点拨：假设该点在角的平分线上，则它到这个角的两边的距离______，
这与已知条件“这个点到角的两边的距离不相等”矛盾。所以_______
链接：这种证题模式称为反证法，应用反证法证明的主要三步是：
否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，由此通过正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
牛顿曾经说：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，
反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或
“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题。
问题2. 如图，△ABC的角平分线A D、BE相交于点O，点O到△ABC各边的距
离相等吗？点O在∠C的平分线上吗？为什么？
点拨：先运用角平分线性质定理，然后应用其逆定理。
思考：你能用一个命题概括这一题吗？

四.【小组交流】学生展示
B
D
A
O
E
C
问题3. 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的





2、如图，在△ABC中，
平分AB，
且DE=DC。求∠B的度数。

点拨： 应用角平分线判定定理和相等垂直平分线性质定理。
五.【课堂训练】拓展延伸
平分线上
A
C
D
E
B

∠C=90度， 点D在BC上，DE垂直
D
N
2
1
C
问题3.
如图，已知∠B=∠C=90º，M是BC中点，MN⊥AD，
若∠1＝∠2，求证∠3=∠4 。
3
4
拓展： 你还有什么发现？
A
六.【课堂小结】
1.角平分线性质定理及其逆定理的内容是什么？我们是如何证明的?
2.三角形的三条角平分线交于一点吗？我是然后证明的？
3.反证法的一般步骤有哪些？
4.你还有哪些困惑？
随堂练习

M
B

课外作业

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
2.1 不等关系
教学目的和要求：
理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系
教学重点和难点：
重点：
对不等式概念的理解
难点：
怎样建立量与量之间的不等关系。

从问题中来，到问题中去。
1. 如图1-1，用用根长度均为l㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。
（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝
2
，那么绳长l应满足怎样的关系式？
（2）如果要使圆的面积大于100㎝
2
，那么绳长l应满足怎样的关系式？
（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？
（4）改变l的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？

分析解答：在上 面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为
()
，圆的面积可以表示
l
4
2

l

为


。

2


（1） 要使正方形的面积不大于25㎝
2
，就是
2
l
2
l
2
()25
，即
25
。
16
4
（2） 要使圆的面积大于100㎝
2
，就是
2

l



＞100，

2


l
2
即 ＞100
4

8
2
8
2
2
4(cm)
，圆的面积为
5.1(cm
2
)
， （3） 当l=8时，正方形的面积为
4

16
4＜5.1，此时圆的面积大。

12
2
12
2
2
9(cm)
，圆的面 积为
11.5(cm
2
)
， 当l=12时，正方形的面积为
164

9＜11.5，此时还是圆的面积大。
（4） 不论怎样改变l的取值，通过计算发现：总是圆的面积 大，因此，我们可以猜想，
用长度增色为l㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的 面积总
大于正方形的面积，即
l
2
l
2
＞
4

16
2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的 树龄，通常规定以树干离
地面1.5m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增 加约3㎝，
这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m？（只列关系式）
（2）燃放某 种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以
外的安全区域。已知导火线的 燃烧速度为0.2ms，人离开的速度为4ms，导火线的长
度x（m）应满足怎样的关系式？
答案：（1）设这棵树生长x年其树围才能超过2.4m，则5+3x＞240。
（2）人离 开10m以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能
保证人的安全：
10 x
＜
40.2
分析巩固练习：
用不等式表示：
（1） a的相反数是正数；
（2） m与2的差小于
（3） x的
2
；
3
1
与4的和不是正数；
3
（4） y的一半与x的2倍的和不小于3。
解答：（1）a的相反数是-a，正数是比零大的数，所以“a的相反数是正数”就是-a＞0；
22
”即是m-2＜；
33
1111
（3）“x的”就是x，“x的与4的和不是正数”就是x+4≤0；
3333
1
（4）“y的一半”不是y,“x的2倍”就是2x，“不小于3”即指大 于或等于3，故“y
2
1
的一半与x的2倍的和不小于”就是y+2x≥3。
2
1
3. 下列各数：，-4，

，0，5.2，3其中使不等式
x2
＞1，成立是 （ ）
2
1
A．-4，

，5.2 B．

，5.2，3 C．，0，3 D．

，5.2
2
（2）“m与2的差”就是m-2，“ 差小于
答案：D
4. 有理数a，b在数轴上的位置如图1-2所示，所
ab
的值 （ ）
ab

A．＞0 B．＜0 C．＝0 D．≥0
答案：B



小结提问，快速回答：
1. 表示不等式关系的符号有哪些?
2. 用适当的符号表示下列关系:
（1）x的5倍与3的差比x的4倍大；
（2）a的
1
的相反数是非负数；
4
（3）x的3倍不小于y的8倍。
3. 下列不等式中，总能成立的是 （ ）
A．
a
＞0 B．
a0
C．2a＞a D．
a
＞a
作业要求：作业本













2.2不等式的基本性质
一、教学目标
1．经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。
2．掌握不等式的基本性质。
二、教学重难点
不等式的基本性质的掌握与应用。
三、教学过程设计
1.比较归纳，产生新知
我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变。
请问：如果在不等式的 两边都加上或都减去同一个整式，那么结果会怎样？请兴几例试
一试，并与同伴交流。
类比等 式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变。试举几例验证猜想。如3＜7，3+1=4，
222

7+1=8，4＜8，所以3+1＜7+1；3-5=-2，7-5=2，-2＜2，所以 3-5＜7-5；3+a＜7+a；3＜7,3-a
＜7-a等。都能说明猜想的正确性。
2.探索交流，概括性质
完成下列填空。
2＜3，2×5 3×5；

2＜3，2×（-1） 3×（-1）；
2＜3，2×（-5） 3×（-5）；


你发现了什么？请再举几例试试，与同伴交流。
通过计算结果不难发现：前两个空填“＜”，后三个空填“＞”。
得出不等式的基本性质：
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象）
3.练习巩固，促进迁移
1． （1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。
① 6+2 -3+2； ② 6×（-2） -3×（-2）；
③ 6÷2 -3÷2； ④ 6÷（-2） -3÷（-2）
（2）如果a＞b，则

2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”：
（1）若a＞b，则2a+1 2b+1;
（2）若＜10，则y -8；
（3）若a＜b，且c＞0，则ac+c bc+c；
（4）若a
＞
0，b
＜
0， c
＜
0，（a-b）c 0。
4.巩固应用，拓展研究.
1. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。
（1）a
＞
b两边都加上-4； （2）-3a＜b两边都除以-3；
（3）a
≥
3b两边都乘以2； （4）a
≤
2b两边都加上c；
2. 根据不等式的性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）：

5.课内深化，提升能力
比较下列各题两式的大小：


6.回顾联系，形成结构
想一想：本节课学了哪些知识？有哪些性质？在运用性质时应注意什么？
（通过问题的回答， 引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完
善学生的认知结构，加深对所学知 识的理解．）
7.课外作业与拓展
课外作业：课本第9页“习题1.2”









2.3不等式的解集
一、教学目标
1．理解不等式解与解集的意义。
2．了解不等式解集的数轴表示。
二、教学重难点
重点是区分不等式解与解集的概念，难点是在数轴上表示不等式的解集。
三、教学过程设计
1.创设情景，导出问题
（课本问题）燃放某中礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火 线后要在燃放前10m以外
的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.02ms，人离开的速度为4ms ，那么导火线的长度
应为多少厘米？
（在建立不等式之前，先让学生分析清楚问题中量 与量之间的关系：为了使人有足够
的时间到达安全区域，导火线燃烧的时间应大于人到达安全区域的时间 。）
设导火线的长度应为x cm ，根据题意，得


即 x>5
2.探索交流，得出概念

1．想一想：（1）你能找出几个使不等式x>5成立的x的值吗？
（2）x＝5,6,8能使不等式x>5成立吗？
(字母可以表示任何数，但对于满足x>5中的字母 x，它能够取任意数吗？如果不能，
它能取哪些数呢？启发学生动手验证、动脑思考，并从中初步体会不 等式解的意义及不等式
解与方程解的不同之处。)
能使不等式成立得未知数得值，叫做不等式 的解。例如，6是不等式x>5一个解，
7,8,9,……也是不等式x>5的解。
一个含有 未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如不等式x-5≤-1的解
集为x≤4；不等式x
2
>0的解集是所有非零实数。
求不等式解集的过程叫做解不等式。
2．议一议：请你用自己的方式将不等式x>5的解集和x-5≤-1的解集分别表示在数轴上，
并与同 伴交流。
（引导学生回忆实数与数轴上点的对应关系，认识数轴上的点是有序的，实数是可以比较大< br>小的，让学生用具体实数对应的点加以说明）
3.练习巩固，促进迁移
1.判断下列说法是否正确：
（1）x=2是不等式x+3＜4的解；
（2）x=2是不等式3x＜7的解集；
（3）不等式3x＜7的解是x=2；
（4）x=3是不等式3x≥9的解。
答案：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确； （4）正确。
2.在数轴上表示出下列不等式的解集：
（1）x＞-1； （2）x≥-1；（3）x＜-1； （4）x≤-1
答案：
（1）数轴上实心与空心的区别在于：空心点表示解集不包括这一点，实心点表示解集包
括这一点。
（2）数轴上表示不等式的解集遵循“大于向右走，小于向左走”这一原则。

4.回顾联系，形成结构

想一想：本节课学了哪些知识？在运用时应注意什么？
（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，
完善学 生的认知结构，加深对所学知识的理解．）
5.课外作业与拓展
课外作业：课本第12页“习题1.3”

2.4一元一次不等式(1)

教学目的和要求:会用一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。
教学重点和难点：
重点：一元一次不等式的解法
难点：解决一元一次不等式时等号方向的改变。
教学过程：
1. 观察下列不等式：
（1）
2x2.515
； （2）
x8.75
（3）x
＜
4 （4）
53x
＞240
这些不等式有哪些共同特点？
这些等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是1，象这样
的不等式，叫做一元一次不等式。
2. 先阅读每（1）题的解法，然后仿做第（2）题，最后谈谈自己读题、做题的体会。
（1）解不等式
x27x
，并把它的解集表示在数轴上。

23
解 去分母，得
3(x2)2(7x)

去括号，得
3x6142x

移项、合并同类项，得
5x20

两边都除以5，得
x4

这个不等式的解集在数轴上表示如下（图1-13）


（2）解不等式
xx2
，并把它的解集表示的数轴上。
3
52

答案：
x
20

3
其解集在数轴上表示如下图1-40

3. 解不等式
104(x3)2(x1)
，并把它的解集在数轴上表示出来。
解答：去括号，得
104x122x2
，
移项，得
102122x4x
。
合并同类项，得 24
6x

系数化为1，得
4x
。得
x4
。
在数轴上表示不等式解集如图


4. 解不等式
y1y1y1
，并把它的解集在数轴上表示出来。

326
解答：去分母，得
2(y1)3(y)1y1

答案：
y3

这个不等式的解集数轴上表示如图

5. y取何正整数时，代数式2(y-1)的值不大于10-4（y-3）的值。
解答：根据题意列出不等式：
2(y1)104(y3)

答案： 解这个不等式，得
y4
，解集
y4
中的正整数解是：1，2，3，4。
6. 解关于x的不等式： k(x+3)＞x+4;
解答：去括号，得kx+3k＞x+4;
答案：若k-1=0，即k=1时，0＞1不成立，∴不等式无解。
43k
。
k1
43k
若k-1＜0，即k＜1时，
x
。
k1
x6m15m1
7. m取何值时，关于x的方程

的解大于1。
x
632
若k-1 ＞0，即k＞1时，
x

解答：解这个方程：
x2(6m1)6x3(5m1)

3m1

5
3m1
根据题意，得
1

5
∴
x
解得 m＞2
8. 是否存在整数m，使关于x的不等式
1
3xx9x2m
与
x1
是同解不
22
m
m< br>3
m
等式？如果存在，求出整数m和不等式的解集；如果不存在，请说明理由。
答案：x＞-8
因此，存在符合题意的m，当m=-11时，两个不等式同解，解集为x＞-8。

小结：本节课我们学了什么？
作业布置


























一元一次不等式（2）
目的、要求：加强巩固一元一次不等式的解法

及用数轴表示不等式的解集
了解不等式在生活中的应用
重点、难点：有分母的一元一次不等式的解法
一元一次不等式的特殊解的求法以及一元一次不等式的应用
例。解下列不等式。并把它们的解集
s在数轴上表示出来
2
3

y1

y1< br>3
84
2x12x510x17
1
234
7 x
11

x3

x131


3 x7

3625


解：在不等式的两边同时解乘以8得；即
化简得；
3

y1

y1
8[2][ 3]8
84
3y6y246163
y
11
9

例一教师师范板演。其他学生模仿联系

解下列不等式．并把它们的解集在数轴上表示出来

x1x1
2< br>1x1
34
0.5x1.4(045)
524






例3、一次环保知识竞赛，共有25道题，规定答对一题得4分，答错一或不答扣一分。
1
小明得了85分，他答对了多少题？ ○
2
小立在这次竞赛中被评为优秀（ 85分或85分以上）○，小立可能答对了多少题？她至


少答对了多少题？
1
设小明答对了x道题，那么答错或不答（25-x）道题。 解：○








根据题意、得 4x-（25-x）=85
解这个方程、得 x=22
所以小明答对了22道题。
2
设小立可能答对了x道题，那么答错或不答（25-x）道题。 ○

根据提意，得 4x-（25-x）>=85
解这个不等式，得 x>=22
因为 x答对题的个数，所以取不等式的正整数解，又只有25道题，因此小立可能
答对了22，23，24， 25道题。她至少答对了22道题。
说明：第一小题是列一元一次方程解应用题，第二小题是列一元 一次不等式解应用题，
目的是让学生认识两者的区别与联系。
二、出示投影片2：例四、 小颖准备用21元钱买笔和笔记本。已知每支笔3元，
每个笔记本2.2元，她买了2个笔记本，请你帮 她算一算她还可能买几支笔。
解：设小颖还可能买n支笔。
根据题意，得 3n+2.2≦21
解这个不等式，得 n≦16.6∕3
因为n表示笔的支 数，所以应取不等式的正整数解。因此小颖还可能买1支，
2支，3支，4支或5支笔。
三、让学生交流对列不等式解应用题的认识，归纳列不等式解应用题的基本步骤。
四、做17页随堂练习第二题
五、课下作业，习题1.5,1题，2题
六、课后小 结；列不等式解应用题的一般步骤：1、分析题意，清楚已知量与未知
量之间的关系，找到题中适当的不 等关系。2、正确的设未知数，根据不等关系列出不等式。
3、解不等式。4、在不等式的解集中选取符合题意的解。5、做出正确的结论。

随堂练习
作业布置









2.5一元一次不等式与一次函数
一、教学目标
1.通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解函数的概念，并从中初步体会一元一次
不等式与一次函 数的内在联系。
2.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式的解集的联系。
3.感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系。
二、教学重难点
教学重点初 步建立“数”（一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系，根据一
次函数图象求一元一次不等 式的解集。教学难点是理解一元一次不等式与一次函数的关系。
三、教学过程设计
1.创设情景，导出问题
小明听了爸爸的字如其人的一番教诲，想到自己龙飞凤舞的“草书” 作品连自己都认不
出来的笑话，下决心练字，在第一周的前3天每天练字6页。设每周计划练字x页。你 能写

出x 与y 之间的关系式吗？这是一个什么函数？
若周计划为y=38页，则x 取怎样的值，小明才能超额完成计划？
（由实际问题出发引导 学生回顾一次函数相关概念以及一次函数与方程的关系。回
顾所学知识作好新知识的衔接。）
回顾：①一次函数的定义。②一次函数的图象。③直线y=kx+b与方程的联系。
2.探索交流，发现规律
我们来看下面这个问题。
作出函数y=2x-5的图象，观察图象回答下列问题：
（1）、x取何值时，y=0？[提示：





（此题摘自 励
耘精品系列
丛书《课时导
航》北师大版
八年级（下）
P9第8题）
(让学生认真观察图象，分析图象，初步学会用分段函数的思想去考虑问题，初步建立
“数”（ 一元一次不等式）与“形”（一次函数）之间的关系。使学生初步体会函数、方程、不
等式都是刻画现实 世界中量与量之间变化规律的重要模型，通过具体例子渗透三者之间的内
在联系，帮助学生从整体上认识 不等式，感受函数、方程、不等式的作用。)
2.6 一元一次不等式组
第一课时
一、教学目标：
1. 知识目标:
①理解一元一次不等式组解集的概念，掌握一元一次不等式组的解法．
②会利用数轴较简单的一元一次不等式组
③通过练习，理解并掌握一元一次不等式组解集的几种情况．
2. 能力目标：
①通过利用数轴来寻求不等式组的解，培养学生的观察能力、分析能力，
②让学生从练习中发现不等式组解集的四种情况，以培养学生归纳总结能力．
3. 情感目标：
将不等式组的解法和归纳留给学生在交流、讨论中完成，培养学生养成良好 的学习
习惯和转变一种观念——将老师与学习伙伴看成是自己有利的学习资源。
二、教学重难点：
教学重点：在紧密联系不等式的同时，理解不等式组解集的意义。教学难点 ：借助数形
结合的方法找出不等式的解集。
三、教学过程设计：
1.回顾旧知，探索发展
回顾：解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。
（1）2x+3＞5 （2）6x—5≤1
（让学生上台演示，注意指导其解题的规范性）

探索： 用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水在
1200吨到1500吨 之间，那么大约需要多长时间才能将污水抽完？
分析：设需要x分钟才能将污水抽完，那么总的抽水量 应为30x吨。由题意，积存的污
水在1200吨到1500吨之间，因此，应有
1200≤30x≤1500
（通过一个具体的问题引入一元一次式组的概念。学生在研究这 一具体问题时，自然感
知到要解决的问题同时满足两个约束条件，而这两个约束条件都是不等式。这样引 入不等式
组比较自然）
上式实际上包括了两个不等式
30x≥1200 和 30x≤1500
它说明要这个实际问题中，未知量x应同时满足这两个条件。
我们把这两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组：
（你能尝试找出符合上面一元一次不等式组的未知数的值吗？与同伴交流。学生可以通
过列表、画数 轴图的方法，寻求不等式组的解。要让学生在充分交流的基础上体会寻找不等
式的公共解的方法。）
分别求这两个不等式的解集，得

同时满足①②的未知数x应是个不等式的解集的公共部分。
在数轴上表示出来



∴x应取 40≤x≤50
这就是所列不等式组的解集。即答案为：大约需要40到50分钟才能将污水抽完。
概括：
几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。
解一元一次不等式组，其步骤通常为：
(1)先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集；
(2)在数轴上把它们的解集表示出来；
(3)找出解集的公共部分，即不等式组的解集。
2.练习巩固，促进迁移
(1)例题：解不等式组

解：解不等式①，得 x＞2
解不等式②，得 x＞4
在数轴上表示出①②的解集

∴原不等式组的解集为x＞4

（要让学生认识到准确、熟练得解不等式是解不等式组的基础，而运用数轴表示（找公
共部分）是关键。让学生再次体会数形结合思想的魅力。）
（2） 练习：


（3）问题探讨：
从练习的情况来看，请同学们认真观察它与下面几种图示的关系：
①当不等号的方向一致时(称同向不等式)，即：
对这类不等式组可按“同大取大；同小取小”的法则，即取公共部分为它的解(如图)．

②当不等号的方向相反时(称异向不等式)，即：

则若未知数的取值比大数小，比小数大时，不等式组的解集在两数之间，取公共部分(如
图)；

③若未知数的取值比大数还大，比小数还小，不等式组的解集是空集，即没有公共部分(如
图3)．

(先让学生通过练习，从感性上了解不等式组解集的基本情况；其次引导学生通过“练习解答的形式与所给图示”的对比，引发出不等式组解集的四种基本情况；从而加深学生对不

< br>等式组解集的理解，更重要的是学生区分出这四种不同的情况后，在结合图形能更快更准地
找出不 等式组的解集。)
3.巩固应用，拓展研究
（1）找出下列不关x的公共部分。


(2)解不等式组





(3)求不等式组的整数解
(巩固应用的设计突出一个层次性，满足不同基础水平的同学的 需要。其中第1题主要
训练学生的定向思维，巩固不等式组解集的四种情况；第2题则是以训练学生解不 等式组的
方法。第3题则以发散思维为主，其目的是让优生吃得饱。在挑战难题的过程中，培养学生学习的意志力。)
4.回顾联系，形成结构
通过本节课的学习，你有哪些收获？ (学生小结,教师对学生小结内容作肯定或补充。启发学生动脑思考、归纳、总结所学知
识，从而培 养学生简明的语言概括能力和准确的语言表达能力。通过学生自我总结使之进一
步理解一元一次不等式组 的概念，并从中初步体会一元一次不等式与一元一次不等式组的内
在联系。促进学生对数学知识的记忆, 并把所学知识结构化系统化。)
5.课外作业与拓展
课外作业：课本第26页“习题1.8”

第二课时
一、教学目标：
1、一元一次不等式组的解集的表示，尤其是在数轴上的表示让学生们必需掌握。
2、让学生 理解一元一次不等式组及其解的意义。利用不等式来解决实际问题，让学生
进一步感受数形结合的作用。
3、让学生经历具体具体问题抽象出不等式组的过程。
二、教学重难点：
教学重点 ：掌握一元一次不等式组的解法；会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种
情况．教学难点：不等式组 解集几种情况的灵活应用。
三、教学过程设计：
1.基础运用，
例1. 解不等式组 ，并将解集标在数轴上.
(解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各 个不等式的解集的公共部分，在解的
过程中各个不等式彼此之间无关系，是独立的，在每一个不等式的解 集都求出之后，才从“组”
的角度去求“组”的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决 问题。)
步骤：

解：解不等式(1)得x>


解不等式(2)得x≤4

（2）求组的解集
（借助数轴找公共部分）
∴

（利用数轴确定不等式组的解集）
（3）写出不等式组解集


（4）将解集标在数轴上

（1）分别解不等式组的每
一个不等式
∴ 原不等式组的解集为

∴
例2.解不等式组

解：解不等式(1)得x>-1,
解不等式(2)得x≤1,
解不等式(3)得x<2,

∴ ∵在数轴上表示出各个解为：
∴原不等式组解集为-1(注意：借助数轴 找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排
列，解集不包括-1而包括1在内， 找公共解的图为图（1），若标出解集应按图（2）来画。)
3.巩固应用，拓展研究
例3.求不等式组

的正整数解。
步骤：
解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3，


1、先求出不等式组的解集。
解不等式 ≤1得x≤2，

∴





∴原不等式组解集为x≤2，
∴这个不等式组的正整数解为x=12、在解集中找出它所要求
或x=2 的特殊解， 正整数解。

例4.m为何整数时，方程组 的解是非负数？
(本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即 。先解方程组用
m的代数式表示x, y, 再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式
组寻求m的取值范围，最后切 勿忘记确定m的整数值。 )
解：解方程组得
∵方程组 的解是非负数，∴
即
解不等式组 ∴此不等式组解集为 ,
又∵m为整数，∴m=3或m=4。

例5.解不等式 <0。
(由” “这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。两个
数的商为负数,这两个数异 号，进行分类讨论，可有两种情况。(1) 或(2)
因此，本题可转化为解两个不等式组。)

例6. 解不等式-3≤3x-1<5。

解法（1）:原不等式相当于不等式组
解不等式组得- ≤x<2，∴原不等式解集为- ≤x<2。
解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上1，得-2≤3x<6,
将这个不等式的两边和中间都除以3得，
- ≤x<2, ∴原不等式解集为- ≤x<2。
4.回顾联系，形成结构
(1)解一元一次不等式组的步骤：
①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

(2)已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与不
等式的混合 组中参变量（参数）取值范围，近年在各地中考卷中都有出现。求解这类问题综
合性强，灵活性大，蕴含 着不少的技能技巧。下面举例介绍常用的五种技巧方法。
5.课外作业与拓展
课外作业：课本第30页“习题1.9”


















第三课时
一、教学目标
1. 知识目标:
能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组解决简单的实际问题，并能根据具体问题的意义，检验结果是否合理。
2. 能力目标：
①培养学生分析、解决实际问题的能力以及数学创造性思维能力。
②体会不等式与方程之间的内在联系。
③通过数学建模，初步培养学生的数学建模能力。
3. 情感目标：
①体会运用不等式解决简单实际问题的过程，提高学生的学习热情.。
②通过实际问题的解决，使学生体会数学知识在生活实际中的应用，激发学习兴趣。
二、教学重难点
教学重点: 如何构建不等式组模型。
教学难点: 如何将实际问题转化为不等式组问题。
三、教学工具：多媒体教学平台。
四、教学过程设计
1.创设情景，导出问题
（师用多媒体展示问题，然后由学生自主探究。）
一堆玩 具发给若干个小朋友，若每人分3件，则剩余4件；若前面每人分4件，则最后
一人得到的玩具不足3件 .求小朋友的人数与玩具数。

（待学生解决问题后，再让几个学生说出他们思考问题的过程。）
2.探索思考，形成模型
（师用多媒体展示问题，再由学生分组自主合作探究，教师巡视并给予指导）
(1)一群女生 住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不
满。①设有x间宿舍，请写 出x应满足的不等式组： 。
②可能有多少间宿舍、多少名学生？

(2)做一做：甲以5 kmh 的速度进行有氧体育锻炼，2 h后，乙骑自行车从同地出发沿同
一条路追赶甲.根据他们两人的约定，乙最快不早于1h 追上甲，最慢不晚于1h15min追上
甲。乙骑自行车的速度应当控制在什么范围？
（师用 多媒体课件展示动态的问题过程，然后要求学生用两种解法解，以体会不等
式与方程之间的内在联系。）
3.交流反思，评价结论
请各组学生代表上讲台说出各组解决问题的各种方法与过程，教师及 时给予评价。然后
再通过实例引导学生归纳出解决实际问题的数学思想方法（师用多媒体投影下图）：
4.练习巩固，促进迁移
（师用多媒体展示问题，学生自主探究.）：
（通过对如下两个问题的探究，使学生学会运用所获得的数学方法解决新的问题。）
(1)有 一个两位数，它的十位数字比个位数字大1，并且这个两位数大于30且小于42，求
这个两位数。 < br>(2)某公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种
产品 全年共新增产量20件，这20件的总产值p（万元）满足：1100﹤p﹤1200.已知有关数
据如 下表所示，那么该公司明年应怎样安排甲、乙两种产品的生产量？
产品
甲
乙

5.回顾联系，形成结构
每件产品的产值
45万元
75万元

①列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：
审题——设元——列不等式（组）——求解——检验——作答。
②数学建模的思想方法。

③注意：要根据实际问题的意义确定数学模型的解。
（通过小结，进一步培养学生分析、解决实际问题的能力以及数学建模的能力。）
6.巩固应用，拓展研究
让学生解决如下两个现实生活中的实际问题，以培养学生的创新精神和实践能力。
（师用多媒体展示问题，学生自主探究.学生可根据自己的实际情况选作下列的问题。）
(1 )暑假期间，柳城县实验中学两位教师计划带若干名学生去桂林旅游，他们联系了报价
都为每人500元 的两家旅行社。经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名教师全额收费，学生
都按七折收费；乙旅行社的优 惠条件是：教师、学生都按八折收费。假设这两位教师带x
名学生去桂林旅游,他们应该选择哪家旅行社 ？
(2)在举国上下众志成城，共同抗击“非典”的非常时期，南宁某医药器械厂接受了一批
高质量医用口罩的生产任务，要求在8天之内（含8天）生产A型和B型两种型号的口罩
共5万只，其中 A型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：若生产A型口罩每天能
生产0.6万只，若生产B型 口罩每天能生产0.8万只。已知生产一只A型口罩可获利0.5元，
生产一只B型口罩可获利0.3元 。设该厂在这次任务中生产了A型口罩x万只，问：
⑴该厂生产A型口罩可获得利润 万元，生产B型口罩可获得利润 万元。
⑵设该厂这次生产口罩的总利润是y万元，试写出y关于x的函数关系式，并求出自变量
x的取值范围。
⑶如果你是该厂厂长：①在完成任务的前提下，你如何安排生产A型口罩和B型口罩的
只 数，使获得的总利润最大？最大利润是多少？②若要在最短时间内完成任务，你又如何来
安排生产A型和 B型口罩的只数？最短时间是几天？
(3)试一试：请你设计一道关于一元一次不等式（组）的实际应用问题。
（注：如时间不够 ，问题2，3可让学生在课外继续自主研究。通过以上练习，使学生把
当堂知识运用并巩固起来。）
7.课外作业与拓展
课外作业：课本第32页“习题1.10”





回顾与思考
●教学目标
（一）教学知识点

1.不等式的基本性质.
2.解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集.
3.利用一元一次不等式解决实际问题.
4.一元一次不等式与一次函数.
5.一元一次不等式组及其应用.
（二）能力训练要求
通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力.
（三）情感与价值观要求
利用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自 然及人类社会的密
切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心.
●教学重点
掌握本章所有知识.
●教学难点
利用本章知识解决实际问题.
●教学方法
教师指导学生自己归纳总结法.
●教具准备
投影片五张
第一张：（记作§1.7 A）
第二张：（记作§1.7 B）
第三张：（记作§1.7 C）
第四张：（记作§1.7 D）
第五张：（记作§1.7 E）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］我们已经学完了本章的全部内容，这节课大家一起来进行回顾.
Ⅱ.新课讲授
［师］1.首先，大家来简要概括一下本章的知识点有哪些？
［生］由现实生活中的不等关系推导出不等式的意义，并能根据条件列出不等式；
类比等式的性质，推导不等式的有关性质以及等式性质与不等式性质的异同；
根据不等式的性质求解不等式，并能利用不等式解决实际问题；
一元一次不等式与一次函数；
一元一次不等式组及其应用.
［师］很好.这位同学对本章知识掌握得如此熟悉，大家应该向 他学习.下面我们分别详
细地回顾总结.
2.重点知识讲解
（1）不等式的基本性质：
［生］不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方
向不变.
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
［师］不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些异同点？
［生］不等式的基本性质有三条， 等式的基本性质有两条；两个性质中在两边都加上（或
都减去）同一个整式时，结果相似；在两边都乘以 （或除以）同一个正数时，结果相似；在

两边都乘以（或除以）同一个负数时，结果不同 .
［师］很好.两个性质可以对比如下：
投影片（§1.7 A）
等式
两边都加上（或减去）同一个数或同一个整
式，所得结果仍是等式
不等式
两边都加上（或减去）同一个整式，不等号
的方向不变
两边都乘以（或除以）同一个 数（除数不为0），两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号
所得结果仍是等式 的方向不变两边都乘以（或除以）同一个负
数，不等号的方向改变
例题讲解
投影片（§1.7 B）
下列方程或不等式的解法对不对？为什么？
（1）－x=6,两边都乘以－1，得x=－6
（2）－x＞6,两边都乘以－1，得x＞－6
（3）－x≤6,两边都乘以－1，得x≤－6
［解］（1）正确.因为符合等式的性质.
（2）、（3）错误.根据不等式的基本性质3，在不等式两边都乘以－1，不等号的方向要
改 变，而（2）、（3）都没改变，所以错误.
（2）解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？
［师］解一元一次不等式的步骤有哪些？
［生］解一元一次不等式的步骤有：
去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化成1.
［师］很好.下面我们对比地学习解一元一次不等式与解一元一次方程的异同.
投影片（§1.7 C）

解法步骤
解一元一次方程
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化成1
解一元一次不等式
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化成1
在上面的步骤（1）和（5）中，
要注意不等式号方向是否改
变
一元一次不等式的解集含有
无限多个数
解的情况

一元一次方程只有一个解
［例题］下面不等式的解法对不对？为什么？
（1）7x+5＞8x+6
7x－8x＞6－5
－x＞1
∴x＞－1
（2）6x－3＜4x－4
6x－4x＜－4+3
2x＜－1

∴x＞
1
.
2
解：（1）不对.在不等式两边都乘以－1时，不等号的方向应改变.应为x＜－1.
（2）不对.在不等式的两边都除以2时，不等号的方向不变，且不能丢掉“－”号，应
为
2x＜－1
∴x＜－
1
.
2
（3）举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集.
投影片（§1.7 D）
解下列不等式或不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1）2（x－3）＞4;
（2）2x－3≤5（x－3）;

2(x2)x5
（3）


3(x2)82 x


x13x



55
（4）< br>

2x2xx2



34
3
解：（1）去括号，得2x－6＞4
移项、合并同类项，得2x＞10
两边都除以2，得x＞5.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：

图1－43
（2）去括号，得2x－3≤5x－15
移项、合并同类项，得－3x≤－12
两边都除以－3，得x≥4.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：

图1－44
（3）

(1)

2(x2)x5

(2)

3(x2)82x
解不等式（1），得x＜1
解不等式（2），得x＞－2
在同一条数轴上表示不等式（1）、（2）的解集：

图1－45
所以，原不等式组的解集为－2＜x＜1.

x13x


(1)

55
（4）


(2)
2x2xx2



34< br>
3
解不等式（1），得x＜1
解不等式（2），得x＞2.
在同一条数轴上表示不等式（1）、（2）的解集：

图1－46
所以，原不等式组的解集为无解.
［师］解一元一次不等式组求公共部分时要记住：
“同大取大，同小取小，
大于小数小于大数居中间，
大于大数小于小数无解”
（4）说一说运用不等式解决实际问题的基本过程.
［师］大家还可以用类比的方法，比较列 方程解应用题的步骤，猜想出用不等式解决实
际问题的步骤.
投影片（§1.7 E） 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两
家旅行社， 经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅
行社的优惠条件是家长、 学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应
该选择哪家旅行社？
解：设 选择甲旅行社所需费用为y
1
元，选择乙旅行社所需费用为y
2
元，则
y
1
=500×2+70%×500x=350x+1000
y
2
=80%×500（x+2）=400（x+2）=400x+800
当y
1
=y
2
时，350x+1000=400x+800
解得x=4;
当y
1
＞y
2
时，350x+1000＞400x+800
解得x＜4;
当y
1
＜y
2
时，350x+1000＜400x+800
解得x＞4.
所以，当学生人数为4人时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当学生人数少于4 人时，
选择乙旅行社；当学生人数多于4人时，选择甲旅行社.
［师］大家能总结一下基本过程吗？
［生］可以.
①审题，设未知数；

②找不等关系；
③列不等式；
④解不等式；
⑤写出答案.
（5）一元一次不等式与一次函数.
［生］如函数y=2x－5,当y＞0时，有2x－5＞0,当y＜0时，有2x－5＜0.
Ⅲ.课堂练习
解下列不等式或不等式组：
（1）3（2x+5）＞2（4x+3）;
（2）10－4（x－3）≤2（x－1）;
（3）
x3x6
;

25

1
(x 4)2


2
（4）



x2< br>
x3

3

2
解：（1）去括号，得6x+15 ＞8x+6
移项、合并同类项，得2x＜9
两边都除以2，得x＜
9
.
2
（2）去括号，得
10－4x+12≤2x－2
移项、合并同类项，得6x≥24
两边都除以6，得x≥4.
（3）去分母，得5（x－3）＞2（x+6）
去括号，得5x－15＞2x+12
移项、合并同类项，得3x＞27
两边都除以3，得x＞9

1
(x4)2

(1)

2
（4）

(2)
x2x3



3

2
解 不等式（1），得x＜0
解不等式（2），得x＞0
这两个不等式的解集在同一数轴上表示为：

图1－47
所以，原不等式组的解集为无解.
Ⅳ.课时小结
回顾本章的知识点，并进行有关练习.
Ⅴ.课后作业

复习题A组
Ⅵ.活动与探究
某化工厂2000年12月在判定2001年某种化肥的生产计划时，收集到了如下信息：
1.生产该种化肥的工人数不超过200人；
2.每个工人全年工作时数不得多于2100个；
3.预计2001年该化肥至少可销售80000袋；
4.每生产一袋该化肥需要工时4个；
5.每袋该化肥需要原料20千克；
6.现库存原料800吨，本月还需用200吨，2001年可以补充1200吨.
请你根据以上数据确定2001年该种化肥的生产袋数的范围.
解：设2001年可生产该化肥x袋.根据题意得

4x2100200


20x(8002001200)1000


x80000

解得80000≤x≤90000且x为整数.
［答］2001年该化肥产量应确定在8万到9万袋之间.
●板书设计
§1.7 回顾与思考
一、1.简述本章的知识点
2.重点知识讲解
（1）不等式的基本性质、以及与等式的基本性质的异同.
（2）解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？
（3）举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集.
（4）说一说运用不等式解决实际问题的基本过程.
（5）一元一次不等式与一次函数.
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业

第三章 图形的平移与旋转

1.图形的平移

知识与技能目标：
1.平移的定义
2.平移的基本性质
过程与方法目标：
1.通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵.
2.探索平移的基本性质，理解平移前后 两个图形对应点连线平行且相等，对应线段和对
应角分别相等的性质.
情感态度与价值观目标：
经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程，经历探索 图形平移的基本性质的
过程以及与他人合作交流的过程，进一步发展空间观念，增强审美意识。
教学重点
平移的基本性质.
教学难点
平移的基本内涵的理解.
教学方法
探索、发现法.
教具准备
图片：一些游乐园的图片、辘轳、电梯等.
电脑演示：平移的过程，粒子运动及行星运转等.
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
同学们，还记得游乐园内的一些项目吗？( 或投影片放图片，或在电脑上演示幻灯片)：
旋转木马、荡秋千、小火车、滑梯……它们曾经使我们许多 人乐而忘返.不过，你想过没有：
小火车在笔直的铁轨上开动时，火车头走了200米，那车尾走了多少 米呢？
Ⅱ.讲授新课
下面我们来看第一节：生活中的平移(电脑演示：P
57
的图3—1，然后提出问题)
(1)图3—1中，传送带上的电视机的形状、大小在运动前后是否发生了变化？手扶电梯
上的 人呢？
好，(电脑出示问题，并演示四边形ABCD移动到四边形EFGH的位置的过程)
如果把移动前后的同一台电视机的屏幕分别记为四边形ABCD和四边形EFGH(如下
图)，那么四边 形ABCD与四边形EFGH的形状、大小是否相同？

想一想，议一议(出示投影片§3.1A).
传送带运送电视机的过程中，电视机的形状、大小、位置等因素中，哪些没有发生改变？哪
些发生了变化？手扶电梯上的人呢？
(学生讨论、发现、归纳结论)
在电视机生产 车间传输带运送电视机的过程中，对同一台电视机而言，不同时间的位置
之间是相互平移的关系；人在电 梯上两个不同时刻之间的位置关系也是平移.
那么，什么是平移呢？
在平面内，将一个图形 沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移
(translation).
注意： “将一个图形沿某个方向移动一定的距离”，意味着“图形上的每个点都沿同一个
．．．．．．．．方向移动了相同的距离”.
．．．．．．．．．．
那大家想一想：平移有什么特征呢？
如图(P
57
的图3—2)，点A、B、C、D分别平移到了点E、F、G、H；点A 与点E，点
B与点F，点C与点G，点D与点H分别是一对对应点，AB与EF是一对对应线段；∠BA D
与∠FEH是一对对应角.
那么同学们想一想，议一议(出示投影片§3.1 B)
(1)在下图中，线段AE、BF、CG、DH有怎样的位置关系？
(2)在下面图中，有哪些相等的线段、相等的角？
(3)由(1)、(2)两个问题，你能归纳出什么结论？


经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等.
这个性质也从局部刻画了平移过程中的不变因素：图形的形状和大小.

下面我们来看一例题以熟悉掌握平移的基本性质(出示投影片§3.1 D)
［例1］如下图 所示，△ABE沿射线XY的方向平移一定距离后成为△CDF，找出图中存在
的平行且相等的三条线段 和一组全等三角形.

分析：因为△CDF是由△ABE平移得到的，所以要 找图中平行且相等的线段，根据平
移的基本性质，需找出平移前后图形的对应点；要找出一组全等三角形 ，可根据平移的特征：
“平移不改变图形的形状和大小”得到.
解：如图，点A、B、E的对 应点分别为点C、D、F，因为经过平移，对应点所连的线
段平行且相等，所以：
AC∥BD∥EF，AC=BD=EF.
平移不改变图表的形状和大小，所以：
△ABE≌△CDF.
接下来，通过练习进一步熟悉掌握平移的定义及基本性质.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P
59
随堂练习
1.如图，∠DEF是∠ABC经过平移得到的，∠ABC=33°，求∠DEF的度数.

解：因为∠DEF是∠ABC经过平移得到的，所以∠DEF与∠ABC是对应角，根据平移
的 基本性质：“经过平移，对应角相等”则
∠DEF=∠ABC=33°.
2.在下面的六幅 图案中，(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的哪个图案可以通过平移图案(1)得到？
(图略，课本P
59
)
答：图案(3)可以通过图案(1)平移得到.
(二)试一试
1.下面是我们曾经欣赏过的一个图案，它是由若干个两种颜色的小鱼形状的图 案拼成
的，你能用平移分析这个图案是如何形成的吗？
(图略：图为课本P
67
)
答案：在同一行里，同种颜色的小鱼图案彼此之间是平移关系.
(三)看课本P
57
~P
58
，然后小结
Ⅳ.课后小结
本节课我们通过具体的实例，认识了平移，理解了平移的基本内涵，并探索了平移的基
本性质.
平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离.
平移前后两个图形对应点连线平行并且相等，对应线段和对应角分别相等.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P
59
习题2.1 1、2、3

(二)1.预习内容：P
61
~P
62

2.预习提纲：
(1)如何按要求作出简单平面图形平移后的图形.
(2)确定一个图形平移后的位置的条件有哪些？
Ⅳ.活动与探究
1.如图1是1 0枚硬币摆成的三角形，现在只许你移动3枚硬币，使图1中变成图2的
倒三角形，请你移移看.





图1 图2
过程：让学生动手拼摆，来培养学生的动手、动脑能力.
结果：平移如下：

(还有其他方法平移，略)





3.2 图形的旋转

知识与技能目标：
1.旋转的定义.
2.旋转的基本性质.
过程与方法目标：
1.通过具体实例认识旋转，理解旋转的基本涵义.
2.探索旋转的基本性质，理解旋转前后 两个图形对应点到旋转中心的距离相等，对应点
与旋转中心的连线所成的角彼此相等的性质.
情感态度与价值观目标：
1.经历对生活中与旋转现象有关的图形进行观察、分析、欣赏以 及动手操作、画图等过
程，掌握有关画图的操作技能，发展初步的审美能力，增强对图形欣赏的意识.
2.通过学习使学生能用数学的眼光看待生活中的有关问题，进一步发展学生的数学观.

教学重点
旋转的基本性质.
教学难点
探索旋转的基本性质.
教学方法
探索、发现法.
教具准备
电脑演示或图片.
投影片四张：
第一张：想一想(记作投影片§3.3 A)；
第二张：议一议(记作投影片§3.3 B)；
第三张：性质(记作投影片§3.3 C)；
第四张：例1(记作投影片§3.3 D).
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］日常生活中，我们经常见到以下情景(出示图示：钟表、 汽车方向盘、辘轳或电
脑演示：钟表指针的转动、汽车方向盘的转动、辘轳打水的情景).
大家想一想：(出示投影片§3.3 A)
(1)上面情景中的转动现象，有什么共同特征？
(2)钟表的指针、钟摆在转动过程中，其形状、大小、位置是否发生改变？汽车方向盘的转
动 呢？
［生甲］在这些转动的现象中，它们都是绕着一个点转动的.
［生乙］每个物体的转动都是向同一个方向转动.
［生丙］钟表的指针、钟摆在转动过程中，它的形状、大小没有变化，只是它的位置有
所改变.
汽车的方向盘在转动过程中，同样它的形状、大小没有改变，方向盘上的每点的位置有
所变化.
［师］同学们观察得很仔细，我们把这样的转动叫旋转(circumrotate)，这节课我们就来
探讨生活中的旋转.
Ⅱ.讲授新课
［师］在数学中，如何定义旋转呢？
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋
转(circum rotate).这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.
注意：“将一个图形绕一个定点沿某 个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时
．．．
都按相同的方式转动相同的角度. < br>．．．．．．．．．．．．．．
在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变.因此，旋转具 有不改变图形的大小
．．．．．．．．
和形状的特征.
．．．
好，了解了旋转的基本概念后，我们来看一钟表的指针的旋转情况(出示投影片§3.3 B)，
大家分组讨论.

议一议：
如下图所示，如果把钟表的指针看 做四边形AOBC，它绕O点旋转得到四边形DOEF，在这
个旋转过程中：

(1)旋转中心是什么？旋转角是什么？
(2)经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？
(3)AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？
(4)∠AOD与∠BOE有什么大小关系？
［生甲］(1)旋转中心是O点，旋转角是∠AOD.
［生乙］旋转角还可以是∠BOE.
［生丙］(2)四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOEF的位置.这时点A旋转到点D的
位 置，点B旋转到点E的位置.
［生丁］(3)可以把OA看作钟表的指针，它OA的位置旋转到OD的 位置，指针的长短、
形状没有变化，所以OA与OD是相等的.
同样，线段OB与OE是相等的.
［生戊］(4)因为四边形AOBC绕O点旋转到四边形D OEF的位置，在旋转的过程中，
图形上的每个点同时都按相同的方向旋转相同的角度，所以∠AOD与 ∠BOE是相等的.
［生己］(4)也可以这样理解：因为四边形AOBC绕O点旋转到四边形DOE F的位置，
所以∠AOB与∠DOE是相等的，又因为∠BOD是公共角，所以，∠AOD与∠BOE是 相等
的.
［师］同学们讨论得非常精彩，也合乎逻辑，看上图，四边形DOEF是由四边形A OBC
绕O点旋转得到的，经过旋转，点A移动到点D的位置，点B移动到点E的位置，点C移
动到点F的位置，则点A与点D、点B与点E、点C与点F就是对应点.
从刚才大家得出的结论中，能否总结出旋转的性质呢？
［生甲］因为O是旋转中心，点A与点 D是对应点，点B与点E是对应点，且OA=OD，
OB=OE，所以可以知道：对应点与旋转中心所连 的线段的长度是相等的.
［生乙］因为点A与点D、点B与点E是对应点，且∠AOD=∠BOE，所 以由此可以知
道：对应点与旋转中心的连线所成的角是互相相等的.
［师］同学们总结得很好，由此我们得到了旋转的基本性质(出示投影片§3.3 C)
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度.
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角彼此相等.
对应点到旋转中心的距离相等.
［师］好，下面我们通过一例题来熟悉旋转的有关性质的应用(出示投影片§3.3 D)
［例1］钟表的分针匀速旋转一周需要60分.
(1)指出它的旋转中心；
(2)经过20分，分针旋转了多少度？
［师］大家可以画图表示；有的同学带表的话可以观察观察.

［师生共析］经 演示(钟表实物或教具)可以知道，分针是绕着表面盘的中心位置，即钟
表的轴心旋转的，它旋转一周时 的度数是360°,一周需要60分，因此每分钟分针所转过的
度数是6°，这样20分时，分针逆转的 角度即可求出.
解：(1)它的旋转中心是钟表的轴心.
(2)分针匀速旋转一周需要60 分，因此旋转20分，分针旋转的角度为
360
×20=
60
120°.
［师］同学们通过熟悉的钟表，了解了旋转性质的应用.接下来我们 拿出剪刀、白纸和
图钉来做一做(出示投影片§3.3 E)
(1)剪出两个边长相等的正方形纸片.
(2)按下图所示用图钉钉制好.

(3)这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？


过程： 同样让学生在画图过程中体会图形中每个三角形之间的关系；或让学生仔细观察
图形，分析图形，找出关 系.
结果：图中存在这样的三角形，其中一个是另一个通过旋转得到的.
整个图形可以看做图形的四分之一(一组“楼梯”)绕中心连续旋转90°、180°、
270°.前后的图形共同组成的.
整个图形也可以看做图形的二分之一(两组“楼梯”)绕 中心位置旋转180°前后的图形
共同组成的.
板书设计

§3.3 生活中的旋转
一、旋转的定义
旋转中心
旋转角
二、旋转的性质
例1
三、做一做
四、课堂练习
五、课时小结
六、课后作业




§3.3 中心对称

知识与技能目标：
1.简单中心对称图形.
2.确定一个三角形中心对称后的位置的条件.
过程与方法目标：
1.经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图和动手操作等过程，掌握画图技能.
2.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形.
情感态度与价值观目标：
1.通过画图，进一步培养学生的动手操作能力.
2.在对具有旋转特征的图形进行观察、分析、画图过程中，进一步发展学生的审美观念.
教学重点
简单平面图形旋转后的图形的作法.
教学难点
简单平面图形旋转后的图形的作法.
教学方法
讲、议、练相结合法.
教具准备
教师给学生每人印发一张如图3—16的图案的方格纸.自制一面小旗子.
直尺、圆规.
投影片三张：
第一张：引例(记作投影片§3.4 A)；
第二张：例1(记作投影片§3.4 B)；
第三张：想一想(记作投影片§3.4 C).
教学过程
Ⅰ.巧设情景问题，引入课题
［师］上节课我们探讨了生活中的旋转，那什么样的运动是旋转呢？
［生］在平面内，将一个 图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动
称为旋转.

旋转不改变图形的大小和形状.
［师］很好，旋转有什么性质呢？
［生］旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；任意一对对应点与旋转中心的
连线所组成的角都 是旋转角，旋转角彼此相等.
［师］很好，大家来看一面小旗子(出示小旗子，然后一边演示一边叙述 )，把这面小旗
子绕旗杆底端旋转90°后，这时小旗子的位置发生了变化，形成了新的图案，你能把这 时
的图案画出来吗？看大屏幕(出示投影片§3.4 A)


如下图，在方格纸上作出“小旗子”绕O点按顺时针方向旋转90°后的图案，并简述理由.

然后在教师发的纸上画图(教师给每位同学发一张如上图所示的方格纸)
(学生观察、分析、动手画图).
［师］同学们画好了吗？哪位同学给大家说说你如何画出来的？
［生］我在原图上找了四个点 ，即O点、A点、B点、C点，如图(教师把该生所画的
图在投影上放影)这四个点可以是能表示这面小 旗子的关键点.因为旋转前后两个图形的对
应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所组成 的旋转角彼此相等，所以根据
已知：要把这面小旗绕O点按顺时针旋转90°.我在方格中找到点A、B 、C的对应点A
′
、
B
′
、C
′
，然后连接，就得 到了所求作的图形.

［师］这位同学描述得很好，作出的图案也很漂亮.同学们在作图过程 中，基本掌握了
作图的一个要点：找图形的关键点，这很让老师为大家高兴.
这面小旗子是结 构简单的平面图形，在方格纸上大家能画出它绕点旋转后的图形，那么
在没有方格纸或旋转角不是特殊角 的情况下，能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢？
这节课我们就来研究：简单的旋转作图.
Ⅱ.讲授新课

［师］我们通过一例题来说明简单图形旋转后的图形的作法，看 大屏幕(出示投影片§
3.4 B)







［例1］如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B、C对应点的
位置，以及旋转后的三角形.

分析：一般作图题，在分析如何求作时，都要先假设 已经把所求作的图形作出来，然后
再根据性质，确定如何操作.
假设顶点B、C的对应点分别为点E、点F，则∠BOE、∠COF、∠AOD都是旋转角.
△DEF就是△ABC绕点O旋转后的三角形.根据旋转的性质知道：经过旋转，图形上的每一
点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，即旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相
等，则∠BO E=∠COF=∠AOD，OE=OB，OF=OC，这样即可求作出旋转后的图形.
［师］通过分析 知道如何作出△DEF，现在大家拿出直尺和圆规，我们共同来把这一旋
转后的图形作出来，要注意把痕 迹保留下来.
(教师一边叙述，板书作法，一边强调正确使用直尺、圆规，同时作图；学生作图)
解：(1)连接OA、OD、OB、OC.
(2)如下图，分别以OB、OC为一边作∠BOE、∠COF，使得∠BOE=∠COF=∠AOD.
(3)分别在射线OE、OF上截取OE=OB、OF=OC.
(4)连接EF、ED、FD.
△DEF,就是△ABC绕O点旋转后的图形.

［师］同学们画得很好，大家想一想，分组讨论：本题还有没有其他作法，可以作出△
ABC绕 O点旋转后的图形△DEF吗？
(同学们讨论、归纳)
［生甲］可以先作出点B的对应点E ，连结DE，然后以点D、E为圆心，分别以AC、

BC为半径画弧，两弧交于点F，连 结DF、EF，则△DEF就是△ABC绕点O旋转后的图形.
［生乙］也可以先作出点C的对应点F ，然后连结DF.因为△ABC与△DEF全等，所
以既可以用两边夹角，也可以用两角夹边，找到点B 的对应点E，即△DEF.
［师］同学们讨论得非常精彩.方法多种多样，很好.接下来，大家来想一 想(出示投影片
§3.4 C)
在旋转过程中，确定一个三角形旋转后的位置，除需要此三角形原来的位置外，还需要什么
条件？

［生丙］还需要知道绕哪个点旋转，旋转的角度是多少？
［生丁］就是要知道旋转中心和旋转角.
［师］很好，由此我们可以知道，要确定一个三角形旋转后的位置的条件为：
(1)三角形原来的位置.
(2)旋转中心.
(3)旋转角.
这三个条 件缺一不可.只有这三个条件都具备，我们才能准确地找到一个三角形绕点旋
转后的位置，进而作出它旋 转后的图形.
下面我们来通过练习进一步熟悉简单平面图形旋转后的图形的作法.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P
70
随堂练习.
在下图中，将大写字母N绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°，作出旋转后的图
案.

解：如下图，先确定字母N的四个端点绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°后的
位置，然后连线.

(二)看课本P
69
~P
70
然后小结.
Ⅳ.课时小结
本节课我们通过作平面图形旋转后的图形，进一步理解了旋转的性质，并且还知道要确
定一个三 角形旋转后的位置，需要有：①此三角形原来的位置.②旋转中心.③旋转角等三个
条件.
在作图时，要正确运用直尺和圆规，进而准确作出旋转后的图形.要注意语言的表达.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P
71
习题3.5 1、2.
(二)1.预习内容P
71
~P
72
.
2.预习提纲.
探索图形之间的变换关系.

Ⅵ.活动与探究
在五边形ABCDE中，AB=AE、BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°.
求证：AD平分∠CDE.

过程：让学生分析、讨论.
要证：AD平分 ∠CDE.则需证∠ADC=∠ADE.而∠ADC是在四边形ABCD中，∠ADE
是在△ADE中， 且已知：BC+DE=CD、AB=AE、∠ABC+∠AED=180°，这时想到，连结
AC，将四 边形ABCD分成两个三角形，把△ABC绕A点旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，
这时可知D、 E、F为一直线，且△ADC与△ADF是全等的，因此命题即可证得.
结果：如图，连结AC，将△ ABC绕点A旋转∠BAE的度数到△AEF的位置，因为AB=AE，
所以AB与AE重合.
因为∠ABC+∠AED=180°，且∠AEF=∠ABC，所以∠AEF+∠AED=180°.所以D、 E、
F三点在一直线上，AC=AF，BC=EF.
在△ADC与△ADF中
DF=DE+EF=DE+BC=CD.
AF=AC,AD=AD
所以,△ADC≌△ADF(SSS)
因此，∠ADC=∠ADF
即：AD平分∠CDE.




§3.4 简单的图案设计

知识与技能目标：
图形之间的变换关系.
过程与方法目标：
经历探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)的过程， 发展图形分析能
力、化归意识和综合运用变换解决有关问题的能力.
情感态度与价值观目标：
在探索活动过程中，培养学生的化归意识和审美观念.
教学重点
探索图形之间的变换关系.
教学难点
探索图形之间的变换关系.
教学方法
分组讨论法.
教具准备