乞巧节的习俗-辞职报告表格

考点15三角恒等变换

1．和与差的三角函数公式
（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
（3）能利用两角差的余弦公 式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公
式，了解它们的内在联系.
2．简单的三角恒等变换
能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积 、半角公式，但对这三组公式不要
求记忆）.

一、两角和与差的三角函数公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

（1）
C
(
< br>

)
：
cos(



)co s

cos

sin

sin

（2）
C
(



)
：
cos(


)cos

cos

sin

sin


（3）
S
(



)
：
sin(



)sin
cos

cos

sin


（4）
S
(



)
：
sin(



)sin

cos

cos

si n


（5）
T
(



)：
tan(



)
tan

t an

π
(

,

,



kπ,kZ)

1tan

tan

2
tan

tan

π
(

,

,



kπ,kZ)

1tan
tan

2
（6）
T
(



)
：
tan(



)
2．二倍角 公式
（1）
S
2

：
sin2

2s in

cos


（2）
C
2

：
cos2


cos
2

sin
2< br>
12sin
2

2cos
2

1


1

（3）
T
2

：
tan2


3．公式的常用变形
2tan

π kππ
(

kπ且

,kZ)
2
1t an

224

（1）
tan

tan

tan(



)(1mtan

tan
)
；
tan

tan

1
（2 ）降幂公式：
sin
2


tan

tan
tan

tan

1

tan(


)tan(



)
1co s2

1cos2

1
；
cos
2
< br>
；
sin

cos

sin2


222
2
（3）升幂公式：
1cos2

2cos
2

；
1cos2

2sin
2
< br>；
1sin2

(sin

cos

)
；
1sin2

(sin

cos
)
2

（4）辅助角公式：
asinxbcosx
a
2
b
2
sin(x

)
，其中
cos


a
ab
22
,sin


，ab

22
b
tan


b

a
二、简单的三角恒等变换
1．半角公式
（1）
sin

2


1cos


2
1cos


2
1cos

sin

1cos



1cos

1 cos

sin

（2）
cos

2
< br>
（3）
tan

2


【注】此公式不用 死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：


2

2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）
（1）积化和差公式： < br>1
cos

cos

[cos(


)cos(



)]
；
2
1
sin

sin

[cos(



)cos(



)]
；
2
1
sin

cos

[sin(



)sin(



)]
；
2
1
cos

sin

[sin(



)si n(



)]
.
2
（2）和差化积公式： < br>sin

sin

2sin
sin

 sin

2cos



2
cos
si n



2
；
；
；
.



2
2
2



2
2
cos

cos

2cos


< br>cos






2
cos
cos

2sin



sin
考向一三角函数式的化简
1．化简原则
（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；
（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．
2．化简要求
（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；
（2）式子中的分母尽量不含根号.
3．化简方法
（1）切化弦；
（2）异名化同名；

3

（3）异角化同角；
（4）降幂或升幂．

典例1化简：.
【解析】原式.
【方法 技巧】（1）三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，
切 化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．
（2）三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．
（3）在化简时要注意角的取值范围.

1．化简
1sin61sin6

A．
2sin3

C．
2sin3



B．
2cos3

D．
2cos3

考向二三角函数的求值问题
1．给角求值 < br>给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊
角的三角函数，从而得解.
2．给值求值
已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：
（1）先化简所求式子．
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
3．给值求角
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：

4

（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正 弦或余弦函数．若角的范围是
(0,)
，则选正、余弦皆可；若角的范
围是(0，π) ，则选余弦较好；若角的范围为
(
4．常见的角的变换
（1）已知角表示未知角
例如：

















，
2













,2












，
π
2
ππ
,)
，则选正弦较好.
22
2



(



)

，2



(



)

，


（2）互余与互补关系
例如：
(
)(



2




2
，





2




2
.
π
4
3ππππ


) π
，
(

)(

)
.
4362
（3）非特殊角转化为特殊角
例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.

典例2 求下列各式的值：
（1）cos
π
3π
ππ
+cos-2sincos;
8848
（2）sin 138°-cos 12°+sin 54°.
π3ππ3 π

π
3π
ππ
8
cos
88
2cos
π
=2cos
π
cos
π
2
cos< br>π
【解析】（1）cos+cos-2sincos=
2cos
8
88 488488
22
=
2
cos
ππ
2
cos=0 .
88
（2）sin 138°-cos 12°+sin 54°=sin 42°-cos 12°+sin 54°=sin 42°-sin 78°+sin 54°=-2cos
60°sin 18°+sin 54°=
sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18°=
2cos36sin18cos18cos36sin362cos 36sin36sin72
===
cos18cos182cos182cos1 8
=
1
.
2
【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特 殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，
如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.

5

2．
3tan20


sin20


B．2
D．4
A．1
C．3

典例3 已知tan(
α−β
)=
A．
π

4
3π

4
11
，tan
β
=

，且
α
，
β
∈(0,π)，则2
α−β
=
27
π
B．


4
D．C．

π
3π
或


44
【答案】C
1
2tan



< br>
2

4
，

【解析】因为tan 2(
α−β
)=
1tan
2




1(
1
)
2
3
2
2
4

1





tan2


< br>

tan

3

7


所以tan(2
α−β
)=tan[2(
α−β
)
+β
] ==1.
4

1

1tan2





tan

1



3< br>
7

1

1



< br>
tan





tan
< br>1
2

7


又tan
α
=tan[(
α−β
)
+β
]=，
1

1

31tan





tan

1



2

7

又
α
∈(0,π)，所以0<
α
<
π
.
4
又
π
3π
<
β
<π，所以
−
π<2α−β
<0，所以2
α−β
=

.
24
故选C．
【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关 角的范围，还要结合有关角的三角
函数值尽可能地缩小角的范围.

6

3．已知

,



0 ,
A．


π

11
1
cos


cos(



)
，，，则



2

7
14
B．


6
5π

12
π

3
C．


4
D．

典例4 在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.
（1）求的值；
（2）求的值.
【解析】（1）由于角的终边经过点，
所以，.
.
（2）.
则，
故.
【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是 已知的,哪些是待求的,再利用已知
条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确 定符号. 这类求值问题关键在于结合
条件和结论中的角，合理拆、配角.

4．已 知

(,π)
，且
sin

cos


π
2
3
，则
cos2



3
B．

A．
5

3

5

3

7

C．
25

3
D．

25

3
考向三三角恒等变换的综合应用
1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题
（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成
y
=
A
sin(
ωx
＋
φ
)＋
t
或
y
=
A
cos(
ωx
＋
φ
)
＋
t
的形式．
（2）利用公式
T
2π

(

0)
求 周期．
（3）根据自变量的范围确定
ωx
＋
φ
的范围，根据相应的 正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最
值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的 最值．
（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数
y
=
A
sin(
ωx
＋
φ
)＋
t
或
y
=
A
cos(
ωx
＋
φ
)＋
t
的单调
区间．
2．与向量相结合的综合问题
三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以 向量的坐标形式给出与三角函数有关的
条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算， 即令
a
=(
x
1
，
y
1
)，
b< br>=(
x
2
，
y
2
)，则
a·b
=< br>x
1
x
2
＋
y
1
y
2
，< br>a
∥
b
⇔
x
1
y
2
=
x< br>2
y
1
，
a
⊥
b
⇔
x
1< br>x
2
＋
y
1
y
2
=0，把向量形式化为坐标 运算后，接下来的运算仍然是三角函
数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.
3．与解三角形相结合的综合问题
（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等 于π，可以根据此关系把未知量减少，再用
三角恒等变换化简求解；
（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．
【注】此类题 中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个
角均在(0,)
内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.
π
2

典例5 已知函数.
（1）求函数的对称中心及最小正周期；
（2）
△ABC
的外接圆直径为，角，，所对的边分别为，，.若，且，求的值.

8

【解析】（1）
f(x)43sinxcosxs in
2
x3cos
2
x123sin2x2cos2x4sin< br>

2x
π


6


.
由
2π
2

π
，得最小正周期为.
令
2x
ππ
k
π
6
kπ(kZ)
，得
x< br>12

2
(kZ)
，
故对称中心为


π
k
π


12

2
，0


（）.
（2）∵，∴.
∵，，∴，
∵，∴，
又∵，∴，
即，即，
∵，∴，
∴，
∵，∴，∴.
∴.

5．已知
a

cos

,si n


，
b

cos

,sin

，

,

均为锐角，且
ab
25
5
.
（1）求
cos





的值； （2）若
sin


3
5
，求
cos

的值．
6．在
△ABC
中，内角
A、B、C
的对边分别 为
a，b，c
，
2cosC

acosBbcosA
< br>c0
.
（1）求角
C
的大小；
（2）若
a 2，b2
，求
sin

2BC

的值.


9

1．
A．

C．

3

2


B．
D．
3

2
1

2
1

2
2．化简的结果是
A．
C．


B．
D．

π
sin
3．已知< br>
2x

4
A．

3


，则
sin4x
的值为

5
B．

D．

18

25
7

25
2
18

25
7

25
< br>ππ

,

，则





22

C．
4．已知方程
x3ax3a10(a1)
的两根分别为
tan

、
tan

，且

、




A．


4
π
3π
或


88
B．

3π
或


4
4
3π

4
C． D．

5．已知，则
A．
C．
B．
D．
2
6．已知



0,

,



0,

，且
sin2

cos

2cos


1sin


，则下列结论正确的是
22


π




π


A．
2



C．




π

2
B．
2




D．




π

2
π

2
π

2
7．已知为锐角，为第二象限角，且，，则
A．

1

2
B．
1

2

10

C．

3

2
D．
3

2
8．函数图象的一条对称轴为
A．
x
π

4
π

8
sin

1cos

5
，则


1cos

sin


B．
x
π

8
π

4
C．x
D．
x
9．若角

满足
A．
1
5
1

5
B．
5

2
C．
5
或 D．
5

10．已知平面直角坐标系 下，角
α
的顶点与原点重合，始边与
x
轴非负半轴重合，终边经过点
P(4,3)
，则

π

cos

2
α




2

A．
24

25
B．

D．
24

25
C．
2424
或


2525
7

25
1tan
2
39
2
11．设
acos50cos127cos40cos37
，
b 
，则
a
，
b
，

sin56cos56< br>
，
c
2
1tan39
2
c
的大小关 系是
A．
abc

C．
cab



B．
bac

D．
acb

1 2．已知
sinαcosα0
，则
cos(2

)
__________.
13．已知
sin10
o
mcos10
o
2cos140
o
，则
m
__________．
14．在斜三角形
ABC
中，
tanAtanBtanAtanB1
， 则
C
_____________.
15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯 学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约
为0.618，这一数值也可以表示为< br>m2sin18
.若
m
2
n
4
，则
π
2
mn

___________.
sin63

11

16．已知函数
f

x

 sinx23sinxcosxsin

x
2


π

π

π

，若
sinxxx0x< br>0

0

为函数
4

4

2

f

x

的一个零点，则
cos2 x
0

__________．
π

11
cos


xOy
Px,y
17．平面直角坐标系中，点< br>
00

是单位圆在第一象限内的点，若，
xOP
，


3

则
x
0
y
0
=__________．
18．已知
tan

2
．
（1）求
tan




π


4


的值；
（2）求
sin2

si n
2

sin

cos

cos2

1
的值．
















1 9．在
△ABC
中，内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，已知
b32,cosA
6π
3
,BA
2
.
（1）求
a
的值；

13
12

（2）求
cos2C
的值.










20．在平面直角坐标系 中，锐角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴，终边与单位圆的交点分别为．已知
点的横坐标为，点的 纵坐标为．
（1）求的值；
（2）求的值.











21．设函数
f(x)cos(2x

)
．
（1）若 函数
f(x)
为奇函数，


(0，
π
)，求
的值；

13

（2）若

＝π
3
，
f(

2
)
＝
1
3< br>，


(0，
π
2
)，求
f(
< br>)
的值．










22．已知,(),函数,函数的最小正周期为．
(1)求函数的表达式;
(2)设,且,求的值．











23．已知函 数
f

x

3cosxcos


x
π


2


sin
2

π

1

x
6


< br>2
.
（1）求
f

x

的单调递增区间；

14

（2）若
x


π
3

0，
4


，
f
< br>x


6
，求
cos2x
的值.














1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）tan255°=
A．−2−
3
B．−2+
3
C．2−
3
D．2+
3

2．（2018新课标全国Ⅲ文科）若
sin


1
3
，则
cos2



A．
87
9
B．
9

C．

7
9
D．

8
9
3．（2017新课标全国Ⅲ文科）已知
sin

cos


4
3
，则
sin2

=
A．

7
B．

2
99



15

C．
2

9
D．
7

9
4．（2017年高考山东卷文数）已知cosx
3
，则
cos2x

4
1

4
1
D．
8
B．
π
），2sin2
α< br>=cos2
α
+1，则sin
α
=
2
1

4
1
C．


8
A．

5．（2 019年高考全国Ⅱ卷文数）已知
a
∈（0，
1
A．
5
B．
D．
5

5
25

5
C．
3

3
6．（2018新课标全国Ⅰ文科）已知角< br>
的顶点为坐标原点，始边与
x
轴的非负半轴重合，终边上有两点
2< br>A

1，a

，
B

2，b
，且
cos2


，则
ab

3
1
A．
5
C．
B．
5

5
25

5
D．
1

7．（2018新课 标全国Ⅱ文科）已知
tan(


5π1
)
，则
tan


__________．
45
ππ
24
π1
9．（2017年高考江苏卷）若
tan(

),
则tan


▲ ．
46
10．（2019年高考江 苏卷）已知
8．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知
a(0，)
，tan
α
=2，则
cos(

)
=.
π
< br>tan

2


，则
sin

2



的值是 ▲ .
π

4

3


tan




4

11．（2019年高考浙江卷）设函数
f(x)sinx,xR
. （1）已知

[0,2),
函数
f(x

)是偶函数，求

的值；
（2）求函数
y[f(x





16

2

)][f(x)]
2
的值域．
124

34
12．（2018浙江）已知角
α
的顶点与原点
O< br>重合，始边与
x
轴的非负半轴重合，它的终边过点
P
（
，-
）．
55
（Ⅰ）求sin（
α
+π）的值；
（Ⅱ）若角
β
满足sin（
α
+
β
）=












13．（2018江苏）已知

,

为锐角，
t an


（1）求
cos2

的值；
（2）求
tan(



)
的值．



17
5
，求cos
β
的值．
13
5
4
，
cos(



)
．
5
3

14．（2018年高考天津卷文数）在
△ABC
中，内角
A，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，< br>c
．已知
b
sin
A
=
a
cos(
B
–
π
)．
6
（1）求角
B
的大小；
（2）设
a
=2，
c
=3，求
b
和sin(2
A< br>–
B
)的值．











变式拓展
1．【答案】A
【解析】因为
1sin61sin6


sin3cos 3

2


sin3cos3

2
，< br>3π
3π
，
4
所以原式
sin3cos3sin3cos32sin3
.

18

故选A．
2．【答案】D
20
°
【解析】
3
-
tan20
鞍
3
-
sin
cos20
°
-
sin20
?
2(
3
co s20
?
1
sin20
?
)
sin20鞍
=
20
=
3cos20
sin20鞍cos20
=
22
si nsin20?cos20?

(
o
o
=
2sin60-
20
o
)
sin20
o
cos20
o
=
2sin40
sin20
o
cos20
o
=
4 sin20
o
cos20
o
sin20
o
cos20
o
=
4
.
故选D.
3．【答案】D
【解析】由于< br>
,




0,
π


2


，所以





0,π

，
所以
sin

1cos
2

43
7
，
sin





1cos
2






53
14
.
所以
cos

cos











cos





cos

 sin





sin


1
2
，
所以


π
3
.
故选D．
4．【答案】A
【解析】因为
sin

co s


3
3
，
所以
1+sin2
< br>=
1
，
则
sin2


2
33< br>.
因为

(
π
2
,π)
，且
s in

cos


3
3
，
所以
(
3π
4
,π),2

(
3π
2
,2π)
，
所以
cos2

=1
45
9

3
.
故选A.
5．【解析】（1）由题意得：
a1
，
b1
，

19

ab

ab

a
2
2abb
2
22

cos

cos< br>
sin

sin


22cos






2
2
4
，
5
解得：
cos






3
5
.
（2）
Q

,



0,
π


2


，
< br>




0,π

，
由
sin


3
5
，
cos






3
5
可得：
cos


4
5
，
sin






4
5
，
cos

cos

< br>








c os





cos

sin





sin


344324< br>5

5

5

5

25
.
6．【解析】（1）由已知及正弦定理得
2cosC

sinAcosBs inBcosA

sinC0
，
∴
2cosCsinCsinC0
，
∴
cosC
2
2
，
∵
0Cπ
，∴
C
3π
4
.
（2）∵
a2，b2
，
C
3π
4
，
∴由余弦定理得
c
2
a
2
b
2
2abco sC24222


2



2


10
，

∴
c10
.
由
c
sinC

b5
sinB
sinB
5
，
∵
B
为锐角，∴
cosB
25
5
，
则
sin2B2
5254
22
3
5

5

5
，
cos2BcosBsinB
5
，
故
sin

2BC

sin2BcosCcos2BsinC
4

2

5




3
2

72

2



5 210
.

20

考点冲关
1．【答案】B
【解析】.
故选B.
2．【答案】B
【解析】由题得原式，
，，则.
故选B.
3．【答案】C
【 解析】由题意得：
cos


π

97

2
4x


12sin
2


π< br>
4
2x



12
25

25
，
sin4xcos


π

2
4x


7


25
.
故选C.
4．【答案】D
【解析】由根与系数的关系可知：
tan

tan

3a
，
tan

tan
3a1
，
tan






tan

tan

1tan

t an


3a
13a1
1
，
又
tan

tan

3a0
，
tan
tan

3a10
，
∴tan

0
，
tan

0
， Q

,






π2
,
π


π

2

，


,





2,0


，






π,0

，
∴




3π
4
.
故选D.
5．【答案】D

21
< /p>

π

π

tan

tan
【解析】
tan





π

6


tan



π

π



6


3





6



3


 
1

3
23
.
1tan


π

π
1

3



6


tan
3
故选D．
6．【答案】A
【解析 】由
sin2

cos

2cos
2


1sin


，得
2sin

cos

cos

2cos
2


1sin


，即
sin

cos

cos
< br>sin

cos

，即
sin





cos

sin


π

2




，
由于




0,
π

2


,





0,
π

2


，所以




ππ

2


,2




2
.
故选A．
7．【答案】B
【解析】因为为锐角，为第二象限角，，，
所以为第二象限角，
因此sin，cos，
所以,
因为为锐角，所以，2)=cos.
故选B．
8．【答案】C
【解析】由题意得，
令，得，
当时，
x
π
8
．
故
x
π
8
是函数图象的一条对称轴．
故选C．
9．【答案】D
2sin

cos

【解析】
Q
sin

22
1cos


1
5< br>，
112sin
2

2
tan

2

22

1
1cos

1
2
 5
.

sin

2sincostan
222
故选D.
10．【答案】B
【解析】因为角

的终边经过点
P(4,3)< br>，所以
sin


12cos
2

34< br>,cos


，
5
4
2
3
2
5
3
则
cos

3424

π

2


sin2

2sin

cos

2
，
5525

2

故选B.
【名师点睛】本题主要考查了已 知角的终边上一点的坐标求三角函数值，以及诱导公式、二倍角公式
的应用，属于基础题.已知角

终边上一点
P(x,y)
，则
sin


y< br>xy
22
,cos


x
xy
22,tan


y
(x0)
.
x
11．【答案】D
【解析】
acos50cos127cos4 0cos37cos(50127)cos(77)cos77sin13
，
b
222

sin56cos56

sin 56cos56sin(5645)sin11
，
222
sin
2
39
1
2
1tan
2
39
co s39
cos
2
39sin
2
39cos78si n12
，
c
2
2
sin39
1tan39< br>1
cos
2
39
π
因为函数
ysinx,x [0,]
为单调递增函数，所以
sin13sin12sin11
，
2
所以
acb
.
故选D．
12．【答案】
1

【解析】因为
sinαcosα0
，所以
1sin2

0
，即
sin2

1
，
所以
cos(2

)sin2

1
，
故答案是
1
.
13．【答案】
3


23
π
2

2cos140
o
sin10
o
2cos40
o
sin10
o
2cos30
o
10
o
sin10
o
【解析】由题可得
m< br>
o
cos10
o
cos10
o
cos10
3cos10
o
3
.
o
cos10
14．【答案】

3π

4
【解析】在
△ABC
中，
tanAtanBtanAtanB1
， 则
tanAtanB1tanAtanB,

tanCtan
< br>πAB

tan

AB


Q 0Cπ,C
故答案为
tanAtanB1tanAtanB
 1
，
1tanAtanB1tanAtanB
3π
.
4
3π
.
4
15．【答案】
22

【解 析】因为
m2sin18
，
m
2
n4
，所以
n4m
2
44sin
2
184cos
2
18 
，
所以
mn2sin182cos1822sin(1845)< br>22
.
sin63sin63sin63
故答案为
22
.
16．【答案】
351

8
2
【解析】由
f
x

sinx23sinxcosx
sin

x


π

π

π
sinx
，化简可得
f(x)2sin(2x)

4

4

6

1
π1π1

，由
f(x
0)2sin(2x
0
)0
，得
sin(2x
0
)=0
,
26264
πππ5πππ
又
0x
0< br>
，
2x
0

，所以
2x
00
，
266666
故
cos(2x
0
)π
6
15
，
4
π
6
πππππ35

1
]cos(2x
0
)cossin(2x
0
) sin
.
666668
此时：
cos2x
0
cos[ (2x
0
)
17．【答案】
1531

26

24

【解析】由题意知：




π

π

π5


0,
2
< br>
，


3



3
,< br>6
π


，
由
cos




π

3



11
< br>13
，得
sin





π
43
3



13
，
则
y

sin




π
0
s in
3

π


3


sin


π

π

π

π



3


cos
3
cos




3


sin
3


431113153
13

2

13

2

26
，
xcos




π
3

π

3


co s





π

3


cos
π

π

π
0
cos

3
sin




3

< br>sin
3


1114331
13

2< br>
13

2

26
，
则
xy1531
0

0

26

1531
26

26
，
故答案为
1531
26
. tan

tan
π
．【解析】（1）
tan


π

4



4



tan


1

2

1
 3
.
1tan

tan
π
1tan
12
4
（2）
sin2

2sin

cos

sin
2

sin

cos

cos2

1

sin
2

sin

cos



2cos
2

1
1

2sin

cos

2tan

2
sin
2

sin

cos
< br>2cos
2


tan
2

tan
2

2
2
2
22
1
.
．【解析】（1）
QcosA
6
3
，
sinA1c os
2
A1
63
9

3
，
QBA 
π
2
，
sinBsin



A
π

2

6

cosA
3
.
由正弦定理，得
a
bsinA
32
3
3
sin B

6
3
.
3
25
18

19

（2）
QBA
π
2
，
cosBsinA
3
3
.
sinCsin< br>
AB

sinAcosBcosAsinB
3
< br>3

6
3





3< br>


6

1
，

333cos2C12sin
2
C1
27
9

9< br>.
20．【解析】（1）因为点
P
的横坐标为，
P
在单位圆 上，
α
为锐角，所以cos
α
＝，
所以cos2
α
＝2cos
2
α
－1＝．
（2）因为点
Q
的纵坐标为，所以sin
β
＝．
又因为
β
为锐角，所以cos
β
＝．
因为cos
α
＝，且
α
为锐角，所以sin
α
＝，
因此sin2
α
＝2sin
α
cos
α
＝，
所以sin(2
α
－
β
) ＝．
因为
α
为锐角，所以0＜2
α
＜π．
又cos2
α
＞0，所以0＜2
α
＜，
又
β
为锐角，所以－＜2
α
－
β
＜，
所以2
α
－
β
＝．
21．【解析】（1）
Qf< br>
x

为奇函数，
f

0

c os

0
，
又



0,π

，



π
2
，
当



2
时，
f

x

cos


π


2x
2


s in2x
是奇函数，满足题意，
∴



2
.
（2）
Q


π
f




π

3
，

2



1
3
，
cos





1
3



3
，
又





0,
π

2


，



π

π5π

π

22
3



3
,
6


，
sin





3


3
，
sin2


π

π< br>
π

42



3


2sin




3


c os




3



9
，

26

2
cos2





π

3


cos
2




π

2

π
1

2

22

7
3


sin




3




3





< br>
3


，

9
f



cos



2


π< br>


π

π


π
< br>π

π

π
3


cos


2




3



3


cos2




3


cos
3
sin2




3


sin
3

7
9

1
2

42
9

3467
2

18
.
22．【解析】(1)=,
因为函数的最小正周期为,所以,解得,
所以．
(2)由,得,
因为,所以,
所以,
所以====．
23．【解析】（1）
f

x

3cosxcos


π
2

π

1
1cos



2x
π

3



x
2


sin


x
6


< br>2
3sinxcosx
2

1
2

3< br>2
sin2x
1
2
cos



2x
π

3



3
2
sin 2x
1

1
2


cos2x
3sin2x



22



3
4
sin2x
1
4
cos2x

1

π

2
sin


2x
6


，
令
2kπ
π
2
2x
π6
2kπ
ππ2π
2
，即
2kπ
3
2 x2kπ
3
，
则
k
π

π
6
xk
π

π
3
，
所以
f

x

的单调递增区间为


k
π

π< br>6
，k
π

π


3


，
kZ
.
（2）∵
f

x


1

π

3
2
sin

2x
6



6
，∴
sin


2x
π

6



3
3
，
∵
x


0，
π

，∴

π
2
ππ

π

6

4

6
x
6

3
，∴cos


2x
6



3
，

27

故
cos2xcos


2x




π

π

π

3π

1


cos2x sin2x





6

6

6

26

2


631 323

.
322326
直通高考
1．【答案】D

【解析】
tan255tan(18075)tan75tan( 4530)
=
tan45tan30

1tan45tan30
3
3
23.


3
1
3
1
故选D.
【名师点睛】本题主要 考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算
求解能力．首先应用诱导 公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算
求解．题目较易，注重了基 础知识、基本计算能力的考查．
2．【答案】B
【解析】，故选B.
3．【答案】A

sin

cos


【解析】
sin2

2sin

cos

< br>1
所以选A.
2
1
7

.
9
【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：
（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
（2）变名 ：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
（3） 变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常
值代 换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
4．【答案】D

28

3
1

3

【解 析】由
cosx
得
cos2x2cos
2
x12

1
.
4
8

4

故选D. < br>【名师点睛】（1）三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特< br>征．
（2）三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等 )，寻找式子和
三角函数公式之间的共同点．
5．【答案】B
2



2
4sin
α
cos
α
2cosα
.
Qα

【解析】
Q2sin2αcos2α1
，

0,

,cos
α
0
，
sinα 0,

2

2sinαcosα
，
又
si n
2

cos
2

1
，

5 sin
α
1,sin
α
又
sin

0
，
sin


故选B．
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍 角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余
弦的正负，运算准确性是关键，题目不难 ，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数
值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本 题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及
正余弦平方和为1关系得出答案．
6．【答案】B
【解析】根据条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以.
故选B.
7．【答案】
22
1
，
5
5
.
5
5π
5π

4
< br>tan

1

1
，解方程得. 【解析】
tan< br>



4

1tan

t an
5π
1tan

5

4
tan
< br>tan
8．【答案】
310

10
【解析】由
ta n

2
得
sin

2cos

，

29

又
sin
2

cos< br>2

1
，所以
cos
2


1< br>，
5
因为

(0,)
，所以
cos
< br>
因为
cos(

)cos

cos
π
2
525
,sin


，
55
π
4
ππ
sin

sin
， 44
所以
cos(

)
9．【答案】
π
4
52252310

.
525210
7

5

1
1
tan(

)tan
76
44

． 【解析】
tan

tan[(

)]
44
1tan(



)tan

1
1
5
446
7
故答案为．
5
【名师点睛】三角函数求值的三种类型
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：
①适当变换已知式，进而求得待求式的值；
②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．
10．【答案】
2

10
tan


1 tan


tan

tan

2

【解析】由，得
3tan
2

5tan

2 0
，
π

tan

1
tan

13

tan




4

1tan


解得
tan

2
，或
t an


1
.
3
π

ππ

sin

2



sin2

coscos2

sin

4

44

22

2sin

cos

cos
2

sin
2




sin2

cos2


=


22
22
sin

cos


2

2tan

1tan
2


=

，
2

tan
2

1


30

2

2212
2

2

=；
当
tan

2
时，上式
=


2
2

21

10
11
2 ()1()
2
2
1
33
]=
2
.

[
当
tan


时，上式=
1
210
3
()
2
1
3
综上，
sin

2




π

2
.

4

10
【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理 和数学运算素养.采取转化法，利用分类
讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得
tan< br>
的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将
原问题转化为齐次式求值的问题，最 后切化弦求得三角函数式的值即可.
11．【解析】（1）因为
f(x

)sin(x

)
是偶函数，所以，对任意实数
x
都有
sin(x

)sin(x

)
，
即
s inxcos

cosxsin

sinxcos

cosxsin

，
故
2sinxcos

0
，
所以
cos

0
．
又

[0,2π)
，
因此


π
3π
或．
22

（ 2）
y

f

π



π< br>

π

π

2

2

xfxsinxsinx




 

124124




< br>22
π

π

1cos

2x
1cos

2x


1

33
6

2


1

cos2x sin2x


222

22

1
3π

cos

2x

．
23

33
,1]
．
22
因此，函数的值域 是
[1
【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力 .
12．【解析】（Ⅰ）由角

的终边过点
P(,)
得
sin


所以
sin(

π)sin


3
5
4
5
4
，
5
4
.
5

31

（Ⅱ）由角< br>
的终边过点
P(,)
得
cos


由
sin(



)
3
5
4
5
3
，
5
512
得
cos(



)
.
1313
由

(


)

得
cos

cos(



)cos

sin(



)sin

，
所以
cos


5616
或cos


.
6565
【名师点睛】本题主要考查三角函数 的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解
决问题的能力，运算求解能力，考查的数 学核心素养是数学运算.
求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.
（1） 首先利用三角函数的定义求得
sin

，然后利用诱导公式，计算sin（
α
+π）的值;
（2）根据sin（
α
+
β
）的值，结合同 角三角函数的基本关系，计算
cos(



)
的值，要注 意该值的
正负，然后根据

(



)

，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos
β
的值.
13． 【解析】（1）因为
tan


所以
sin

< br>4sin

，
tan


，
3cos

4
cos

．
3
因为
sin
2

cos
2

1
，
所以
cos
2


9
，
25
7
．
25
因此，
cos2

2c os
2

1
（2）因为

,

为锐 角，所以



(0,)
．
又因为
cos(



)
5
， 5
2
所以
sin(



)1cos(< br>


)
因此
tan(


< br>)2
．
因为
tan


25
， 5
42tan

24
，所以
tan2

，

31tan
2

7
因此，
tan(



)tan[2

(



)]
tan2

tan(



)2

．
1tan2

tan(



)11
【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数 ，考查运算求解

32

能力．
14．【解析】（1）在< br>△ABC
中，由正弦定理
ab

，可得
bsinAasin B
，
sinAsinB
πππ
又由
bsinAacos(B)
，得
asinBacos(B)
，即
sinBcos(B)
，可得
tanB3
．
666
π
又因为
B(0，π)
，可得
B
=． < br>3
π
（2）在
△ABC
中，由余弦定理及
a
=2，< br>c
=3，
B
=，有
b
2
a
2
c
2
2accosB7
，故
b
=
7
．
3
由
bsinAacos(B)
，可得
sinA
π
6
3
．
7
因为
a
<
c
，故
cos A
2
．
7
1
43
2
，
cos2A2cosA1．

7
7
4311333

．
727214
因 此
sin2A2sinAcosA
所以，
sin(2AB)sin2Acos Bcos2AsinB
【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦 公式，二倍角的正弦与
余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．在处理三角 形中的边角关系时，
一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正 弦定理，出现边
的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形 问题时，注
意角的限制范围．




33