我是一棵树作文-社团活动策划书

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学 习 目 标

1.能推导并记住二倍角的正弦、余弦和正切公
式．(重点)
2.能利用二倍角的正弦、余弦和正切公式化
简、求值和证明．(重点)
3.掌握二倍角公式的主要变形，并能熟练应
用．(难点、易混点)

1.借助二倍角公式的推导，培养学生的数学建
模和逻辑推理素养.
2.通过利用二倍角公式进行化简、求值和证
明，提升学生的数学运算和逻辑推理素养.
核 心 素 养


1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法

S
2
α

C
2
α

T
2
α

2.余弦的二倍角公式的变形
公式
sin 2
α
＝2sin
α
cos
α

cos 2
α
＝cos
α
－sin
α

2tan
α
tan 2
α
＝
2
1－tan
α
22

3．正弦的二倍角公式的变形
1sin 2
α
(1)sin
α
cos
α
＝sin 2
α
，cos
α
＝.
22sin
α
(2)1±sin 2
α
＝(sin
α
±cos
α
).
思考：用tan
α
能表示sin 2
α
和cos 2
α
吗？
2tan
α
[提示] 可以．sin 2
α
＝2sin
α
cos
α
＝.
2
1＋tan
α
1－tan
α
cos 2
α
＝cos
α
－sin
α
＝.
2
1＋tan
α
22
2
2

π
 
ππ

π
1.

cos－sin

cos＋sin

＝( )
12

1212
12

A．－
3

2
1
B．－
2
D.
3

2
1
C.
2
D [原式＝cos
2
ππ3
2
π
－sin＝cos＝.]
121262
2．sin 15°cos 15°＝ .
1111
[sin 15°cos 15°＝×2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.]
4224
1
2
π
3.－cos＝ .
28
－
211

1π2
2
π

2
π
[－cos＝

1－2cos

＝－cos＝－.]
8

4282

244
4．若tan
θ
＝2则tan 2
θ
＝ .
42tan
θ
2×24
－ [tan 2
θ
＝＝＝－.]
22
31－tan
θ
1－23

给角求值
【例1】 (1)cos
4
π
4
π
－sin等于( )
1212
B．－
D.
3

2
3

2
1
A．－
2
1
C.
2
(2)求下列各式的值．
①1－2sin750°；
②
2tan 150°
；
2
1－tan150°
2
π2π
③coscos.
55
(1)D [原式＝

cos


2
π
π3
2
π

2
π
2
π
2
π
2
π
－sin

cos＋sin

＝cos－ sin＝cos＝.]

1212

1212

1 21262
(2)[解] ①原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos
(
4×360°＋60°
)

1
＝cos 60°＝.
2

②原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－3.
ππ2π
2sincoscos
555
③原式＝
π
2si n
5
2π2π4π
sincossin
555
＝＝
ππ< br>2sin4sin
55
π
sin
5
1
＝＝.
π4
4sin
5

对于给角求值问题
一般有两类： 1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子
进行转化，一般 可以化为特殊角.
2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解
过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正
弦公 式的形式.

[跟进训练]
1．求下列各式的值
(1)cos 72°cos 36°；
13
(2)＋.
sin 50°cos 50°
[解] (1)cos 36°cos 72°＝
sin 144°1
＝.
4sin 36°4
cos 50°＋3sin 50°
(2)原式＝
sin 50°cos 50°
3

1

2

cos 50°＋sin 50°

2

2

＝
1
×2sin 50°cos 50°
2
2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 72°cos 72°
＝＝
2sin 36°4sin 36°

＝
2sin 80°2sin 80°
＝＝4.
11
sin 100°sin 80°
22
给值求值、求角问题
[探究问题]
1．公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪些主要变形？
提示：主要变形有：
1±sin 2
α
＝sin
α
＋cos
α
±2sin
α
cos
α
＝(sin
α
±cos
α
)，
1＋cos 2
α
1－cos 2
α
222
1＋cos 2
α
＝2cos
α
，co s
α
＝，sin
α
＝.
22
ππ
2．如何在倍角 公式中用2
α
±＝2(
α
±)解题？
24
222

π

π

提示：(1)sin 2
α
＝c os

－2
α

＝cos

2

－
α



2

4

 
2

π
2

π
＝2cos

－
α

－1＝1－2sin

－
α

；

4

4

(2)cos 2
x
＝si n

＝2sin


π
－2
α

＝sin

2

π
－
α


 
4


2


π
－
α

cos

π
－
α

；
 
4


4


π
＋2
α< br>
＝sin

2

π
＋
α


4


2

(3)cos 2
x
＝sin

＝2sin


π
＋α

cos

π
＋
α

.

4


4

π

ππ

【例2】 (1)已知
α
∈

－，

，且sin 2
α
＝sin

α
－

，求
α
.
4

22

πcos 2
x

π
5
(2)已知sin

－
x

＝，0＜x
＜，求的值．
4π


4

13

cos

＋
x


4

π
π

思路点拨：(1)

2
α
＋

－2
α
＝，用诱导公式联系求解．
2

2

(2)用余弦二倍角公式和诱导公式求解．
π

[解] (1)∵sin 2
α
＝－cos

2
α
＋


2

π

2

＝－

2cos

α
＋

－1


4

π

2

＝1－2cos

α
＋

，
4


π

π

sin

α
－

＝－sin

－
α
< br>
4

4


π

π

＝－cos

－

－
α





2

4

π

＝－cos

＋
α

，

4

π

2

∴原式可化为1－2cos

α
＋


4

π

＝－cos

α
＋
，
4

π

π

1
 
解得cos

α
＋

＝1或cos

α
＋

＝－.
4

4

2
< br>
ππ

∵
α
∈

－，

，

22

π

π3π

∴
α
＋∈

－，

，
4

4
4
ππ2π
故
α
＋＝0或
α
＋＝，
443
π5π
即
α
＝－或
α
＝.
412
π

π

5
(2)∵0＜
x
＜，sin< br>
－
x

＝，
4

4

13
∴
π

π

π

12
－< br>x
∈

0，

，cos

－
x
＝，
4

4

4

13
22
cos 2
x
cos
x
－sin
x
＝
2

π

cos

＋
x


4
2
cos
x
－sin
x


π

＝2(cos
x
＋sin
x
)＝2cos

－
x



4

＝
24
.
13

sin 2
x
1．若本例(2)中的条件不变，则的值是什么？
π

si n

＋
x


4

225
π

[解] sin

－
x

＝cos
x
－sin
x
＝，
213

4

2
119
平方得sin 2
x
＝，
169

π

π

π


＋
x



＋
x< br>sin

＝cos

2
－


4



4



π

1 2
＝cos

－
x

＝，

4

13
sin 2
x
11913119
所以＝×＝.

π

16 912156
sin

＋
x


4

π

5
2．若本例(2)中的条件变为tan

－< br>x

＝，其他条件不变，结果如何？

4

12
[解] 因为tan


π
－
x

＝
5
，

12

4


π

5

π

所以sin

－
x

＝cos
－
x

，

4

12

4

又sin

2

π
－
x
＋cos
2

π
－
x

＝1， < br>
4


4


π

12
故可解得cos

－
x

＝，

4

13
原式＝2cos


π
－
x
＝
24
.

13

4


解决条件求值问题的方法
1有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关 系，看是否适合
相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
2当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.



化简、证明问题

11
【例3】 (1)化简：＋＝ .
tan
θ
＋1tan
θ
－1
3tan 12°－3
(2)证明：＝－43.
2
sin 12°4cos12°－2
思路点拨：(1)通分变形．
(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值
(1)－tan 2
θ
[原式＝
tan 2
θ
.]
3sin 12°－3cos 12°
cos 12°
(2)证明：左边＝
2
2sin 12°2cos12°－1
3

1

23

sin 12°－cos 12°

2

2

＝
2sin 12°cos 12°cos 24°
＝
23sin12°－60°－23sin 48°
＝
sin 24°cos 24°1
sin 48°
2
tan
θ
－1＋tan
θ
＋1
tan
θ
＋1tan
θ
－1
＝
2tan
θ
2tan
θ
＝－＝－
22
tan
θ
－ 11－tan
θ
＝－43＝右边，所以原等式成立．]

证明三角恒等式的原则与步骤
1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次 降低，复角化单角，
如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
2证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消
除差异，达到证 明的目的.

[跟进训练]
2．求证：(1)cos(
A
＋B
)－sin(
A
－
B
)＝cos 2
A
cos 2
B
；
(2)cos
θ
(1－tan
θ
)＝cos 2
θ
.
1＋cos2
A
＋2
B
1－cos2A
－2
B
[证明] (1)左边＝－
22
＝
cos2
A
＋2
B
＋cos2
A
－2
B

2
22
22

1
＝(cos 2
A
cos 2
B
－sin 2
A
sin 2
B
＋cos 2
A
cos 2
B
＋sin 2
A
sin 2
B
)＝cos 2
A
cos 2
B
＝右
2
边，
∴等式成立．

sin
θ

(2)法一：左边＝cos
θ

1－
2
< br>

cos
θ

2
2
＝cos
θ< br>－sin
θ
＝cos 2
θ
＝右边．
法二：右边＝cos 2
θ
＝cos
θ
－sin
θ

22
22< br>
sin
2
θ

＝cos
2
θ
(1 －tan
2
θ
)＝左边. ＝cos
θ

1－
< br>
cos
θ

2
2


1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
3
αα
8
α
是4
α
的二倍；6
α
是3
α
的二倍；4
α
是2
α
的二倍；3
α
是
α
的二倍；是的
224< br>二倍；是的二倍；
n
是
n
＋1
的二倍(
n
∈ N)．
3622
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：
1＋cos 2
α
22
①1＋cos 2
α
＝2cos
α
；②cos
α
＝；
2
1－cos 2
α
22
③1－cos 2
α
＝2sin
α
；④sin
α
＝.
2

1．下列说法错误的是( )
3
α
A．6
α
是3
α
的倍角，3
α
是的倍角
2
B．二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角
C．存在角
α
，使得sin 2
α
＝2sin
α
成立
2tan
α
D．对任意角
α
，总有tan 2
α
＝
2
1－tan
α
D [A正确，
β
中二倍角的正弦、余弦公 式适用任意角，正切公式的适用范围是
α
，
π
2
α
≠
k
π＋(
k
∈Z)，故B对，D错；C中若
α
＝
k
π(
k
∈Z)时等式成立．]
2
2．若sin
α
＝3cos
α
，则
sin 2
α
＝ .
2
cos
α
αααα
*

sin 2
α
2sin
α
cos
α
2sin
α
6cos
α
6 [＝＝＝＝6.]
22
cos
α
cos
α
cos
α
cos
α

π

3．设sin 2
α
＝－sin
α
，
α
∈

，π

，则tan 2
α
的值是 ．

2

3 [∵sin 2
α
＝－sin
α
，
∴2sin
α
cos
α
＝－sin
α
.

π

由
α
∈

，π

知sin
α
≠0，

2

12π
∴cos
α
＝－，∴
α
＝，
23
4ππ
∴tan 2
α
＝tan＝tan＝3.]
33
π4
4．已知＜
α
＜π，cos
α
＝－.
25
(1)求tan
α
的值；
(2)求sin 2
α
＋cos 2
α
的值．
4π
[解] (1)因为cos
α
＝－，＜
α
＜π，
52
3sin
α
3
所以sin
α
＝，所以tan
α
＝＝－.
5cos
α
4
24
(2)因为sin 2
α
＝2sin
α
cos
α
＝－，
25
7
2
cos 2
α
＝2cos
α
－1＝，
25
所以sin 2
α
＋cos 2
α
＝－

24717
＋＝－.
252525