购汇-给同学的一封信

第3讲 简单的三角恒等变换



一、知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(
α
±
β
)＝sin
α
cos
β
±cos
α
sin
β
；
cos(
α
∓
β
)＝cos
α
cos
β
±sin
α
sin
β
；
π
tan
α
±tan
β

α
±β
，
α
，
β
均不为
k
π＋，
k
∈Z

tan(
α
±
β
)＝

.
2
1∓tan
α
tan
β

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2
α
＝2sin
α
cos
α
；
cos 2
α
＝cos
α
－sin
α
＝2cos
α
－ 1＝1－2sin
α
；
π
2tan
α

α，2
α
均不为
k
π＋，
k
∈Z

ta n 2
α
＝

.
2
2
1－tan
α

3．三角函数公式的关系
2222

常用结论
四个必备结论
1＋cos 2
α
1－cos 2
α
22
(1)降幂公式：cos
α＝，sin
α
＝.
22
(2)升幂公式：1＋cos 2
α
＝2cos
α
，1－cos 2
α
＝2sin
α
.
(3)tan
α
±tan
β
＝tan(
α
±
β
)(1±tan
α
tan
β
)，
1＋sin 2
α
＝(sin
α
＋cos
α
)，
2
22

1－sin 2
α
＝(sin
α
－cos
α
)，
π

sin
α
±cos
α
＝2sin

α
±

.
4

(4)辅助角公式
2
b
a
sin
x
＋
b
cos
x
＝
a
2
＋
b
2
sin (
x
＋
φ
)，其中tan
φ
＝.
a
二、习题改编
π

15

π5
< br>1．(必修4P137A组T5改编)已知sin

α
－

＝，
α
∈

，π

，则sin
α
的值
3

17

26

为( )
A.
8

17
15－83

34
B.
153＋8

34
C.
15＋83
D．
34

π5

所以
α
－
π
∈

π
，
π

，

α
－
π

>0，

α－
π

解析：选D.因为
α
∈

，π

，coscos

2

3

3

3

6

26

＝
π

π

π

π

8π


15

1－

＝，所以sin
α
＝sin


α
－
3

＋

＝sin

α
－

cos ＋cos

α
－

3

3

3

3


17
17



2
π1518315＋83
s in ＝×＋×＝.故选D.
317217234
2．(必修4P131练习T5改编)计算：sin 108°cos 42°－cos 72°·sin 42°＝ ．
解析：原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos
1
72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.
2
1
答案：
2

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角
α
，
β
是任意角．( )
(2)两角和与差的正切公式中的角
α
，
β
是任意角．( )
1
(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.( )
2
tan
α
＋tan
β
(4)公式tan(
α
＋
β
)＝可以变形为tan
α
＋tan
β
＝tan(
α
＋
β
)(1
1－tan
α
tan
β
－tan
α
tan
β
)，且对任意角
α
，
β
都成立．( )
(5)存在实数
α
，使tan 2
α
＝2tan
α
.( )

答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
二、易错纠偏
常见误区
(1)不会用公式找不到思路；
(2)不会合理配角出错．
π

4

1．若cos α
＝－，
α
是第三象限的角，则sin

α
＋

＝( )
4

5

A．－
2

10
B.
2

10
72
C．－
10
72
D．
10
4
2
解析：选C.因为cos
α
＝－，
α
是第三象限的角，所以sin
α
＝－1－co s
α
＝－
5
π

3ππ

3
< br>2

4

272

，所以sin

α
＋

＝sin
α
·cos＋cos
α
sin ＝

－

×＋

－

×＝－.
4

544

5

2

5
210

2．sin 15°＋sin 75°的值是 ．
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°
＝
6
.
2
答案：
6

2
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式


三角函数公式的直接应用(师生共研)

π

(1)(2019·高考全 国卷Ⅱ)已知
α
∈

0，

，2sin 2
α
＝cos 2
α
＋1，则sin
α
2

＝( )
1
A.
5
C.
3

3
B.
5

5
25
D．
5
5π1
(2)(一题多解)(2018·高 考全国卷Ⅱ)已知tan(
α
－)＝，则tan
α
＝ ．
45

π

2
【解析】 (1)依题意得4sin
α
cos
α
＝2cos
α
，由
α
∈
0，

，知cos
α
>0，所
2


1
22222
以2sin
α
＝cos
α.又sin
α
＋cos
α
＝1，所以sin
α
＋4si n
α
＝1，即sin
α
＝.又
5
α
∈
< br>0，

，所以sin
α
＝
2


π


5
，选B.
5
5π
tan
α
－tan
4
1
5π

1tan
α< br>－11

(2)法一：因为tan

α
－

＝，所以＝，即＝，解得
4

55π51＋tan
α
5

1＋tan
α
tan
4
3
tan
α
＝.
2
5π

5π

5π

1


法二：因为tan

α
－

＝，所以tan
α
＝ tan


α
－

＋

＝
4
4

4

5



5π< br>
5π1

tan

α
－

＋ta n＋1
4

45

3
＝＝.
5π
5π
12

1－×1
1－tan

α
－

tan
4

5
4

3
【答案】 (1)B (2)

2

利用三角函数公式时应注意的问题
(1) 首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同
名相乘，符号反”．
(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．


π
 
π

1．(2020·石家庄市模拟(一))已知cos

＋α

＝2cos(π－
α
)，则tan

＋
α

＝

2

4

( )
A．－3
1
C．－
3
解析：选A.因为cos

B．3
1
D．
3

π
＋
α

＝2cos(π－
α
)，所以 －sin
α
＝－2cos
α
，所以tan
α


2


π

1＋tan
α
＝－3，故选A. ＝2，所以tan

＋
α

＝

4

1－tan
α
1cos 2
α

π

2．已知sin
α
＝＋cos
α
，且
α
∈

0，

，则的值为( )
2

3π


sin

α
＋< br>
4


A．－
2

3
B.
2

3
1
C．－
3
1
D．
3
11cos 2
α
解析：选A.因为sin
α
＝＋cos
α
，即sin
α
－cos
α
＝，所以＝
33π

sin

α
＋

4

1< br>－
22
3
cos
α
－sin
α
（cos
α
－sin
α
）（cos
α
＋sin
α
）2
＝＝＝－，故选
ππ3
22
sin
α
cos＋cos
α
sin
（sin
α
＋cos
α
）
44
22
A.
3．( 2020·长春市质量监测(二))直线
y
＝2
x
绕原点顺时针旋转45°得 到直线
l
，若
l
的倾斜角为
α
，则cos 2
α
的值为( )
A.
8＋10

10
B.
8－10

10
4
C．－
5
4
D．
5
解析：选D.设直线
y
＝2
x
的倾斜角为
β
，则tan
β
＝2，
α
＝
β
－45°，
tan
β
－tan 45°1
所以tan
α
＝tan(
β
－45°)＝＝，
1＋tan 45°·tan
β
3
1－tan
α
4
cos 2
α
＝cos
α
－sin
α
＝＝，故选D.
2
1＋tan
α
5
22
2

三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研)
(1)在△
ABC
中，若tan
A
tan
B
＝tan
A
＋tan
B
＋1，则cos
C
的值为( )
A．－
1
C.
2
2

2
B.
2

2
1
D．－
2
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin
α
＋cos
β
＝1，cos
α
＋sin
β
＝0，则sin(
α
＋
β
)＝ ．
tan
A
＋tan
B
【解析】 (1)由tan
A
tan
B
＝tan
A
＋tan
B
＋1，可得＝－1，
1－tan
A
tan
B
即tan(
A
＋
B
)＝－1，又(
A
＋
B
)∈(0，π)，
3ππ2
所以
A
＋
B
＝，则
C
＝，cos
C
＝.
442
(2)因为sin
α
＋cos
β
＝1，cos
α
＋sin
β
＝0，

所以sin
α
＋cos
β
＋2sin
α
cos
β
＝1 ①，
cos
α
＋sin
β
＋2cos
α
sin
β
＝0 ②，
①②两式相加可得sin
α
＋cos
α＋sin
β
＋cos
β
＋2(sin
α
cos
β
＋cos
α
sin
β
)
＝1，
1
所以sin(
α
＋
β
)＝－.
2
1
【答案】 (1)B (2)－

2

(1)三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
②tan
α
tan
β
，tan
α
＋tan
β
(或tan
α
－tan
β
)，tan(
α< br>＋
β
)(或tan(
α
－
β
))
三者中可以 知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
13
②注意特殊角的应用 ，当式子中出现，1，，3等这些数值时，一定要考虑引入特
22
殊角，把“值变角”以便构造 适合公式的形式．

1．(1－tan15°)cos15°的值等于( )
A.
C.
1－3

2
3

2
222
22
2222
22
22
B．1
1
D．
2
2
解析：选C.(1－tan15°)cos15°＝c os15°－sin15°＝cos 30°＝
π

1
2

2．已知sin 2
α
＝，则cos

α
－

＝( )
4

3

1
A．－
3
2
C．－
3
1
B.
3
2
D．
3
3
.
2
π
< br>1＋cos

2
α
－

2

11< br>π

1112

2

解析：选

α
－

＝＝＋sin 2
α
＝＋×＝.
4

2222233

3．(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝ ．
解析：(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1

＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2.
答案：2

两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究)
角度一 三角函数公式中变“角”
(20 20·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知
α
，
β
∈

π< br>
24
π

3

＝－，sin

β
－

＝，则cos

α
＋

＝ ．
4

25
4

5

【解析】 由题 意知，
α
＋
β
∈

＝

3π
，π

，sin(
α
＋
β
)


4< br>

3π
，2π

，sin(
α
＋
β
)＝－
3
<0，所以cos(
α
＋
β
)

5

2

π

π

4π7
π3π

，因为
β
－∈

，

，所以cos

β
－

＝－，cos

α
＋

＝
4

4

4

5 425

2

π

π

π

4

cos

（
α
＋
β
） －

β
－

＝cos(
α
＋
β
)cos

β
－

＋sin(
α
＋
β)sin

β
－

＝－.
4

4

4

5

4
【答案】 －
5
角度二 三角函数公式中变“名”
1＋cos 20°

1
－tan 5°

. 求值：－sin 10°

2sin 20°

tan 5°

2
2cos10°

cos 5°
－
sin 5°

【解】 原式＝－sin 10°

2×2sin 10°cos 10°

sin 5°cos 5°

cos 10°cos5°－sin5°
＝－sin 10°·
2sin 10°sin 5°cos 5°
＝
cos 10°cos 10°
－sin 10°·
2sin 10°1
sin 10°
2
cos 10°cos 10°－2sin 20°
－2cos 10°＝
2sin 10°2sin 10°
cos 10°－2sin（30°－10°）

2sin 10°
22
＝
＝
3

1

cos 10°－2

cos 10°－sin 10°

2
3sin 10°3

2

＝＝＝.
2sin 10°2sin 10°2

三角函数公式应用的解题思路
(1)角的转换：明确各个角之间的关系( 包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟
悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α
＝(
α
＋
β
)＋(
α
－
β
)，
α
＝(
α
＋
β
)

－
β
＝(
α
－
β
)＋
β
，40°＝60°－20°，< br>

π
＋
α

＋

π
－< br>α

＝
π
，
α
＝2×
α
等． 
4

224

4

(2)名的变换： 明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把
正弦、余弦化为正切，或者把正切 化为正弦、余弦．
[提醒] 转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角 的差
异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．

1．(202 0·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(
α
＋2
β
)＝2，tan
β
＝－3，则tan(
α
＋
β
)＝ ，tan
α
＝ ．
解析：因为tan(
α
＋2
β
)＝2，tan
β
＝－3，
所以tan(
α
＋
β
)＝tan(< br>α
＋2
β
－
β
)＝
＝－1.
tan α
＝tan(
α
＋
β
－
β
)＝
1答案：－1
2
2．求4sin 20°＋tan 20°的值．
sin 20°
解：原式＝4sin 20°＋
cos 20°
＝
2sin 40°＋sin 20°2sin （60°－20°）＋sin 20°
＝
cos 20°cos 20°
3cos 20°－sin 20°＋sin 20°
＝3.
cos 20°
－1－（－3）1
＝.
1＋（－1）×（－3）2
tan（
α
＋2
β
）－tan
β
2－（－3）
＝
1＋tan（
α
＋2
β
）tan
β
1＋2×（－3）
＝
[基础题组练]
1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( )
1
A.
2
C.
2

2
B.
3

3
3

2
D．
解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°
＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°
1
＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝.
2

π
4
2．(2020·福建五校第二次联考)已知cos

－
α

＝，则sin 2
α
＝( )

4

5

1
A.
5
C.
7

25
1
B．－
5
7
D．－
25

π

π


π

4
解析：选C.法一：因为cos

－α

＝，所以sin 2
α
＝sin

－2

－
α


＝cos

4

< br>
4

5

2
7

π
 
4

2

π
2

－
α

＝2cos

－
α

－1＝2×

－ 1＝.故选C.
25

4

4

5

法二：因为cos

2442

π
－
α

＝
4
，所以(cos
α
＋sin
α
)＝，所以cos
α
＋sin
α
＝，
255

4

5
2
327
平方得1＋sin 2
α
＝，得sin 2
α
＝.故选C.
2525
cos
θ
π
3．(2020·陕西榆林模拟)已知＝3cos(2π＋
θ
) ，|
θ
|<，则sin 2
θ
＝( )
sin
θ
2
A.
82

9
42

9
B.
22

3
C.
22
D．
9
cos
θ
解析：选C.因为＝3cos(2π＋
θ
)，
sin
θ
cos
θ
所以＝3cos
θ
.
sin
θ
π122
又|
θ
|<，故sin
θ
＝，cos
θ
＝，
233
12242
所以sin 2
θ
＝2sin
θ
cos
θ
＝2××＝，
339
故选C.

π

1

π

4．(2020·武汉模拟)已知c os

x
－

＝，则cos
x
＋cos

x
－

＝( )
6

4
3

A.
3

4
B．－
D．±
3

4
3

4
1
C.
4
π

1

x－
解析：选A.因为cos

＝，
6


4
13

π

所以cos
x
＋cos

x
－

＝cos
x
＋cos
x
＋sin
x

3
22


＝3

13
1

3

π

cos
x
＋sin
x

＝3cos

x
－
6

＝3×＝.
44

2

2

故选A.
11
5．(2020·湘东五校联考)已知sin(
α
＋
β
)＝，sin(α
－
β
)＝，则log
23
等于( )
A．2
C．4
B．3
D．5

tan
α

5


tan
β

2< br>11
解析：选C.因为sin(
α
＋
β
)＝，sin(
α
－
β
)＝，所以sin
α
cos
β
＋cos
α
sin
β
23
1151
＝，sin
α
cos
β
－cos
α
sin
β
＝，所以sin
α
cos
β
＝，cos
α
sin
β
＝，所
231212
tan
α
以＝5，所以log
tan
β

tan
α

＝log5
2
＝4.故选C.
5

5

tan
β

5
，则cos 4
α
＝ ．
2
2
6．(2020·洛阳统考)已知sin
α
＋cos
α
＝
解析：由sin
α
＋cos
α
＝
55
22
，得sin
α
＋cos
α
＋2sin
α
cos
α
＝1＋sin 2
α
＝，
24
1

2
71

2
所以sin 2
α
＝，从而cos 4
α
＝1－2sin2
α
＝1－2×

＝.
4

4

8
7
答案：
8
57．(2020·安徽黄山模拟改编)已知角
θ
的终边经过点
P
(－x
，－6)，且cos
θ
＝－，
13
π

则sin
θ
＝ ，tan

θ
＋

＝ ．
4
解析：由题知角
θ
的终边经过点
P
(－
x
，－6)，所以cos
θ
＝
5
＝－，解得
x
13
x
2
＋36
－
x
π
tan
θ
＋tan< br>4
π

5－612－612

＝，所以sin
θ
＝＝－，tan
θ
＝＝，所以tan

θ
＋< br>
＝＝
4

2131355π

－1－tan
θ
tan
224
17
－.
7
1217
答案：－ －
137
5π

3

8．已知sin(
α
－
β
)cos
α
－cos(
β
－
α
)sin
α
＝，< br>β
是第三象限角，则sin

β
＋

4
< br>5


＝ ．
解析：依题意可将已知条件变形为
33
sin[(
α
－
β
)－
α
]＝－si n
β
＝，所以sin
β
＝－.
55
4
又
β
是第三象限角，因此有cos
β
＝－，
5
5π

π

所以sin

β
＋

＝－sin

β
＋
< br>
4

4

ππ72
＝－sin
β
cos －cos
β
sin ＝.
4410
72
答案：
10
9．已知tan
α
＝2.
π

(1)求tan

α
＋

的值；
4

sin 2
α
(2)求
2
的值．
sin
α
＋sin
α
cos
α
－cos 2
α
－1
π
tan
α
＋tan
4
π< br>
2＋1

解：(1)tan

α
＋
＝＝＝－3.
4

π1－2×1

1－tan
α
tan
4
sin 2
α
(2)
2
＝
sin
α
＋sin
α
cos
α
－cos 2
α
－1
2sin
α
cos
α
2tan
α
2×2
＝＝＝1.
22
sin
α
＋sin
α
cos
α
－2cos
α
tan
α
＋tan
α
－ 24＋2－2
2
10．已知角
α
的顶点与原点
O
重合，始边 与
x
轴的非负半轴重合，它的终边过点
4

3
P

－，－

.

55

(1)求sin
(
α
＋π
)
的值；
5
(2)若角
β
满足 sin(
α
＋
β
)＝，求cos
β
的值．
13
4

4

3
解：(1)由角
α
的终边过点
P

－，－

，得sin
α
＝－，所以sin(
α
＋π)＝－sin
5

5

5
α
＝.
4

3

3
(2)由角
α
的终边过点
P

－ ，－

，得cos
α
＝－，
5

5

5
512
由sin(
α
＋
β
)＝，得cos(α
＋
β
)＝±.
1313
4
5

由
β
＝(
α
＋
β
)－
α
得
cos
β
＝cos(
α
＋
β
)cos
α
＋sin(
α
＋
β
)sin
α
，
5616
所以cos
β
＝－或cos
β
＝.
6565
[综合题组练]
1．若
α
，
β
都是锐角，且cos
α
＝
则cos
β
＝( )
A.
C.
2

2
22
或－
210
B.
2

10
22
或
210
510
，sin(
α
－
β
)＝，所以sin
α
510
510
，sin(
α
－
β
)＝，
510
D．
解析：选A.因为
α
，
β
都是锐角，且 cos
α
＝
25310
＝，cos(
α
－
β)＝，从而cos
β
＝cos[
α
－(
α
－
β
)]＝cos
α
cos(
α
－
β
)＋sin
510
α
sin(
α
－
β
)＝
2
，故选A.
2< br>π
2．(2020·河南百校联盟联考)已知
α
为第二象限角，且tan
α
＋tan ＝2tan
α
tan
12
5π

π

－2，则sin

α
＋

等于( )
6

12

A．－
10

10
B.
10

10
310
C．－
10
310
D．
10
π
tan
α
＋tan
12
π

ππ

解析：选
α
＋tan ＝2tan
α
tan －2⇒＝－2⇒tan
α
＋

12

1212π

1－tan
α
tan
12
π

25
π

5

＝－2，因为
α
为第二象限角，所以sin

α
＋

＝，cos

α
＋

＝－，则
12

12

55

π

π
5π

π

π

π

π


α
＋
α
＋
α
－
－
＝cos

α
＋

sin －sin

α＋

sin

＝－sin

＝－sin


12

4

6

6

12

12

4



π310
cos ＝－.
410

π

3．已知函数f
(
x
)＝sin

x
＋

，
x
∈R.

12



π
(1)求
f

－

的值；

4

(2)若cos
θ
＝
4
5
，
θ
∈



0，
π
2


，求
f



2
θ
－< br>π
3



的值．
解：(1)
f



－
π
4



＝sin< br>


－
π
4
＋
π
12



＝sin


π

－
6

1

＝－
2
.
(2)
f


π

2
θ
－
3



＝sin


ππ

2
θ
－
3
＋
12




＝sin



2
θ
－
π
4


2

＝
2
(sin 2
θ
－cos 2
θ
)．
因为cos
θ
＝
4
5
，
θ
∈



0，
π

3
2


，所以sin
θ
＝
5
，
所以sin 2
θ
＝2sin
θ
cos
θ
＝
24
25
，
cos 2
θ
＝cos
2
θ
－sin
2
θ
＝
7
25
，
所以
f



2
θ
－
π
3



＝
2
2
(sin 2
θ
－cos 2
θ
)
＝
2
2
×


247

25
－
25


172

＝
50
.
4．已知sin
α
＋cos
α
＝
35
π

3
5
，
α
∈



0，
π
4



，sin



β
－
4


＝
5
，
(1)求sin 2
α
和tan 2
α
的值；
(2)求cos(
α
＋2
β
)的值．
解：(1)由题意得(sin
α
＋cos
α
)
2
＝
9
5
，
即1＋sin 2
α
＝
94
5
，所以sin 2
α
＝
5
.
又2
α
∈

3

0，
π
2



，所以cos 2
α
＝1－sin
2
2
α
＝
5
，
所以tan 2
α
＝
sin 2
α
cos 2
α
＝
4
3
.
(2)因为
β
∈


π

4
，
π
2



，所以
β
－
π

π

4
∈

0，
4


，
又sin


β
－
π
4


3
＝

π

4
5
，所以cos

β
－
4


＝
5
，
于是sin 2


π

β
－
4



＝2sin


π

β
－
4
< br>

·cos


π

β
－
4


24

＝
25
.
∈


ππ

4
，
2



.
β

π

24

又sin 2

β
－

＝－cos 2
β
，所以cos 2
β
＝－，
4

25

7

π

又2
β
∈

，π

，所以sin 2
β
＝，
25

2

1＋cos 2
α
4

π

2
又cos
α
＝＝，
α
∈

0，

，
4

25

255
所以cos
α
＝，sin
α
＝.
55
所以cos(
α
＋2
β
)＝cos
α
cos 2
β
－sin
α
sin 2
β

＝
25

24

57
×< br>
－

－×
5

25

525
115
＝－.
25