教师节的歌-签证保险

必修第三章 三角恒等变换单元教学设计
案例 3.1.1两角和与差的余弦
（一）教学目标
知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初 步理解公式
的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
能力目标：进一步理解向量 法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，
进而获取知识的能力．
情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与
证明．
（三）学法与教学用具
. 学法：启发式教学
. 教学用具：多媒体
（四）教学过程
教学环节 教学内容

探究


提出问题并引入
新课

生：反例：
cos

问题 ：
cos(



),cos

,cos

的关系？
复习 复习有关知识，
寻求解决问题的
思路
复习：。余弦的定义
师生互动
师：探究
cos(

< br>
)cos

cos


设计意图
创 设问题的情
过设疑，引导
展积极的思维

cos()coscos< br>
62323

通过复习相关
下面公式的推
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角

的终边
铺垫。
与单位圆的 交点为,
cos

等于角

与单位圆交点的横坐标
y
终边
P
O
x

．能否用向量的方法求角的余弦？
师：、是

两边上任一点，
cos

OMON
OMON

（显然为了简化计算，取、为

两边与单位圆的交点， 此时有

cos

OMON
）
公式的推
导
公式的推导证明
如图构造角

终边与单位圆交于,
， ,
公式理解和基本
掌握。
y
终边
Q
P
O
x
终边
通过定义的复
坐标系中找到
几何表示，利
的铺垫引导学采用向量方法
问题，同时也
向量的工具性

师：指出角



与
OP,OQ
关系：
生：



OP,OQ2k

,kZ

则
cos(



)cosOP,OQ

师：写出点、坐标
生:
Q(cos

,sin

),P(cos

,sin

)

带领学生推导公式：< br>cos(



)cos

cos
sin

sin


（板书）
因为：
c os(



)cosOP,OQ
OPOQ
OPOQ

OPOQ(cos

,sin

)(cos

,sin

)

cos

cos

sin

sin


OPOQ1


所以：
cos(
< br>)cos

cos

sin

sin


公式记号
C
(



)



公式的深
化
对公式进行更深
层次的认识
思考并讨论：（投影）
1） 问题解决的思路与方法
2） 体现了α与β的任意性吗？
）探究 ()的公式
由学生回答上述问题，教师点评：结论如下
）主要利用了向量这个工具，体会其作用与便利之 处.。回归到余
弦的定义，数形结合，利用单位圆简化了计算。
）α与β有任意性，有



OP,OQ2k

,kZ

说一该公式具有一般性。
）把公式
αβ
中的β换成β，则有
板书：
［α（β）］α·（β）＋α·（β）
＝α·βα·β，
即
（αβ）α·βα·β（α，β∈）．
公式记号
C
(



)

师：公式有何特点？如何记忆
生： 公式的结构和特点：“同名异和差”
主要是公式右端中间的“＋、”号与公式左端α与β间的“、＋”
号正好相反．
对推 导过程
顾，彻底理清
题的思路，体
的数学思想及
同时通过对问
论，让 学生对
有一个清晰完
识，为公式的
用打下基础，
培养学生探
力。
对公式进行深
显示其“辐射
用培养学生的
联想能力、优
品质。
公式的应
用
例、利用和、差
角余弦公式求
学生练习、板演，教师讲评
注意将一般角转化为特殊角的和或差，可以不查表求值
cos105
0
cos15
的值
及
让学生初步掌
的应用，，并
悉公式的特征
后灵活应用作
归纳小结 从知识、方法两
个方面对本节
课的内容进行
归纳总结
公式推导中向量的应用
公式的结构特征
在三角变换时，本公式应用中，首先应考虑根据题目的条件与结论
来进行角的变换
使 学生对本节
一个清晰完
识，并点出问
的基本思路与

布置作业 教材
习题3.1.1
练习
练习
思考题：
已知co s


求cos

111
,cos(



),且

，

均为锐角，

714
巩固本节课
识，培养学生
习的习惯，给
力的学生留出
展的空间


案例 ３(２)
（一）教学目标
一、 知识目标：掌握公式结构特点，会用公式求值．
二、 能力目标：培养学生的观察，分析，类比，联想能力，间接推理能力，自学能力．
三、 情感能力：发展学生正向，逆向思维能力，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
重点是公式的结构特点，会用公式求值．
难点是公式的逆向和变形运用．
（三）教学方法
教师按照课本的知识结构先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课 本，课堂上在
教师三导（引导，指导，辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读，议，练，讲，其间
教师通过提问，参与讨论，巡视学生练习及板演，观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，
及 时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中．
（四）教学过程

教 学 教 学 内 容
环 节
师 生 互 动 设计意图

复
习
引
入








复习公式





先让学生默写两角和与差的余弦公式，然后
指出这两个公式是 讨论复角



与单角
cos




cos

cos

sin

sin

cos





cos
cos

sin

sin


,

的余弦函数间的关系，且此关系对任
意角

,

均成立，并且要注意

cos





cos

cos

是错误







以旧引新，
注意创设
情境，通过
设疑，引导
学生开展
积极的思
维活动．
的．
cos

< br>


cos

cos



















公
式
的
运
用
4

cos

(
52
例２，已知

cos(

),cos(

)
66
求．




例２是使
学生掌握

)
公式的正
，
向应用，并
（２）再求
sin
< br>时，要注意角的取值范围，
进一步熟
三角函数值的正负． 悉公式的
（３）代入时，从左至右依次代入． 特征，为后
（４）注意面的灵活
运用奠 定
cos

cos

sin

sin

cos(



)
基础．
cos
< br>cos

sin

sin

cos(



)

可以象上面这样逆用．


例２ 学生练习，板演，教师讲评注意几个
问题：
（１）特殊角不需要查表，直接求出三角函
数值．

变式１：已知
cos


111
cos(



)
7,14,

且

,
均为锐角，求
cos

.





变式１是
变式１教师讲评注意几个问题：
一个典型
例题，在变




1. 将看作一个整 体，角由
式中注意
配凑公式，
(



)

得到．
对它的解
法深入讨
2. 应用公式
论，有益于
启发学生
cos

cos

(



)



思维，提高
cos(



)cos

sin(


)sin


学生的解
题能力，且
< br>0

0

在解题过
2,2
3. 由得到
程中 提炼
0



，再进一步参考
思想方法，
有利于 培
养学生良
11
cos(



)
好 的思维
14
．确定
sin(



)
的值 ．
品质．








例３ 学生练习，教师讲评注意两个问题：
（１）方法１可以按和差角的余弦公式直




公式的
运用




例３要求
C



例３ 利用证明：
学生用两< br>种方法来
cos


(2k1)


 cos

(kZ)
接展开，将
(2k1)

看作一个 整体角．

做，培养学
（２）方法２也可以 生良好的
思维品质．
(2k1)

2k



，再按诱导公式进行
运算．

公式的
运用


练习１，已知
sinxsiny0.4,


练习１使用平方法将两个等式平方，然后相
加，利用
sin
2
x cos
2
x1
sin
2
ycos
2
y1
只剩下
cosxcosysinxsiny
问题得
解．思维过程可以 逆向，（考虑由
cos(xy)
入手，寻找
cosxcosy,sinxsiny< br>想到平
方．）
cosxcosy1.2

求
cos(xy)
．


通过这个
练习，培养
学生良好
的发现问
题解决问
题的能力．





归纳小
结






从知识，方法两个方面来对本节课的内
容进行归纳总结．






对公式做到一掌握，二会想，三会用．


使学生对
所学内容
有一个清
晰完整的
认识，并点
出三角公
式的基本
方法，体现
了＂授之
以鱼，不如
授之以
渔＂的教
育 思想．


巩固本节
课所学知
识，培养学
生自觉学
习的习惯，
同时给学
有余力的
学生留出
自由发展
的空间．




布置作
业




教材练习３．１
教材页 １
思考题：
1
1．已知()求
3
()()的值。
2．
(,
1
1
，，
2
2

),(, ),
22
求()的值

§3.1.2两角和与差的正弦
一、教学目标
、知识与技能目标：能从两角差的余弦公式导出两角和、差正弦公式，了解它们的内在
联系。
、过程与方法目标：引导学生推导和角公式，使学生认识整个公式体系的推理和形成的
过程。从 这一过程中，使学生领会其中体现出来的数学基本思想、蕴含的创新思想，掌握研
究数学的基本方法，从 而提高数学素质。
、情感、态度与价值观目标：通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过 程，
体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。
体会学科间的联系。
二、教学重点、难点
. 教学重点：两角和、差正弦公式的应用和旋转变换公式。
. 教学难点：利用两角和的正弦公式变asin

bcos

为一个角的三角函数的形式。
三、教学方法
研讨式教学，讲授式教学
四、教学过程：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：
cos





cos

cos

sin
sin

；
cos





cos

cos

sin

sin

．
这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？
提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天
的问 题有帮助吗？
让学生动手完成两角和与差正弦公式.



< br>






sin
< br>



cos








cos








cos




cos

sin




sin


2

2

2



2
sin

cos

cos

sin
．
sin





sin< br>








< br>sin

cos




cos

sin




sin

cos< br>
cos

sin

让学生观察认识两角和与差正弦公式的 特征
sin






sin

cos

cos

sin

①里加外加，里 减外减

sin





si n

cos

cos

sin

②
,

,

,

顺序不变
简单应用：（视学生情况，可酌情删减）
、求
sin75,sin15
的值（答案：
、（口答）课本页练习 ——题
（二）例题讲解
例题安排：
例与例是三角与向量的综合问题，其过程是 一次旋转变换。例是例的一个特例，在编排
上体现了由特殊到一般的认识规律，例求证的结论是一组旋转 变换公式。由此，在安排上，
例作为重点讲解，而例则留给学生自己课下解决。培养学生举一反三，由特 殊到一般的学习
能力。
例与例也是由特殊到一般的关系。先讲例降低了难度，为例打好了基础 ，这样例便也可
由同学仿照例研讨得出。
例 体现了数学学科与物理学科的联系，增强了学生的学习兴趣，可留作思考作业课下完
成。
< br>例、已知向量
OP(3,4)
，逆时针旋转
45
到
OP的位置。求点
P'(x',y')
的坐标
解题分析：问题、点坐标知道吗？
问题、
OP
旋转到
OP'
，什么变了，什么没变？
问题、通过前面的学习，你能利用三角函数的知识解决这个问题吗？
解：设
xOP

由
OP(3,4)
可知
P(3,4)

所以
OP32
4
2
5
，而
OPOP'5

0
'
00
6262
,
）
44
3
又因为
cos

,
5
同理
4
sin



5
x'
cos


45
0

,
5
x'5cos
< br>
45
0

y'
sin


 45
0


5
5

cos

c os45
0
sin

sin45
0

所以

3242

5


52

5 2




2
2

y '5sin


45
0

5

si n

cos45
0
cos

sin45
0

同理

4232

5


52

52




72
2< br>
所以
P'(
272
,)

22

例（学生课下仿照例研讨完成）
已知点
P(x,y)
，与原点的距离保持不 变，逆时针旋转

角到点
P'

x',y'

。求 证：

x'xcos

ysin




y'xsin

ycos

证明：设
xOP< br>
，
OPr

xy
,sin



rr
x'
同理
cos





,
r
x'rcos





则
cos


从而
y'
sin






r< br>y'rsin





r

cos

cos

sin

sin


xcos

ysin

r

sin

cos

cos

sin



xsin

ycos

即



x'xcos

ysin



y 'xsin

ycos

例、化简
2cosx6sinx
解题分析：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦不相象，但我们能否发现规律呢？
解：
2cosx6sinx

2cosx3sinx2
思考 ：
2



1
2

cosx

2


3
sinx

22

s in30cosxcos30sinx

22sin

30x


2

2
是怎么得到的？

发现
22

2
2
6
2
，
26
3
1
我们是构造一个角使它的正、余弦分别等于和，即和
2
2
2222
例、（教师引导学生仿照例研讨完成）
求函数
yasinxbcosx
的最大值、最小值和周期，其中
a,b
是不同时为零的 实数。
解：由例 知
yasinxbcosx

可写为 < br>y

ab
a
2
b
2

sin xcosx

，
22
a
2
b
2
< br>ab

a
ab
22
其中
cos

,sin


b
ab
22

则，原式
a
2
b
2

cos

sinxsin
cosx


a
2
b
2
sin

x


所以函数
yasinxbcosx
的最大值是
a
2
b
2
，最小值是
a
2
b
2
，周期是
2


注：此题结论可作为公式记住，可方便解题。
例、（学生课下完成）
已知三个电流瞬时值的函数式分别是
I
1
2sin

t ,I
2
2sin


t45
0

,I
3
4sin


t45
0

，求它们 合成后的电流瞬时值的函
数式，并指出这个函数的振幅和初相。
解:
II
1
I
2
I
3

 2sin

t2sin


t45
0

4sin


t45
0

2sin
t2

sin

tcos45
0
cos

tsin45
0

4

sin

tco s45
0
cos

tsin45
0

42si n

t2cos

t
1

4

34

sin

tcos

t

17

17

34

sin

tcos
cos

tsin


34sin
< br>
t


其中

arctan

1
14
0
2'

4

所以
I34sin
（三）小结：


t142'

。振幅为
0
34
，初相为
140
2'

本节我们学习了两角和与差正弦公式及其应用，我们要熟记公式，在解题 过程中要善于
发现规律，学会灵活运用.
（四）作业：课本页 习题 —第——题

3.1.3两角和与差的正切
一、教学目标：
、知识与技能：
⑴掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。
⑵培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力；自学能力。
、过程与方法：由学 生熟知的两角和与差的正弦、余弦公式，引导学生推导出两角和与
差的正切公式，通过教师的提问，学生 观察，分析，讨论及练习。及时搜集反馈信息，
动态调整教学过程，引导学生攻克难点，掌握重点。
、情感态度、价值观：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思
维品质。
二、教学重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值。
教学难点：公式的逆向和变形应用。
三、教学过程：
、复习引入
复习：两角和与差的正、余弦公式

,

< br>sin


+


sin

co s

+cos

sin


sin




sin

cos

co s

sin


cos





cos

cos

sin

sin


cos





cos

cos

sin

sin


提出问题：复角



与单角

，

的 正弦、余弦函数存在以上关系，那么能否用
tan

和tan

来表 示
tan





呢？
、两角和与差正切公式的推导及理解


⑴()公式的推导（让学生回答）
∵ ()
()
sin(



)sin

cos

cos
sin


当时
cos(


)cos

cos

sin

sin

分子分母同时除以得：
tan





以代得：
tan

tan


1tan

ta n

tan





tan












⑵思考讨论：
tan

tan




tan

tan



1ta n

tan




1tan

tan

①公式是如何推导出来的？有什么限制条件？
②公式有何特点？如何记忆？
③公式有何用处？有何变形？
⑶注意：
、 必须在定义域范围内使用上述公式。即：，，(±)只要有一个不存在就不能使
用这个公式，只 能（也只需）用诱导公式来解。
、注意公式的结构，尤其是符号。
、
T(



)
公式的变形：
tan

 tan

tan(



)(1tan
tan

)

tan

tan

 tan(



)(1tan

tan

)

思考：公式





？
．公式的应用
例.求下列各式的值：
①，
②，
③
tan71tan26

1tan71tan26
3
3

33

1263
23
解： ()
6
333
1
3
1
3
3

33

1263
23
 ()
6333
1
3
tan71tan26
tan(7126 )tan451

1tan71tan26
1
例.不查表求值

1tan75

①
1tan75

② 

③
tan17tan43+tan17tan30+tan43 tan30

1tan75tan45+tan75
==tan
< br>45+75

=-3
解：①
1tan751-tan45t an75
②
tan

17+28

1-t an17tan28

+tan17tan28=1

tan17 tan43+tan17tan30+tan43tan30
=tan17tan43+ tan30

tan17+tan43

③
3
=t an17tan43+tan

17+43

1-tan17t an43

3
=1
巩固练习：练习，，
例. 如图 ，三个相同的正方形相接，求证：





4
．
11
，
tan


，
23
11
tan

tan

23
1
， ∴
tan(



)

11
1tan

tan

1
23
解：由题意：
tan





0



2< br>,0



2
， ∴
0





，所以，




4
．
2

1

，
tan(

)
，求
tan(

)
的值。
5444

21
tan(



)tan(

)



4
解：
tan(

)
 tan[(



)(

)]

54

3
．


4
4
1tan(



)tan(

)
1
2

1
22
4
54
2
【变题】：已知
cot

2,tan(



)
，求
tan(
< br>2

)
的值。
3
1
解：
cot

2
， ∴
tan


，
2
∴
tan(

2

)tan(

2

)tan[(



)

]

tan(



)tan

1

．
1tan(


)tan

8
例：已知
tan(



)
巩固练习：练习，，
四、小结：

< br>１．公式（
公式的作用在于用单角
）的结构类似，应注意符号的差别，可以用类比的方法 记忆．这两个
、的正切来表达复角的正切．
２．有关两角和差的余切问题，一般都是 将它由同角公式的倒数关系化为两角和差的
正切，用公式来解决．
３．“化未知为已 知”是推导公式和数学解题的常用方法；“公式的逆用”与“１的
变式”是数学解题中常用的技巧。我们 应该熟练掌握这些方法和技巧．
五、作业： 练习-1A中 习题 ，，，，
.2.1 二倍角的正弦、余弦和正切公式

一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导
过程，掌 握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、学法与教学用具
本节课采用观察、赋 值、启发探究相结合的教学方法，运用现代多媒体教学手段，进行教学
活动，通过设置问题引导学生观察 分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、
探索和交流的过程中获得倍角公式；对于倍角 公式的应用采取讲、练相结合的方式进行处理，
使学生边练边巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公 式的记忆。
四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
sin
< br>



sin

cos

c os

sin

；
cos





cos

cos

sin

s in

；
tan






tan

tan

．
1tan

t an

我们由此能否得到
sin2

,cos2

,tan2

的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中

看
成
即可），
（二）公式推导：
sin2

sin





sin

cos

cos

sin

2sin

cos

；

cos2

cos





cos

cos

sin

si n

cos
2

sin
2

； 思考：把上述关于
cos2

的式子能否变成只含有
sin
< br>或
cos

形式的式子呢？
cos2

cos2

sin
2

1sin
2

sin
2

12sin
2

；
cos2< br>
cos
2

sin
2

cos2

(1cos
2

)2cos
2
< br>1
．
tan2

tan






注意：
2


tan

tan

2tan

．

1tan

tan

1tan
2


2
k
< br>,



2
k


kz


（三）例题讲解
例、已知
sin2


解 ：由
5

,

,
求
sin4
,cos4

,tan4

的值．
1342
,
得

4




2

2
2



．
2
12
5

5

又因为
sin2

,
cos2

 1sin
2
2

1


．
13
13

13

于是
sin4

2s in2

cos2

2
5

12
< br>120





；
13
< br>13

169
2
120
sin4

120< br>
5

119
；
tan4


．

169

cos4

12sin
2
2

12


119
cos4

119

13

169
169

例２、已知tan2


解：
tan2


1
,
求
tan

的值．
3
2tan

12
tan

6tan

10
，由此得

2
1tan

3
解得
tan

2 5
或
tan

25
．
例、证明恒等式：
sin2

sin

tan


2
2 cos2

2sin

cos

证明：左边
2 sin

cos

sin

sin

( 2cos

1)

tan

右边
222
2(cos

sin

)2sin

cos

cos

(2cos

1)
（四）小结： 、我们是如何得出倍角公式的。
、
S
2

,C
2

中角

有限制条件吗？
T
2

中呢？