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3.2 简单的三角恒等变换

自主学习
知识梳理
1．半角公式
(1)S：sin ＝__________；(2)C：cos ＝________；
2222
(3)T：tan ＝________________＝ ________________＝__________(有理形式)．
22
2．辅助角公式：
a
sin
x
＋
b
cos
x
＝
a
2
＋b
2
sin(
x
＋
φ
)，cos
φ
＝__________，sin
φ
＝______________
其中
φ
称为辅助角，它的终边所在象限由________决定．
自主探究
1．试用cos
α
表示sin




2
α
α
α
α
αα
α
2
、cos< br>2
α
2
、tan
2
α
2
.
α
sin
α
1－cos
α
2．证明：tan ＝＝.
21＋cos
α
sin
α




对点讲练

知识点一 半角公式的应用

45π
θθ
例1 已知sin
θ
＝，且<
θ
<3π，求cos 和tan 的值．
5222






回顾归纳 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持
正、负两个符号．
412
α
－
β
变式训练1 已知
α
为钝角，
β
为锐角，且sin
α
＝，sin
β
＝，求cos .
5132







知识点二 利用辅助角公式研究函数性质

π

π

2

例2 已知函数
f
(
x
)＝3sin

2
x
－

＋2si n

x
－

(
x
∈R)．
6

12

(1)求函数
f
(
x
)的最小正周期 ；
(2)求使函数
f
(
x
)取得最大值的
x
的集合．









22
回顾归纳 研究形如
f
(
x
)＝
a
s in
ωx
＋
b
sin
ωx
cos
ωx
＋
c
cos
ωx
的性质时，先化成
f
(
x
)＝
A
sin(
ω
′
x
＋
φ
)＋
B
的形式后，再解答．这是一个基本题型，许多题目化简后都化归
为该题型．

π

π

变式训练2 已知函数
f
(
x< br>)＝sin(
x
＋)＋sin

x
－

＋c os
x
＋
a
(
a
∈R)．
6

6

(1)求函数
y
＝
f
(
x
)的单调 增区间；

ππ

(2)若函数
f
(
x
)在

－，

上的最大值与最小值的和为3，求实数
a
的值 ．

22








知识点三 三角函数在实际问题中的应用

π
例3 如图所示， 已知
OPQ
是半径为1，圆心角为的扇形，
C
是扇形弧上的动点，
A BCD
3
是扇形的内接矩形．记∠
COP
＝
α
，求当角α
取何值时，矩形
ABCD
的面积最大？并求出这个
最大面积．







回顾归纳 利用三角函数 知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取
一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定 自变量的范围．
变式训练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内 接
长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示)．

1．学习三角恒等变 换，不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要立足于在
推导过程中记忆和运用公式．
2．形如
f
(
x
)＝
a
sin
x
＋
b
cos
x
，运用辅助角公式熟练化为一个角的一个 三角函数的形
式，即
f
(
x
)＝
a
＋
b< br>sin(
x
＋
φ
) (
φ
由sin
φ
＝
函数
f
(
x
)性质．
π

x
±
如
f
(
x
)＝sin
x
±cos
x
＝2sin

，
4
< br>

π

f
(
x
)＝sin
x
±3cos
x
＝2sin

x
±

等.
3


课时作业
一、选择题
1．已知180°<
α
<360°，则cos 的值等于( )
2
A．－
C．－
1－cos
α

2
B.
1－cos
α

2
22
b
a
2
＋
b
，cos
φ
＝
2
a
a
2
＋
b
2
确定)进而研 究
α
1＋cos
α
1＋cos
α
D.
22
15π
θ
2．如果|cos
θ
|＝，<
θ
<3π，那么sin 的值为( )
522
A．－
C．－
10

5
15

5






B.
D.
10

5
15

5
131－cos 50°
3．设
a
＝cos 6°－sin 6°，
b
＝2sin 13°cos 13°，
c
＝，则有( )
222
A．
a
>
b
>
c
B．
a
<
b
<
c

C．
a
<
c
<
b
D．
b
<
c
<
a

4．函数
f
(
x
)＝sin
x
－3cos
x
(
x
∈[－π，0])的单调递增区间是( )
5π

π

5π
A.

－π，－

B.

－，－


6

6

6

π

π

C.

－，0

D.

－，0



3
 
6

5．函数
f
(
x
)＝cos
x
(sin
x
＋cos
x
)的最小正周期为( )
ππ
A．2π B．π C. D.
24

二、填空题


π

6．函数
y
＝cos
x< br>＋cos

x
＋

的最大值是________．
3

7．若3sin
x
－3cos
x
＝23 sin(
x
＋
φ
)，
φ
∈(－π，π)，则
φ的值是________．
8．已知函数
f
(
x
)＝
a
sin[(1－
a
)
x
]＋cos[(1－
a
)
x
]的最大值为2，则
f
(
x
)的最小正周
期为_ _______．

三、解答题
π
9．已知向量
a
＝(sin(＋
x
)，3cos
x
)，
b
＝(sin
x
，cos
x
) ，
f
(
x
)＝
a
·
b
.
2
(1)求
f
(
x
)的最小正周期和单调增区间；
3
(2)如果三角形
ABC
中，满足
f
(
A
)＝ ，求角
A
的值．
2





π

值域为[－
2
10．已知函数
f
(
x
)＝2
a
sin
x
－23
a
sin
x
cos
x
＋
b
(
a
>0)的定义域 为

0，

，
2

5,4]，求常数
a
，
b
的值．






§3.2 简单的三角恒等变换
答案

知识梳理
1－cos
α
1＋cos
α
1．(1)± (2)±
22
(3)±
2.
1－cos
α
sin
α
1－cos
α

1＋cos
α
1＋cos
α
sin
α

2
aa
2
＋
b
b
a
2
＋
b
2 点(
a
，
b
)
自主探究
1．解 ∵cos
α
＝cos
2
α
222
1－cos
α
2
α
2
α
∴2sin＝1－cos
α
，sin＝.
222
1＋cos
α
2
α
2
α
∵cos
α
＝2cos－1，∴cos＝
222
①1－cos
α
2
α
由得：tan＝.
②21＋cos
α
－sin
2
α
＝1－2sin
2
α



①
②
2sin cos
22
sin
αα
2．证明 ∵＝＝tan .
1＋cos
α
2
2< br>α
2cos
2
αα

α
sin
αα
1－cos
α
∴tan ＝，同理可证：tan ＝.
21＋cos
α
2sin
α
α
sin
α
1－cos
α
∴tan ＝＝.
21＋cos
α
sin
α
对点讲练
45π
例1 解 ∵sin
θ
＝，<
θ
<3π.
52
3
2
∴cos
θ
＝－1－sin
θ
＝－.
5
5π
θ
3π
又<<.
422
θ
1＋cos
θ
＝－
2
3
1－
5
5
＝－.
25
∴cos ＝－
2

3

1－
－

θ
1－cos
θ

5

tan ＝＝＝2.
21＋cos
θ
3

1＋

－< br>

5

变式训练1 解 ∵
α
为钝角，
β
为锐角，
412
sin
α
＝，sin
β
＝.
513
35
∴cos
α
＝－，cos
β
＝.
513
cos(
α
－
β
)＝cos
α
cos
β
＋sin
α
sin
β

3541233
＝－×＋×＝.
51351365
ππ
又∵<
α
<π，0<
β
<，
22
α
－
β
π
∴0<
α
－
β<π.0<<.
22
1＋cos
α
－
β
＝
2 2
π

例2 解 (1)∵
f
(
x
)＝3sin

2
x
－


6

π

2

＋2sin

x
－



12


π

π

＝3sin2

x
－

＋1－cos2

x
－


12

12

∴cos ＝
＝2

α
－
β
33
1＋
65
765
＝. < br>265

3

π

1

π


sin2

x
－

－cos2
x
－


＋1

12

2

12


2

π

π
< br>＝2sin

2

x
－

－
＋1


12

6

π

2π

＝2sin

2
x
－

＋1，∴< br>T
＝＝π.
3

2

π

(2 )当
f
(
x
)取得最大值时，sin

2
x
－

＝1，
3


ππ
有2
x
－＝2
k
π＋，
32
5π
即
x
＝
k
π＋ (
k
∈Z)，
12
5π
∴所求
x
的集合为{x
|
x
＝
k
π＋，
k
∈Z}．
12

π

变式训练2 解 (1)
f
(
x
)＝sin

x
＋

＋
6


π

sin

x
－

＋cos
x
＋
a
＝3sin
x
＋cos
x
＋
a

6


π

＝2sin

x
＋

＋
a
，
6

πππ
解不等式2
k
π－≤
x
＋≤2
k
π＋(
k
∈Z)，
262
得
y
＝
f
(
x
)的单调增区间是

2
k
π－
2π
，2
k
π＋
π< br>
(
k
∈Z)．

33

ππ2π< br>3


ππ

π


(2)当< br>x
∈

－，

时，－≤
x
＋≤，sin
x
＋

∈

－，1

，
6


2
363

22


∴
f
(
x
)的值域是[－3＋
a,
2＋
a
] ．
故(－3＋
a
)＋(2＋
a
)＝3，即
a
＝3 －1.
例3 解 在直角三角形
OBC
中，
OB
＝cos
α
，
BC
＝sin
α
.
在直角三角形
OAD
中，＝tan 60°＝3.
∴
OA
＝
333
DA
＝
BC
＝sin
α
，
333
DA
OA
3
sin
α

3
设矩形
ABCD
的面积为
S
，则
3

S
＝
AB
·
BC
＝
cos
α
－sin
α

sin
α
3

∴
AB
＝
OB
－
OA
＝cos
α
－
＝sin
α
cos
α
－
3
2
sin
α

3
13
＝sin 2
α
－(1－cos 2
α
)
26
133
＝sin 2
α
＋cos 2
α
－
266
1

3
3
1


sin 2
α
＋cos 2
α

－
6

2

3

2
π

13

＝sin

2
α
＋

－.
6

6
3

＝
πππ5π
由于0<
α
<，所以<2
α
＋< ，
3666
ππ
所以当2
α
＋＝，
62

π133
即
α
＝时，
S
最大
＝－＝.
6 6
3
6
π3
因此，当
α
＝时，矩形
ABCD
的面积最大，最大面积为.
66
变式训练3 解
如图所示，连
OC
，
π
设∠
COB
＝
θ
，则0<
θ
<，
OC
＝1.
4
∵
AB
＝
OB
－
OA
＝cos
θ
－
AD

＝cos
θ
－sin
θ
，
∴
S
矩形
ABCD
＝
AB
·
BC

＝(cos
θ
－sin
θ
)·sin
θ

2
＝－sin
θ
＋sin
θ
cos
θ

11
＝－(1－cos 2
θ
)＋sin 2
θ

22
11
＝(sin 2
θ
＋cos 2
θ
)－
22
＝
π

12

cos

2< br>θ
－

－
4

22


ππ2－1
2
∴当2
θ
－＝0，即
θ
＝时，
Smax
＝(m)，
482
∴割出的长方形桌面的最大面积为
2－1
2
(m)．
2
课时作业
1．C 2.C
3．C [由题可得
a
＝sin 24°，
b
＝sin 26°，
c
＝sin 25°，所以
a
<
c
<
b
.]

π

4．D [
f
(
x
)＝2sin< br>
x
－

，
f
(
x
)的单调递增区 间为
3


2
k
π－
π
，2
k
π＋
5
π

(
k
∈Z)，

66



π5π

令
k
＝0得增区 间为

－，

.]
6

6
11＋cos 2
x
2
5．B [
f
(
x
)＝sin
x
cos
x
＋cos
x
＝sin 2
x
＋
22
111
＝sin 2
x
＋cos 2
x
＋ < br>222
＝
π

12

sin

2< br>x
＋

＋.∴
T
＝π.]
4

22

6.3

π

解析 (1)
y
＝cos
x
＋cos

x
＋


3

ππ
＝cos
x
＋cos
x
cos －sin
x
sin
33

33
＝cos
x
－sin
x

22
1

3

cos
x
－sin
x


2

2
< br>
π

＝3cos

x
＋

. < br>6


π

当cos

x
＋
＝1时，
y
有最大值3.
6

＝3

π
7．－
6
解析 3sin
x
－3cos
x
＝23

1

3

sin
x
－cos
x


2

2
< br>π

π

＝23sin

x
－
< br>.∴
φ
＝－.
6

6

8．π
解析 由
a
＋1＝2，∴
a
＝3，
5π

∴
f
(
x
)＝－3sin 2
x
＋cos 2
x
＝2sin

2
x
＋

，∴
T
＝π.
6

9．解 (1)由题意知，
33
f
(
x
)＝sin
x
cos
x
＋＋cos 2
x

22
π3
＝sin(2
x
＋)＋
32
πππ2
k
π－≤2
x
＋≤2
k
π＋，
k
∈ Z，
232
5ππ
即
k
π－≤
x
≤
k< br>π＋，
k
∈Z
1212
最小正周期为π，单调增区间为
5ππ
[
k
π－，
k
π＋]，
k
∈Z.
1212
π

3

(2)由(1)知，
f
(
x
)＝sin

2
x
＋

＋.
3

2

3π
，∴sin(2
A
＋)＝0， < br>23
ππ7π
又∵
A
∈(0，π)，∴<2
A
＋<，
333
π
∴2
A
＋＝π或2π，
3
π5π
∴
A
＝或.
36
∵
f
(
A
)＝
10．解
f
(
x
)＝2
a
sin
x
－23
a
sin
x
cos
x
＋
b

1－cos 2
x
＝2
a
·－3
a
sin 2
x
＋
b

2
＝－(3
a
sin 2
x
＋
a
cos 2
x
)＋
a
＋
b

π

＝－2
a
sin

2
x
＋

＋
a
＋
b

6

πππ7
∵0≤
x
≤，∴ ≤2
x
＋≤π.
2666
2

π

1

∴－≤sin

2
x
＋

≤1. < br>6

2

∵
a
>0，∴
f
(
x
)
max
＝2
a
＋
b
＝4，
f
(
x
)
min
＝
b
－
a
＝－5. 

2
a
＋
b
＝4
由

< br>b
－
a
＝－5




a
＝3
，得


b
＝－2


.