滨州医学院分数线-中国人民解放军艺术学院

三角函数与平面向量
04 三角恒等变换
【考点讲解】

一、具本目标：1.两角和与差的三角函数公式
（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；
（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；
（3）能利用两角差的余弦公 式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，
了解它们的内在联系；
2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公 式，
但对这三组公式不要求记忆）
3.（1） 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值.
（2） 会求类似于15°，75°，105°等特殊角的正、余弦、正切值.
（3） 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.
（4）逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.
(5) 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值.
二、知识概述：
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

两角和与差的正弦公式：
sin



sincoscossin
，
sin


sincoscossin
.
两角和 与差的余弦公式：
cos



coscossin sin
，

cos


coscossinsin
.

1

两角和与差的正切公式：
tan




tantan
，
1tantan
tan





【特别提醒】公式的条件：
1.
2.
tantan
.

1tantan
两角和与差的正弦、 余弦公式中的两个角α
、
β为任意角.
两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：

k, k,k,k

kz

.

2222
知识点二 公式的变用
1. 两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：
asinxbcosxa
2
b< br>2
sin

x

（其中φ角所在的象限由a,b的符号确 定，φ的值由
tan
定），在求最值、化简时起着重要的作用.
2.
tan




b
确
a
tant an
变形为
tantantan



1 tantan

，
1tantan
tan




tantan
tantan
变形为
tantan1
.
tan



1tan tan
tan




tan




tantan
变形为
tantantan



1tantan

，
1t antan
tantan
tantan
1
来使用. 变形 为
tantan
tan
1tantan

条件 为：
k

,k,k,k

kz

.

2222
2tan


1tan
2

22
知识点三 二倍角公式：
1.
sin2

2sin

cos


22
1tan
2

cos2

cos

sin

2cos

112sin



1tan
2

tan2


2tan


2
1tan


2

1cos2

2. 常见变形：（1）
sin


2
2
1cos2

，
cos


< br>2
2
（2）
1sin2

（3）
1cos2


sin

cos


2，
1sin2



sin

cos

2
；
2cos
2

，
1 cos2

2sin
2

.
3.
1cos


半角公式：
sin
22

1cos


，
cos
22
.

，
tan




2

1cos

1cos

，
tan

sin

1 cos


21cos

sin

【真题分 析】

1.
【
2019
年高考全国
Ⅱ
卷文理】已 知
a
∈（
0
，
1
A
．

5
π
），
2sin2α=cos2α+1
，则
sinα=
（

）

2
B
．
53
C
．

53
D
．
25

5
【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查
. 


4sin
α
cos
α
2cos< br>2
α
.
Qα


0,

,cos
α
0
，
sinα0,
2sinαcosα
，
Q2sin2αcos2α1
，
2

又
sin
2< br>
cos
2

1
，

5sin
α
1,sin
α
【答案】
B
2.
【
2019
年高考全国
Ⅲ
卷文数】函数
f(x)2sinxsin2x
在< br>[0
，
2π]
的零点个数为（

）

A
．
2 B
．
3 C
．
4 D
．
5
22
1
5
，又
sin

0
，
sin


，故选
B< br>．

5
5

【解析】由
f(x)2sinxsi n2x2sinx2sinxcosx2sinx(1cosx)0
，得
sinx 0
或
cosx1
，
Qx

0,2π

，
x0、π或2π
．
f(x)
在

0,2π

的零点个数是
3
，故选
B
．

【答案】
B
3.
【
2018
年高考全国
Ⅰ
卷文数】已知函数
f

x

2cosxsinx2
，则（

）

22

3

A
．
f

x

的最小正周期为
π
，最大值为
3 B
．
f

x


的最小正周期为
π
，最大值为
4
C
．
f

x


的最小正周期为
2π
，最大值为
3 D
．
f

x

的最小正周期为
2π
，最大值为
4
【解析 】本题考查的是二倍角公式及余弦型函数的周期及最值问题
.
根据题意有
135
f

x

cos2x1(1cos2x)2cos2x，所以函数
f

x

的最小正周期为
T
2π

π
，

222
2
且最大值为
f

x

max

【答案】
B
4.
【2018
年高考全国
Ⅰ
卷】若
sin


35
4
，故选
B.
22
1
，则
cos2


（

）

3
8778
A
．
B
．
C
．

D
．


9999
2
【解析】本题主要考查二倍角公式及求 三角函数的值
.
cos2

12sin

12( )
【答案】
B
1
3
2
7
.
故选
B.
9
5．【
2018
年高考全国
Ⅰ
卷文数】已知角

的顶点为 坐标原点，始边与
x
轴的非负半轴重合，终边上有两点
A

1，a< br>
，
B

2，b

，且
cos2


，则
ab
（

）

A
．
2
3
1
525
B
．
C
．
D
．
1
5
55
【解析】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換根据条件，可知
O ,A,B
三点共线，从而得到
b2a
，

1

1
2
55
2
2
a
.
1
因为
cos2

2cos

12

，解得，即
a
，所以
aba2a

2
5
3
55
a1

【答案】
B
6.
【
2017年高考全国
Ⅰ
卷文数】已知
sin

cos


2
4
，则
sin2

=
（

）

3
A
．

7227
B
．

C
．
D
．

9999
2

sin

cos

【解析】
sin2

2sin

cos


1
1
7

.
所以选
A.
【答案】
A
9
7.
【
2019
年高考全国
Ⅰ
卷文数】函数
f(x)sin(2x
3π
)3cosx
的 最小值为
___________
．

2

4

【解析】
f(x)sin(2x
3π317

)3cosxcos2x3cosx2cos
2
x3cosx1 2(cosx)
2

，
248
Q1cosx1
，< br>
当
cosx1
时，
f(x)
min
4
，故函数
f(x)
的最小值为
4
．

【答案】
4

8.
【
2019
年高考北京卷理数 】函数
f
（
x
）
=sin
2
2x
的最小正 周期是
__________
．

【解析】本题主要考查二倍角的三角函数公 式､三角函数的最小正周期公式，函数
f

x

sin2x2
1cos4x
π
，周期为
.
22
π
【答案】

2
tan

2

π

π

9.
【
2019
年高考江 苏卷】已知
3
，则
sin

2


的值是
.

tan



4

4

tan


1tan


tan

tan

2

【解析 】由
π

tan

1
tan

13< br>，得
3tan
2

5tan

20
，


tan




4

1tan


解得
tan

2
，或
tan


π

ππ
1

.
s in

2



sin2

cosc os2

sin

4

44
3

22

2sin

cos

cos
2

sin
2


2

2tan

1tan
2




sin2

c os2


=

=

，

2 22
22

sin

cos

2tan

1

2

2212
2

2


=；

当
tan

2
时， 上式
=

2
2

21

10
1 1
2()1()
2
2
1
33
]=
2.

[
当
tan


时，上式
=
1
210
3
()
2
1
3
综上，
sin

2




π

2< br>.


4

10
【答案】
2
< br>10
5π1
)
，则
tan


_____ _____
．

45
10.
【
2018
年高考全国
Ⅰ
卷文数】已知
tan(


【解析】本题主要考查三角恒 等变换，考查考生的运算求解能力
.

5

5π< br>5π

4

tan

1

1< br>，解方程得
tan


3
.
故答案为
3.
tan





4

1tan

tan
5π
1tan

5
22< br>
4
3
【答案】

2
tan

t an
11.
【
2018
年高考全国Ⅱ理数】已知
sinαcosβ 1
，
cosαsinβ0
，则
sin(αβ)
_____ _____
．

【解析】本题主要考查三角恒等变换.因为
sin

cos

1
，
cos

sin
< br>0
，
11
,cos


，
22
111111
因此
sin





 sin

cos

cos

sin

 cos
2

1sin
2

1.
224442

1
【答案】


2
π1
12.
【
2017
年高考江苏卷】若
tan(

),< br>则
tan



．

46

1
1
tan(

)tan
7
7< br>6
44

．故答案为．

【解析】
tan

tan[(

)]
44
1tan(



)tan

1
1
5
5
446
7
【答案】

5
所以

1sin




cos


1,
所以
sin

22
13.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数
f
< br>x

2sinxsin2x
，则
f

x

的最小值是_____________．
2
【解析】
f

x

2cosx2cos2x4cosx2cosx24

cosx1


cosx


1


，
2

所以当
cosx
11
时函数 单调递减，当
cosx
时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为
22
5 ππ

ππ

2kπ,2kπkZ2kπ,2kπ
， 函数的递增区间为

kZ

，

3333< br>
所以当
x2kπ
33
π
,sin2x
，
,kZ
时，函数
f

x

取得最小值，此 时
sinx
22
3



所以
f
x

min
2



3333
3

333

，故答案是.【答案】


22
2

22

14.【2017年高考 全国Ⅱ理数】函数
f

x

sin
2
x3co sx
3

π

(
x

0,

)的最大值是 .
4

2

【解析】 本题主要考查的是三角函数式的化简及三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次

6

方程与二次不等式统称“三个二次”化简三角函数的解析式的综合考查.

313< br>
f

x

1cos
2
x3cosx cos
2
x3cosx

cosx1
，



442

由自变量的范围：
x

0,

可得：
cosx0,1
，当
cosx
时，函数
f

x

取得最大值1.
2
2

【答案】1
15.
【
2019
年高考浙江卷】设函数
f(x)sinx,xR
.
（
1
）已知

[0,2),
函数
f(x

)
是偶函数， 求

的值；

（
2
）求函数
y[f(x
2

π


3

2

)] [f(x)]
2
的值域．

124
【解析】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识
.
（
1
）因为
f(x

)sin(x

)
是偶 函数，所以，对任意实数
x
都有
sin(x

)sin(x

)
，

即
sinxcos

cosx sin

sinxcos

cosxsin

，故< br>2sinxcos

0
，所以
cos

0
．

又

[0,2π)
，因此


π
3π
或．

22
2

（
2
）y

f

π



π


π

π

2

2

xfxsinxsinx




< br>
4


4

12



12

2
π

π

1co s

2x

1cos

2x

< br>1
3
cos

2x
π

．

1

33
6

2


 1

cos2xsin2x

23


222

22

因此，函数的值域是
[1
33
, 1]
．

22
【答案】（
1
）

π
3π
33
或；（
2
）
[1,1]
．
22
22
16
．【
2018
年高考北京卷文数】已知 函数
f(x)sin
2
x3sinxcosx
.
（
1
）求
f(x)
的最小正周期；

（
2
）若
f(x)
在区间
[
3
,m]
上的最大值 为，求
m
的最小值
.
32
【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质
.
（
1
）
f(x)
1cos2x3311π1
sin2xsin 2xcos2xsin(2x)
，

2222262

7

2π

π
.
2
π1ππ5ππ
,2m]
.
（
2
）由（1
）知
f(x)sin(2x)
.
因为
x[,m]< br>，所以
2x[
623666
π
3
ππ
要使得< br>f(x)
在
[,m]
上的最大值为，即
sin(2x)
在
[,m]
上的最大值为
1.
3263
ππππ
所以2m
，即
m
.
所以
m
的最小值为
. < br>6233
π
【答案】（
1
）
π
；（
2
）
.
3
所以
f(x)
的最小正周期为
T

【模拟考场】

1. sin15°sin105°的值是（ ）
A．
3
11
B．

C．

4
44

D．

3

4
11
sin30°=
，故选A． < br>24
【解析】本题的考点二倍角的正弦和诱导公式：sin15°sin105°=sin15° cos15°=
【答案】A
1
π
，则cos
2
（


）=（ ）
34
3245
A．
B． C． D．
4356
2.已知sin2α=
【解析】本题考点二倍角的余弦，三角函数的化 简求值.
π

1
1cos

2



1
1
π
2

1sin2


3

2
．故选B．

∵sin2α=，∴cos2
（


）=
2223
34
【答案】B
43π

，α∈（π，），则tan等于（ ）
52
2
111
A．－2 B．C．

或2 D．－2或
2

22
43π343π
【解析】∵sin α=

，α∈（π，），∴cos α=

，∴tan α=
.∵α∈（π，
），
52532
3.已知sin α=


π
3π


2
=
4
，即2tan
2

+
∴∈（，），∴tan＜0. tan α=

324
222
1tan
2
2
2t an

8

3tan
【答案】A
4.设



0,


1
－2=0，解得ta n
=－2，或tan=
（舍去），故选A．
222
2


1sin2

π

π



0,
，，且tan=，则下列结论中正确的是（ ）

2

cos2


4

ππππ
B．2




C．



< br> D．





44

44
A．
2




【解析】本题的考点二倍角的 余弦，二倍角的正弦.

π

1sin2


sin

cos


sin

cos

1tan


tan


.tan

=


4


cos2

cos
2

sin
2

cos

s in

1tan


因为



0,
【答案】C
2


π

π
ππ

π

,
，，所以．故选C．





2

4

42
4
31
，tan（

−

）=−，tan
< br>=（ ）
53
1913
A．B．
C． D．3
3

139

34
【解析】 ∵角

，

均为锐角，且cos

=，∴sin

=
1cos
2

=，
55
4tan

41
tan

tan

tan< br>
=
，又tan（

−

）=
=
3
=−
，
4
1+tan

tan

33< br>1+tan

3
5．已知角

，

均为锐角 ，且cos

=
∴tan

=3，故选D．
【答案】D
6.设

为锐角，若
cos(

)
π
6
3π
，则
sin(

)
（ ）
512
A．
22
44
B．

C．
D．


1010
55
【解析】 因为

为锐角，所以


π

π2π
< br>π3π4


,

，因为
cos(

)
，所以
sin(

)
，故
6

63

6565
sin(


A.
【答案】A

π


π

π

π

π
π

π2

43

2


.故选

)sin




< br>

sin




cos
c os




sin

6

42

55

10
126

4

6

4




9

< br>7.设函数
f(x)sinxbsinxc
，则
f(x)
的最小 正周期（ ）
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
【解析】本题考查的是二倍角的降幂公式与三角函数的最小正周期，先利用 三角恒等变换（降幂公式）化
简函数
f

x

，再判断b
和
c
的取值是否影响函数
f

x

的最小正周期．
2
f(x)sin
2
xbsinxc
f( x)
1cos2xcos2x1
bsinxcbsinxc
，其 中当
b0
时，
222
cos2x1
c
，此时周期是< br>
；当
b0
时，周期为
2

，而
c
不影响周期．故选B．
22
【答案】B
8．已知
sin
cos


4
，则
sin2


（ ）
3
7227
A．

B．

C．
D．

9999
2
4
4
2
 
【解析】本题的考点是二倍角的正弦正逆用，将
sin

cos


两边平方

sin

cos

< br>

，
3

3

化简后可得
s in
2

【答案】A
9．函数
f

x


cos
2

2sin

cos
< br>
7
16
即
sin2



. < br>9
9
1





sin

x

cos

x

的最大值为（ ）
5

3

6

A．
31
6
B．1 C． D．
55
5
1





sin

x

cos

x

化简，利用两角和、差的正余弦公式及辅助角公式，三角函数
5

3

6

【解析】将
f

x


最值的性质可以求得函数最大值.



由
f

x


1


sinx coscosxsin

cosxcossinxsin

5

33

66

1331
sinxcosxcosx sinx

101022

6



，
3336

13

sinx
sinxcosx< br>
sinxcosx


53
555

22



10



，所以函数的最大值为
6
.
因为
1si n


x

1

3

5【答案】A
3

)

10

（ ） 10 .若
tan

2tan
，则

5
sin(

)
5
cos(


A.1 B.2 C.3 D.4
【解析 】本题考点是两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.

三角恒等变换的主要是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算．本
例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化简所求式子，利用同角关系式求出使已知条件可代入的值，然后
再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．
3

3

3

3

3

3

3

)co s

cossin

sincostan

sinco s2tansin
10

1010

1010

10510





sin(

)sin

coscos

sintan

cos sin2tancossin
55555555

3

3


3

3

3

coscos sinsinsinsin
coscos2sinsin
510510510
< br>510510
＝



sincos
sinco s
55
55
cos(


3

3



3



13


1

1

cos

cossin
cos sincoscoscoscos

1010

510

1025

10210

10210

==



14

sincos
sincossincoss in
55
5555210
3cos

cos

< br>10
3
.【答案】C
10
rrrr
11．已知向量
a
=（
sin

，
2
），
b
=（1，
cos

），且
a
⊥
b
，则sin 2θ+cos
2
θ的值为（ ）
A．1 B．2 C．
1
D．3
2

【解析】本题考点是三角函数的恒等变换及化简求值，数量积判断两个平面向量的垂直关系.

rr
由题意可得
a
·
b
=sin θ－2cos θ=0，即tan θ=2．
∴sin 2θ+cos
2
θ=
【答案】A

11
2sin

cos

+cos
2

2tan

+1
==1，故选A．
cos
2< br>
+sin
2

1+tan
2




7
，θ∈（－π，0），则sin
+cos=（ ）
22
25
111
1
A．
B．

C． D．


555
25
7
【解析】∵cos θ=－，θ∈（－π，0），
2 5



π
∴cos
2
－sin
2
=（cos+sin
）（cos－sin）＜0，∈（

，0），
22222222
12.已知cos θ=－
∴sin
49


2

1
1
+cos
＜0，cos－sin＞ 0，∵（sin
+cos
）
=1+sin θ=1－
1
=，∴si n
+cos=

．故
625
25
222222225
选D．
【答案】D
13.
sin15


sin75


.
【解析】本题考查的是三角恒等变换及特殊角的三角函数值的求解.
法一、
si n15sin75sin15cos15
oooo
2sin(15
o
45
o
)
oo
6
.
2
oo
法二、< br>sin15sin75sin(4530)sin(4530)2sin45cos30< br>oooo
6
.
2
法三、
sin15sin75
oo
62626

.
442
【答案】
6
.
2
14.在锐角三角形
ABC
中，若
sinA2sinBsinC
，则
tanAtanBtanC
的最小值是 .
【解析】本题 考查的是三角恒等变换及正切的性质，本题要求会利用三角形中隐含的边角关系作为消元依
据，同时要记 住斜三角形
ABC
中恒有
tanAtanBtanCtanAtanBtanC
，
sinAsin(BC)2sinBsinCtanBtanC2tanBta nC
，因此
tanAtanBtanCtanAtanBtanCtanA2ta nBtanC22tanAtanBtanCtanAtanBtanC8
，
即最小值为 8.
【答案】8.
15.【2018江苏卷16】已知

,
< br>为锐角，
tan


（1）求
cos2

的 值；
（2）求
tan(



)
的值．
5
4
，
cos(



)
．
5
3

12

【解析】（1）因为
tan


4sin

4
，
tan
< br>
，所以
sin

cos

．
3cos

3
9
，
25
因为
sin2

cos
2

1
，所以
cos
2


因此，
cos2

2cos
2

1
7
．
25
（2）因为

,
< br>为锐角，所以



(0,π)
．
又因为
cos(



)
525
，所以
sin(< br>


)1cos
2
(



)
，
55
因此
tan(



)2
． < br>42tan

24

，所以
tan2


，
31tan
2

7
tan2

t an(



)2

． 因此，
tan(



)tan[2

(


< br>)]
1+tan2

tan(



)1 1
因为
tan


16.【2016高考山东理数】在△ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
2(tanAtanB)
（Ⅰ）证明：a+b =2c;
（Ⅱ）求cosC的最小值.
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；
（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值.
试题解析：< br>


由题意知
2

tanAtanB
.

cosBcosA
sinAsinB

sinAsinB


，

cosAcosBcosAcosBcosAcosB
化简得
2

sinAcosBsinBcosA

sinAsinB
，
即
2sin

AB

sinAsinB
.
因为
ABC

,所以
sin

AB

sin


C

sinC
.
从而
sinAsinB=2sinC
.
由正弦定理得
ab2c
.
()
由
()
知
c
ab
,
22

ab

22
ab

a
2
b
2
c
2
3

ba

11< br>2







， 所以
cosC
2ab2ab
8

ab

42
当且仅当
ab
时，等号成立.故
cosC
的最小值为
1
.
2

13

17.已知函数
f

x

si nxsin

x
22




，
xR

6

(I)求
f(x)
最小正周期；
(II)求
f(x)
在区间
[-
pp
,]
上的最大值和最小值.
34
【解析】本题考点两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三 角
知识，从正确求函数解析式出发，考查最小正周期的求法与函数单调性的应用，从而求出函数的最大 值与
最小值，体现数学思想与方法的应用.
(I) 由已知，有

< br>1cos

2x


11cos2x3
3
1

1

f(x)

cos2xs in2x

cos2x

222

22

2

311



sin2xcos2xsin
2x

.
442

6

2



. 2
pppp
(II)因为
f(x)
在区间
[-,-]
上 是减函数，在区间
[-,]
上是增函数，
3664
所以
f(x)< br>的最小正周期
T

1

1

33
pp
1
f(),f(),f()
，所以
f(x)
在区 间
[
-
,]
上的最大值为
，最小值为

.
3462444
2
34
【答案】(I)

; (II)
f(x)
max



3
1
,
f(x)
min

.
4
2

14