幽默个人签名-澳大利亚留学论坛

3.3 几个三角恒等式
学习目标 1.理解积化和差、和差化积、万能公式的推导过 程.2.掌握积化和差、和差化积、
万能公式的结构特征.3.能利用所学三角公式进行三角恒等变换．

知识点一 积化和差与和差化积公式
思考1 如何用sin(
α
＋
β
)，sin(
α
－
β
)表示sin
α
cos
β
和cos
α
sin
β
？



思考2 若
α
＋
β
＝
θ
、
α
－
β
＝
φ
，则如何用
θ
、< br>φ
表示
α
、
β
？



梳理 (1)积化和差公式
sin
α
cos
β
＝________________.
cos
α
sin
β
＝________________.
cos
α
cos
β
＝________________.
sin
α
sin
β
＝________________.
(2)和差化积公式
sin
α
＋sin
β
＝________________.
sin
α
－sin
β
＝________________.
cos
α
＋cos
β
＝________________.
cos
α
－cos
β
＝________________.
知识点二 万能代换公式
思考 结合前面所学倍角公式，能否用tan
α
2
表示sin
α
？



梳理 万能公式
2tan
α
(1)sin
α
＝
2
.
1＋tan
2

α
2

1

1－tan
2
(2)cos
α
＝.
2
α
1＋tan
2
2
(3)tan
α
＝.
2
α
1－tan
2
知识点三 半角公式
思考1 我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2×替
2< br>换
α
，结果怎样？





思考2 根据上述结果，试用sin
α
，cos
α
表示sin ，cos ，tan .
222





sin
αα
思考3 利用tan
α
＝和倍角公式又能得到tan 与sin
α
，cos
α
怎样的关系？
cos
α
2





梳理 半角公式
(1)sin ＝ .
2
(2)cos

＝ .
2
2tan
2
α
α
α
ααα
α
α

2

(3)tan ＝ .
2
特别提醒：(1)半角公式中，根号前面的符号由所在的象限相应的三角函数值的符号确定．
2
(2)半角与倍角一样，也是相对的，即是
α
的半角，而
α
是2
α
的半角．
2

类型一 积化和差与和差化积公式
命题角度1 积化和差公式的应用
例1 求下列各式的值．
(1)sin 37.5°cos 7.5°；
(2)sin 20°·sin 40°·sin 80°；
(3)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.





反思与感悟 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化 得的结果应用sin(
α
＋
α
α
α
β
)与sin(
α
－
β
)的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应用cos(α
＋
β
)与
cos(
α
－
β
)的和或 差．
跟踪训练1 化简：4sin(60°－
θ
)·sin
θ
·sin(60°＋
θ
)．






命题角度2 和差化积公式的应用
11
例2 已知cos
α
－cos
β
＝，sin
α
－sin
β
＝－，求sin(
α
＋
β
)的值．
23




3

反思与感悟 和差化积公式对于三角函数式的求值、化简及三角函数式的恒等变形有着重要
的作 用，应用时要注意只有系数的绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用推论化成积
的形式，如果是一 正弦与一余弦的和或差，可先用诱导公式化成同名函数后，再运用推论化
成积的形式．
跟踪训练2 求sin20°＋cos50°＋sin 20°cos 50°的值．





类型二 利用万能公式化简求值
3
θ
例3 (1)已知cos
θ
＝－，并且180°＜
θ
＜270°，求tan 的值；
52
2sin
θ
＋cos
θ
(2)已知＝－5，求3cos 2
θ
＋4sin 2
θ
的值．
sin
θ
－3cos
θ





反思与感悟 (1)万能公式是三角函数中的重要变形 公式，“倍角”的正弦、余弦、正切都可
以表示为“单角”的正切的有理式的形式．
(2)万能公式左右两边的角的取值范围不同，在解三角函数方程时，要避免漏解．
22

π

2
跟踪训练3 已知tan

＋
θ

＝3，求sin 2
θ
－2cos
θ
的值．

4






类型三 三角恒等式的证明
1＋sin 4
θ
－cos 4
θ
1＋sin 4
θ
＋cos 4
θ
例4 求证：＝.
2
2tan
θ
1－tan
θ

4

反思与感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的 地化繁为简、左右归一
或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边 推到左边，
也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的
代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
sin
α
＋11
α
1
跟踪训练4 证明：＝tan ＋.
1＋sin
α
＋cos
α
222





1
α
1．若cos
α
＝，
α
∈(0，π)，则cos 的值为________．
32
2π1
2．已知
α
－
β
＝，且cos
α
＋cos
β
＝，则cos(
α
＋
β
)＝________.
33
αα
5
α
3．已知sin －cos ＝－，450°＜
α
＜540°，则tan ＝________.
2252
α

3π

cos

－
α

－ tan ·1＋cos
α
2

2

4．化简：(0＜
α
＜π)．
1－cos
α





1．本节 重点学习了积化和差公式、和差化积公式及万能公式等，一定要清楚这些公式的形式
特征．同时要理解公 式间的关系，立足于公式推导过程中记忆公式．
2．三角恒等式的证明类型
(1)绝对恒等式：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒

5

等变换，使等式的两边化异为同．
(2)条件恒等式：条件恒等 式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择
适当的途径，常用代入法、消元法、两 头凑法．


6

答案精析
问题导学
知识点一
思考1
∵



sin
α
＋
β
＝sin
α
cos
β
＋cos
α
sin
β
，


sin
α
－
β
＝sin
α
cos
β
－cos
α
sin
β
，


∴sin(
α
＋
β
)＋ sin(
α
－
β
)＝2sin
α
cos
β
，
即sin
α
cos
β
＝
12
[sin(
α
＋
β
)＋sin(
α
－
β
)]．
同理得cos
α
sin
β
＝
1< br>2
[sin(
α
＋
β
)－sin(
α
－β
)]．
思考2
α
＝
θ
＋
φ
2< br>，
β
＝
θ
－
φ
2
.
梳理 (1)
1
2
[sin(
α
＋
β
)＋sin(
α< br>－
β
)]
1
2
[sin(
α
＋
β
)－sin(
α
－
β
)]
1
2
[cos (
α
＋
β
)＋cos(
α
－
β
)] －
1
2
[cos(
α
＋
β
)－cos(
α
－
β
)]
(2)2sin
α
＋
βα
－
β
2
cos
2
2cos
α
＋
β
sin
α
－
β
22< br>
2cos
α
＋
β
cos
α
－
β< br>22

－2sin
α
＋
β
2
sin
α
－
β
2

知识点二
思考 sin
α
＝2sin
α
cos
α
2sin
αα
2
cos
2
2tan
α
2tan
α
22
＝＝
2
，即sin
α
＝
2
.
cos
2
α
2
＋si n
2
α
2
1＋tan
2
α
2
1＋tan< br>2
α
2
知识点三
思考1 结果是cos
α
＝2c os
2
α
2
－1＝1－2sin
2
α
2
α
2
α
2
＝cos
2
－sin
2
.

7

思考2 ∵cos
2
α
1＋cos
α
2
＝
2
，
∴cos
α
1＋cos
α
2
＝±
2
，
同理sin
α
1－cos
α
2
＝±
2
，
sin
α
∴tan
α
2
1－cos
α
2
＝
cos
α
＝±
1＋cos
α
.
2
sin
ααα
思考3 tan
α
2
＝
2
sin
＝
2
·2cos
2
sin
α
cos
ααα
＝
1＋cos
α
，
2
cos
2
·2cos
2
ααα
tan
α
sin
2
sin
2
·2sin
2
1－cos
α
2
＝
cos
α
＝＝.
2
cos
α
2
·2sin
α
sin
α
2
梳理 (1)±
1－cos
α
1＋cos
α
2
(2)±
2

(3)±
1－cos
α
sin
α
1－cos
α
1＋cos
α
＝
1＋cos
α
＝
sin
α

题型探究
例1 解 (1)sin 37.5°cos 7.5°
＝
1
2
[sin(37.5° ＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝
12＋1
2
(sin 45°＋sin 30°)＝
4
.
(2)sin 20°·sin 40°·sin 80°
＝－
1
2
[cos 60°－cos(－20°)]·sin 80°
＝－
1
4
sin 80°＋
1
2
sin 80°cos 20°
＝－
1
4
sin 80°＋
11
2
×
2
(sin 100°＋sin 60°)
＝－
1
4
sin 80°＋
1
4
sin 80°＋
3
8
＝
3
8
.
(3)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°

8

＝
1
2
[sin 90°＋sin(－50°)]－
1
2
[cos 60°－cos(－40°)]
＝
1
2
－
1111
2
sin 50°－
4
＋
2
cos 40°＝
4
.
跟踪训练1 解 原式＝－2sin
θ
·[cos 120°－cos(－2
θ
)]
＝－2sin
θ



－
1
2
－cos 2
θ



＝sin
θ
＋2sin
θ
cos 2
θ

＝sin
θ
＋sin 3
θ
－sin
θ
＝sin 3
θ
.
例2 解 因为cos
α
－cos
β
＝
1
2
，
所以－2sin
α
＋
βα
－
β
＝
1
2
sin
22
. ①
又因为sin
α
－sin
β
＝－
1
3
，
所以2cos
α
＋
ββ
2
sin
α
－
2
＝－
1
3
. ②
因为sin
α
－
β
2
≠0，
所以由①②得－tan
α
＋
β
＝－
3
22
，
即tan
α
＋
β
3
2
＝
2
.
2sin
α
＋
β
cos
α
＋
β
2tan
α
＋
β
2
3
所以sin(
α
＋
β
)＝
22
＝
2
×
＝
2
12
sin
2

α
＋
β
9
＝
13
.
2
＋cos
2

α
＋
β
2
1＋tan
2

α
＋
β
2
1＋
4
跟踪训练2 解 原式
＝(sin 20°＋cos 50°)
2
－sin 20°·cos 50°
＝(2sin 30°·cos 10°)
2
－
1
2
(sin 70°－sin 30°)
＝cos
2
10°－
1
2
cos 20°＋
1
4
＝
1＋cos 20°113
2
－
2
cos 20°＋
4
＝
4
.
例3 解 (1)∵180°＜
θ
＜270°，
∴90°＜
θ
＜135°，∴tan
θ
22
＜0.
1－tan
2

θ
∵cos
θ
＝
2
＝－
3
，
1＋tan
2

θ
5
2

9

∴tan ＝4，∴tan ＝－2.
22
2sin
θ
＋cos
θ
(2)∵＝－5，
sin
θ
－3cos
θ
∴
2tan
θ
＋1
＝－5，
tan
θ
－3
2
θθ
∴tan
θ
＝2.
1－tan
θ
3
又cos 2
θ
＝＝－，
2
1＋tan
θ
5
2tan
θ
4
sin 2
θ
＝＝，
2
1＋tan
θ
5
9167
∴3cos 2
θ
＋4sin 2
θ
＝－＋＝.
555
2

π

跟踪训练3 解 ∵tan

＋
θ

＝3，

4

∴
1＋tan
θ
1
＝3，∴tan
θ
＝.
1－tan
θ
2
2
2
2tan
θ
1－tan
θ
434
sin 2
θ
－2cos
θ
＝sin 2
θ
－cos 2
θ
－1＝－－1＝－－1＝－.
22
1＋tan
θ
1＋tan
θ
555
例4 证明 要证原式，可以证明
1＋sin 4
θ
－cos 4
θ
2tan
θ
＝.
2
1＋sin 4
θ
＋cos 4
θ
1－tan
θ
sin 4
θ
＋1－cos 4
θ
∵左边＝
sin 4
θ
＋1＋cos 4
θ
2sin 2
θ
cos 2
θ
＋2sin2
θ
＝
2
2sin 2
θ
cos 2
θ
＋2cos2
θ
＝
2sin 2
θ
cos 2
θ
＋sin 2
θ
＝tan 2
θ
，
2cos 2
θ
sin 2
θ
＋cos 2
θ
2
2tan
θ
右边＝＝tan 2
θ
，
2
1－tan
θ
∴左边＝右边，
∴原等式成立．
2ta n
α
2
2
2
α
＋1
tan
2
α< br>1＋tan
跟踪训练4 证明 ∵左边＝
2
α
＝
ααα
22
2tan 1－tan1＋tan＋2tan ＋1－tan
22 222
1＋＋
2
α
2
α
1＋tan 1＋tan
22
＋2tan ＋1
22
α
α

10


tan
α
＋1

2

2
α

1
α
1

1

＝＝< br>
tan ＋1

＝tan ＋＝右边，
2
α
2

22

2
2tan ＋2
2
∴原等式成立．
当堂训练
1.
67
α
2.－ 3.2 4.－22cos
392

11