长安大学研究生招生网-教育教学案例

第二讲 三角恒等变换与解三角形

一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
六个公式：
①sin(
α
±
β
)＝sin_
α
cos_
β
±cos_
α
sin_
β
；
②cos(
α
±
β
) ＝cos_
α
cos_
β
∓sin_
α
sin_
β
；
tan
α
±tan
β
③tan(
α
±
β
)＝.
1∓tan
α
tan
β
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．三个公式：
①sin 2
α
＝2sin_
α
cos_
α
；
2222
②cos 2
α
＝cos
α
－sin
α< br>＝2cos
α
－1＝1－2sin
α
；
2tan
α
③tan 2
α
＝.
2
1－tan
α

应用二倍角公式的变形求值的注意问题
已知sin
α
，cos
α
的值求tan

α
2
时，应优先采用tan
α
2
＝
sin
αα
或tan＝
1＋cos
α
2
1－cos
αα
，这样可以避免由“tan＝±
sin
α
2
三、辅助角公式
22
1－cos
α
”带来增解．
1＋cos
α

a
sin
α
＋
b
cos
α
＝
a
＋
bsin(
α
＋
φ
)

其中tan
φ
＝

.

1．辅助角公式的特殊情况
π

(1)sin
α
±cos
α
＝2sin

α
±

；
4

π

(2)sin
α
±3cos
α
＝2sin

α
±

；
3


π

(3)cos
α
±3sin
α
＝2sin

±
α

.

6

2．辅助角公式的作用
(1)利用该公式可将形如
y
＝
a
sin
x
＋
b
cos
x
的函数转化为形如
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)的函
数，进而研究函数的性 质．
2222
(2)若函数
y
＝
a
sin
x
＋
b
cos
x
的定义域为R，则值域为[－
a
＋
b
，
a
＋
b
]．


b

a


四、正弦定理和余弦定理
定理

正弦定理

内容

变形形式

解决问题


余弦定理
a
＝
b
＋
c
2
－2
bc
·cos_
A
，
b
2
＝
c
2
＋
a
2
－2ca
·cos_
B
，
abc
＝＝＝2
R
sin
A
sin
B
sin
C
c
2< br>＝
a
2
＋
b
2
－2
ab
·cos
C
．

2
b
＋
c
2
－
a
2
cos
A
＝；
①
a
＝2
R
sin_
A
，
b
＝2
R
sin_
B
，
2
bc
c
＝2
R
sin_
C
；
c
2
＋
a
2
－
b
2
②
a
∶
b
∶
c
＝sin_
A
∶sin_
B
∶s in_
C
；
cos
B
＝；
2
ca
a
＋
b
＋
ca
③＝.

a
2
＋
b
2
－
c
2
sin
A
＋sin
B
＋sin
C
sin
A
cos
C
＝.
2
ab
①已知两角和任一边，求另一角和其
①已知三边，求各角；
他两条边；
②已知两边和它们的夹角，求第三边
②已知两边和其中一边的对角，求
和其他两个角.
另一边和其他两角.

22

在△
ABC
中，已知
a
，
b
和角
A
时，解的情况
A
为锐角
A
为钝角或直角
图形






关系式
a
＝
b
sin
A b
sin
A
＜
a
＜
b a
≥
b a
＞
b

解的个数

一解

两解

一解

一解
由上表可知，当
A
为锐角时，
a
＜
b
sin A
，无解．当
A
为钝角或直角时，
a
≤
b
，无 解．
五、三角形常用面积公式
1
1．
S
＝
a
·
h
a
(
h
a
表示边
a
上的高)；
2
111
2．
S
＝
ab
sin
C
＝
ac
sin
B
＝
bc
sin
A
.
222
1
3．
S
＝
r
(< br>a
＋
b
＋
c
)(
r
为内切圆半径)．
2
三角形中的常用结论
A
＋
B
π
C
(1 )
A
＋
B
＝π－
C
，＝－.
222
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
π
(4)在△
ABC
中，tan
A
＋tan
B
＋tan
C
＝tan
A
·tan
B
·tan
C
(
A
、
B
、
C
≠)．
2
基础自测
α
3
1．(2013·江西高考)若sin ＝，则cos
α
＝( )
23
2112
A．－ B．－ C. D.
3333
【解析】 cos
α
＝1－2sin
【答案】 C
2
α
2
＝1－2 ×

21

3

2

＝1－
3< br>＝
3
.

3


2．在△
ABC
中，
a
＝15，
b
＝10，
A
＝6 0°，则cos
B
＝( )
622622
A. B. C．－ D．－
3333
【解析】 由正弦定理，得sin
B
＝
∵
a
＞
b
，
A
＝60°，
∴
B
＜60°，cos
B
＝1－sin
B
＝
2
b
·sin
A
3
＝.
a
3
6
.
3
【答案】 A
3．△
ABC
中，
B
＝120° ，
AC
＝7，
AB
＝5，则△
ABC
的面积为______ __．
222
【解析】 由余弦定理知
AC
＝
AB
＋BC
－2
AB
·
BC
cos 120°，
2
即49＝25＋
BC
＋5
BC
，解得
BC
＝3.
113153
故
S
△
ABC
＝
AB
·
BC
sin 120°＝×5×3×＝.
2224
【答案】
153

4
考点一 简单的三角恒等变换
例 化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；
(1)sin 50°
(
1＋3tan 10°
)

＝sin 50°

＝
cos 10°
2sin 50°sin30°＋10°
＝
cos 10°
2sin 50°cos 50°sin 100°cos 10°
＝＝＝＝1.
cos 10°cos 10°cos 10°
(2)(2013·浙江高考)函数
f
(
x
)＝sin
x
cos
x
＋
3
cos 2
x
的最小正周期和振幅分别是
2

cos 10°＋3sin 10°



cos 10°

3

1

2sin 50°

cos 10°＋sin 10°

2

2

( )
A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2
π

132π

( 2)
f
(
x
)＝sin 2
x
＋cos 2
x＝sin

2
x
＋

，所以最小正周期为
T< br>＝＝π，振幅
A
3

222

＝1.
xx
1
2
x
跟踪练习：(2012·四川高考)已知函数
f
(< br>x
)＝cos－sin cos －.
2222
(1)求函数
f
(
x
)的最小正周期和值域；
32
(2)若
f
(
α
)＝，求sin 2
α
的值．
10
xx
1
2
x
【解】 (1)由已知，
f
(
x
)＝cos－sin cos －
2222
111
＝(1＋cos
x
)－sin
x
－
222
2

π

＝cos

x
＋

，
4

2


所以
f
(x
)的最小正周期为2π，值域为

－
(2)由(1)知，
f< br>(
α
)＝


22

，

.
22

π

322

cos

α
＋

＝，
4

102

π

3

所以cos

α
＋

＝.
4

5

π

π

所以sin 2
α
＝－cos

＋2
α

＝－cos 2

α
＋


4

2
π

187
2

＝1－2cos

α
＋

＝1－＝.
4

2525

考点二 正余弦定理
例(2013·山东高考)设△
ABC
的内角
A
，B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c< br>，且
a
＋
c
＝6，
b
7
＝2，cos
B
＝.
9
(1)求
a
，
c
的值；
(2)求sin(
A
－
B
)的值．
【自主解答】 (1) 由余弦定理
b
＝
a
＋
c
－2
ac
cos
B
，
得
b
＝(
a
＋
c
)－2< br>ac
(1＋cos
B
)，
7
又
b
＝2，
a
＋
c
＝6，cos
B
＝，
9
所以
ac
＝9，解得
a
＝3，
c
＝3.
(2)在△
ABC
中，sin
B
＝1－cos
B
＝
由正弦定理得sin
A
＝
2
22
222
42
，
9
a
sin
B
22
＝.
b
3
因为
a
＝
c
，所以
A
为锐角．
1
2
所以cos
A
＝1－sin
A
＝.
3
102
因此sin(
A
－
B
)＝sin
A
cos
B
－cos
A
sin
B
＝.
27
跟踪练习：（2014山东）
ABC
中，角 A，B，C所对的边分别为
a,b,c
. 已知
a3,cosA
6

,BA
.
32
（Ｉ）求
b
的值；
（II）求
ABC
的面积.
【解析】：（Ⅰ）由题意知：
sin A1cos
2
A
3
，
3

sinBsin

A
由正弦定理得：





6
，
s inAcoscosAsincosA

2

223
aba sinB
b32

sinAsinBsinA
（Ⅱ）由
B A

2
得
cosBcos(A

2
)s inA
3
.
3
ABC

,C

(AB)
,
sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB


33661
()
，
33333
11132
absinC332

2232
考点三 解三角形及其应用
例 [2014·浙江卷] 在△
AB C
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
.已知4sin
＋4sin
A
sin
B
＝2＋2.
(1)求角
C
的大小；
(2)已知
b
＝4，△
ABC
的面积为6，求边长
c
的值．
解：(1)由已知得
2[1－cos(
A
－
B
)]＋4sin
A
sin
B
＝2＋2，
化简得－2cos
A
cos
B
＋2sin
A
sin
B
＝2，
故cos(
A
＋
B
)＝－
2
，
2
2
因此，
ABC
的面积
S
A
－
B
2
3ππ
所以
A
＋
B
＝，从而
C
＝. 44
1
(2)因为
S
△
ABC
＝
ab
sin
C
，
2
π
由
S
△
ABC
＝6，
b
＝4，
C
＝，得
a
＝32.
4
由余弦定理
c
＝
a
＋
b
－2
ab
cos
C
，得
c
＝10.
跟踪练习：
已知函数
f(x)3sinxcosxcosx
2
222
1
．
2
(I)求
f(x)
的最小正周期及对称轴方程；
(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
f()
小值.
A
2
1
，bc=6，求a的最
2

考点四 正余弦定理的实际应用
例 要测量对岸
A
、
B
两点之间的距离，选取相距3 km的
C
、
D
两点，并测得∠
ACB
＝
75°，∠
BCD
＝ 45°，∠
ADC
＝30°，∠
ADB
＝45°，求
A
、< br>B
之间的距离．
【思路点拨】 将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形．
【尝试解答】 如图所示，在△
ACD
中，
∠
ACD
＝120°，∠
CA D
＝∠
ADC
＝30°，
∴
AC
＝
CD
＝3 km.
在△
BCD
中，∠
BCD
＝45°，
∠
BDC
＝75°，∠
CBD
＝60°.
3sin 75°6＋2
∴
BC
＝＝.
sin 60°2
在△
ABC
中，由余弦定理，得
6＋2

6＋2

2
AB
2
＝(3)
2
＋

－ 2×3×
2
×cos 75°

2

＝3＋2＋3－3＝5，
∴
AB
＝5(km)，∴
A
、
B
之间的距离为5 km.
规律方法1 1.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关三角形中，建立一个解三
角形的模型；
2.利用正、余弦定理解出所求的边和角，得出该数学模型的解.
跟踪练习

图3－8－5
如图3－8－5所示，
A
，
B
是海面上位于 东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现
位于
A
点北偏东45°，
B
点北偏西60°的
D
点有一艘轮船发出求救信号，位于
B
点南偏西< br>60°且与
B
点相距203海里的
C
点的救援船立即前往营救，其航行 速度为30海里小时，
该救援船到达
D
点需要多长时间？
【解】 由题意知
AB
＝5(3＋3)海里，
∠
DBA
＝90°－60°＝ 30°，∠
DAB
＝90°－45°＝45°，
∴∠
ADB
＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△
DAB
中，由正弦定理，得
∴
DB
＝
＝，
sin∠
DAB
sin∠
ADB

DBAB
AB
·sin∠
DAB
53＋3·sin 45°
＝
sin∠
ADB
sin 105°
53＋3·sin 45°533＋1
＝＝
sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°
3＋1
2
＝103(海里)，
又∠
DBC
＝∠DBA
＋∠
ABC
＝60°，
BC
＝203(海里)．

在△
DBC
中，由余弦定理得
CD
2< br>＝
BD
2
＋
BC
2
－2
BD
·BC
·cos∠
DBC

1
＝300＋1200－2×103×203×＝900.
2
30
∴
CD
＝30(海里)．则需要的时间
t
＝＝1(小时)．
30