　　　cos2

＝
1
m
tan

tan

2
1cos2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　sin
2

＝
2
2tan

　　　tan2

< br>1tan
2

1

如（1）下列各式中，值为的是 A、
sin15
o
cos15
o
B、
cos
2
sin
2
C、
21212
tan22.5
o
1cos30
o
D、 （答：C）；
1tan
2
22.5
o
2
（2）命 题P：
tan(AB)0
，命题Q：
tanAtanB0
，则P是Q 的
A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件（答：C）；
（3）已知
sin(



)cos

cos(



)sin


（4）
3
7
，那么
cos2

的值为 ____（答：）；
25
5
13

的值是______（答：4）；
oo
sin10sin80
00
(5)已知
tan110a
，求
tan50
的值（用a表示）甲求得的结果是
a3
，乙求得的结13a
1a
2
果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（ 答：甲、乙都对）
2a
2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二 名三结构。即首先观察角与
角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第 二看函数名称之间的
关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（ 1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其
和差角的变 换. 如

(



)

(



)

，
2

(
< br>

)(



)
，
2222

1
2

3
如（1）已知
tan(



)
，
tan(

)
，那么< br>tan(

)
的值是_____（答：）；
44
4225


1

2
（2）已知
0




，且
cos(

)
，
sin(

)
，求
cos(



)
的
22923
4903
值（答：）；（3）已知

,

为锐角，
sin

x,cos

y，
cos(



)
，则
y
与< br>729
5
343
x
的函数关系为______（答：
y1 x
2
x(x1)
）
555
(2)三角函数名互化(切化弦)，
2

(
< br>

)(



)
，



2



，












等），

oo
如（1）求值
sin50(13ta n10)
（答：1）；
1
sin

cos

2< br>1,tan(



)
，求
tan(

2

)
的值（答：）
8
1cos2
3
(3)公式变形使用（
tan

tan

tan





1mtan

tan


。
如（1）已知A、B为锐角，且满足
tanAtanBtanA tanB1
，则
cos(AB)
＝_____
（2）已知
（答 ：

2
）；
2
(2)设
ABC
中，
t anAtanB33tanAtanB
，
sinAcosA
3
，则此
4
三角形是____三角形（答：等边）
1cos2

1co s2

，与升幂公式：
sin
2


22
3
1cos2

2cos
2

，
1cos2

2sin
2

)。如(1)若

(

,

)
，化简
2
(4)三角函数次数的降升(降幂公式：
cos


2

1111
2
（2）函数< br>f(x)5sinxcosx53cosx

cos2

为_ ____（答：
sin
）；
2
2222
5

5
3(xR)
的单调递增区间为___________（答：
[k

,k

](kZ)
）
21212
(5)式子结构 的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1）
tan

(cos
sin

)

sin

tan

1sin

2
；（3）化简：（答：
sin

）；（2 ）求证：


cot

csc

12sin
2
1tan
22
1
2cos
4
x2cos2
x
2
（答：
1
cos2x
）

2
2tan(x)sin
2
(x)
44
2222
(6 )常值变换主要指“1”的变换（
1sinxcosxsecxtanxtanxcotx

3
tan

sin

L
等），如 已知
tan

2
，求
sin
2

si n

cos

3cos
2

（答：）.
42
5
(7)正余弦“三兄妹—
sinxcosx、 sinxcosx
”的内存联系――“知一求二”，如（1）若
t
2
1< br>)，特别提醒：这里
t[2,2]
；（2）
sinxcosxt
，则
sinxcosx
__（答：

2
47
若

(0,

),sin

cos


1
，求
tan

的值。（答：

）；（3）已知< br>2
3
sin2

2sin
2


k
(

)
，试用
k
表示
sin

cos

的值（答：
1k
）。
1tan

42

3、辅助角公式中辅助角的确定：
asinxbcosx
限由a, b的符号确定，

角的值由
tan


1ta n

a
2
b
2
sin

x


(其中

角所在的象
b
确定)在求最值、化简时起着重要 作用。如（1）若方
a
程
sinx3cosxc
有实数解，则
c
的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数

y2cosx3sinx
取得最大值时，
tanx
的值是______(答：
3
)；（3）如果
2
f

x

s in

x


2cos(x

)
是 奇函数，则
tan

= (答：－2)；（4）求值：
31
64 sin
2
20
________(答：32)
22
sin20 cos20
4、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其 标准有
二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若

,

(0,

)
，且
tan

、
tan

是方程
x
2
5x60
的两根，则求



的值______（答：
3

）；（2）
ABC
中，
3sinA4cosB6,4sinB3cosA1
，则
C
＝_______（答：
4

）；（3）若
0





2

且
si n

sin

sin

0
，
cos

cos

cos

0
，
3
2

求



的值（答：）.
3
5、. 三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形三角和为

，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！
任意两角和与第三个角总互补，任意 两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形

三内角都是
锐角

三内角的余弦值为正值

任两角和都是钝角

任意两边的平方和大于第三边的 平方.
b

c
2R
(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦 定理的
sinAsinBsinC
ab
一些变式：

i
< br>abcsinAsinBsinC
；

ii

si nA,sinB,sinC

2R2R
c

；

iii

a2RsinA,b2RsinB,b2RsinC
；②已知三角形 两边一对角，求解三角形
2R

时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. 222
bca
(3)余弦定理：
abc2bccosA,cosA< br>等，常选用余弦定理鉴定三角
2bc
222
(2)正弦定理：
a
形的形状.
222
ABC
中，若
sin
2
Acos< br>2
Bcos
2
Asin
2
Bsin
2
C
，判断
ABC
的形状（答：直角三角
形）。
特别提醒：（1）求 解三角形中的问题时，一定要注意
ABC

这个特殊性：
(4)面积 公式：
S
1
ah
a

1
absinC
1
r(abc)
（其中
r
为三角形内切圆半径）.如
ABC< br>cos
；（2）求解三角形中含有边角混合关系
22
b
，的问题 时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）
ABC
中，A、B的对边分别是a、
o
且
A=60, a6, b4
，那么满足条件的
ABC
A、 有一个解 B、有两个解 C、无解
D、不能确定（答：C）；（2）在
ABC
中，A＞B是
sinAsinB
成立的_____条件（答：充要）；
1

）（3）在
ABC
中，
(1tanA)(1tanB)2
，则
log
2
sinC
＝_____（答：；(4)在
ABC
2
中，
a,b,c
分别是角A、B、C所对的边，若
(abc)(sinAsinB sinC)3asinB
，则
AB

C,sin(AB)sin C,sin
a
2
b
2
c
2
，则
C< br>=____（答：
C
＝____（答：
60
）；（5）在
 ABC
中，若其面积
S
43
o
30
o
）；（6） 在
ABC
中，
A60
o
, b1
，这个三角形的面积 为
3
，则
ABC
外接圆的直径

是_______（ 答：
239
）；（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，
3
1BC
19
22
= ，
bc
的最大值为 （答：
;
）；（8）在△
a3,cosA,则cos
2
32
32
（答：
0C
ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是
o

6
ABC的外心，若
C75
，且
AOB,BOC,COA
的面积满足关系式
）；（9）设O是锐角三角形
S
AOB
SBOC
3S
COA
，求
A
（答：
45
o
）．

两角和与差的三角函数
（2009年11月20日）

例1．求［2sin50°+sin10°(1+
3
tan10°)］·
2s in
2
80

的值.
1
解：原式=

2sin50sin10








3sin10



2sin80
cos10




=
(2sin50sin1 0
cos103sin10
)2sin80

cos10< br>
13
cos10sin10

2

2 cos10
=

2sin502sin10
2
cos1 0



=

2sin50


2sin10sin40


2cos10

cos10

=
2sin60
2cos1022sin60
cos10
3
6.

2
=
22
变式训练1：(1)已知

∈(
3


,
)，sin

=,则tan(


)等于（ ）
5
2
4
A.
11
B.7 C.－ D.－7
77
(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）
33
11
A.－ B. C.－ D.
22
22
解：(1)A (2)B
例2. 已知α
< br>(

4

3


35
3


，)，β

(0，),
cos
(α－)＝，sin(＋β )＝，求sin(α＋β)的值．
4
4
4
5
4
13
4

4
2
解：∵α－＋
3

＋β＝α＋β＋
α∈(

3

4
,
4
) β∈(0,
1
1
3

sin
x
1
)
∴α－

3

3

∈(0,
) β＋
∈(
,π)
424
4

∴sin(α－
3


12
4
)＝ cos(


)＝－
4
5
13
4
2∴sin(α＋β)＝－cos[

＋(α＋β)]
＝－cos[(α－
3


56
)＋(


)]＝
65< br>4
4
变式训练2：设cos（

－

12

ππ
）=－，sin（－β）=，且＜

＜π，0＜β＜，
93
22
22
求cos（

+β）.

ππππ

π
解：∵＜

＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β ＜.
2242422
故由cos（

－

45
1
）=－，得sin（α－）=.
9
9
22
由sin（
5




2


－β）=，得cos（ －β）=.∴cos=cos［（

－）－（－β）］
3
3
2222
2
=
cos(



2
)cos(

2


)sin(



2
)sin(

15245




)
=

9339
2
2

75

75



239

∴cos（

+β）=2cos
2
－1=
2

-1=－.


27< br>
729
2
27

例3. 若sinA=
5
10
,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.
5
10
5
10
,sinB=，
5
10
解 ∵A、B均为钝角且sinA=
∴cosA=-
1sinA
=-
2
2
5
=-
25
，
5
cosB=-
1sinB< br>=-
2
3
10
=-
310
，
10
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

=



25


×


310

5

10



-< br>5
×
10
=
2
①

52
10


＜A＜

, ＜B＜

,
22
∴

＜A+B＜2

②
7

由①②知，A+B=.
4
又∵
变式训练3：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin
2
解 在△ABC中，A+B+C=180°,
由4sin
2
7
AC
-cos2B=,
2
2
7
AC
-- cos2B=,求角B的度数.
2< br>2

得4·
1cos(AC)
7
-2cos
2
B+1=,
2
2
1
2
所以4cos
2
B-4cosB+1=0.
于是cosB=,B=60°.
例4．化简sin
2< br>
·sin
2

+cos
2

cos
2

-cos2

·cos2

.
解 方法一 （复角→单角，从“角”入手）
原式=sin
2

·sin2

+cos
2

·cos
2

-· (2cos
2

-1)·(2cos
2

-1)
=sin
2

·sin
2

+cos
2

·cos
2

-(4cos
2

·cos
2

-2cos
2

-2cos
2

+1 )
=sin
2

·sin
2

-cos
2

·cos
2

+cos
2

+cos
2

-
=sin
2

·sin
2

+cos
2

·sin
2

+cos
2

-
=sin
2

+cos
2
-=1-=
1
2
1
2
1
.
2
12
1
2
1
2
1
2
1
2
12
方法二 （从“名”入手，异名化同名）
原式=sin
2

·sin
2

+(1-sin
2

)·cos
2

-cos2

·cos2


=cos
2

-sin
2

(cos
2

-sin
2

)-cos2

·cos2


=cos
2

-sin
2

·co s2

-
1
cos2

·cos2

< br>2
2

1
2
1

2

=c os
2

-cos2

·

sin
cos2




=
=
1cos2

-cos2

2
1

2

2
·
sin

(12sin

)


2

1
1cos2

1
-cos2

=.
22
2
方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
1co s2

1cos2

1cos2

1cos2

1
原式=·+·-cos2

·cos2


2
222
2
=(1+cos2

·cos2

-c os2

-cos2

)+
1
4
111
( 1+cos2

·cos2

+cos2

+cos2
)-·cos2

·cos2

=.
4
22
1
2
方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式=(sin

·sin

-cos

·cos

)
2
+2sin

·sin

·cos

·cos

-cos2

·cos2


=cos
2
(

+

)+
11
sin2

·sin2

-cos2

·cos2


22
=cos
2(

+

)-·cos(2

+2

)
=cos
2
(

+

)-
11·［2cos
2
(

+

)-1］=.
22


4

4

1
2
< br>变式训练4：化简：（1）
2
sin


x
+
6
cos

x

;

(2）
2cos
2

1
.
< br>

2



2tan




sin





4

4


13






x

cos

x




4

2

4



解 （1）原式=2
2

sin



2
 
=2
2

sinsin


x
coscos

x



6

4


6

4




=2
2
cos


x

=2
2
cos(x-

64



).
1 2
（2）原式=
cos2

1tan

1tan







1cos

2




2


=
cos 2

cos2

(1sin2

)
1sin2

=1.


二倍角的正弦、余弦、正切
（2009年11月21日）


例1. 求值：
解：原式＝
＝
sin40(12cos40)
2cos2
40cos401

sin40sin80

cos40cos80
sin(6020)sin(6020)
＝
cos(6020)cos(6020)

12
sin
3

变式训练1：
(cos
A．－
解：D

12
)
(cos

＋sin)＝ （ ）
1212
33
1
1
B．－ C． D．
22
2
2
例2． 已知α为锐角，且
tan


解：∵α为锐角
sin2

cos

sin

∴
sin2

cos 2

1sin2

cos

sin

， 求的值.
2sin2

cos2

sin

( 2cos
2

1)
＝
2sin

cos

cos2


＝
1
5
＝
1tan
2

＝
c os

4
变式训练2：化简：
2tan(
2cos
2

1

4


)sin(
2
4


)

解：原式＝
2sin(cos(
cos2


4
＝1

4


)


)


)

cos
2
(
4
例3．已知
f(x)3sin
2
xsinxcosx
；
(1) 求
f(

13
25

)
的值； (2) 设

(0,

),f()
，求sinα的值．
24 2
6
251

62
cos
25

3


62
解：（1）∵
sin
∴
f(
25

25

25

25

)3cos
2
sincos0

6666
（2）
f(x)
∴f()
a
2
331
cos2xsin2x

222
31313

cos

sin


22242
135

8
16sin22－4sinα－11＝0 解得
sin

∵
2(0,

)sin

0
故
s in


变式训练3：已知sin(
解：cos(
＝2sin2
(

6


)＝
135

8
1
2

，求cos(
2

)的值．
3
3
2


＋2α)＝2cos
2
(＋α )－1
33

7
－α) －1＝－
6
9

)，求sinα、tanα的值．
2
例4．已知sin
2
2α＋
sin
2α cosα－cos2α＝1，α

(0，
解：由已知得
sin
2
2α＋sin2αcosα－2cos
2
α＝0
即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0
cos
2
α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0
∵α∈(0，

) cosα≠0 sinα≠－1
2
∴2sinα＝1 sinα＝
1
∴tanα＝
2
3
3

变式训练4：已知α、β、r是公比为2的等 比数列
(

[0,2

])
，且sinα、sinβ、s inr也成等比数列，
求α、β、r的值．
解：∵α、β、r成公比为2的等比数列．
∴β＝2α，r＝4α
∵sinα、sinβ、sinr成等比数列
∴
s in

sinrsin2

sin4

cos
2cos
2
21

sin

sin
sin

sin2

即
2cos
2
2cos

10
，解得cosα＝1或
cos



当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去
1
2

当
cos


时，∵2∈[0,2π ] ∴
2
∴


1
2
2

2< br>
或
2

33
2

4

8

4

8

16

,

,r
或

,

,r

333333
简单的三角恒等变换
（2009年11月22日）

例1： 不查表求值











例2：已知
sin
2cos10sin20
=

．
cos20

（1）求
tanx
的值；
（ 2）求
xx
2cos0
22
cos2x
2cos(x)si nx
4

的值．
解析：（1）由
sin
xxx
2cos0
,
tan2
，
222
x
2

22

4
．
tanx
3
12
2
2
x
1tan
2
2tan
（2） 原式＝
cos
2
xsin
2
x
2(
22
cosxsinx)sinx
22

(co sxsinx)(cosxsinx)

(cosxsinx)sinx
cosxsinx31
cotx1
()1
．
sinx44
【名师指引】给式求值一般从分析角的关系入手.
例3. (福建省师大附中2008年高三上期期末考试)

设向量
a(cos

,sin

),b(cos

,sin

)
，
且0





,
若
a•b
求
tan

的值。
【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系.
解析:
Q
a•bcos

cos

sin

sin


cos(



)



4 4
，
tan


，
53
4
5
4< br>5
又
Q
0





 





0
3
5
3
tan(

-

)=-
4
4
又
Qtan

=
3
sin(

-

)= -
34

tan(



)tan
< br>7
43
tan

tan[(


)

]
1tan(



)tan

1(
3
)
4
24

43

【名师指引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换
、例4．(2007·四川 )已知
cos

113
,cos( ),且0
<

<

<,
2
714
(Ⅰ)求
tan2
的值.（Ⅱ）求

.
【解题思路】由同角关系求出
tan

再求
tan2
；又








< br>结合角

的范围定角。
2
1

1
2
[解析]（Ⅰ）由
cos

,0


， 得
sin

1cos

1


43

72
7

7

∴
tan


sin

437
43
，于是
tan2

2tan


243
2

8 3

cos

71
1tan
2

14 3
47

（Ⅱ）由
0





2
，得
0





2< br>
2
13

33
13
又∵
cos






，∴
sin




1cos
2




1




1414
14
 
由









得：
cos

cos













11343331

,所以



 cos

cos





sin
sin






7147 142
3
【名师指引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函 数值求角以
及计算能力。

例题5：（08湖北卷16）
已知函数< br>f(t)
1t17

,g(x)cosxf(sinx)sinx f(cosx),x(

,).

1t12
（Ⅰ）将函数
g(x)
化简成
Asin(

x

)B
（< br>A0
，

0
，

[0,2

)
）的形式；
（Ⅱ）求函数
g(x)
的值域.
本小题主要考查函 数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的
化简变形和运算能力.（ 满分12分）
解：（Ⅰ）
g(x)cosx
g
1sinx1cosx
sinx
g

1sinx1cosx
(1sinx)
2
(1cosx)
2

cosxgsinxg
cos
2
xsin
2
x
1sinx1cosx
cosxgsin xg.

cosxsinx

17

Q
x
,,cosxcosx,sinxsinx,


12< br>
1sinx1cosx

g(x)cosx
g
s inx
g
cosxsinx



sinxcosx2

＝
2sin

x





2.

4

（Ⅱ） 由
＜x
1755
得
＜x，.

12443

53

35

Qsint
在

,

上为减函数，在

,

上为增函数， 
42

23

又
sin
5535 

17

＜sin,sinsin(x)＜sin
（当< br>x

,
），

2
34244
2
)＜，222sin(x)2＜3，

424
即
1sin(x
故g(x)的值域为

22,3.



3xx2sinx
例6：:证明tan －tan ＝
22
cosx＋cos2x

3xx3xx
【解题思路】细心观察已知等式中 的角，发现它们有隐含关系： ＋ ＝2x， － ＝x
2222
Q
2
－
2
＝x ∴sinx＝sin
2
cos
2
－cos
2
sin
2

3xx
又cosx＋cos2x＝2cos cos
22
①÷②即得：
3xx
sin sin
22
2sinx3xx
＝ － ＝tan －tan .
3xx22
cosx＋cos2x
cos cos
22

3xx3xx3xx






①
②
【名师指引】三角恒等式的证明在高考中出现较少,方法与化简类似.
例题7：.(2009 山东卷理)(本小题满分12分)设函数
f
(
x
)=cos(2
x< br>+
(1)
(2)
求函数f(x)的最大值和最小正周期.
设A
,
B
,
C
为

ABC
的三个内角， 若cos
B
=，
f()

2
)+sin
x.
3
1
3
c
2
1
，且
C
为 锐角，求sin
A
.
4
解: （1）f(x)=cos(2x+
 
1cos2x13

2
sin2x
)+sinx.=cos2xcossin2xsin
33222
3
13
,最小正周 期

.
2
所以函数f(x)的最大值为
（2）
f()
=
c
2
3
13
1

sinC< br>=－, 所以
sinC
, 因为C为锐角, 所以
C
,
2
22
4
3
又因为在

ABC 中, cosB=
1
2
, 所以
sinB3
, 所以
3
3
2113223
2
.
32326
sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC
【命题立意】:本题主要考查三 角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及
三角形中的三角关系.
例 题8：(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数
f(x)=2
sinxcos
2

2
cosxsin

sinx(0



)
在
x

处取最小值.
（1）求

.的值;
（2）在

ABC中,
a, b,c
分别是角A,B,C的对边,已知
a1,b2,
f(A)
3,求角C..
2

解: （1）
f(x)2sinx
1cos

cosxsin

sinx

2
sinxsinxcos

cosxsin

sinx

sinxcos

cosxsin


sin(x

)

因为函数f(x)在
x

处取最小值，所以
sin(



)1
,由诱 导公式知
sin

1
,因为
0



,所以



2
.所以
f(x)sin(x< br>
2
)cosx

（2）因为
f(A)33

,所以
cosA
,因为角A为

ABC的内角 ,所以
A
.又因为
22
6
bsinA12
ab
 2
,也就是
sinB
,

a22
sinAsinB
a1,b2,
所以由正弦定理,得
因为
ba
,所以
B 

4
或
B
3

.
4
7
3


3

;当
B
时,
C


.
4
126412
当
B

4
时,
C



6

< br>4

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三 角函数的性质,
并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
解三角形
（2009年11月23日）

c
，例题2：2009全国卷Ⅰ理）在
ABC
中，内 角A、B、C的对边长分别为
a
、已知
ac2b
，
b
、
且
sinAcosC3cosAsinC,
求b
分析:此题事 实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)
ac2b
左侧是二次的右22
22

侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2 )
sinAcosC3cosAsinC,
过
多的关注两角和与差的正弦公式,甚 至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破
口而失分.
解法一：在
ABC
中
QsinAcosC3cosAsinC,
则由正弦定理及余弦定理< br>a
2
b
2
c
2
b
2
c
2
a
2
3gc,
化简并整理得：
2(a
2
 c
2
)b
2
.又由已知有:
ag
2ab2bc
a
2
c
2
2b4bb
2
.解得
b4或b 0(舍）
.
解法二:由余弦定理得:
acb2bccosA
.又
ac2b
,
b0
。
所以
b2ccosA2
…………………………………①
又
si nAcosC3cosAsinC
，
sinAcosCcosAsinC4cosAs inC

22222
sin(AC)4cosAsinC
，即
s inB4cosAsinC

由正弦定理得
sinB
b
sinC
，故
b4ccosA
………………………②
c
由①，②解得
b4
。
评析:从08年高考考纲中就明确提出要 加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对
问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用 能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就
行，不必

三角恒等变换和解三角形测试题
一、选择题
1. 已知
x(
A.

2
,0)
，
cosx< br>4
，则
tan2x
（ ）
5
724
724
B.

C. D.

247
247
2. 函数
y3sinx4cosx5
的最小正周期是（ ）
A.

B. C.

D.
2

52
3. 在△ABC中，
cosAcosBsinAsinB
，则△ABC为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定
4. 设
asin14cos14
，
bsin16cos 16
，
c
则
a,b,c
大小关系（ ）
0000
6
，
2
A.
abc
B.
bac

C.
cba
D.
acb
5. 函数
y2sin(2x

)cos[2(x 

)]
是（ ）
A. 周期为

的奇函数 B. 周期为的偶函数
44

的奇函数 D. 周期为的偶函数
22
C. 周期为
6. 已知
cos2


2
44
，则
sin

cos

的值 为（ ）
3
A.
1311
7
B. C. D.
1
9
1818
00
7. 在△ABC中，若
C90,a6,B30
，则
cb
等于（ ）
A.
1
B.
1
C.
23
D.
23
8. 若
A
为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A.
sinA
B.
cosA

C.
tanA
D.
1
tanA

9. 在△ ABC中，角
A,B
均为锐角，且
cosAsinB,
则△ABC的形状是 （ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
0
10. 等腰三角形一腰上的高是
3
，这条高与 底边的夹角为
60
，
则底边长为（ ）
A.
2
B.
3
C.
3
D.
23
2
00
11. 在△
ABC
中，若
b2asinB
，则
A
等于（ ）
0000
A.
30或60
B.
45或60
C.
120或60
D.
30或150

12. 边长为
5,7,8
的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A.
90
B.
120
C.
135
D.
150

0000
00
二、填空题
1. 求值：
tan20tan403tan20tan40
_____________.
0000
2. 若
1tan

1
2008,
则
tan2


.

1tan

cos2

3. 函数
f(x)cos2x23sinxcosx
的最小正周期是___________.
4. 已知
sin

2
cos

2

23
,
那么
sin

的值为 ,
cos2

的值为 .
3
5.
ABC
的三个内角为
A
、
B
、
C
，当
A
为 时，
cosA2cos
且这个最大值为 .
BC
取得最大值，
2
6. 在
Rt
△ABC中 ，
C90
，则
sinAsinB
的最大值是______________ _.
7. 在△ABC中，若
abbcc,则A
_________.
8. 在△ABC中，若
b2,B30,C135,则a
_________.
9. 在△ABC中，若
sinA
∶
sinB
∶
sinC 
7
∶
8
∶
13
，则
C
_______ ______.
10. 在△ABC中，
AB
00
222
0
62,
C30
0
，则
ACBC
的最大值是____ ____.
三、解答题
1. 已知
sin

sin
sin

0,cos

cos

c os

0,
求
cos(



)
的值.

2. 若
sin

sin





2
,
求
cos

cos

的取值范围.
2
1cos20
0
sin10
0
(tan
1
5
0
tan5
0
)
3. 求值：
0
2sin20




4. 已知函数
ysin
xx
3cos,xR.

22
（1）求
y
取最大值时相应的
x
的集合；








（2）该函数的图象经过 怎样的平移和伸变换可以得到
ysinx(xR)
的图象.

5. 在△ABC中，若
acosAbcosBccosC,
则△ABC的形状是什么？







6. 在△ABC中，求证：


abcosBcosA
c()

baba

7. 在锐角△ABC中，求证：
sinAsinBsinCcosAcosBcosC
.










8. 在△ABC中，设
ac2b,AC





3
,
求
sinB
的值.







参考答案
一、选择题
1. D
x(

4332tanx24
,0)
，
cosx,sinx,tanx,tan2x

2
25541tanx7
2

2


1
2. D
y5sin(x

)5,T

3. C
cosAcosBsinAsinBcos(AB)0,cosC0,cosC0,C
为 钝角
4. D
a2sin59
0
，
b2sin610
，
c2sin60
0

2
2

sin4x
，为奇函数，
T

2
42
5. C
y2sin2xcos2x
6. B
sin
4

cos
4

(sin
2

cos
2

)
2
2sin
2< br>
cos
2

1sin
2
2


1
2

1
111
(1cos
2
2

)

218
7. C
b
tan30
0
,batan3 0
0
23,c2b44,cb23

a
8. A
0A

,sinA0

9. C
cosAsin(
10. D 作出图形
11. D
b2a sinB,sinB2sinAsinB,sinA

2
A)sinB,
2
A,B
都是锐角，则

2
AB,AB< br>
2
,C

2

1
,A30
0
或
150
0

2
5
2
8
2
7
2
1
,

 60
0
,180
0
60
0
120
0
为 所求 12. B 设中间角为

，则
cos


2 582
二、填空题
tan20
0
tan40
0
3
1.
3

tan60tan(2040)
1tan20
0tan40
0
000

33tan20
0tan40
0
tan20
0
tan40
0

2.
2008

11sin2

1sin2

tan2



cos2

cos2< br>
cos2

cos2

(cos

si n

)
2
cos

sin

1tan

2008


cos
2
sin
2

cos

sin

1tan

3.


f(x)cos2x3sin2 x2cos(2x

3
)
，
T
2




2
4.
17

417
,

(sincos)
21sin

,sin

,cos2

12 sin
2



39
22339

5.
60,
0
3BCAAA

cosA2coscosA2sin12sin
2
2sin

2
2222
2

2sin
AAA 13
2sin12(sin)
2


22222
当
sin
A1BC3

，即
A60
0
时，得< br>(cosA2cos)
max


22
22
6.
1
11

sinAsinBsinAcosAsin2A

2
22
0< br>b
2
c
2
a
2
1
,A1200
7.
120

cosA
2bc2
8.
62

A15
0
,
abbsinA62
, a4sinA4sin15
0
4

sinAsinBsinB4
0
9.
120

a
∶
b
∶
c
sinA
∶
sinB
∶
sinC
7
∶
8
∶
13
，
a
2b
2
c
2
1
,C120
0
令
a7k,b8k,c13k

cosC
2ab2
10.
4

ACBCABACBCAB
,,
ACBC

sinBsinAsinCsinBsinAsinC
ABAB

co s
22
2(62)(sinAsinB)4(62)sin
AB
4,(ACBC)
max
4

2
4cos
三、解答题
1. 解：
sin

sin

sin

,cos

cos
< br>cos

,

(sin

sin
< br>)
2
(cos

cos

)
2
1,

1
22cos(



)1,cos (



)
.
2
0
2cos< br>2
10
0
sin5
0
0
cos5
sin1 0()
2. 解： 解：原式

4sin10
0
cos10< br>0
sin5
0
cos5
0
cos10
0
co s10
0
2sin20
0
0
2cos10



2sin10
0
2sin10
0

cos10
0
2sin(30
0
10
0
)cos10
0
2sin30
0
cos10
0
2cos30
0
sin10
0




00
2sin102sin10

cos30
0
3

2
3. 解：
ysin
xxx

3cos2sin()

2223
（1）当
x


2k


，即
x4k

,kZ
时，
y
取得 最大值
2323




x|x4k

,kZ

为所求


3


右移个单位
x

x
横坐 标缩小到原来的2倍
3
y2siny2sinx
（2）y2sin()
232
纵坐标缩小到原来的2倍
 ysinx


4. 解：
acosAbcosBccosC,sin AcosAsinBcosBsinCcosC

sin2Asin2Bsin2C, 2sin(AB)cos(AB)2sinCcosC

cos(AB)cos(AB),2cosAcosB0

cosA0< br>或
cosB0
，得
A
所以△ABC是直角三角形.

2
或
B

2

5. 解：∵
ac2b,
∴
sinAsinC2sinB
，即
2sin
ACACBB

cos4sincos
，
2222
∴
sin
B1AC3B13
B

cos
，而
0,< br>∴
cos
，
222424
22
39
BB313
cos2

8
2244
∴
sinB2sin