美丽的小路教学设计-亲子活动方案

艺考生高考数学专题讲义
考点十九 三角恒等变换
知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S
(α
＋
β)
)
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S
(α
－
β)
)
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C
(α
＋
β)
)
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C
(α
－
β)
)
tan α＋tan β
tan(α＋β)＝ (T
(α
＋
β)
)
1－tan αtan β
tan α－tan β
tan(α－β)＝ (T
(α
－
β)
)
1＋tan αtan β
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α (S
2α
)
cos 2α＝cos
2
α－sin
2
α＝2cos
2α－1＝1－2sin
2
α (C
2α
)
2tan α
tan 2α＝ (T)
1－tan
2
α
2α
3．公式的变形和逆用
在准确熟练地 记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用
等．常见变形如下：
1＋cos 2α1－cos 2α
降幂公式：cos
2
α＝
，sin
2
α＝
，
22
升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos
2
α，1－cos 2α＝2sin
2
α
αα
1＋cos α＝2cos
2
，1－cos α＝2sin
2
.
22
正切和差公式变形：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan α＋tan βtan α－tan β
tan αtan β＝1－＝－1.
tanα＋βtanα－β
αα
配方变形：1＋sin α＝(sin＋cos)
2
，
22
αα
1－sin α＝(sin－cos)
2
.
22
4．辅助角公式
b
asin α＋bcos α ＝a
2
＋b
2
sin(α＋φ)，其中tan φ＝.
a
典例剖析
高中数学

艺考生高考数学专题讲义
题型一 给角求值
例1 (1) 计算cos 42° cos 18°－cos 48° cos 72°的值为________．
sin 110°sin 20°
(2)计算
2
的值为________．
cos155°－sin
2
155°
11
答案 (1) (2)
22
解析 (1) cos 42° cos 18°－cos 48° cos 72°＝cos 42° cos 18°－sin 42° sin 18°
1
＝cos (42°＋18°) ＝cos 60°＝.
2
(2)∵ cos
2
155°－sin
2
155°＝cos 310°＝cos 50°.
1
sin 40°
sin 110°sin 20°sin 70°sin 20°cos 20°sin 20°
2
1
∴
2
＝＝＝＝.
2
cos 310°cos 50°sin 40°2
cos155°－sin155°
sin 47°－sin 17°cos 30°
变式训练 ＝________．
cos 17°
1
答案
2
sin30°＋17°－sin 17°cos 30°
解析 原式＝
cos 17°
sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°
＝
cos 17°
sin 30°cos 17°1
＝＝sin 30°＝.
cos 17°2
解题要点 解题时先看角，观 察是否有30°、60°、90°等特殊角，或是观察能否通过变形凑
配出这些特殊角.再看所求式结构 ，选用合适的三角恒等式对原式进行变形处理.在解题时还
要注意对公式进行正用、逆用，要掌握常见的 变式.
题型二 给值求值
π

5
，π
，sin α＝. 例2 已知α∈


2

5
π

(1)求sin


4
＋α

的值；
5π
－2α

的值． (2)求cos


6
π

525
，π
，sin α＝，所以cos α＝－1－sin
2
α＝－
解析 (1)因为α∈

.

2

55
π
ππ
22510
25
＋α

＝sin cos α＋cos sin α＝×

－
故sin

＋×＝－.

4

442

510
5

2
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×
5

25

4
×
－
＝－，
5

5
5

高中数学

艺考生高考数学专题讲义
cos 2α＝1－2sin
2
α ＝1－2×

5

2
3
＝，

5

5
5π44＋33
5π5π
3
31
－2α
< br>＝coscos 2α＋sinsin 2α＝

－

×＋×

－

＝－所以cos

.

6
6610

2

52

5

题型三 利用角的凑配求值
π
1
π
2
β－

＝，那么ta n

α＋

等于________． 例3 已知tan(α＋β)＝，ta n


4

4

4

5
答案
3

22
ππ
解析 因为α＋＋β－＝α＋β，
44
π
π
β－

，所以 所以α＋＝(α＋β)－


4

4
ππ
α＋

＝tan

α＋β－

β－

＝tan


4

4

3
＝.
π
22
β－
1＋tanα＋βtan


4

π
β －

tanα＋β－tan


4

π
11
0，

，变式训练 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈



2

则c os(α－β)的值等于________．
33
答案
23

27
π
0，

，∴2α∈(0，π)． 解析 ∵α∈


2

17
∵cos α＝，∴cos 2α＝2cos
2
α－1＝－
，
39
42
∴sin 2α＝1－cos
2
2α＝，
9
π
0，

，∴α＋β∈(0，π)， 而α，β∈

2

∴sin(α＋β)＝1－cos
2
α＋β＝
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
7
1422223
－

×(－)＋＝

×＝.

9

39327
解题要点 1.解决三角函数的求值问题的关键 是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已
知角”有两个时，“所求角”一般凑配为两个“已知角 ”的和或差的形式；(2)当“已知角”
有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关 系，然后应用诱导公式把
“所求角”变成“已知角”．
22
，
3
高中数学

艺考生高考数学专题讲义
α＋βα－βα＋β α－β
2．常见的凑配技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，
2222
α－β
βα
＝(α＋)－(＋β)等．
222
题型四 辅助角公式
例4 (2015安徽文)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)
2
＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
π
0，

上的最大值和最小值． (2)求f(x)在区间


2

解析 (1)因为f(x)＝sin
2
x＋cos
2
x＋2sin xcos x＋cos 2x
＝1＋sin 2x＋cos 2x
π
2x＋

＋1， ＝2sin

4

2π
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
2
π
2x＋

＋1. (2)由(1)的计算结果知，f(x)＝2 sin

4

π
π
π5π
0，

时，2x＋∈

，

， 当x∈


2

4

44

π5π

由正弦函数y＝sin x在


4
，
4

上的图象知，
πππ
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值2＋1；
428
π5ππ
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.
442
π
0，

上的最大值为2＋1，最小值为0. 综上，f(x)在


2

π
变式训练 函数f(x)＝3sin x＋cos(＋x)的最大值为________．
3
答案 1
ππ
13
π
解析 f(x)＝3sin x＋cos cos x－sin sin x＝cos x＋sin x＝sin(x＋)．
33226
∴f(x)
max
＝1.
解题要点 利用辅助角公式将asin x＋bcos x化为Asin(ωx＋φ)是常见的题型，转化时一定要
严格对照和差公式，防止搞错辅助角．对于计算形如y＝sin(ωx＋φ), x∈[a，b]形式的函数最< br>值时，则务必注意角度范围，最好是画出函数图像，观察所给函数在指定范围内是否越过图
像的“ 波峰”或“波谷”.
当堂练习
高中数学

艺考生高考数学专题讲义
1．(2015新课标Ⅰ理)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________．
1
答案
2
1
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
2
sinα＋cosα
1
2．若＝，则tan2α＝________．
sinα－cosα
2
3
答案
4
tanα＋1
1
解析 由＝，得tanα＝－3，
tanα－ 1
2
∴tan2α＝
2tanα3
2
＝，选B项．
1－tan
α
4
π
3
π
3. 已知cos(α＋)＝，则sin(2α－)的值为________．
636
1
答案
3
π
3
解析 由cos(α＋)＝，
63
π
31
得cos(2α＋)＝2×()
2
－1＝－.
333
ππππ
1
所以sin(2α－)＝sin(2α＋－)＝－cos( 2α＋)＝.
63233
ππ
4．若函数f(x)＝sin
2
(x ＋)＋cos
2
(x－)－1，则函数f(x)是________．
44
① 周期为π的偶函数
③ 周期为2π的奇函数
答案 ④
ππππ
解析 f(x)＝sin
2
(＋x)＋sin
2(＋x)－1＝2sin
2
(＋x)－1＝－cos(＋2x)＝sin2x
4442
∴故④正确．
xxx
5．(2015北京理)已知函数f(x)＝ 2sincos－2sin
2
.
222
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
解析 (1)因为f(x)＝
π
222
x＋

－， sin x－(1－cos x)＝sin


4

222
② 周期为2π的偶函数
④ 周期为π的奇函数
所以f(x)的最小正周期为2π.
3πππ
(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.
444
高中数学

艺考生高考数学专题讲义
ππ3π
当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值．
424
3π
2
－

＝－1－. 所以f(x)在区间[－π ，0]上的最小值为f


4

2
课后作业
一、 填空题
35
1．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cosβ＝_ _______．
513
答案
33

65
5
π
12
<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，
13213
解析 ∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－
45312433
sinα＝. 又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.
513513565
2．sin75°cos30°－sin15°sin150°的值为__ ______．
答案
2

2
解析 sin75°cos30 °－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－ 30°)＝sin45°＝
2
.
2
3．(2015陕西文)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．
答案 充分不必要
解析 ∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos
2
α－sin
2
α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒ sin α＝cos α，
故为选充分不必要条件.
π
4
α＋

＝________． 4．若cosα＝－，α为第三 象限角，则sin


4

5
72
答案 －
10
43
解析 ∵α为第三象限角，cosα＝－，∴sinα＝－，
5 5
π
ππ
2
43
72
α＋

＝sinαc os＋cosαsin＝

－－

＝－∴sin

. 
4

442

55

10
sin4 7°－sin17°cos30°
5．＝________．
cos17°
1
答案
2
解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，
sin30°cos17°1
∴原式＝＝sin30°＝.
cos17°2
高中数学

艺考生高考数学专题讲义
π1
π
2
β－

＝，那么tan

α＋

等于________． 6．已知tan(α＋β)＝，tan


4< br>
4

4

5
答案
3

22
π
πππ
β－

， 解析 ∵α＋＋β－＝α＋β， ∴α＋＝(α＋β)－


4

444
ππ
3α＋

＝tan

α＋β－

β－
< br>＝∴tan

＝.

4

4
π

22

1＋tanα＋βtan

β－
4

π

3
7．已知sin


4－x

＝
5
，则sin2x的值为________．
答案
7

25
π
β－

tanα＋β－tan

4

ππ
97
－2x

＝1－2 sin
2

－x

＝1－2×＝. 解析 ∵sin2x＝cos


2

4

2525
π
< br>3
，π
，sinα＝，则tan2α＝________． 8．已知α∈


2

5
24
答案 －
7
π

343
，π
，sinα＝，∴cosα＝－，∴tanα＝ －. 解析 ∵α∈


2

554
2tanα24
＝＝－.
37
1－tan
2
α
2

1－


－
4

3
－

2×


4

∴tan2α＝
9．(2015四川理)sin 15°＋sin 75°的值是________．
答案
6

2
6
.
2
解析 sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝
π
1
π
10．已 知cos(α＋)＝，α∈(0，)，则cosα＝________.
432
答案
2＋4

6
ππ
1
解析 ∵α∈(0，)，cos(α＋)＝>0，
243
ππππ
∴α∈(0，)，α＋∈(，)，
4442
π
22
∴sin(α＋)＝，
43
2＋4
ππππππ
cosα＝cos(α＋－)＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)·sin＝.
4444446
高中数学

艺考生高考数学专题讲义
11． (2015浙江理)函数f(x)＝sin
2
x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间
是________．
37
π＋kπ，π＋kπ

(k∈Z)
答案 π

8

8

1－cos 2x
1
解析 f(x)＝＋sin 2x＋1
22
＝
π
32

2πππ 3π3π7π
sin

2x－
4

＋，∴T＝＝π，由＋2 kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤

22224288
＋kπ，k ∈Z，
3π7π
＋kπ，＋kπ

，k∈Z. ∴单调递减区间是

8

8

二、解答题
π

－x
sin x－3cos
2
x. 12． (201 5重庆理)已知函数f(x)＝sin


2

(1)求f(x)的 最小正周期和最大值；
π2π

(2)讨论f(x)在


6
，
3

上的单调性．
π

－x
sin x－3cos
2
x 解析 (1)f(x)＝sin


2

＝cos xsin x－
π
31333
2x－

－， (1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin

3

2

2222
2－3
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
2
π2π

π
，
时，0≤2x－≤π，从而 (2)当x∈


63

3
πππ5π
当0≤2x－≤，即≤x ≤时，f(x)单调递增，
32612
ππ5π2π
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．
23123
π5π

5π2π
，
上单调递增；在

，

上单调递减． 综上可知，f(x)在


612
 
123

3
π
53
π
3
π＋α

＝
，cos

－β

＝，且0<α<<β<
π， 求cos(α＋β)的值．
13．若sin


4

13

4

544
π
3
解析 ∵0<α<<β<
π，
44
33
ππ
∴
π<π＋α<π，－
<－β<0.
4424
3
π
53
π＋α

＝
，cos

－β

＝， 又sin


4

13< br>
4

5
3
π
124
π＋α
＝－
，sin

－β

＝－， ∴cos


4

4

135
高中数学

艺考生高考数学专题讲义
π
＋α＋β

∴c os(α＋β)＝sin


2


3
π＋α
－

π
－β

＝sin


4

4

3
π
3
π
π＋α< br>
cos

－β

－cos

π＋α

sin

－β

＝sin


4< br>
4

4

4

33
＝－.
65

高中数学