257

tan

tan

6557
325277
53

∴tan(α+β)==.
1tan

tan

17
25715235
1()
53

点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公 式的应
用，训练学生的运算能力.
变式训练
引导学生看章头图，利用本节所学公式解答课本章头题，加强学生的应用意识.
解：设电视发射塔高C D=x米，∠CAB=α，则sinα=
在Rt△ABD中，tan(45°+α)=
30，
67
x30
tanα.
30
30tan(45



)
30
, 于是x=
tan

30601

,α∈(0,),∴cosα≈,t anα≈.
67672
2
1
1
1tan

2
=3, tan(45°+α)=

1
1tan

1< br>2
303
∴x=-30=150(米).
1
2
又∵sinα=
答：这座电视发射塔的高度约为150米.

例3 在△ABC中，sinA=
3
5
(0°5
13
活动：本题是 解三角形问题，在必修5中还作专门的探究，这里用到的仅是与三角函数
诱导公式与和差公式有关的问题 ，难度不大，但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学
生的应用意识，提高学生分析问题和解决问题 的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论
解决，对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形 各角之间的内在联系，从而找出
解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.
解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).
34
且0°55
512
又∵cosB=且45°131 3
又∵sinA=
∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sin AcosB+cosAsinB
=
3
5
4
1263
³+³=,
5
13< br>5
1365
cosC=cos［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sin AsinB-cosAcosB

=
3
12
4
516
³-³=.
5
13
5
1365
点评：本题是利用两角和差公式，来解决 三角形问题的典型例子，培养了学生的应用意
识，也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时, 要注意三角形内角和等于180°这
一暗含条件.
变式训练
在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰非直角三角形
答案：C

思路2
例1 若sin(
3

33

5


+α)=,cos(-β)=,且 0<α<<β<,求cos(α+β)的值.
454
1344
活动：本题是 一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻
辑思维能力很有价值.尽管学生 思考时有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不
可直接给出解答.对于探究不出的学生，教师 可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是
寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与 已知角的关系，观察选择应该选
用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函 数值时，要特别注
意确定准角的范围，准确判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键.学生完全理 清思
路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题，
或变化条件，或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围，进行一题多变训练，提高
学生灵活 应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.
3

3
< br>3



<β<,∴<+α<π,-<-β<0,
444
424
3

3
5

又已知sin(+α)=,co s(-β)=,
45
134
3

12

4
∴cos(+α)=

,sin(-β)=

.
4
13 45
3


∴cos(α+β)=sin［+(α+β)］=sin［(+ α)-(-β)］
4
24
3

3


=sin(+α)cos(-β)-cos(+α)sin(-β)
44
44
333
5124
=³-(

)³(

)=

.
65
13
5
135
解：∵0<α<
本题是典型的变 角问题,即把所求角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧
妙地引导,充分让学生自己动手 进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力.
变式训练
3


12

3
,π),sin(α+β)=

,sin(β-)=,求c os(α+)的值.
4
54134
3

3

12
解：∵α,β∈(,π),sin(α+β)=

,sin(β-)=,
4
5413
3



3

∴<α+β<2π ,<β-<.
2
24
4
已知α,β∈(

∴cos( α+β)=
∴cos(α+
4

5
,cos(β-)=

.
5
413


)=cos［(α+β)-(β-)］
44


=cos(α+β)cos(β-)+sin(α+β)sin(β-)
44
456
5312
=³(

)+(

)³=< br>
.
565
13513

例2 化简
sin(a

)sin(



)sin(

a)
.

sinasin

sin

sin

sin

sina
活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化 为两单角的三角函数的形式，教师可以先
让学生自己独立地探究，然后进行讲评.
解：原式=
=
sinacos

cosasin

sin

cos

cos

sin

sin
< br>cosacos

sina


sinasin

sin

sin

sin

sina
s inacos

sin

cos

sin
sin

sinasin

cos

sinacos

sin

sin

sin

cosa cos

sin

sina

sinasin

sin

sinasin

sin

sin

sin

sina
=
0

sin

sin

sina
=0.
点评：本题是 一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用
公式的运算能力.
变式训练
化简
sin(



)2sin
cos


2sin

sin

 cos(



)
sin

cos
cos

sin

2sin

cos

2sin

sin

cos

cos
sin

sin

解：原式=
=
cos< br>
sin

sin

cos

sin(< br>


)
tan(



).

sin

sin

cos

cos< br>
cos(



)

（四）作业
已知0<β<
3

33




5,<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.
454
4 4413
解：∵
3
2
3




4
<α<,∴

<-α<0.∴sin(-α)=
1()
=< br>
.
42
4445
5

又∵0<β<
5
2
3

3

3


12
,∴<+β<π,cos(+β)=
1()
=

.
444< br>413
13
3



+α+β)=-cos［(+β )-(-α)］
4
24
3

3


= -cos(+β)cos(-α)-sin(+β)sin(-α)
44
44
3512456
=-(

)³

³(

)=.
5
1313565
∴sin(α+β)=-cos(

（五）课堂小结
1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提 高，在公式推导
中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有
什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
2.教师画龙点 睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导，
明白从已知推得未知，理解 数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式
解题.在解题时要注意分析三角函数名称 、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较
最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题 步骤，领悟变换思路，强化数学思想
方法之目的.




3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案
教学分析
1.两角和 与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究
具有“两角和差”关系 的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、
比较有关的三角函数式，认清其区 别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较
cos(α-β)与cos(α+β),它们都是 角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换
元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β )的关系，从而由公式C
(α-β)
推得公式C
(α+β)
，
又如比 较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函
数名的互 化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S
(α-β)
、S
(α+β)
等 .
2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与
这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本
节内容也是 培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能
力，发现问题和解决问题 的能力都有着十分重要的意义.
3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间 的内在联系，让学生深
刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是 为了训练
学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公
式，使用 公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而
不顾过程表述的正确性 、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.
二、三维目标

1．知识与技能：
在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现 并推导两角和与差的正弦、余弦、
正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对 公式的理解，培养学
生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.
2．过程与方法：
通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简 、恒等证明，使
学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问 题
解决问题的能力.
3．情感态度与价值观：
通过本节学习，使学生掌握寻找数学 规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应
用意识，提高学生的数学素质.
三、重点难点
教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.
教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.
四、课时安排
2课时
五、教学设想
（一）导入新课
思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所 学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后
让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生 回顾比较各公式的结构特征，说
出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的 深刻理解.这节课
我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.
思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式
进行解答.
1.化简下列各式
(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ;
sin
2
xsinxcosx
sinxcos
; (2)< br>2
sinxcosx
tanx1
sin(



)sin(



)tan
2

(3)< br>.

222
sin

cos

tan
2.证明下列各式
(1)
sin(



)tan

tan

;

cos(



)1tan

tan

2222
(2)ta n（α＋β）tan（α-β）（1-tantanβ）＝tanα-tanβ;
(3)
si n(2



)sin

2cos(



).

sin

sin

答案:1 .(1)cosα;(2)0;(3)1.
2.证明略.
教师根据学生的解答情况进行一一 点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由
此展开新课.

（二）推进新课、新知探究、提出问题
①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.
②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.
活动：待学生 稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上
发现它们内在的区别与联系，理 解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊
到一般的数学思想方法.教师引导学生观察， 当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱
导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式 的特例.在应用公式时，还要注意
角的相对性，如α=(α+β)-β,



2
(



2
)(

2< br>

)
等.让学生在整个的数学体系
中学会数学知识，学会数学方法， 更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其
内在联系的良好习惯，提高数学素养.
sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ
（α±β）
〕;
cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ〔C
（α±β）
〕;
tan（α±β）＝
讨论结果：略.

（三）应用示例
思路1
例1 利用和差角公式计算下列各式的值.
（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;
（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;
tan

tan

〔T
（α±β）
〕.
1

tan

tan

1tan15

（3）
1tan15

活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉 公式，可由学生自己完成.对部分学生，
教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右 边，马上发现（1）同公式
S
(α-β)
的右边，（2）同公式C
(α+β)
右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角
的三角函数，并求得结果.再看（3 ）式与T
(α+β)
右边形式相近，但需要进行一定的变形.又
tan45

tan15

因为tan45°=1，原式化为，再逆用公式T
(α+β)
即可解得.

1tan45tan15
解：（1）由公式S
(α-β)
得
原式=sin(72°-42°)=sin30°=
1
.
2
（2）由公式C
(α+β)
得
原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.
（3）由公式T
(α+β)
得
tan45

tan15

原式==tan(45°+15°)=tan60°=
3
.

1tan45tan15
点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学 生能够从正、反两个角度使用公式.与正
用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向 思维意识，对思维的灵活性

要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.
变式训练
1.化简求值：
（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°;
（2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;
（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).
解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=
1
.
2
1
.
2
（2）原式=sin14°cos1 6°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=
（3）原式=sin［ (54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.
1tan75

.
2.计算

1tan75
tan45

tan75

3
解：原式==tan(45°-75 °)=tan(-30°)=-tan30°=.


3
1tan45tan75

例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos (x-θ)的定义域为R,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函
数,求θ的值.
活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函
数的定义,加上 本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让
学生自己探究,独立完成, 然后教师进行点评.
解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),
即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ),
即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ
=sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ.
∴sinxcosθ+sinxsinθ=0.
∴sinx(sinθ+cosθ)=0对任意x都成立.


)=0,即sin(θ+)=0.
44

∴θ+=kπ(k∈Z).∴θ=kπ-(k∈Z).
44
3

7

又θ∈［0,2π),∴θ=或θ=.
4
4
∴
2
sin(θ+
点评:本例学生可能会根据 偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果
将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速 解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训
练学生逻辑思维能力.
变式训练
已知：
3


124
<β<α<,cos(α-β)=,sin(α +β)=

,求cos2β的值.
4
2135
3


解：∵<β<α<,
4
2

3


,π<α+β<.
2
4
124
又∵cos(α-β)=,sin(α+β)=

,
135
53
∴sin(α-β)=,cos(α+β)=

.
135
∴0<α-β<
∴cos2β=cos［(α+β)-(α-β)］
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=


例3 求证：cosα+
3
sinα=2sin(< br>56
31245
³+(

)³=

.
65
513513

+α).
6
活动：本题虽小 但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函
数,教师引导学生给予足够的重 视.对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利
用公式S
(α+β)
展开 ，化简整理即可得到左边此为证法，这是很自然的，教师要给予鼓励.同
时教师可以有目的的引导学生把 等式左边转化为公式S
(α+β)
的右边的形式，然后逆用公式化
简即可求得等式右边 的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函
数化为一个三角函数.
证明：方法一：右边=2(sin
1

3
cosα+cossinα)=2 (cosα+sinα)
2
66
2
=cosα+
3
sinα=左边.
方法 二：左边=2(
1


3
cosα+sinα)=2(sincos α+cossinα)
2
66
2
=2sin(

+α)=右边.
6
点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明 的，
此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边
的系数1与
3
分别变为了
1

3
与，即辅助角的正、余弦. 关于形如asinx+bcosx（a，
2
6
2
b不同时为零）的式子,引入 辅助角变形为Asin(x+φ)的形式，其基本想法是“从右向左”
用和角的正弦公式，把它化成As in(x+φ)的形式.一般情况下，如果a=
AC
osφ,b=Asinφ,
那么a sinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sinφ+co sφ=1,可得
A=a+b,A=±
222
22
a
2
b
2
,不妨取A=
a
2
b
2
,于是得到cosφ=
a
ab
22
,sinφ
=
b
a
2
b
2
,从而得到tanφ=
a
22
,因此asinx+bcos x=
ab
sin(x+φ)，通过引入辅助
b

角φ，可以将 asinx+bcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为
这种形式可解决 asinx+bcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提
醒学生注意，这种 引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为一个三角函数，实
质上是消元思想，这样就可以根 据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考
试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考 的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考
物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练的 掌握它.
变式训练
化简下列各式：
（1）
3
sinx+cosx;
（2）
2
cosx-6sinx.
解：（1）原式=2(
1


3
sinx+cosx)=2(cossinx+sincosx)
2
66
2
=2sin(x+

).
6
1


3
cosx- sinx)=2
2
(sincosx-cossinx)
2
66
2
（2）原式=2
2
(
=2
2
sin(

-x).
6

例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值;
（2）已知sin(α+β)=
tan

11
.
,sin(α-β)=,求
23
tan

活动：对于（1）,教师可 与学生一起观察条件，分析题意可知，α+β是特殊角，可以
利用两角和的正切公式得tanα,tan β的关系式，从而发现所求式子的解题思路.在（2）中，
我们欲求
tan

.
若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困难，但细心观察公式
tan
发现，它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ，而S
(α+β)
、S
(α-β)
tan

.
化切为弦正是
tan
sin

cos

，由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究 解决，教师不要及早地给
cos

sin

以提示或解答.
解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.
又∵tan(α+β)=
tan

tan

,

1tan

tan

∴tanα+tanβ=tan(α+β)( 1-tanαtanβ),

即tanα+tanβ=1-tanαtanβ.
∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ= 2.
（2）∵sin(α+β)=
∴
①
sin
②
αcosβ-cosαcosβ=
sinα
11
,sin(α-β)= ,
23
cosβ+cosαsinβ=
1
2
1
3
,
.
5
,
12
1
①-②得cosαsinβ=,
12
5
tan
sin

cos

12
∴
5

1
tan

cos

sin

12
①+②得sinαcosβ=
点评：本题都是公式的变形应用，像(1)中当出现α+β为特 殊角时，就可以逆用两角和
的正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαta nβ),对于我们解题很有用处，而(2)
中化切为弦的求法更是巧妙，应让学生熟练掌握其解法.
变式训练
1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)„(1+tan 44°)(1+tan45°)的值.
解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［ (1+tan2°)(1+tan43°)］„
23
［(1+tan22°)(1+tan23 °)］(1+tan45°)=2³2³2³„³2=2.
2.计算：tan15°+tan30°+tan15°tan30°.
解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.

（四）作业
2
已知一元二次方程ax+bx+c=0(ac≠0)的两个 根为tanα、tanβ,求tan(α+β)的值.
解：由韦达定理得：tanα+tanβ=
c
b
,tanαtanβ=,
a
a
b
ta n

tan

b
∴tan(α+β)=.

c

c
ca1tan

1
a


（五）课堂小结
1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法 ？通过本
节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.
2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用 两角和与差的正弦、余弦、正切
公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换 和公式的正用、逆
用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=
ab
s in(x+φ)，运用它来解决三角函数
22

求值域、最值、周期、单调区间等 问题.















§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为 基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导
过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学
四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， < br>sin





sin

co s

cos

sin

；
cos
< br>



cos

cos

s in

sin

；
tan






tan

tan

．
1t an

tan

我们由此能否得到
sin2

,c os2

,tan2

的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中

看成

即可），
（二）公式推导：

sin2
sin





sin
< br>cos

cos

sin

2sin

cos

；
cos2

cos

< br>


cos

cos

sin

sin

cos
2

sin
2

；
思考：把上述关于
cos2

的式子能否变成只含有
s in

或
cos

形式的式子呢？
cos2
cos
2

sin
2

1sin
2< br>
sin
2

12sin
2

； < br>cos2

cos
2

sin
2
cos
2

(1cos
2

)2cos
2

1
．
tan2

tan






tan

tan

2 tan


．
2
1tan

tan

1tan

注意：
2

k

,
k

22

（三）例题讲解
例1、已知
sin2




kz


5
,

,
求
sin4

,cos4
,tan4

的值．
1342
解：由

4




2
,
得

2



．
2
2
5
12

5
,
cos2

1sin
2
2

1


． 又因为
sin2


13
13

13

于是
sin4

2sin 2

cos2

2
5

12

120
；





13

13

169
2
120
sin4

120

5

119
；
tan4


． 
169

cos4

12sin
2
2

12


119
cos4

1 19

13

169
169

例２、已知
tan2


1
,
求
tan

的值． < br>3
解：
tan2


2tan

1
2

，由此得
tan

6tan

10
2
1tan

3
解得
tan

 25
或
tan

25
．

（四） 小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过
程中要善于发现规律 ，学会灵活运用.
（五）作业：【重点文班】推导
P
150
.T
3
T
4





数学 3.2简单的三角恒等变换(1)教案
一、教学分析
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中
的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标
进行对比、 分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变
形,以及变换过程中体 现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思
想,提高学生的推理能力.
本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数
性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，
变换内容比 较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三
角函数式所包含的角，以 及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.
从函数式结构、函数种类、角与角之 间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以
联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变 换的重要特点.
二、三维目标
1．知识与技能：
通过经历二倍角的变形公式推导 出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余
弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会 化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，
提高学生的推理能力.
2．过程与方法： < br>理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角
恒等变 换在数学中的应用.
3．情感态度与价值观：
通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进 行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如
何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换 过程中体现的换元、逆向使用公
式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力 .
三、重点难点
教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.
2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.
教学难点 ：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从
整体上把握变换过程的 能力.
四、课时安排
2课时

五、教学设想
第1课时
（一）导入新课
思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象 之一，三角函数主
要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角 的变
换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角
公式进行更加丰富的三角恒等变换.
思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒 等变换.学习了和角公式，差角
公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变 换的内容、思路和
方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的 空间
和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还
会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找
式子所包含 的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式
恒等变换的重要特点.

（二）推进新课、新知探究、提出问题
①α与
a
有什么关系?
2
2
a
之间的关系？
2
a
1cosa1co sa1cosa
22
a
2
a
③sin
2
=，co s=，tan=这三个式子有什么共同特点？
22221cosa
②如何建立cosα与s in
④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?
1
[sin(α+β)+sin(α-β)];
2


 


cos
(2)sinθ+sinφ=2sin.
22
⑤证明(1)sinαcosβ=
并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？
a a
,将公式中的α用
22
a
2
a
代替,解出sin即可.教 师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是的二倍角.在倍
22
a
22
a
角公式cos2α=1-2sinα中,以α代替2α,以代替α,即得cosα=1-2sin,
22
1cosa
2
a
所以sin=. ①
22
a
2
在倍角公式cos2α=2cosα-1中,以α代替2α,以 代替α,即得
2
2
a
cosα=2cos-1,
2
1cosa
2
a
所以cos=. ②
22
活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin2
将①②两个等式的左右两边分别相除,即得

tan
2
a1cosa
=. ③
21cosa
教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：
(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;
(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).
教 师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提
醒学生在以后的 学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin
a
=±
2
1 cosa1cosa1cosa
aa
,cos=±,tan=±,并称之为半角公式(不 要求记忆),
22
221cosa
符号由
a
所在象限决定.
2
教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函 数
式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的
差 异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择
可以联系它们的 适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构
形式的变换.
对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出
左式.但为了更 好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出
发点，引导学生思考，哪些公 式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsin
β.从方程角 度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数.二元方程要求得
确定解，必 须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出
sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ后，解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的
二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.
（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决 它的反问题，即用积的形式表示和的
形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令 α+β=θ，α-β=φ，则
α=



2
，β=



2
,代入 (1)式即得(2)式.
证明:(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,
将以上两式的左右两边分别相加,得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ,
即sinαcosβ=
1
[sin(α+β)+sin(α-β)].
2
(2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ.①
设α+β=θ,α-β=φ,那么α=
把α,β的值代入①,
即得sinθ+sin φ=2sin



2
,β=


2
.



2
cos



2
.
教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结 出在本例的证明过
程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角 函数式变
换成θ,φ的三角函数式.另外,把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等 式看作x,y的

方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.
a
的二倍角.
2
1cosa
2
a
②sin=1-cos.
22
讨论结果：①α是
③④⑤略(见活动）.

（三）应用示例
思路1
例1 化简:
1sinxcosx
.
.
1sinxcosx
活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教 师提醒学生注意半角公式
和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系. xxxxxx
2sincos2sin(sincos)
222

2 22
=tan
x
. 解:原式=
xxxxxx
2
2cos< br>2
2sincos2cos(cossin)
222222
2sin
2
点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.
变式训练
化简:sin50°(1+
3
tan10°).
13

2(cos10sin10

)

3sin10

2
sin50
2
解:原式=sin50°
1
< br>
cos10cos10

sin30

cos10

cos30

sin10

=2sin50°²
< br>cos10
sin40

sin80

cos10


=2cos40°²=1.
cos10

cos10

cos10


例2 已知sinx-cosx=
1
33
,求sinx-cosx的值.
2
活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于
332333333
(a-b)=a-3ab+3ab2-b=a-b-3ab(a-b),∴a-b =(a-b)+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学
生深挖本例的思想方法,由于sinx²c osx与sinx±cosx之间的转化.提升学生的运算.化简
能力及整体代换思想.本题也可直接应 用上述公式求之,即
sinx-cosx=(sinx-cosx)+3sinxcosx(sinx- cosx)=
化简问题之中.
解:由sinx-cosx=
333
1133
.此方法往往适用于sinx±cosx的
16
1
2
1,得(sinx-cosx)=,
24

即1-2sinxcosx=33
13
,∴sinxcosx=.
48
22
∴sinx- cosx=(sinx-cosx)(sinx+sinxcosx+cosx)
=
13
11
(1+)=.
28
16
点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.
变式训练
(2007年高考浙江卷,12) 已知sinθ+cosθ=
______________.
答案:

13


,且≤θ≤,则cos2θ的值是
54
2
7

25
cos
4
Asin
4
Acos
4
Bs in
4
B
1求证:1
. 例1 已知
2222
cosBsinBcosAsinA
活动：此题可从多个角度进 行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,
只是将A,B的位置互换了,因此应从所给的 条件等式入手,而条件等式中含有A,B角的正、余
22
弦,可利用平方关系来减少函数的种类 .从结构上看,已知条件是a+b=1的形式,可利用三角
代换.
cos
4
Asin
4
A
1
, 证明一:∵22
cosBsinB
∴cosA²sinB+sinA²cosB=sinB²cos+ B.
424222
∴cosA(1-cosB)+sinA²cosB=(1-cosB)c osB,
424424
即cosA-cosB(cosA-sinA)=cosB- cosB.
4224
∴cosA-2cosAcosB+cosB=0.
2222222
∴(cosA- cosB)=0.∴cosA=cosB.∴sinA=sinB.
42422
cos
4
Bsin
4
B

cos
2
B+sin
2
B=1. ∴
22
cosAsinA
cos
2
Asin
2
A
cosa,
证明二:令=sinα,
cosBsinB
则cosA=cosBcosα,sinA=sinBsinα.
两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1.
∴B-α=2kπ(k∈Z),即B=2kπ+α(k∈Z).
∴cosα=cosB,sinα=sinB.
2222
∴cosA=cosBco sα=cosB,sinA=sinBsinα=sinB.
22
cos
4
Bsin
4
Bcos
4
Bsin
4
B
22

∴=cosB+sinB=1.
2222
cosAsinAcosBsinB
点评:要善于从不同的角度来观 察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关
系进行了合理消元.
变式训练

在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角,记S=
11

, 求证:S<1.
1tanA1tanB
证明:∵S=
1tanA1tan B1tanAtanB


(1tanA)(1tanB)1tanAt anBtanAtanB
又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°.
∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0,
∴tanA²tanB>1.∴S<1.
思路2
例1 证明
1sinx

x
=tan(+).
cosx
4
2
活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可 从三个角度进行推导：①左边→
右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着 多角度的化简推导.
注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角
类 为正切.
解：方法一：从右边入手，切化弦，得
x
，三角函数的种
2
x

x

xxx
sin()sincoscos sincossin

x
22

4242

22
,由左右两边的角tan(+)=

x

x

xx x
4
2
cos()coscossinsincossin
42222 222
xx
之间的关系，想到分子分母同乘以cos+sin,得
22
xx
(cossin)
2
1sinx
22


xxxx
cosx
(cossin)(cossin)
222 2
方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
xxxx
( cossin)
2
cossin
1sinx
2222


xxxxxx
cosx
(cossin)(cossin)cossin
222222
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos
x< br>,得
2
1tan
x

x
tantan
2

42
=tan(

+
x
).
x
x
4
2
1tan1tantan
242
点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.
变式训练 已知α,β∈(0,

22
)且满足:3sinα+2sinβ=1,3sin2 α-2sin2β=0,求α+2β的值.
2
22222
解法一:3sinα+2s inβ=1

3sinα=1-2sinβ,即3sinα=cos2β,
①

3sin2α-2sin2β=0cos

3sinα
② < br>22422222
①+②:9sinα+9sinαcosα=1,即9sinα(sinα+c osα)=1,
∴sinα=
2
α=sin2β,
11

.∵α∈(0,),∴sinα=.
93
2
22
∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα²3sinα+c osα²3sinαcosα=3sinα
(sinα+cosα)=3³
∵α,β∈(0,< br>2
1
=1.
3
3


),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.
2
22
2222
解法二:3sinα+2sinβ=1

cos2β =1-2sinβ=3sinα,
3sin2α-2sin2β=0

sin2β=
3
sin2α=3sinαcosα,
2
∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β
2
=cosα²3sinα-sinα²3sinαcosα=0.
∵α,β∈(0 ,
3


),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.
2
22
2
解法三:由已知3sinα=cos2β,
3
sin2α=sin2 β,
2
两式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(
∵α∈(0,< br>
-2β).
2

),∴tanα>0.∴tan(-2β)>0.
22
< br>


又∵β∈(0,),∴

<-2β<.
2
222

结合tan(-2β)>0,得0<-2β<.
2 22



∴由tanα=tan(-2β),得α=-2β,即α+2β= .
222

sin(a

)sin(


)tan
2

例2 求证:
1
222
sin

cos

tan

活动：证明三角恒等式 ,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为
弦”也是在三角式的变换中经常使用的 方法.
证明:证法一:左边=
(sincos

cos

sin

)(sin

cos

cos
sin

)

sin
2

cos
2< br>
sin
2
acos
2

cos
2
asin
2

cos
2
asin
2

t an
2

=
11
=右边.∴原式成立.
sin
2
cos
2

sin
2
cos
2

tan
2
a
cos
2
sin
2

sin
2
cos
2

cos
2
asin
2

证法二:右边=1-

2222
sincos
< br>sinacos


=
(sinacos

c osasin

)(sinacos

cosasin

)

22
sincos

sin(a

)sin (a

)
=左边.∴原式成立.
sin
2
cos
2

=
点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑
推理能力.
变式训练
1sin4

cos4

1sin4
cos4


.
2
2sin

1tan

1sin4

cos4

2tan


分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于,此式右
1sin4

cos4

1tan
2

1.求证:
边就 是tan2θ.
证明:原等式等价于
而上式左边
1sin4

cos4

tan2

. < br>1sin4

cos4

sin4

(1c os4

)2sin2

cos2

2sin
2
2

2sin2

(cos2

sin2

)

==tan2


2
2cos2

(sin2

cos2

)
sin4

(1cos4

)2sin2

cos2

2co s2

右边.∴上式成立,即原等式得证.
2.已知sinβ=m²sin(2α+ β),求证:tan(α+β)=
1m
tanα.
1m
分析: 仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2
α+β可化为结论式中 的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.
证明:由sinβ=msin(2α+β)
sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]

sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m0[sin(α+β)cosα +cos(α+β)sin
α]

(1-m)²sin(α+β)cosα=(1+m )²cos(α+β)sinα

tan(α+β)=
1m
tanα.
1m

（四）知能训练
a
5
,α在第二象限,则tan的值为( )
2
13
1
1
A.5 B.-5 C. D.


5
5

2.设5π<θ<6π,cos=α,则sin等于( )
24
1.若sinα=
A.
1a1a1a1a
B. C.

D.


2222
3.已知sinθ=

解答:

37

,3π<θ<,则tan_________________.
2
52

1.A 2.D 3.-3

（五）课堂小结
1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式 的应用,半角公式、
代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等 式与条
件等式的证明.
2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想, 等价转化,三角恒等变形的
基本手段.

（六）作业






3.2简单的三角恒等变换（2）
一、教学目标
1、通过三角恒等变形，形如
asinxbcosx
的函数转化为
yAs in(x

)
的函数；
2、灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。
二、教学重点与难点
重点：三角恒等变形的应用。
难点：三角恒等变形。
三、教学过程
（一）复习：二倍角公式。
（二）典型例题分析
5

sin
2

sin2

4
(2)求tan(

)的值
．
的值
例1：
已知0

 ,sin

.
(1)求
；
25
cos
2

cos2

4

解：（1）由
0



2
,sin


43
,
得
c os

,

55
sin
2

sin2

sin
2

2sin

cos
20.

cos
2

cos2

3c os
2

1
（2）
tan


sin

45

tan

11
,tan(

).

cos

341tan

7
（1
例2．
利用三角公式化简sin503tan10）.

13
2(cos10sin10)
3sin10
2
sin 50
2
解：
原式sin50

（1）
cos10 
cos10
sin30cos10cos30sin10sin40
2cos40

cos10cos10
sin80cos10
1
.
cos10cos10
2sin50
例３．已知函数
f(x)cos4
x2sinxcosxsin
4
x

（1） 求
f(x)
的最小正周期，（2）当
x[0,

2
]
时，求
f(x)
的最小值及取得最小值时
x
的
集合．
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数
yAsin


x


的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函 数式中的作
用．
例4．若函数
f(x)3sin2x2cos
2
xm在区间[0
，
]
上的最大值为6，求常数m的值
2

及此函数当
xR
时的最小值及取得最小值时
x
的集合。
（三）练习：教材P142面第4题。
（四）小结：(1) 二倍角公式：
sin 2

2sin

cos

,
cos2

cos
2

sin
2

2cos
2

11sin
2

,

2tan

tan2

.
2
1tan

(2)二倍角变式 ：
2cos
2

12cos2

,2sin
2

1cos2


(3)三角变形技巧和代数变形技巧
常见的三角变形技巧有
①切割化弦；
②“1”的变用；
③统一角度，统一函数，统一形式等等．
（五）作业：《习案》作业三十四