下雪了的作文-贵州高考网

第八章

向量的数量积与三角恒等变换

8．2 三角恒等变换8．2.1 两角和与差的余弦

1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义．
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系．
3．通过学习，提高学生逻辑推理、数学运算的核心素养．


(一)教材梳理填空
1．两角差的余弦
两角差的余弦公式
简记符号
使用条件

2．两角和的余弦
两角和的余弦公式
简记符号
使用条件

(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)两角和与差的余弦中角α，β是任意的．( )
(2)存在角α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β.( )
(3)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos α－cos β.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝( )
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
C
α
＋
β

α，β都是任意角
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β
C
α
－
β

α，β都是任意角

1
A．－

2
C．－
3

2
1
B.
2
D．
3

2
1
解析：选B cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝cos(72°－12°)＝cos 60°＝
.
2
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于( )
1
A.

2
C．0
解析：选C 原式＝cos(75°＋15°)＝0.
π
4．cos
的值为( )
12
A.
C.
6＋2

2
6＋2

4
B.
6－2

4
1
B．－
2
D．1
D．3
6＋2
ππ

πππππ1232
－
＝cos
cos
＋sinsin
＝×＋×＝解析：选C cos＝cos

.

34



题型一 给角求值问题
[学透用活]
关于两角和与差的余弦公式
(1)公式的结构特点
公式的 左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀“余余正正号
相反” 记忆公式．
(2)公式中的角α，β
公式中的角α，β不仅可以是角，而且可以是任意的整 体，可以根据题目需要进行替换、变形代入，
展开式仍然成立．

(3)公式的灵活应用
首先是公式的逆用，可以把符合公式特点的展开式合并，其次是角的灵活变化，如cos α＝cos[(α＋β)
－β]．
[典例1] 化简求值：(1)cos 75°；
(2)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°；
π

π
－x
－sin xsin

－x

；
(3)cos xcos


3

3

(4)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.
[解] (1)cos 75°＝cos(120°－45°)
＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45°
6－2
1232
＝－×＋×＝
.
22224
(2)原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°
＝cos(63°－33°)＝cos 30°＝
3
.
2
π
π1
x＋
－x

＝cos＝
. (3 )原式＝cos


3

32
(4)原式＝cos[(α＋ β)－β]＝cos α.
[方法技巧]
解决给角求值问题的策略
(1)对于非 特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公
式的形式，则 整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正 负相消的项并消项求值，化分子、分母
形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
[对点练清]
5ππππ
1．coscos
＋cos
sin
的值是( )
126126
A．0
C.
2

2
1
B.

2
D．
3

2
答案：C
2．计算下列各式的值：
(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°；
(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)；
(3)
3π1π
cos
－
sin.
212212
解：(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°

＝cos(56°－26°)＝cos 30°＝
3
.
2< br>1
(2)原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
2
ππππ
(3)原式＝coscos
－sin
sin

612612
ππ

π2
＋
＝cos＝
.
＝cos


612

42
题型二 给值求值问题
[学透用活]
π
416
0，

，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．
[典例2] 已知α，β∈


2

565
π
63
0，

，所以α＋β∈ (0，π)，sin(α＋β)＞0，所以sin(α＋β)＝1－cos
2
α＋β＝.
[解] 因为α，β∈


2

65
3
又cos α＝1－sin
2
α＝
，
5
所以cos β＝cos(α＋β－α)
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
163634204
＝－×＋×＝
.
655655325
[方法技巧]
给值求值的解题策略
(1)已知某些角 的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关
系，即拆角与凑角 ．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此在解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． 常见
角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
α＋βα－β
②α＝＋；
22
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
[对点练清]
1．[直接求值]已知cos θ＝－
3ππ
12
π ，

，则cos

＋θ

的值为________． ，且 θ∈

2

4

13
3π
12
π，

， 解析：∵cos θ＝－，θ∈

2

13
∴sin θ＝－1－cos
2
θ＝－
12
5
－

2
＝－，
1－


13

13
π
ππ
＋θ

＝cos
cos θ－sinsin θ
∴cos


4

44

＝
5
2

12

272
－

＝－×

－
13

－×

.
22

13

26
72
答案：－
26
π
4π3π
α＋

＝，且＜α＜，求cos α的值．
2．[变角求值]已知sin


4

544
π< br>4π3π
α＋

＝， 且＜α＜， 解：∵sin


4

544
ππ
∴＜α＋＜π.
24
π
α＋

＝－ ∴cos


4
4

2
3
1－

＝－
.

5

5

α＋
π

－
π

∴cos α＝cos



4

4

ππ
ππ
α＋

cos
＋sin

α ＋

sin
＝cos


4

4

4

4
32422
＝－×＋×＝
.
525210
π
1
α－

＝，求sin αcos α的值．
3．[变式求值]已知 2cos


4

5< br>πππ
1
α－

＝2

cos αcos
＋sin αsin

＝cos α＋sin α＝，解：因为2cos

所以(cos α＋sin α)
2
＝sin2
α＋cos
2
α
44

4

5
＋2sin αcos α＝1＋2sin αcos α＝
题型三 给值求角问题
[学透用活]
2510
[典例3] (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝
，sin β＝，则α－β＝________.
510
π
111
0，

，则β＝________.
(2)已知cos α＝
，cos(α＋β)＝－，α，β∈


2

714
[解析] (1)∵α，β均为锐角，
∴cos α＝
5310
，cos β＝
.
510
531025102
×＋×＝
.
5105102
112
，所以sin αcos α＝－
.
2525
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝
ππ
又∵sin α>sin β，∴0<β<α<，∴0<α－β<
.
22
π
故α－β＝
.
4
π
0，

，∴α＋β∈(0，π)．
(2)∵α，β∈


2

111
∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
714

∴sin α＝
4353
，sin(α＋β)＝，
714
1
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝
.
2
ππ
∵0<β<，∴β＝
.
23
ππ
[答案] (1)
(2)
43

[方法技巧]
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
[对点练清]
1．[变条件]若本例(1)中“sin α”变为“cos α”，“sin β ”变为“cos β ”，则α－β＝________.
解析：∵α，β均为锐角，∴sin α＝
＋
53102
×＝
.
5102
π
又∵sin α2
π
∴－
<α－β<0，
2
π
故α－β＝－
.
4
π
答案：－
4
113π
2．[变条件]若本例(2)变为：已知cos α＝
，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
7142
1π
解：由cos α＝，0<α<，
72
得sin α＝1－cos
2
α＝
1

2
43
1－


7

＝
7
.
53102510
，sin β＝，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×
510510
ππ
由0<β<α<，得0<α－β<
.
22
13
又因为cos(α－β)＝，
14
所以sin(α－β)＝1－cos
2
α－β＝
由β＝α－(α－β)得
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
13

2
33
1－


14

＝
14
.

11343331
＝×＋×＝，
7147142
π
所以β＝
.
3

[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．下列式子中，正确的个数为( )
π
＋α

＝sin α； ①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos

2

③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.
A．0
C．2
解析：选A 三个式子均不正确．
2．cos 20°＝( )
A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30°
D．sin 30°cos 10°＋sin 30°cos 10°
解析：选B cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°.
13
15°－cos 15°的值是( )
22
A.
C.
2

2
6

2
B．－
D．－
2

2
6

2
B．1
D．3
解析：选B 原式＝sin 30°sin 15°－cos 30°cos 15°
＝－(cos 30°cos 15°－sin 30°sin 15°)
＝－cos(30°＋15°)＝－cos 45°＝－
2
.
2

4.
2
(cos 75°＋sin 75°)＝________.
2
3
.
2
解析：原式＝cos 45°cos 75°＋sin 45°sin 75°＝cos(75°－45°)＝cos 30°＝
答案：

二、创新应用题
π2π
4
，π

，且sin x＝，求2cos

x－

＋2cos x的值．
5．若x∈

3

2

2

5< br>
3

解：因为x∈

π

2
，π


，sin x＝
43
5
，所以cos x＝－
5
.
所以2cos


x－
2π
3


＋2cos x
＝2


cos xcos
2π2π
3
＋sin xsin
3


＋2cos x
＝2


－
1
2
cos x＋
3
2
sin x


＋2cos x＝3sin x＋cos x
＝
433
4
5
－
5
＝
3 －3
5
.
[课下双层级演练过关]
A级——学考水平达标练
1．cos 165°的值是( )
A.
6－2
2
B.
6＋2
2

C.
6－2
D．
－6－2
44

解析：选D cos 165°＝cos(180°－15°)
＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)
＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
＝－
232< br>2
×
2
－
2
×
1
－6－2
2
＝
4
.
2．已知点P(1，2)是角α终边上一点，则cos

π

6
＋α


等于(
A.
3＋6
6
B.
3－6
6

C．－
3＋6
6
D．
6－3
6

解析：选B 由题意可得sin α＝
6
3
，cos α＝
3
3
，
)

π
ππ3316
3－6
＋α

＝cos
cos α－sin sin α＝
×－×＝则cos

.
6

6623236
α4αα4α
3．若α∈[0，π]，sinsin
＋cos
cos
＝0，则α的值是( )
3333
π
A.
6
π
C.
3
π
B.

4
π
D．

2
4αα

4αα4αα
解析：选D 由已知得cos
co s
＋sin
sin
＝0，即cos


3
－
3

＝cos α＝0，又α∈[0，π]，所以α＝
3333
π
.
2
4．函数f(x)＝cos x·
(
1＋3tan x
)
的最小正周期为( )
A．2π
3π
C.
2
sin x

1＋3·
解析：选A f(x)＝cos x·

cos x



cos x＋3sin x
＝cos x·
cos x
ππ
cos xcos
＋sin xsin

＝2

33

π
x－

，∴T＝2π. ＝2cos


3

5．在△ABC中，若sin Asin CA．锐角三角形
C．钝角三角形
B．直角三角形
D．不确定
B．π
π
D．

2
解析：选C 因为sin Asin C0，即cos(A＋C)>0，所以cos
B<0，即B为钝角．
6．设α，β为钝角，且sin α＝
3π
A.
4
7π
C.
4
解析：选C 因为α，β为钝角，sin α＝
所以cos α＝－1－sin
2
α
＝－ 1－
5310
，cos β＝－，则α＋β的值为( )
510
5π
B.

4
D．
5π7π
或
44
5
，
5

5

2
＝－
25
.
5

5

310
由cos β＝－，得
10

sin β＝1－cos
2
β＝ 1－
－

310

2
＝
10
，

10

10
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

25

×

－
31 0

－
5
×
10
＝
2
.
＝－
102

5

10

5
又因为π <α＋β<2π，所以α＋β＝
7.
2cos 10°－sin 20°
＝________.
cos 20°
7π
.
4
2cos 10°－sin 20°2cos30°－20°－sin 20°
解析：＝
cos 20°cos 20°
＝
3cos 20°＋sin 20°－sin 20°
＝3.
cos 20°
答案：3
13
8．已知cos α＝
，cos(β－α)＝，且0<β<α<π，则cos β＝________.
33
13
解析：∵cos α＝，cos(β－α)＝，
33
且0<β<α<π，
∴－π<β－α<0，sin α＝
∴sin(β－α)＝－
122
1－＝，
93
16
1－＝－，
33
∴cos β＝cos[(β－α)＋α]
＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α ＝
31

6

2253
×－
－
×＝< br>.
33

3

39
53
答案：
9
β
β
ππ13
α－

的值．
9．若0<α<
，－
<β<0，cos α＝
，cos＝，求cos


2

22323
1π22
解：由cos α＝，0<α<，所以sin α＝
.
323
ββ
3π
β
6
由cos＝，－
<<0，所以sin
＝－
.
234223
β
ββ
1322

3
6

α－

＝cos αcos＋sin αsin＝×＋所以cos

×＝－
.
－

2

223333

3


10.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为
解：依题意，得cos α＝
225
，
.求cos(α＋β)的值．
105
225
，cos β＝
.
105
725
因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝
.
105
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝

B级——高考水平高分练
1．若cos 5xcos(－2x)－sin(－5x)sin 2x＝0，则x的值可能是( )
π
A.
10
π
C.
5
π
B.

6
π
D．

4
22572510
×－×＝－
.
10510510
解析：选B 因为cos 5xcos(－2x)－sin(－5x)sin 2x＝cos 5xcos 2x＋sin 5xsin 2x＝cos(5x－2x)＝cos 3x
ππ
kπ
＝0，所以3x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，
263
π
所以当k＝0时，x＝
.
6
ππ
13π πππ
－α

＝－，sin

＋β

＝，其中＜α ＜，＜β＜，则角α＋β的值为( )
2．若sin


4

4

224242
π
A.
6
π
C.
3
5π
B.

6
D．
2π

3
ππππ
解析：选B 因为＜α＜，所以－＜－α＜0，
4244
ππππ3π
因为＜β＜，所以＜＋β＜，
42244
π π
31
－α

＝，cos

＋β

＝－< br>.
由已知可得cos


4

2

4

2

π
＋β

－

π－α

则cos(α＋β)＝cos


4

4

ππππ
＋β

cos

－α
＋sin

＋β

sin

－α

＝cos


4

4

4

4

11
333
－

×＋×

－

＝－
.
＝


2

22

2

2
π5π
因为＜α＋β＜π，所以α＋β＝
.
26
3．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．

解析：sin α＋sin β＝－sin γ，①
cos α＋cos β＝－cos γ，②
1
①
2
＋②
2
⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－
.
2
1
答案：－

2
π

4．已知点P(1，2)是角α终边上一点，则 sin α·cos α＝________，cos


6
－α

＝_____ ___.
解析：由题意可得sin α＝
π
63632π
－α

＝cos
cos α＋
，cos α＝，所以sin αcos α＝×＝；cos


6
333336
π3316
3＋6
sinsin α＝
×＋×＝
.
623236
答案：
2
3＋6

36
π3π
53
，π

，α＋β∈

，2 π

，求cos 2β的值．
5．已知sin(α－β)＝
，sin(α＋ β)＝－，且α－β∈


2

2

135π3π
53
，π

，α＋β∈

，2π
， 解：因为sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，且α－β∈


2< br>
2

135
所以cos(α－β)＝－
＝－
1－sin
2
α－β
5

2
12
1－

＝－，

13

13
1－sin
2
α＋β
cos(α＋β)＝
＝
3
4
－

2
＝， 1－


5

5
所以cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
123
4563
－

＋

－

×＝－
.
＝×

5

13

5

1365

6．已知sin α＋sin β＝
解：由sin α＋sin β＝
2
，求cos α＋cos β的取值范围．
2
2
，平方可得
2
1
sin
2
α＋2sin αsin β＋sin
2
β＝
，①
2
设cos α＋cos β＝m，平方可得
cos
2
α＋2cos αcos β＋cos
2
β＝m
2
，②
1
①＋②得2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝＋m
2
，
2
3
即m
2
＝＋2cos(α－β)．
2
17
－，

， ∵cos(α－β)∈[－1,1]，∴m
2
∈


22

71414
∴0≤m
2
≤，∴－≤m≤，
222
故cos α＋cos β的取值范围为
－



1414

.
，
22
