伽利略资料-团委书记述职报告

课下层级训练(二十)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[A级 基础强化训练]
1．(2019·内蒙古赤峰月考)计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( )
1
A．
2
C．
2

2
B．
D．
3

3
3

2
【答案】A [－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°＝sin(47°－17°)＝sin
1
30°＝.]
2
π
2．已知<α<π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)等于( )
2
2
A．
3
22
C．
3
B．
6

4
32
D．
6
1

2
22
1－


3

＝
3
.]
1
π
【答案】C [由3sin 2α＝2cos α，得sin α＝. 因为<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝
32
π
1
α－

＝( ) 3．(2018·山东日照期中)已知sin 2α＝，则cos
2


4

3
1
A．
3
2
C．
3
π
11
2α－

＝， 【答案】C [∵sin 2α＝，∴cos

2

3

3
1
B．
6
8
D．
9

α－
π

＝
1
， ∴cos

2

4

3
ππ
21
α－

－1＝，cos
2

α－

＝.] ∴2cos
2


4

4

33
132tan 14°
4．(2019·河南六市联考)设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝
22
1－tan
2
14°
A．aC．bB．aD．c1－cos 50°
，则有( )
2
【答案】D [由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin 25°，∴c．
]

5．(2019·吉林长春模拟)若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )
A．－
C．
3

5
33
B．
5
D．
3

7
3

19
【答案】D [由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝23，得
tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]
＝
α＋
1＋α＋
－tan 60°
23－3
3
＝＝.]
1＋23×3
7
6．(201 8·山东济南期中)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，
则cos 2θ＝________.
cos
2
θ－sin
2
θ< br>1－tan
2
θ
1－4
33
【答案】－ [由题意知，tan θ＝2，所以cos 2θ＝
2
＝＝－.]
2
＝
2
55< br>sin
θ＋cosθ
tan
θ＋1
4＋1
sin
2< br>50°
7.＝________.
1＋sin 10°
1－cos 100°1－
1sin
2
50°
【答案】 [＝＝
2
1＋sin 10°＋
＝
1＋sin 10°
1
＝.]
2
＋
＋
＋

ππ
3
x－

＝－，则cos x＋cos

x－

＝________. 8．已知cos

6

3

3
ππ
1333
－
3

＝－
x－

＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝3cos

x－

＝3×【答案】－1 [cos x＋cos


3

6

2222< br>
3

1.]
π
x＋

. 9．(201 9·山东实验中学诊断)函数f(x)＝cos


4

π

π

(1)求f


6

＋f

－
6

的值；
(2)若f(x)＝
2
，求sin 2x的值．
10
ππ
x＋

＋cos

－x＋

＝2cos x， 【答案】解 (1)f(x)＋f(－x)＝cos

4

4

π< br>
π

π
36
－
＝2cos ＝2×＝. 则f< br>
＋f

6

6

622
π2
x＋

＝， (2)f(x)＝cos


4

10
ππ
24
2x＋

＝1－2cos
2
x＋

＝. 则sin 2x＝－cos

2

4

25
π
x＋

，x∈R. 10．(2019 ·广东六校联考)已知函数f(x)＝sin


12


(1)求f


－
π
4


的值；
(2)若cos θ＝
4
5
，θ∈


0，
π
2


，求f


2θ－
π
3


的值．
【答案】解 (1)f


－π
4


＝sin


－
π
4
＋
π
12


＝sin


－
π
1
6


＝－
2
.
(2)f


2θ－
π
3


＝sin

ππ

2θ－
3
＋
12


< br>＝sin


2θ－
π
4


＝< br>2
2
(sin 2θ－cos 2θ)．
因为cos θ＝
4
5
，θ∈


0，
π
2


， 所以sin θ＝
3
5
，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝
24
，cos 2θ＝cos
2
θ－sin
2
7
25
θ＝
25
，
所以f

π

2θ－
3


＝
2
2
(sin 2θ－cos 2θ)＝
2
2
×

24

25
－
7
25


＝
172
50
.
[B级 能力提升训练]
11．(2018·山东临沂期中)已知sin

π
6
－α


＝
6
3
，则cos

2α＋
2π
3


＝(
A．－
2< br>3
B．－
1
3

C．
2
3
D．
1
3

【答案】D [∵sin

π

6
－α


＝
6
3
，
则cos


2α＋
2π
3


＝－cos
< br>
π－


2α＋
2π
3




＝－cos

π

3
－2α< br>

＝－1＋2sin
2

π

6
－α


＝
1
3
.]
12．已知sin α＝< br>3
5
且α为第二象限角，则tan


2α＋
π4


＝( )
A．－
19
5
B．－
5
19

C．－
31
17
D．－
17
31

【答案】D [由题意得cos α＝－
424
5
，则sin 2α＝－
25
，
cos 2α＝2cos
2
α－1＝
724
25
. ∴tan 2α＝－
7
，
tan 2α＋tan
π
－
24
∴ tan


2α＋
π
47
＋1
17
4

＝
1－tan 2αtan
π
＝
24
4< br>1－

＝－
31
.]

－
7

×1
)

13．(2 017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin
1
α＝
，则cos(α－β)＝________.
3
7
【答案】－ [由题意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，
9
∴β＝π＋2kπ－α(k∈Z)，
sin β＝sin α，cos β＝－cos α.
1
又sin α＝，
3
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝－cos
2
α＋sin
2
α＝2sin
2
α－1
17
＝2×－1＝－.]
99
π
3
π
α＋

＝，则sin

α－

＝________. 14．设α为锐 角，若cos


6

5

12

【答案】
π
32
α＋

＝为正数， [∵α为锐角，cos

6

510
π
4
π
α＋

＝. ∴α＋是锐角，sin


6

56
π< br>π
πππ
ππ
42322
α－

＝sin


α＋
6

－

＝sin

α＋

cos －cos

α＋

sin ＝×－×＝.] ∴ sin


4


12

6
 
6

4525210


4
π

αα
6
，π
，且sin ＋cos ＝. 15．已知α∈


2

222
(1)求cos α的值；
π

3
(2)若sin(α－β)＝－，β∈


2
，π

，求cos β的值．
5
αα
6
【答案】解 (1)已知sin ＋cos ＝，两边同时平方，
222
αα
31
得1＋2sin cos ＝，则sin α＝.
2222
π
3
又<α<π，所以cos α＝－1－sin
2
α＝－
.
22
ππππ
(2)因为<α<π，<β<π，所以－<α－β<.
2222
34
又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.
55
则cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－
43＋3
341

3

－
＝－×＋×.
252

5
10

ππ
3
ππ
35
0，

， sin

β－

＝，β∈

，

16．(2019·山东枣庄质检)已知sin α＋cos α＝，α∈


4
4

5

42

5
(1)求si n2α和tan2α的值；
(2)求cos (α＋2β)的值．
9
【答案】解 (1)由题意得(sin α＋cosα)
2
＝，
5
94
∴1＋sin2α＝，∴sin2α＝.
55
π
3
0，

，∴cos 2α＝1－sin
2
2α＝， 又2α∈


2

5
sin 2α4
∴tan 2α＝＝.
cos 2α3
ππ

π
π
，
，∴β －∈

0，

， (2)∵β∈


42

4

4

π
3
π
4
β－

＝，∴cos

β－

＝， 又sin

< br>4

5

4

5
πππ
24
β－

＝2sin

β－

cos

β －

＝. ∴sin 2


4

4
 
4

25
π
β－

＝－cos 2β， 又sin 2


4

24
∴cos 2β＝－，
25
π

7
，π
，∴sin 2β＝， 又2β∈


2

25
1＋cos 2α
4

π
0，

， ∵cos
2
α ＝＝

α∈


4

25
255
∴cosα＝，∴sin α＝.
55
25

24

5 7115
－
－×＝－∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×.
5

25

52525