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专题四 三角函数与解三角形
第九讲 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
答案部分
2019年
1.解析 由题 意和题图可知，当
P
为优弧
AB
的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所
示，设圆心为
O
，
AOB2

，
BOP AOP
此时阴影部分面积
1

22


 

.
2
11
SS
扇形AOB
S
△ AOP
S
△BOP
2

2
2
22
sin




4

4sin
.故选B.
22
2.
解析

由
2sin2

cos2

1
，得
4sin

co s

2cos
2

.
因为



0,


π


，所以
cos

2sin

.
2


cos
< br>2sin

5
.
故选
B.
由

2
，得
sin


2
sin

cos< br>
1
5

2
tan

2
，得

，


3
3
tan(
< br>)
tan

tan
4
4

1tan< br>
tan
4
tan

(1tan

)21
所以

，解得
tan

2
或
tan< br>

．
1tan

33
3.解析 由
tan

1tan
2

3
2tan

4
cos2


当
tan

2
时，
sin2


，，

2
2
1tan< br>
5
1tan

5
42322
sin(2< br>
)sin2

coscos2

sin< br>.
444525210
1tan
2

4
12ta n

3

， 当
tan


时，
sin2


，
cos2


2
2
1tan

5
31tan

5
所以
s in(2


32422
)sin2

cosc os2

sin
.
444525210

综上，
sin(2



2
．
)
的值是
10
4
2010-2018年
1
．B
【解析】由题意知
cos

0
，因为
cos2
2cos
2

1
2
5
，所以
cos


，

3
6
sin


选
B
．
|ab|
1
5
5
，得
|tan

|
，由题意知
|tan

|
，所以
|ab|
．故12
6
5
5
7
．故选B．
9
y
3 ．C【解析】设点
P
的坐标为
(x,y)
，利用三角函数可得
x y
，所以
x0
，
y0
．所
x
2．B【解析】< br>cos2

12cos
2

12()
2< br>
1
3
以
P
所在的圆弧是
EF
，故选C．
4167
，两边平方得
1sin2


，所以
s in2


，选A．
399
33
2
1
2
5
．
D
【解析】由
cosx
得
cos2x 2cosx12()1
，故选
D
．

448
10 31010
1
6．D【解析】由
tan


，得
sin


，
cos


或
sin

，
101010
3
4．A【解析】由
sin
cos


cos


310
4
22
，所以
cos2

cos

sin

，故选D．
10
5
11

tan(a b)tana1

23

． 7．A【解析】
tanbtan[ (ab)a]
11
71tan(ab)tana
1
23
512
2
8．D【解析】由
sin


，且

为第四象限角，则
cos

1sin


，
1313
sin

5
则
tan

< br>，故选D．
cos

12
9．C【解析】
tan

0
知

的终边在第一象限或第三象限，此时
sin
与
cos

同号，
故
sin2

2sin

cos

0
，选C．
10．B【解析】由条件得sin

1sin


，即
sin

cos

cos

(1sin

)
， cos

cos

得
sin(



)cos

sin(

2


)，又因为


2






2
，
0

2




2
，

所以





2


，所以
2




2
．
2sin
2
Bsin
2
A
sinB
2
b
2
7
11．D【解析】=，∵，∴上式=．
2()12()1
3a2b
sin
2
A
sinAa2

1cos2(


4
)1cos(2


2
)
1sin2

2
12．A【解析】因为
co s(

)
，

4222
2
1

1sin2

3

1
，选A. 所以
cos2
(

)
4226
10
2
sin
2

4cos
2

4sin

cos

10
)
，可得

，13．C【解析】由
(sin

2cos

)(
22
2
sin

cos

4
2

进一步整理可得
3tan
于是
tan2


2

8tan

30
，解得
tan

3
或
tan

，
1
3
2tan

3
．

2< br>1tan

4



14．D【解析】由



，

可得
2

[,

]
，
2

42


1cos2

3
1

，答案应选D。
cos2

1 sin
2
2


，
sin


24
8
另解：由



，

及
s in2

=
8

42




37
可得
sin

cos

1sin2< br>
1



371667967773

，
8161644
37
而当


，

时
sin

cos

，结合选项即可得
sin

,cos


.答案应选
44

42

D．
15．B【解析】分子分母同除
cos
< br>得：
∴
tan2


sin

cos
tan

11
,
∴
tan

3
，
sin

cos

tan

12
2tan

3


2
1tan

4
16．B【解析】由角

的终边在直线
y2x
上可得，
tan

2
，
cos
2

sin< br>2

1tan
2

3
cos2

cos

sin


．
cos
2
sin
2

1tan
2

5
2 2

17．C【解析】
cos(

)cos[( 

)()]cos(

)cos()

244 2442

3



sin(

)sin()
，而


(,)
，
(,)< br>，
4444242442


因此
sin(
4


)
22

6
，
sin()
，
3423
则
cos(


< br>1322653
)
．
233339
18．A【解析】∵< br>cos


43
，且

是第三象限，∴
s in


，
55
1tan
∴

< br>2

cos
cos


2
sin
sin


2

(cos
(cos

 sin)(cossin)
222222
2
1sin

1si n

1

．

cos

2cos
2
sin
2
22
1tan
19．

sin)
2
22



310
【解 析】由
tan

2
得
sin

2cos


10
又
sin
2

cos
2
1
，所以
cos
2



2
)
，所以
cos


525
,sin



55
1
5
因为

(0,
因为
cos(


20
．

4
)co s

cos

4
sin

sin
4

52252310

．
525210
1
【解析】

与

关于
y
轴对称，则




2k


，

3
1
所以
sin

sin


2k



sin


．

3
tan(

)tan
7

44

7
． 21．【解析】
tan

tan[(

)]
5
44
1tan(



)tan

5
44
4

3


22．

【解析】因为
sin(

)
，所以
cos(

)sin[(

)]sin(

)

3454244
3


，因为

为第四象限角，所以
2k



2k

,kZ
，
52
3

所以
2k



2 k

,kZ
，
444


所以
sin(



34
)1()
2

，
455
sin(

)

4
 
4
． 所以
tan(

)

43
c os(

)
4
23．
1
【解析】由已知可得
t an

2
，

2sin

cos

cos
2

2tan

141
1
．
2sin

cos

cos

＝< br>sin
2

cos
2

tan
2

141
2
1
2
tan(


< br>)tan

7
24．3【解析】
tan

tan (





)3
．
2
1tan(



)tan

1
7
2 5．1【解析】
f(x)sin[(x

)

]2sin< br>
cos(x

)

sin(x

) cos

cos(x

)sin


sin (x



)sinx
．∵
xR
，所以f(x)
的最大值为1．
26．

10


1
1

【解析】∵
tan





,可得
tan


，
5
4
2
3

10
12
,cos


，< br>sin

cos

=

．
5
1 010
∴
sin


27．
3
【解析】
s in2

2sin

cos

sin
，则
cos


则
tan

3
，
tan2


1

，又

(,

)
，
22
2tan

23
3
．
1tan2

13
28．
172

4

3< br>【解析】因为

为锐角，cos(

)
=,∴sin(
)
=，
50
6565
∴sin2(



6
)
24

25,
cos2(


6
)

217172
7

，所以sin(
2

)sin[2(

)]
．
126422550
25
3
5
4
5
4
，
5
29．【解析】(1)由角

的终边过点
P(,)
得
sin



4
．
5
34
3
(2)由角

的终边过点
P(,)
得
c os


，
555
512
由
sin(



)
得
cos(



) 
．
1313
所以
sin(



) sin


由

(



)

得
cos

cos(


)cos

sin(



)sin
，
所以
cos


5616
或
cos

．
6565
4sin

4
，
tan


，所以
sin

cos

．
3cos

3
9
，
25
30．【解析】(1)因 为
tan


因为
sin
2

cos< br>2

1
，所以
cos
2


因此 ，
cos2

2cos
2

1
7
．
25
(2)因为

,

为锐角，所以



(0,π)
．
又因为
cos(


)
525
，所以
sin(



)1cos
2
(



)
，
55
因此
tan(



)2
．
42tan

24
，所以
tan2


，

2
31tan

7
tan2

t an(



)2
因此，
tan(

< br>
)tan[2

(



)]
．
1+tan2

tan(



)1 1
因为
tan


31．【解析】（Ⅰ）
tan







4

tan

1

21
3
．


4
1tan

tan

1tan

12
4
tan

tan

（Ⅱ）
sin2

2sin

cos



2
22
sin

sin

cos

cos2

1
sin

sin

cos



2cos

1

1

2sin
cos

2tan

22

1
． sin
2

sin

cos

2cos< br>2

tan
2

tan

22
2
22
25
32．【解析】（1）∵



，

，sin


5
，∴
cos

1sin
2


5
25


sin



sin

cos

cos

sin


2
(cos

 sin

)
10
；
444210
4
cos2

cos
2

sin
2


3
（2）∵
sin2

2sin

cos
，

55

∴
cos

 2

cos

cos2

sin

sin2


3

3

1

4

334
．
666252510
2
2
3 3
．【解析】（
1
）因为
f(x)(a2cosx)cos
< br>2x


是奇函数，而
y
1
a2cosx为偶




,
得
< br>
函数，所以
y
2
cos(2x

)
为 奇函数，又



0，
a2cos
2
x）所以
f(x)sin2x（
，由
f


2
.





0
，得
(a1)0
，即
a1.

4

12
14


（
2
）由（
1
）得：
f(x)sin 4x,
因为
f

sin


，得
sin

,
又
25
25

4




3





，


，所以
cos

,
因此
s in




sin

cossincos< br>

433
.

3

33
5
2

10
34．【解析】（1）
f(

3 124
33

（2）
由于cos

,
<θ<2π ，
52
2


)2cos

1.

所以
sin

1cos

1
因此f(


94

，
255

6< br>)2cos(




612


)

2cos(

)2cos

cos2sin

sin)
444

32421
22() 
52525
35．【解析】：（1）
f(x)(2cosx1)sin2x< br>2

1
cos4x

2
111
cos2xsin2xcos4xsin4xcos4x

222

2

sin(4x)

24
所以，最小正周期
T
2



42
2
k



（
kZ
）时 ，
f(x)
max

2
216
当
4x

4
2k



2
（
kZ
）， 即
x
（2）因为
f(

)
因为
2
< br>2

sin(4

)
，所以
sin(4

)1

242
4

2




，所以
5

42
2

36．【解析】 （1）
T

所以
4




9

17

4



444
9

，即



16
1
10




．
5

（2）
f(5


5

6

334
)cos(

)sin

,cos



352555
5

16815
f(5

)cos

,sin


．
6171717
4831513
cos(


)cos

cos

sin

sin< br>

．
51751785