楼盘封顶-滑铁卢大学世界排名

必修4第三章 三角恒等变换单元教学设计
案例 3.1.1两角和与差的余弦
（一）教学目标
知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初 步理解公式
的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
能力目标：进一步理解向量 法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，
进而获取知识的能力．
情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证
明．
（三）学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
（四）教学过程
教学环教学内容
节

探究


提出问题并
引入新课
师：探究
cos(

< br>
)cos

cos



生：反例：
coscos()coscos

62323
师生互动 设计意图
创设问题的情
景，通过设疑，
 
引导学生开展
积极的思维活
动
通过复习相关

问题 ：
cos(



),cos

,cos

的关系？
复习 复习有关知复习：1。余弦的定义
识，寻求解 在第一章三角函数的学习当中我们知道，知识为下面公
决问题的思
在设角

的 终边与单位圆的交点为P,
cos

等于角

路 与单位圆交点的横坐标
式的推导做好
铺垫。

y
终边
P
O
x

2．能否用向量的方法求角的余弦？
师：M、N是

两边上任一点，
cos



OMON
OMON

（显然为了简化计算，取M、N为

两边与单位圆
的交点， 此时有
cos

OMON
）
公式的公式的推导
如图构造角

，
终边与单位圆交于Q,
,
推导 证明
公式理解和
基本掌握。
y
终边
Q< br>P
O
x
终边
通过定义的复
习，在坐标系中
找到差角 的几
何表示，利用以
上的铺垫引导

学生试探采用
向量方法去 解
决问题，同时也
师：指出角



与
OP,OQ
关系：
生：



OP,OQ2k
,kZ

则
cos(



)cosOP,OQ

师：写出点P、Q坐标
生:
Q(cos

,sin
< br>),P(cos

,sin

)

带领学生推导公式：
体会到向量的
工具性作用。
cos(



)cos

cos

sin

sin


（板书）
因为：
cos(


)cosOP,OQ
OPOQ
OPOQ

OPOQ (cos

,sin

)(cos

,sin

)

cos
cos

sin

sin



OPOQ1




)cos

c os

sin

sin

所以：
cos(公式记号
C
(



)



公式的对公式进行思考并讨论：（投影）
深化 更深层次的1）
认识 2）
问题解决的思路与方法
体现了α与β的任意性吗？
对推导过程进
行回顾， 彻底理
清解决问题的
思路，体会用到
的数学思想及
3）探究 cos()的公式
由学生回答上述问题，教师点评：结论如下
1）主要利用了向量这 个工具，体会其作用与便利方法。同时通过
之处.。回归到余弦的定义，数形结合，利用单位对问题的讨 论，
圆简化了计算。 让学生对公式
2）α与β有任意性，有



OP,OQ2k

,kZ

对有一个清晰
说一该公式具有一般性。
3）把公式C
α-β
中的β换成-β，则有
板书：
完整的认识，为
公式的灵活运
用打下基础，进
cos［α- （-β）］=cosα·cos（-β）＋sinα·sin一步培养学生
（-β）
＝cosα·cosβ-sinα·sinβ，
即
探索的能力。
对公式进行深
挖掘，显示其
cos（α+β）=cosα·cosβ- sinα·sinβ（α，“辐射”的作用
β∈R）．
公式记号
C
(



)

师：公式有何特点？如何记忆
生： 公式的结构和特点：“同名异和差”
培养学生的分
析、联想能力、
优化思维品质。

主要是公式右 端中间的“＋、-”号与公式左端α
与β间的“-、＋”号正好相反．
公式的例1、利用学生练习、板演，教师讲评
应用
让学生初步掌
和、差角 余注意将一般角转化为特殊角的和或差，可以不查表握公式的应
弦公式求求值
cos105< br>0
用，，并进一步
熟悉公式的特
征，为以后灵活
应用作铺垫。
及
cos15
的值
归纳小从知识、方公式推导中向量的应用
结 法两个方面公式的结构特征
使学生对本节
知识有一个清
对本节课的在三角变换时，本 公式应用中，首先应考虑根据题晰完整地认识，
内容进行归目的条件与结论来进行角的变换 并点出问题解
决的基本思路
与方法。
纳总结
布置作教材
业 习题3.1.1
练习A
思考题：
已知cos


求 cos

111
,cos(



),且
，

均为锐角，

714
巩固本节课所
学知 识，培养学
生自觉学习的
习惯，给学有余
力的学生留出
自由发展的空
间
1,2,3
练习B 1



案例 ３.1(２)
（一）教学目标
１．知识目标：掌握公式结构特点，会用公式求值．
２．能力目标：培养学生的观察，分析，类比，联想能力，间接推理能力，自学能力．
３．情感能力：发展学生正向，逆向思维能力，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点

重点是公式的结构特点，会用公式求值．
难点是公式的逆向和变形运用．
（三）教学方法

教师按照课本的知识结构 先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课本，课堂上在教师三导（引导，指导，辅导）
下，以 学生为主体，对所设问题进行读，议，练，讲，其间教师通过提问，参与讨论，巡视学生练习及板演，观察学生情 绪
等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中．
（四）教学过程


教 学 教 学 内 容
环 节






















复习公式
师 生 互 动





先让学生默写两角和与差的余弦公式，然后
指出这两个公式是讨论复角< br>


与单角
设计意图







以旧引新，
注意创设
情境，通过
设疑，引导
学生开展
积极的思
维活动．
复
习
引
入
cos





cos

cos

sin

sin

cos





cos

cos

sin< br>
sin



,

的余弦函数间的关系， 且此关系对任
意角

,

均成立，并且要注意
cos





cos

cos
的．
是错误
cos





cos

cos



















公
式
的
运
用
4

cos

(
52
例２，已知

co s(

),cos(

)
66
求．




例２是使
学生掌握

)
公式的正
，
向应用，并
sin

（２）再求时，要注意角的取值范 围，
进一步熟
三角函数值的正负． 悉公式的
（３）代入时，从左至右依次代入． 特 征，为后
（４）注意面的灵活
运用奠定
cos

cos
< br>sin

sin

cos(


)
基础．
cos

cos

sin
sin

cos(



)

可以象上面这样逆用．


例２ 学生练习，板演，教师讲评注意几个
问题：
（１）特殊角不需要查表，直接求出三角函
数值．

变式１：已知
cos


111
cos(



)
7,14,

且

,
均为锐角，求
cos

.





变式１是
变式１教师讲评注意几个问题：
一个典型
例题，在变< br>



（１）将看作一个整体，角由
式中注意
配凑 公式，
(



)

得到．
对它的解
法深入讨
（２）应用公式
论，有益于
启发学生
c os

cos

(



)



思维，提高
cos(



)c os

sin(



)sin

< br>学生的解
题能力，且

0

0

在解题过
2,2
（３）由得到
程中提炼
0



，再进一步参考
思想方法，
有利于培
养学生良
11
cos(



)
好的思维
14
．确定
sin(



)
的值．
品质．








例３ 学生练习，教师讲评注意两个问题：
（１）方法１可以按和差角的余弦公式直


例３要求
学生用两种方法来
(2k1)

接展开，将看作一个整体角．
做，培养学
（２）方法２也可以 生良好的
思维品质．
(2k1)

2k



，再按诱导公式进行
运算．

练习１使用平方法将两个等式平方，然后相
加，利用


通过这个
练习，培养
学生良好
的发现问
题解决问
题的能力．




公式的
运用


例３ 利用
C



证明：
cos


(2k1)


cos

(kZ)






公式的
运用


练习１，已知
sinxsiny0.4,

sin
2
x cos
2
x1
sin
2
ycos
2
y1< br>
只剩下
cosxcosysinxsiny
问题得
解．思维过程可 以逆向，（考虑由
cos(xy)
入手，寻找
cosxcosy,sinxsiny
想到平
方．）
cosxcosy1.2

求
cos(xy)
．

归纳小
结






从知识，方法两个方面来对本节课的内
容进行归纳总结．






对公式做到一掌握，二会想，三会用．


使学生对
所学内容
有一个清
晰完整的
认识，并点
出三角公
式的基本
方法，体现
了＂授之
以鱼，不如
授之以
渔＂的教
育 思想．


巩固本节
课所学知
识，培养学
生自觉学
习的习惯，
同时给学
有余力的
学生留出
自由发展
的空间．




布置作
业




教材练习３．１B 2 ,3
教材p154页 １
思考题：
1
1．已知cos()=求
3
(sin+sin)+(cos+cos)的值。
2．sinsin=
(0,
1
1
，coscos=，
2
2
22

),(0, ),
22
求cos()的值






§3.1.2 两角和与差的正弦
一、教学目标
1、知识与技能目标：能从两角差的余弦公式导出两角和、差正弦公式，了解它们的内在
联系。
2、过程与方法目标：引导学生推导和角公式，使学生认识整个公式体系的推理和形成的
过程。 从这一过程中，使学生领会其中体现出来的数学基本思想、蕴含的创新思想，掌握研
究数学的基本方法， 从而提高数学素质。
3、情感、态度与价值观目标：通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发 展过程，
体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。< /p>

体会学科间的联系。
二、教学重点、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦公式的应用和旋转变换公式。
2. 教学难点：利用两角和的正弦公式变< br>asin

bcos

为一个角的三角函数的形式。
三、教学方法
研讨式教学，讲授式教学
四、教学过程：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：
cos





cos

cos

sin
sin

；
cos





cos

cos

sin

sin

．
这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？
提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天
的问 题有帮助吗？
让学生动手完成两角和与差正弦公式.



< br>






sin
< br>



cos








cos








cos




cos

sin




sin

 sin

cos

cos

sin


2

2

2



2
．
sin





sin< br>








< br>sin

cos




cos

sin




sin

cos< br>
cos

sin

让学生观察认识两角和
与差正 弦公式的特征
sin






si n

cos

cos

sin

①里加外加，里减外减
sin





si n

cos

cos

sin

②

,

,

,

顺序不变
简单应用：（视学生情况，2可酌情删减）
1、求
sin75
0
, sin15
0
的值（答案：
6262
,
）
44
2、（口答）课本138页练习A 1——4题
（二）例题讲解
例题安排：
例1与例2是三角与向量的综合问题，其过程是一次旋转变换。例1是例2的一个 特例，

在编排上体现了由特殊到一般的认识规律，例2求证的结论是一组旋转变换公式。 由此，在
安排上，例1作为重点讲解，而例2则留给学生自己课下解决。培养学生举一反三，由特殊到一般的学习能力。
例3与例4也是由特殊到一般的关系。先讲例3降低了难度，为例4打好了基 础，这样
例4便也可由同学仿照例3研讨得出。
例5 体现了数学学科与物理学科的联系，增强了学生的学习兴趣，可留作思考作业课下
完成。
< br>例1、已知向量
OP(3,4)
，逆时针旋转
45
0
到OP
'
的位置。求点
P'(x',y')
的坐标
解题分析：问题1、P点坐标知道吗？
问题2、
OP
旋转到
OP'
，什么变了，什么没变？
问题3、通过前面的学习，你能利用三角函数的知识解决这个问题吗？
解：设
xOP

由
OP(3,4)
可知
P(3,4)

所以
OP32
4
2
5
，而
OPOP'5

又因为
3
cos

,
5
sin


4

5

y'
sin


45
0


5
同理
x'
cos


4 5
0

,
5
x'5cos


45< br>0

5

cos

cos45
0
sin

sin45
0

所以
3242

5


52

52
< br>


2
2

y'5sin


45
0

5

sin

c os45
0
cos

sin45
0

同理

4232

5


52

5 2




72
2

所以
P'(

272
,)

22
例2（学生课下仿照例1研讨完成）


x'xcos

ysin

已知点
P(x,y)
，与原点的距离保持不 变，逆时针旋转

角到点
P'

x',y'

。求 证：

y'xsin

ycos


证明： 设
xOP

，
OPr

则
cos

,sin



同理
从而
x'
cos





,
r
x'rcos





y'sin






r
y'rs in





x
r
y
r
r

cos

cos

sin

s in



xcos

ysin

r

sin

cos

cos
sin



xsin

ycos

x'xcos

ysin

即


y'xsin

ycos



例3、化简
2cosx6sinx

解题分析：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦不相象，但我们能否发现规律呢？
解：
2cosx6sinx

2cosx3sinx2
< br>

1
2

cosx

2

3
sinx

22

sin30cosxcos 30sinx

22sin

30x

思考：
22
是怎么

2

得到的？
发现
22

2



6

22
，
26
3
1
我们是构造一个角使它的正、余弦分别等于和，即和
2
2
2222
例4、（教师引导学生仿照例3研讨完成）
求函数< br>yasinxbcosx
的最大值、最小值和周期，其中
a,b
是不同时为 零的实数。
解：由例3 知
yasinxbco

sx
可写为
ya
2
b
2

其中
cos



a
sinx

cosx< br>
，
a
2
b
2

b
b
ab
22
22

ab
a
ab
22
, sin



则，原式
a
2
b
2
cos

sinxsin

cosx


a
2
b
2
sin

x


所以函数
yasinxbcosx
的最大值是
a
2
b
2
，最小值是
a
2
b
2
，周期是
2< br>

注：此题结论可作为公式记住，可方便解题。
例5、（学生课下完成）
已知三个电流瞬时值的函数式分别是
I
1
2sin

t,I
2
2sin


t45
0

,I
3
4sin


t450

，求它们合成后的电流瞬时值的函数式，并指出
这个函数的振幅和初相。
解:
II
1
I
2
I
3

2sin

t2sin


t45
0
4sin


t45
0

2sin
< br>t2

sin

tcos45
0
cos

tsin45
0

4

sin

tc os45
0
cos

tsin45
0

42s in

t2cos

t
1

4

34

sin

tcos

t

1 7

17

34

sin

tcos< br>
cos

tsin


34sin


t



其中

arctan14
0
2'

所以
I34sin


t14
0
2'

。振幅为
34
，初相为
14
0
2'

（三）小结：
本节我们学习了两角和与差正弦公式及其应用，我们要熟记公式，在解题过程中要善于
发现规律，学会 灵活运用.
（四）作业：课本141页 习题3 —1 A第2——4题

1
4
3.1.3两角和与差的正切
一、教学目标：
1、知识与技能：
⑴掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。
⑵培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力；自学能力。
2、过程与方法：由 学生熟知的两角和与差的正弦、余弦公式，引导学生推导出两角和与差的正切公式，
通过教师的提问，学 生观察，分析，讨论及练习。及时搜集反馈信息，动态调整教学过程，引导学生攻
克难点，掌握重点。
3、情感态度、价值观：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质。
二、教学重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值。
教学难点：公式的逆向和变形应用。
三、教学过程：
1、复习引入
复习：两角和与差的正、余弦公式S
+
,S

, C
+
,C

sin


+


sin

cos

+cos

sin


sin




< br>sin

cos

cos

sin
< br>
cos





cos
< br>cos

sin

sin


cos




cos

cos
sin

sin


提出问题：复角

< br>
与单角

，

的正弦、余弦函数存在以上关系，那么能否用
tan

和tan

来表示
tan

< br>


呢？
2、两角和与差正切公式的推导及理解 T
+
,T


⑴tan(+)公式的推导（让学生回答）
∵cos (+)0
tan(+)=
sin(



)sin

cos

cos

sin

当coscos0时

cos(



)cos< br>
cos

sin

sin

分子分母同 时除以coscos得：
tan






以代得：
tan

tan


1ta n

tan

tan

tan



tan

tan


tan





tan



< br>



1tan

tan
< br>
1tan

tan


⑵思考讨论：
①公式是如何推导出来的？有什么限制条件？
②公式有何特点？如何记忆？
③公式有何用处？有何变形？
⑶注意：
1、必须在定义域范围内使用上述公式。即 ：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个
公式，只能（也只需）用诱 导公式来解。
2、注意公式的结构，尤其是符号。
3、
T
(



)
公式的变形：
tan

tan

tan(



)(1tan

tan< br>
)


tan
tan

tan(



)(1ta n

tan

)

思考：公式cot





=？
3．公式的应用
例1.求下列各式的值：
①tan15，
②tan75，
tan71tan26
③
1tan71ta n26
3
3

33

1263
23解： tan15= tan(4530)=
6
333
13
1

3
3

33

12 63
23
tan75= tan(45+30)=
6
33 3
1
3
tan71tan26
tan(7126)tan 451

1tan71tan26
例2.不查表求值
1
1tan75

①
1tan75

②tan17+tan28+tan17tan28 ③
tan17tan43+tan17tan30+tan43tan30

1tan75tan45+tan75
==tan

45+75< br>
=-3
解：①
1tan751-tan45tan75
②t an17+tan28+tan17tan28=
tan

17+28< br>
1-tan17tan28

+tan17tan28=1

tan17tan43+tan17tan30+tan43tan30
=t an17tan43+tan30

tan17+tan43

③
3
=tan17tan43+tan

17+43
1-tan17tan43

3
=1
巩固练习：P140练习A1， 2，3
例3.
如图，三个相同的正方形相接，求证：

< br>


4
．
11
，
tan


，
23
11

tan

tan

∴tan(



)

23
1
，
11
1tan

tan

1
23
解 ：由题意：
tan






242

1

例4：已知
tan(



)
，
tan(

)
，求
tan(

)
的值。
5444

21
tan(



)tan(

)



4
解：
tan(

)
tan[(



)(

)]

54

3
．

4
4
1tan(



)tan(

)
1
2

1
22
4
54
2
【变题】：已知
cot

2,tan(



)
，求
tan(

2

)
的值。
3
1
解：
cot

2
， ∴
tan


，
2
∴
tan(

2

)tan(

2

)tan[(



)

]

tan(



)tan

1

．
1tan(


)tan

8
0



2
,0



， ∴
0




，所以，





．
巩固练习：P141练习B1，2，3
四、小结：
１．公式（） 的结构类似，应注意符号的差别，可以用类比的方法记忆．这两个公式的作用在
的正切． 于用单角、的正切来表达复角

２．有关两角和差的余切问题，一般都是将它由同 角公式的倒数关系化为两角和差的正切，用公式
来解决．
３．“化未知为已知”是推 导公式和数学解题的常用方法；“公式的逆用”与“１的变式”是数学
解题中常用的技巧。我们应该熟练 掌握这些方法和技巧．
五、作业： P141 练习3-1A中5 P142 习题3-1B 1，4，5，6，7
3.2.1 二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正 切公式，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、学法与教学用具
本节课采用观察、赋 值、启发探究相结合的教学方法，运用现代多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观
察 分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式；对于倍角公式的应 用采取
讲、练相结合的方式进行处理，使学生边练边巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆 。
四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
sin





sin

c os

cos

sin

；
cos





cos

cos

 sin

sin

；
tan





tan

tan

．
1 tan

tan

我们由此能否得到
sin2

, cos2

,tan2

的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中

看成

即可），
（二）公式推导：
sin2

sin





sin

cos

cos

sin

2sin

co s

；
cos2

cos




cos

cos

sin

sin

cos
2

sin
2

；
思考：把上述关于
cos2

的式子能否变成只含有
sin

或
cos

形式的式子呢？
cos2

cos
2

sin
2

1sin
2
sin
2

12sin
2

；
cos 2

cos
2

sin
2

cos
2

(1cos
2

)2cos
2

1
．
tan2

tan


< br>


注意：
2


tan
tan

2tan


．
1tan
< br>tan

1tan
2


2
k

,



2
k



kz


（三）例题讲解
例1、已知
sin 2


解：由
5

,

,
求
sin4

,cos4

,tan4

的值．
1342

4




2
,得

2
2



．

12
5

5

又因为
sin2

,< br>cos2

1sin
2
2

1


．
13
13

13

于是sin4

2sin2

cos2

2
2
5

12

120



< br>
；
13

13

169
2
1 20
sin4

120

5

119
；< br>tan4


．

169

cos4< br>
12sin
2
2

12


119
cos4

119

13

169
169

例２、已知
tan2


解：
t an2


1
,
求
tan

的值． 3
2tan

1
2
tan

6tan

10
，由此得

2
1tan

3解得
tan

25
或
tan

2 5
．
例3、证明恒等式：
sin2

sin

tan


2
2cos2

2sin

cos

证明：左边=
2sin

cos

 sin

sin

(2cos

1)

=
tan

=右边
2(cos
2

sin2

)2sin
2

cos

cos
(2cos

1)
（四）小结： 1、我们是如何得出倍角公式的。
2、
S
2

,C
2

中角
有限制条件吗？
T
2

中呢？
3、
cos2

的三种形式及其如何用
cos2

表示
sin

、
cos

。
4、
cos

如何用二倍角表示？
cos3

、
cos4

、
cos5
< br>（五）作业：

等，又如何用二倍角表示呢？
22
3．2．2半角的正弦、余弦和正切
（一） 教学目标
1．知识目标：掌握公式及其推导过程，会用公式进行化简、求值和证明。
2．能力目标：通过公式推导，掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系， 培养逻辑
推理能力。
3．情感目标：培养用联系的观点看问题的观点。
（二）教学重点、难点
本节重点是公式的推导与应用，难点是半角与倍角的联系及符号的判断。
（三）教学方法
观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。
（四）教学过程

教学
教学内容
环节
复习
引入
复习倍角公式先让学生默 写三个倍角公式，注意等号两边角的
关系，特别注意
C
。既然能用单角表示倍角，2

师生互动 设计意图
以旧引新，设疑创设
情境，引导学生展开
积极的思维活动
S
C
T
2
、
2

、
2


教学
教学内容
环节
那么能否用倍角表示单角呢？
师生互动 设计意图
由学生根据
C

推导，老师巡视并帮助有困难
2
的学生，之后对照课本P
145
检查过程和结果。
思考讨论：
①公式是如何推导出来的？有何限制条件？
②公式有何特点？如何记忆？
③公式如何变形？有何用处？
先有学生回答问题，然后老师明确，结论如下：
① 由
cos

12sin
2

2
2cos2

2
1

培养学生运用已有
知识获得新知识的能力和问题探究的
能力，同时也使学生
认识到了新公式的
来源。通过讨论，使学生对公式有一个
清晰完整的认识，为
公式的灵活应用打
下基础，逐步培养自学能力。
2sin
得
半角
公式
的推
导及
理解
2

2
1cos


2cos
推导半角公式：
2

2
1cos

sin
所以

2


1cos
< br>2
1cos

2
cos

2

两式相除得
tan
②

2
2

1c os

(


(2k+1)

) < br>1cos

2
s

与
c

结构相 同，一号之差，
T

是由
s


2
2
与
c

推出的
2
③ 平方后是降幂公式，用于变形、求值、证明


“倍”与“半”是
相对的 ，公式不仅
仅适用于具有
“

”与“
思考①
sin
②
cos

4
?

?

通过对公式深挖掘，
显示其强大作用，培
养学生分析、联想能
力，优化思维品质
半角
公式
的深
化

3

”特
2
征的角，而且更广
泛地适用于具有倍
半关系的角。
③ 若

是

的一半，试尽可能多地写出联
系
< br>与

的三角恒等式（倍角，半角公式）
师生共同分析解决：
例1： 15º角在第一象限，直接用公式；若

所
半角
公式
的运
用
会用半角公式解决

在象限已知，你会判断所在象限吗？（教会判
实际问题
2
例1：求
sin15
，
断方法，并记住结论）
cos 15
，
tan15
若

为第一象限的角，则

=2k

+

1
,k

Z,且
的值
例2：求证


0〈

1
<,于是，
 k


1
，当k为偶数

2
22
让学生初 步学会应
用公式。


通过组织学生讨论
探究，逐步培养学生
发现新知识的能力。
发掘例题的功能，把
知识引向深入

教学
教学内容
环节
sin

时，在第一象限，当k为偶数时，也在第
tan< br>22
21cos


一象限，同理：

1co s


tan

若为第二象限的角，在一或三象限
2sin

2
例3：等腰三角形
顶角的余弦值为
师生互动 设计意图



在二或四象限
2
7

，求它的底角若

为第四象限的角，在二或四象限
252
若

为第三象限的角，


例2：半角正切 的表达式是有理表达式，符号由
算式决定，无须先判断；第二个表达式分母为“单
项式”更易使 用，但由余弦求正弦还须开方，就
不合适了。
例3、注意判断三角形的角以及这些角的一半的
范围，
的正弦、余弦和正
切




巩固练习
① P
146
A组1
② P
146
B组1
③ P
147
A组2
④ P
147
B组3(3)
归纳
小结
从知识、方法两个
方面来对本节课进
行归纳总结。
P
146
A组2
P
147
A组1
P
147
B 组3(4)

学生接力式总结，老师补充
让学生明确本节课
的重点,并判断自己
达到的要求。

及时巩固，加深理
解。
布置
作业


案例3.3 三角函数的积化和差与和差化积

（二） 教学目标
4．知识目标：了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化。
5．能力目标：能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明
6．情感目标：通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点。
（二）教学重点、难点

重点：公式的应用。难点：公式的灵活应用。
（三）教学方法

观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。
（四）教学过程

教学
环节
教学内容 师生互动 设计意图

教学
环节
教学内容 师生互动


< br>


sin




sin




2sincos


3

3

3

设计意图
提出
问题
通过做过的作业，
习题3－1A 2(2)的结
果，对两个角的正弦之
和的形式进行讨论
师：右边的两个角如何用左边的两个角表示？
从做过的练习出发，
引导学生观察等式 两边角度之间的关系，
引导学生进一步思
右边的两个角分别是左边两个角的和、差的一
考，培养学生从特殊
半。
到一般的思想方法。
师：通过类比，对任意两个角，sinxsiny
应
该等于什么？运用已知的公式加以推导验证。
sin(< br>


)sin

cos

cos
sin


sin(



)s in

cos

cos

sin

< br>由两角和与差的三
角函数公式，使用换元
法得到两角的正弦之和
可化成另两个角 的三角
函数的乘积的形式。
两式相加得： 培养学生运用已有
知识分析问题的能力和问题探究的能
力，体会换元思想在
解题中的应用。
解决
问题 < br>sin(



)sin(



)2sin

cos

(1)
设


x
，



y
，则


xy
，
2
xy
，公式(1)可以写成：
2
xyxy

sinxsiny2sincos
22


师：公式(1)实际上还可以变形成
总结
方法
提出
新问
题
总结推导过程所用的方
法，实际上公式（1）还
隐含着积化和差的公
式。 < br>1
sin

cos

[sin(


)sin(



)]

2
两角 的正弦与余弦的乘积可以转化成另两
个角的正弦的和。让学生通过类比，猜测任意
两个角的其它 三角函数的积、和的规律并在下
一步加以证明。
培养学生经常对方
法进行总结和运用
类比，在一个问题的
基础上提出新的问
题的能力。

教学
环节
教学内容 师生互动 设计意图
回忆两角和与差的三角函数公式：
cos(



)c os

cos

sin

sin

< br>cos(



)cos

cos
sin

sin


sin(



)sin

cos

cos

sin


sin(



)sin

co s

cos

sin


积化
和差
公式
的推
导
由公式（1）的推导过程，请学生进行类比，
写出所有的积化和差的公式： 巩固旧知识，通 过恒
1
等变形，培养学生严
cos

cos

[ cos(



)cos(



)]

谨地考虑问题。
2
推导积化和差公
式。
1
s in

sin

[cos(



) cos(



)]

2
1
sin
cos

[sin(



)sin(



)]

2
1
cos
sin

[sin(



)sin(



)]

2
师：这组公式称为三角函数的积化和差公式。
只要求熟悉公式结构，不要求记忆。其特点是
化成和之后都是同名的三角函数，注意每个公式前面的系数。
例1 把下列各积化成
和差的形式。
积化
和差
公式
的应
用
(1)
2sin64cos10

(2)
sin84cos132

(3)
cos
学生做练习教师巡视检查。
让学生初步学会应
用公式。

66
(4)
sin2sin1.2

cos


由积化和差公式，变形可以得到：
cos(



)cos(



)2cos

cos


cos(



)cos(



)2sin

sin

sin(



)sin(



)2sin

cos


和
化
公
的
导
差
积
式
推
引导学生由积化和
差公式推导和差化
积公式，在推导过程
中运用了换元法进
行 角的转化。
通过组织学生
讨论探究，逐步培养
学生团结协作的思
想品质，提 高学生综
合运用知识思考问
题解决问题的能力。
sin(


)sin(



)2cos

sin

，
推导和差化积公式 再通过换元，请学生自行整理和差化积公
式。
xyxy
cos

22
xyxy
sinxsiny2cossin

22
xyxy
cosxcosy2coscos

22
xyxy
cosxcosy2sinsin

22
sinxsiny2sin

教学
环节
教学内容 师生互动
师：这组公式称为和差化积公式，其特点是同
名的正（余）弦才 能使用，它与积化和差公式
相辅相成，配合使用。
设计意图
例2 把下列各式化成
积的形式：
(1)
cos3

cos


(2)
sin54sin22

(3)
sin5xsin3x

和
化
公
的
用
差
积
式
应
(4)
cos40cos52

(5)
cos40cos52


例3 已知A＋B＋C＝
180，求证：
sinAsinBsinC
ABC
4coscoscos
222

例1和练习A的第
1,3题是和差化积公式的直接应用，注意
利用四个和差化积的公式和其他三角函数
化积后是几个三角
关 系式，我们可以把某些三角函数的和差化成
函数的积。
积的形式。

在投 影仪上，将例1与练习A的第1,3题，
例2是一道典型的
打出来，让学生做，教师巡视检查完 成情况，
综合性问题，对于它
并订正。
的解题过程的深入
提醒学生注意，化 积问题的结果必须是几
探讨，有益于启发学
个三角函数的积的形式。
生思维，提高学生分
析问题和解决问题
的能力。
练习
1．把下列各式化成积的
形式
巩固
练习
1
cosx

2
（2）
1sin2x

（1）
2．求证下列各恒等式
（1）
sin

sin

cos

cos





cot
2
练习1的两道化积
题，学生可能比较难
想到要将常数化成
练习1和2的第（1）小题先做示范讲解，
某个特殊角的三角
让学生独立完成第（2） 小题。再次提醒学生，
函数，对于它们的解
化成积的时候一定要写成几个三角函数的积的
题过程的思考有助
形式。
于学生开阔思维，培
养学生灵活运用知
识的能力。
小结
从知识、方法两个方面
来对本节课进行归纳总
结。
（1）本节重点学习了两 组公式，不要求记住这
两组公式，但要学会运用这些公式进行三角函
数和差与积的互化，并能够 运用公式解决求值、
化简和证明等问题。
（2）化积的问题注意最后结果的形式要写成几
个三角函数的积的形式。
（3）推导公式的过程中用了换元法，这是一种
很常用的方法，要注意该方法在解题中的应用。

让学生明确本节课
的重点和要达到的
要求。

布置
作业

习题3－3A 2,3，4
对本节内容及时巩
固。
三角函数的积化和差与和差化积

（三） 教学目标
7．知识目标：

1. 梳理公式体系，通过本章知识结构图，进一步加强对各公式之间内在联系的理解。
2. 运用这些公式进行简单的三角恒等变换,达到熟练掌握基础知识的目的。
8．能力目标：
1. 通过总结知识结构图，发展学生推理能力和运算能力，进一步培养学生 观察、类比、推广、特殊
化和化归思想方法。
2. 通过解决问题，引导学生明确三角变换是 三角函数式的结构形式变换；角的变换；不同三角函数
之间的变换。
3. 通过恒等变换公式的简单应用，提升解决问题的基本能力。
9．情感目标：通过知识结构图和公式应用 使学生了解三角恒等变换及三角函数与数学变换的内在联系，
培养学生严谨，规范的数学思维品质，发展 正向、逆向思维和发散思维能力。
（二）教学重点、难点

重点：梳理三角恒等变换 公式体系，渗透观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法；熟练恒等变换
公式，解决简单问题的应用 。
难点：公式推导，解决问题中观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法的渗透。
（三）教学方法

本节课是在上一节课（三角函数的积化和差，和差化积）的一项作业 （做三角恒等变换的知识结构图的）
基础上，梳理公式体系；总结在推导过程中使用的数学思想方法。
（四）教学过程

教学
环节
教学内容 师生互动 设计意图 让学生自
己做公式的系
统归纳总结。并
通过证明加强
对公式之间内
在联系的理解.
复习
引入
做三角恒等变换公式体系的梳理.
展示学生总结的结构图并且与课本P153
的知识结框图进行类比。
指定几个公式让学生证明。
熟练应用和差、二倍角公式
例：化简求值
（1）
33


sin10sin80
复习基础
例 题第（1）题让一个同学先上黑板知识，巩固基本
上做，规范格式，共同讨论点评所用到公式的熟练应< br>的概念、公式。 用，强调通性通
强调典型基础的类型题，如 法。
练习：
cot704cos70



（2）
sin20cos50

公式
应用












22
注意结构形


sinxcosx2sin
< br>x

等形式
4

式、角
的题，必须熟练掌握。

第（2）题由不同的切入点，对学生
进行发散思维的训练。在学生自主完成的基础上，归纳总结解题方法。
①从幂入手，利用降幂公式（降次是主
线）
原式＝
和三
角函
数形
式之
间的
变化。









sin20cos50

1cos401cos100


22
1
(sin70sin30)
2

3
...
4
②从形入手，采用完全平方的方法（配
方是关键）

教学
环节















教学内容 师生互动 设计意图
2
原式＝

sin20


1

cos50


2

33
cos
2
50...

4 4
③从角入手，化异角为同角（以已知角
的相互关系引入一个新的角，特殊角是
考虑的 重点）。
原式＝
sin(5030)cos50

22
sin

5030

cos50...

＊同时还要强调公式的应用
④还有一些特殊的构造法可以给一部分
好同学另发讲义。

通过完成此例题，训练学生严谨的
解题思维，规范解题格式，同时强调所
求 角



与已知角的关系，注意灵活
运用特殊角。
（3）已知0<β<
3


<α<
4
4



3

3


5
cos




,
sin






4

5

4

1 3
求
sin(



)
的值。

3

















4
4




(



)
1．证明
























x

sinx

1tanxt an

tanx

2

综合
应用



2．已知
tan(

1．让学生自主完成，进一步强调通性通
法
a) 由繁化易，切割化弦
b) 规范模型化解题。要证原式成

立等价于等式两边差为0
2．强调化归，

(


)

，


)3tan


2



(



)


求证：
2sin

sin(2



)

三角恒等变换要求难度不大，但由
于公式多，所以题型灵活多变，在 学习
过程中仍要注意通性通法，常规模型。
通过运用通性通法解题，提高自己的观
察、 类比、推广、特殊化和化归能力。
建议加一节三角函数性质和恒等变
换的综合课。
归纳

小结

布置P154 5（1）,6，9,11
作业
P155 4,5

必修4第3章 由以下教师共同完成：
理工附中 王爱丽 刘炳伟 崔健 王洪希
万寿寺中学 陈忠林 王雪 北京市蓝靛厂中学
北京理工大学附中分校 王志林

对本节内
容及时巩固。
唐元兵 石东启