新生入学教育-植树问题公式

第5讲 简单的三角恒等变换
第1课时 两角和、差及倍角公式


1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
01
cos
α
cosβ
±sin
α
sin
β
. (1)C
(
α∓
β
)
：cos(
α
∓
β
)＝□
02
sin
α
cos
β
±cos
α
sin
β< br>. (2)S
(
α
±
β
)
：sin(
α±
β
)＝□
03
tan
α
±tan
β

α
，
β
，
α
±
β
≠
π
＋
k
π，
k
∈Z

. (3)T
(
α±
β
)
：tan(
α
±
β
)＝□

2
1∓tan
α
tan
β

2.二倍角的正弦、 余弦、正切公式
01
2sin
α
cos
α
. (1)S< br>2
α
：sin2
α
＝□
02
cos
2
α
－sin
2
α
＝□
03
2cos
2
α
－1＝□
04
1－2sin
2
α
. (2)C
2< br>α
：cos2
α
＝□
05
2tan
α
(3 )T
2
α
：tan2
α
＝□
2
1－tan
α

α
≠±
π
＋
k
π，且
α
≠< br>k
π＋
π
，
k
∈Z

.

42

3.公式的常用变形
01
tan(
α
±
β
)(1∓tan
α
tan
β
)． (1)t an
α
±tan
β
＝□
2
02
1＋cos2
α
， (2)cos
α
＝□
2
2
03
1－cos 2
α
. sin
α
＝□
2
(3)1±sin2
α< br>＝(sin
α
±cos
α
)，
π

si n
α
±cos
α
＝2sin

α
±
.
4

04
a
2
＋
b
2
sin(
α
＋
φ
)，(4)
a
sin
α
＋
b
cos
α
＝□其中cos
φ
＝
tan
φ
＝(
a
≠0)．
2
a
a
2
＋
b
，sin
φ
＝
2
b
a
2
＋
b2
，
b
a

1

1.概念辨析 (1)公式C
(
α
±
β
)
，S
(
α< br>±
β
)
，S
2
α
，C
2
α
中的角
α
，
β
是任意的．( )
(2)存在实数
α，
β
，使等式sin(
α
＋
β
)＝sin
α< br>＋sin
β
成立．( )
(3)在锐角△
ABC
中，si n
A
sin
B
和cos
A
cos
B
大小关 系不确定．( )
tan
α
＋tan
β
(4)公式tan(α
＋
β
)＝可以变形为tan
α
＋tan
β
＝ tan(
α
＋
β
)(1－
1－tan
α
tanβ
tan
α
tan
β
)，且对任意角
α
，β
都成立．( )
(5)对任意角
α
都有1＋sin＝
< br>sin＋cos

.( )
66

3

答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√

2.小题热身
π

4

(1)若cos
α
＝－，
α
是第三象限的角 ，则sin

α
＋

＝( )
4

5

A.－
227272
B. C．－ D.
10101010
α

αα

2
答案 C
4
解析 因为cos
α
＝－，
α
是第三象限的角，
5
3
2
所以sin
α
＝－1－cos
α
＝－，
5
π

ππ

所以sin

α
＋

＝sin
α
cos＋cos
α
sin
4

44

2

4

272

3

＝

－

×＋

－

×＝－.
10

5

2

5

2
(2)计算：cos(
α
＋
β
)cos
β
＋si n(
α
＋
β
)sin
β
＝( )
(
α
＋2
β
)
(
α
＋2
β
)
答案 D
解析 cos(< br>α
＋
β
)cos
β
＋sin(
α
＋
β
)sin
β
＝cos[(
α
＋
β
)－
β
]＝cos
α
.
3
(3)已知cos
x
＝，则cos2
x
＝( )
4
1111
A.－ B. C．－ D.
4488
答案 D
1

3

22
解析 cos2
x
＝2cos
x
－1＝2×

－1＝.
8

4

(4)在平面直角坐标系
xOy
中，角
α
与角
β
均以
Ox
为始边，它们的终边关于
y
轴对
3
称．若tan
α
＝，则tan(
α
－
β
)的值为( )
5
B．sin
α

D．cos
α

2

30915
A.0 B. C. D.
34168
答案 D
解析 由角
α
与角< br>β
的始边相同，终边关于
y
轴对称可知tan
α
＝－tan< br>β
.又tan
α
33
＝，所以tan
β
＝－， 55
3

3

－

－

5< br>
5

tan
α
－tan
β
15
所 以tan(
α
－
β
)＝＝＝，故选D.
1＋tan
αtan
β
3

3

8
1＋×

－

5

5


题型
一
两角和、差及倍角公式的直接应用

1.已知角α
与角
β
均以
x
轴的非负半轴为始边，它们的终边关于
y
轴对称，且角
α
的终边与单位圆交于点
P

42
答案 －
9
解析 因为角
α
的终边与单位圆交于点
P
< br>122
所以sin
α
＝，cos
α
＝.
33
因为角
α
与角
β
的终边关于
y
轴对称，
221

，

，则sin(
α
－
β
) ＝________.

33


221

，

， < br>
33


221

所以角
β
的终 边与单位圆交于点
Q

－，

，

33

122
所以sin
β
＝，cos
β
＝－，
33
1

22

22142
所以sin(
α
－
β
)＝sin
α
cos
β
－cos
α
si n
β
＝×

－
－×＝－.

3

339
3

5π

1

2.(2018·全国卷 Ⅱ)已知tan

α
－

＝，则tan
α
＝___ _____.
4

5

3
答案
2
5 π
tan
α
－tan
4
5π

tan
α< br>－11

α
－
解析 tan

＝＝＝，

4

5π1＋tan
α
5

1＋tan
α
·tan
4
3

3
解方程得tan
α
＝.
2
5

π

5π

3.已知
α
∈

， π

，sin
α
＝，则cos

－2
α

的值为________．
5

2

6

4＋33
答案 －
10
5

π

解析 因为
α
∈

，π

，sin
α
＝. 5

2

25
2
所以cos
α
＝－1 －sin
α
＝－.
5
4
所以sin2
α
＝2si n
α
cos
α
＝－，
5
3
22
cos2
α
＝cos
α
－sin
α
＝，
5
所以cos

＝－




5 π
－2
α

＝cos
5π
cos2
α
＋s in
5π
sin2
α


66

6

331

4

4＋33
×＋×

－< br>
＝－.
252

5

10

应用三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征 和符号变化规律．例如两
角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.


1π
1.(2018·石家庄质检)若sin(π－
α
)＝，且≤
α
≤π，则sin2
α
的值为( )
32
42222242
A.－ B．－ C. D.
9999
答案 A
11π
解析 ∵sin(π－
α
)＝，∴sin
α
＝，又∵≤
α
≤π，
332
22
2
∴cos
α
＝－1－sin
α
＝－，
3
4

1

22

4 2
∴sin2
α
＝2sin
α
cos
α
＝2××< br>
－
＝－.

3

9
3

45
2.(2018·上饶三模)由射线
y
＝
x
(
x≥0)按逆时针方向旋转到射线
y
＝－
x
(
x
≤0)的
312
位置所成的角为
θ
，则cos
θ
＝( )
16165656
A.－ B．± C．－ D．±
65656565
答案 A
4435
解析 设
y
＝
x
(
x
≥0)的倾斜角为
α
，则sin
α
＝，c os
α
＝，射线
y
＝－
x
(
x
≤0)35512
512
的倾斜角为
β
，sin
β
＝，cos
β
＝－，∴cos
θ
＝cos(
β
－
α
) ＝cos
α
cos
β
＋
1313
3

12

4516
sin
α
sin
β
＝×
－

＋×＝－.
5

13

5136511tan
α
3.若sin(
α
＋
β
)＝，sin(< br>α
－
β
)＝，则等于( )
23tan
β
1
A.5 B．－1 C．6 D.
6
答案 A
1
解析 由题意可得sin
α
cos
β
＋cos
α
sin
β
＝，
2
15
si n
α
cos
β
－cos
α
sin
β
＝，解 得sin
α
cos
β
＝，
312
1tan
αcos
α
sin
β
＝，∴＝5.
12tan
β
题型
二
两角和、差及倍角公式的逆用和变形用

1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为( )
1323
A. B. C. D.
2322
答案 A
解析 －sin133°cos197°－cos47°cos73°
＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°
1
＝sin(47°－17°)＝sin30°＝.
2
2.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( )
A.3
C.2
答案 C
解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)
B．1＋2
D．2(tan18°＋tan27°)
5

＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°
＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.
3.已知sin
α
＋cos
α
＝
7
答案
8
解析 由sin
α
＋cos
α
＝
55
2 2
，得sin
α
＋cos
α
＋2sin
α
cos< br>α
＝1＋sin2
α
＝，所
24
5
，则cos4α
＝________.
2
1

2
71
< br>2
以sin2
α
＝，从而cos4
α
＝1－2sin2
α
＝1－2×

＝.
4

4

8
4
条件探究1 将举例说明3的条件改 为“sin
α
－cos
α
＝”，求cos4
α
.
3
4
解 因为sin
α
－cos
α
＝，
3
16
所以1－2sin
α
cos
α
＝，
9
7
所以sin2
α
＝2sin
α
cos
α＝－，
9
17

7

22
所以cos4α
＝1－2sin2
α
＝1－2×

－

＝－ .
81

9

π

2
2
条件探究2 将举例说明3的条件改为“cos

α
－

＝，< br>α
∈(π，2π)”，求sin
α
4

3

＋cos
α
.
π

1＋cos

2
α
－

2

π


2

解 因为cos

α
－

＝
4

2

1＋sin2
α
21
＝＝.所以sin2
α
＝>0， < br>233
3π

又因为
α
∈(π，2π)，所以
α< br>∈

π，

，
2

所以sin
α
＋cos
α
<0，
14
2
(sin
α
＋cos
α
)＝1＋2sin
α
cos
α
＝1＋＝，
33
23
所以sin
α
＋cos
α
＝－.
3

1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
13
(2)注意特殊 角的应用，当式子中出现，1，，3等这些数值时，一定要考虑引入
22
特殊角，把“值变角” 构造适合公式的形式．
6

2．熟记三角函数公式的两类变式
(1)和差角公式变形
sin
α
sin
β
＋cos(α
＋
β
)＝cos
α
cos
β
，
c os
α
sin
β
＋sin(
α
－
β
)＝s in
α
cos
β
，
tan
α
±tan
β
＝tan(
α
±
β
)·(1∓tan
α
tanβ
)．
(2)倍角公式变形
降幂公式cos
2
α
＝
1＋cos2
α
2
，sin
2
α
＝
1－c os2
α
2
，
配方变形：1±sin
α
＝

αα
αα

sin
2
±cos
2


2,

1＋cos
α
＝2cos
22
2
，1－cos
α
＝2sin
2
.





1.若
x
∈[0，π]，sin
x
2
xx
2
x
3
sin
3
＝cos
3
cos< br>3
，则
x
的值是( )
A.
π
6
B.
πππ
4
C.
3
D.
2

答案 D
解析 由已知得，cos
x
3
cos
2
x
3
－sin
x
3
sin
2
x
3
＝cos
x
＝0.∵
x
∈[0，π]，∴
x
＝
π< br>2
.
2.(2019·湖南郴州质检)已知
x
∈(0，π)， sin


π

3
－
x



＝cos
2


x

2
＋π
4



，则tan
x
＝( )
A.
1
2
B．－2 C.
2
2
D.2
答案 D
解析 因为sin


π

3
－
x



＝cos
2


x< br>＋
π

24



，
1＋

π

所以
3
2
cos
x
－
1
cos

x
＋
2
sin
x
＝
< br>2


2
，
3cos
x
－sin
x
＝1－sin
x
，解得cos
x
＝
3
3
，
因为
x
∈(0，π)，所以sin
x
＝1－cos
2< br>x
＝
6
3
，
7

6
所以 tan
x
＝
sin
x
3
cos
x
＝
3
＝2.
3
3.化简：
2tan45°－
α
1－tan
2
45°－
α
·
sin
α
cos
α
cos
2
α
－sin
2
α
＝________.
答案
1
2

11
解析 原式＝tan(90°－2
α
)·
2
sin2
α
sin90°－2
α
2sin2
α
cos2
α
＝
cos90°－2
α
·
cos2
α

1
＝
cos2
α
2
sin2
α
sin2
α
·
cos2
α
＝
1
2
.
题型
三
两角和、差及倍角公式的灵活应用

角度1 角的变换
1.(2018·南开区模拟)已知0<
α
＜
π
2
<
β
<π，cos



β
－
π
4


14

＝
3
，sin(
α
＋
β
)＝
5
.
(1)求sin2
β
的值；
(2)求cos


π

α
＋
4



的值．
解 (1)sin2
β
＝cos


π

2
－ 2
β



＝2cos
2


β
－
π

－1＝－
7

4

9
.
(2)因为0<
α
<
π
2
<
β
<π，所以
π
2
<
α
＋
β
<
3π
2
，
所以sin



β
－
π
4



>0，cos(
α
＋
β
)<0，
因为cos



β
－
π
4< br>

14

＝
3
，sin(
α
＋< br>β
)＝
5
，
所以sin



β
－
π
4



＝
22
3
，cos(
α
＋
β
)＝－
3
5
，
所以c os



α
＋
π

4
< br>
＝cos


α
＋
β
－

β
－
ππ



4


< br>
＝cos(
α
＋
β
)·cos



β
－
4


＋
sin(
α
＋
β
)sin



β
－
π
4


＝


3

－
5

142282－3

×
3
＋
5
×
3
＝
15
.
角度2 函数名称的变换
2.求值：(1)
sin10°
1－3tan10°
＝________；
(2)
1＋cos20°

1
2sin20°
－sin10 °


tan5°
－tan5°



＝ ________.
8

13
答案 (1) (2)
42
sin10°sin10°cos10°
解析 (1)＝
1－3tan 10°cos10°－3sin10°
2sin10°cos10°sin20°1
＝＝＝.
4
3

1

4sin30°－10°
4

cos10°－sin10°

2

2

2
2cos10°

cos5°
－
sin5°

(2)原 式＝－sin10°·

2×2sin10°cos10°

sin5°c os5°

cos10°cos5°－sin5°
＝－sin10°·
2sin10°sin5°cos5°
cos10°cos10°
＝－sin10°·
2sin10°1
sin10°
2
cos10°cos10°－2sin20 °
＝－2cos10°＝
2sin10°2sin10°
cos10°－2sin30°－10°
＝
2sin10°
3

1

cos10°－2

co s10°－sin10°

2
3sin10°3

2
＝＝＝.
2sin10°2sin10°2

三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路
(1)角的变换：明确各个角之间的关系 (包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟
悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2< br>α
＝(
α
＋
β
)＋(
α
－
β
)，
α
＝(
α
＋
β
)
－
β
＝(
α
－
β
)＋
β
，40°＝60°－20°，
22

π
＋
α

＋

π
－< br>α

＝
π
，
α
＝2×
α
等． 
4

224

4

(2)名的变换： 明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把
正弦、余弦化为正切，或者把正切 化为正弦、余弦.

β

ππ3

π

1

π
β

1.若0<
α
<，－<
β< br><0，cos

＋
α

＝，cos

－
＝，则cos

α
＋

等于
2
< br>22

4

3

42

3

( )
A.
33536
B．－ C. D．－
3399
答案 C
πππ3π
解析 ∵0<
α
<，∴<
α
＋<.
2444
9

∵cos


π
＋
α

＝
1< br>，∴sin

π
＋
α

＝
22
.

3

4

3

4

πππ
β
π
∵－<
β
<0，∴<－<.
24422∵cos


π
－
β

＝
3
，∴sin

π
－
β

＝
6
.

42

3

42

3

β

π

π
β

∴cos
α
＋

＝cos

＋
α

－

－


2

4

42
＝cos


π
＋
α

cos< br>
π
－
β

＋sin

π
＋
α

sin

π
－
β



42

4

42


4
 
1322653
＝×＋×＝.
33339
α

π

1
2

π
2.(2018·吉林第三次调研)若si n

－
α

＝，则cos

＋

＝________.

6

3

62

2
答案 < br>3

π

π


π

π

1
所以cos
2

π
＋
α

＝解析 因为sin

－
α

＝sin

－

＋
α


＝cos

＋
α< br>
＝，

62




6

3

3


2

3
1
π

1＋cos

＋
α

1＋3
2

3

＝＝.
223
45
3. (2018·江苏高考)已知
α
，
β
为锐角，tan
α
＝， cos(
α
＋
β
)＝－.
35
(1)求cos2
α
的值；
(2)求tan(
α
－
β
)的值．
4sin
α
4
解 (1)因为tan
α
＝，tan
α
＝，所以sin
α
＝cos
α
.
3cos
α< br>3
9
222
因为sin
α
＋cos
α
＝1， 所以cos
α
＝，
25
7
2
因此，cos2
α< br>＝2cos
α
－1＝－.
25
(2)因为
α
，β
为锐角，所以
α
＋
β
∈(0，π)．
又因为cos(
α
＋
β
)＝－
5
，
5< br>2
所以sin(
α
＋
β
)＝1－cos
α
＋
β
＝
25
，因此tan(
α
＋
β
)＝－2 .
5
42tan
α
24
因为tan
α
＝，所以t an2
α
＝＝－，
2
31－tan
α
7
因此，t an(
α
－
β
)＝tan[2
α
－(
α
＋
β
)]
＝
tan2
α
－tan
α
＋β
2
＝－.
1＋tan2
α
tan
α
＋
β
11
10

思想方法 三角恒等变换中的拆角、凑角思想
1

π

π

[典例1] (2018·石嘴山 一模)已知
α
满足sin
α
＝，那么sin

＋
α

sin

－
α

的
2

4

4

值为( )
1111
A．－ B. C．－ D.
2244
答案 D

π

π
 

π

π

解析 ∵sin

－α

＝sin

－

＋
α


＝cos

＋
α

，



4

4


2

4
1

π

π

π

π

1< br>
π

1
∴sin

＋
α

sin

－
α

＝sin

＋
α

cos

＋
α

＝sin

＋2α

＝cos2
α
＝
2

4
4

4

4

2

2

2
1

1

2

1
2
(1－2sin
α
)＝

1－2×

＝.
2

2

4
11
[典例2] 若tan
α
＝，tan(
α
＋
β
)＝，则tan
β
＝__ ______.
32
1
答案
7
11
解析 因为tan
α
＝，tan(
α
＋
β
)＝，
32< br>11
－
23
tan
α
＋
β
－tan
α
1
所以tan
β
＝tan[(
α
＋
β
) －
α
]＝＝＝.
1＋tan
α
＋
β
tan
α
117
1＋×
23
方法指导 三角变换的关键是找到条件和结论中的角和 式子结构之间的联系.变换中可
以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.



11